Оценки частных модулей гладкости в метриках Lp1∞ и L∞p2 через частные модули гладкости в метриках Lp1p2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.5

ОЦЕНКИ ЧАСТНЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКАХ Lp1<x И L^P2 ЧЕРЕЗ ЧАСТНЫЕ МОДУЛИ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИК АХ LPlP2

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе изучается взаимосвязь между частными модулями гладкости положительных порядков, рассматриваемыми в метриках Lpi00, L^Р2 и Lpip2.

Ключевые слова: неравенство, метрика, частный модуль гладкости положительного порядка.

Interrelation between partial moduli of smoothness of positive order considered in metrics

Lpi , L p2 Lpi p2

Key words: inequality, metrics, partial moduli of smoothness of positive order.

Взаимосвязи между смешанными и полными модулями гладкости функции, рассматриваемой в пространствах с различными метриками, изучались в ряде работ ( см., например, [1-4] ). В настоящей работе приводятся оценки частных модулей гладкости в метриках LPl(X и L(Xp2 через частные модули гладкости в метриках LPlP2.

1. Определения и обозначения. Введем следующие обозначения:

LPlP2,1 ^ pi ^ то, i = 1,2, — множество измеримых функций двух переменных f (Ж1,Ж2), 2^-периодических по каждому переменному, таких, что ||f ||P1,P2 = ||{||f ||P1 }||P2 < то, где ||F||Pi =

2тг \ Pi

f |F |Pi dxi ) ^ли 1 ^ pi < то, Il F ||Pi = sup vrai |F если pi = то;

0 / 0<х^2п

2n

L01P2 — множество функций f € LPlP2, таких, что f f (xi,x2)dxi = 0 для почти всех Х2 и

о

2п

J f (x1,x2)dx2 = 0 для почти всех x1; 0

те те

a(f) _ ряд Фурье функции f(xi,x2) € L^, т.е. a(f) = a(f,xbx2) = Е Е A^(f,xi,x2),

fc2 = 1 ki = i

где Aklk2 (f, xi, x2) = aklk2 cos kixi cos k2x2 + bklk2 sin kixi cos k2x2 + cklk2 cos kixi sin k2x2 + dklk2 x sin kixi sin k2x2,

2n 2n 2n 2n

f f f(x1,x2)cosk1x1cosk2x2dx1dx2, bklk2 = f f(x1} x2) sin kixi cos k2x2dxidx2, 0 0 0 0 22 22 22 22

Cfcik2 TT-2

/ f f(x\,x2) cos k\X\ sin k2x2dx\dx2, dklk2 = ^ f f f(xi,x2)s'mkixis'mk2x2dxidx2;

l 2 0 0 l 2 0 0

Vmltœ(f),Vx,m2(f) _ суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции f(xi,x2), т.е.

2п 2п

Vmuoo(f) = fiXi+tuXÚV^Wdh, Foo ,ш2(Л = IJ f(xl,x2+t2)V^(t2)dt2, 00

где V0°(t) = D0(t), V*n(t) = n = 1, 2,... , Dm{t) = m = 0,1, 2,... ;

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.

Potapov Mikhail Konstantinovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mathematics and Mechanics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis.

Simonov Boris Vital'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Volgograd State Technical University.

f (pi,p2) — производная в смысле Вейля функции f (xi,x2) € ¿Р1Р2 порядка pi (pi ^ 0) по переменной Ж1 и порядка p2 (p2 ^ 0) по перемен ной Х2 (см. [5, с. 238]);

(f )PiP2 — частное наилучшее приближепи е функции f € LPiP2 по перемен ной xi, т.е. (f )PiP2 = inf llf Tm,i<re||PiP2 , ГД6 ^уНКЦИИ TmiM (xi,x2) € LPiP2 и являются тригонометриче-

Tmi оо

скими полиномами порядка не выше mi по перемен ной xi;

Етет2 (f )pip2 — частное наилучшее приближепи е функции f € LPiP2 по перемен ной Х2, т.е. Етет2(f)PiP2 = inf ||f — Ттет2||PiP2, где функции Ттет2(xi;x2) € LPiP2 и являются тригонометриче-

m2 x2

Для функции f € LPiP2 определим разности с шагами hi и h2 положительных порядков «i и «2 соответственно по переменным xi и Х2 следующим образом:

те те

A^i (f)= Е(—!)Vi (£) f(xi + (ai — vi)hi,X2), Д02 (f)= £(—1Г (S?) f(xi,X2 + («2 — *2)to),

vi =0 V2=0

где (") = 1 для v = 0, (") = ol для v = 1, (") = а("~1)--(а~гУ+1) для у Введем также обозначения:

wai,o(f, ^i)PiP2 — частный модуль гладкости положительного порядка «i по переменной xi, т.е.

Wai,o(f,^i)PiP2 = suP ||Д£(f)|PiP2;

wo,«2 (f, ^)PiP2 — частный модуль гладкости положитель ного порядка «2 по перемен ной x2, т.е.

Wo,«2(f,^2)P i P2 = suP ||AS2 (f)|p i P2; N1^2

¿P^, 1 ^ p ^ то, — множество измеримых 2п-периодических функций одного переменного, для

i

которых ||f HP^ < то, где ||f HP^ = ( J |f |Pdx ) , если 1 ^ p < то, и ||f ||Pi) = supvrai |f ^ли p = то;

\0 / п

2п

¿P(1) — множество функций f € Lp1^, таких, что J f (ж) ¿ж = 0;

о

2 7Г

Ут\Л — суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции /(ж), т.е. Ут\/) = ^ / /(ж +

о

т = 0,1, 2,... ;

— производная в смысле Вейля функции /(ж) порядка а > 0 (см. [6, с. 201]);

те

а(/)(1) _ рЯд Фурье функции /(ж) € Lp )„т.е. а(/)(1) = а(/,ж)(1) = ¿ (/, ж), (/, ж) =

fc=i

2п 2п

flfc cos йж + bk sin kx, ük = ^ f /(ж) cos kxdx, bk = ^ f /(ж) sin kxdx] ~ 0 0

/(ж) — функция, сопряженная с /(ж);

Tn({An}; ж) — преобразованный с помощью последовательности {Ап} тригонометрический йога

лином Tn(ж) = ^ (cv cos ^ж + sin ^ж), т.е.

v=0

({A„}; ж) = E Av(cv cos vx + dv sin vx);

v=0

wa(f, t)]1 — модуль гладкости положительного порядка а функции f(ж) в метрике Lp1^, т.е.

wa(f,t)P1) = sup II Aaf (ж) llP1^, где Aaf (ж) = ^ (—1)v (a) f(ж + (а — v)h) — разность порядка

|h|<t v=0

а > 0 функции f (ж) (при целых а — это будет а-я разность, например при а = 1 имеем Af (ж) = f (ж + h) — f (ж)).

те

Для неотрицательных функционалов ^(/, ¿^¿2) и С(/, ¿^¿2) пишем ^(/,¿1^2) ^ ¿1^2), если существует положительная постоянная С, не зависящая от /, ¿1 и ¿2, такая, что ^(/, ¿1, ¿2) ^ СС(/, ¿1 , ¿2). Если одновременно ^(/, ¿^¿2) ^ С(/, ¿^¿2) и С(/, ¿^¿2) <С ^(/, ¿1,¿2), то будем писать ^(/, ¿1, ¿2) х С(/, ¿1, ¿2).

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [7]. Пусть / € ¿01Р2' 9 € ¿р1Р2? 1 ^ ^ то, в» > аг > 0, г = 1, 2. ТогЛг

1) ^ДЛ 0)Р1Р2 = 0, шо,«2(/, 0)Р1Р2 = 0;

2) ^«1,0(/ + 9, ¿1 )Р1Р2 ^ ^Оа^Л ¿1^1Р2 + ^«1,0(9, ¿1 )Р1Р2 ;

(/ + 9 ¿2)Р1 Р2 ^ ^0,«2 (/, ¿2)Р1Р2 + Ш0,«2 (9, ¿2)Р1 Р2 ;

3) ^а1)0(/, ¿1 )Р1Р2 < ,0(/, ^1)р1 Р2 , есл"0 ^ ¿1 ^ ¿1;

,«2

(Л ¿2)Р1Р2 < ^0 ,а2 (Л ¿2^^ , ССЛи 0 ^ ¿2 ^ ¿2;

4) ^1,о(/,Д1)р1р2 ^ еслм о < ¿1 ¿1 < тг;

Ш0,а2(ШР1Р2 ^ Ш0,а2(ШР1Р2} если О < ¿2 ^ ¿2 < тг; "2

5) Ч^ДЛ ¿Орда < ^Ь0(/Л )Р1Р2 , ^0,в2 (/, ¿2)Р1Р2 < Ш0,«2 (/,¿2)p1Р2 •

Лемма 2 [7]. Пусть / € ¿Р1Р2, 1 ^ ^ то, аг > 0, € М, г = 1, 2. Тогда

(а)

(б)

Р1 Р2

Р1 Р2

^ - Ут ,те(/)|р1р2 + п

—а1 I

V

(«1,0)

«4 ,те

и - к»п2(/)|р1р2 + п

(0,«2)

(/) (/)

Р1Р2

Р1Р2

Лемма 3. Пусть / € ¿01Р2, 1 ^ Р ^ то, = 0,1, 2,... , г = 1, 2. Тогда

те

(а) II/ - )УР1Р2 «|| £ ) - (/))||р1 Р2;

те

(б) ||/ - Кте2"2 (/) | |р1р2 «|| £ (^те2^2 (/) - Уте2^2 + 1 (/))||р1р2 .

Доказательство, (а). Так как для любого натурального числа М1 ^ п1 верно равенство

М1

/ - ^2П1 те(/) = £ (К-1+1те(/) - V!*!те(/)) + / - те(/),

ТО

||/ - ^2П1 те(/)||

Р1 Р2

<

М1

Е ^1 + 1те(/) - ^2^1 те(/))

+ ||/ - (/)|Р1Р2-

Р1 Р2

В силу [8, с. 30, лемма 2.3.1] имеем ||/ - К>м1+1те(/)|Р1Р2 < Е2м1+1те(/)Р1Р^ Е2м1+1те(/)Р1Р2 при М1 — то, поэтому

||/ - те(/) ||р1р2 «

что и требовалось доказать.

Е (^2^1+1те(/) - ^2*1 те(/))

Р1 Р2

Доказательство п. (б) проводится аналогично. Лемма 4 [9]. (а) Пусть функция Т2

1,

€ Ь

Р1Р2

1 ^ ^ то (г = 1, 2), и является тригонометрическим полиномом порядка, 2П1 по перемен ной ж1, 1 ^ р1 <91 ^ то, ^ = 91, если 91 < то, и 91 = 1, если 91 = то, N ^ Ж2, N. € М, г = 1, 2. Тогда,

1/91

N2

Е Т2П1,те щ=М1

N2

Е 2га^(-"-)Г2"1)те||Йр2

91Р2 ^^=N1

где постоянная С не зависит, от, N^N2 и Т2П1 ,те,п1 € [N^N2].

(б) Пусть функция Тте,2п2 € ЬР1Р2, 1 ^ ^ то (г = 1, 2), и является тригонометрическим полиномом порядка, 2П2 по перемен ной ж2, 1 ^ р2 < д2 ^ то, = 92, если д2 < то и 92 = 1, если ^2 = то, М1 < М2, Мг € N г = 1, 2. 7Ъг<?а

М2 / М2 ^ 1/92

Е т=о,2- ^ с I Е 2"

п2=М1 р192 \чга2=М1

г<9е постоянная С не зависит, от, М1,М2 и Тте,2п2 ,п2 € [М1,М2].

Р2 92 ЦГоо^г ||Р-1Р2

||92

Лемма 5 (неравенство Никольского [10]). (а) Пусть функция Тп1те(ж1,ж2) есть тригонометрический полином порядка не выше п1(п1 € М) по перемен ной х1 и Т„1те(ж1,ж2) € ¿Р1Р2, 1 ^ Рг ^ то, г = 1, 2, а1 > 0. Тогда

llTraio¿ )||pií>2 ^ ||Т

nioo IIP1P2 •

(б) Пусть функция ТОП2(xi,ж2) есть тригонометрический полином порядка, не выше n2(n2 € по переменной ж2 и ТОП2 (ж1,ж2) € Lpip2, 1 ^ p ^ то, i = 1, 2, а2 > 0. Тогда,

||Too,'ra2 ^ \pip2 ^ n22 ||ТоО'П2 \\pip2 .

Лемма 6 [11, с. 99]. Существует постоянная C, не зависящая, от, n и ж, такая, что

' n sin kx

Е-

k fc=i

< C.

Лемма 7. (а) Пусть функция, ТП1;00(х1,х2) € ¿Р1Р2, 1 = р1 < 51 = ТО 1 ^ Р2 ^ то, и пусть

Тга1)0о(х1, ж2) есть тригонометрический полином порядка, не выше п1(п1 € М) по переменной х1. 1

, ОО II 00Р2 , ОО 11 1,Р2 ,

где постоянная С1 не зависит, от, Тгаь00.

(б) Пусть функция, T00;П2(х1,х2) € ¿Р1Р2, 1 = р2 < 52 = ТО 1 ^ Р1 ^ то, и пусть T00;П2(х1,х2) есть тригонометрический полином порядка, не выше п2 (п2 € М) по перемен ной х2. Тогда,

ИТ»

,П2 ИР1»

< С2ИТ(о ,га2 ИР1,1,

г(9е постоянная С2 не зависит от, Т»;П2.

х1 х2

п

Tni,ОО(ж1,ж2) = - J Tlig(ж1 + ¿1,ж2)Кщ (ti)dti,

где ^(¿1) = Е 8тк1Ж1 • Но тогда для почти всех Ж1 и ж2 получаем справедливость следующего к1 = 1 1

неравенства:

п

|Т"1,»(х1,х2)| ^ I |Т(1')0) (х1 + ¿1,х2)||К„1 (¿1)|^^1.

—п

х1 х2

п п

|Т„1;оо(х1,х2)| < С1 У 1Т410)(х1 + ¿1,х2)|Й^1 = С^ (х1,х2)|^х1.

х2

ЦТ„1,оо (х1,х2 )И(1) < С1ИТ(1;0о) (х1,х2)И(11).

Откуда следует неравенство

ЦТ„1;0о (х1,х2)И Р 2 < С1ИТ11Й (х1,х2)И 1 Р 2 ,

что и требовалось доказать.

х1 х2

п

То,П2 (ж1,ж2) = - J Т^1 (ж1,ж2 + ¿з)^ (¿2^2,

п

™2 • и

где Кп2 (^2) = £ "У* • Но тогда для почти всех х\ и Ж2 получаем

и2=1 2

п

|Тте ,П2 (Ж1,Ж2)| = I |Т(0;^)2 (Ж1,Ж2 + ¿2)^ (¿2 ) | ^¿2. —

ж1 ж2

п п

|Тте,П2 (Ж1,Ж2)| < С I (Ж1,Ж2 + ¿2)^2 = С^ (ЖЬЖ2)|^Ж2. (1)

—п —п

1) Пусть 1 ^ р1 < то. Тогда получаем справедливость неравенства

7Г 1 7Г

„2

— 7Г —7Г

|Т£'п2 (xi ,X2)|dX2

PI \ ^

х P1

dxi

Применяя неравенство Минковского, имеем

7Г 7Г 1

Pi ~ —

A < C Отсюда следует, что

ТОО ;П2

dxi ) 1 dx2 = C ЦТ^^ (Ж1,Ж2)УР1;1-

— 7Г —7Г

7Г J_

supvraii / |Т»,„2(xi,X2)|p1 dxi) 1 ^ CЦТ^^(xi,x2)||pbi, 0^ж1^2тг \J J

Т.е. ЦТ»,„2 (Xi,X2)|p1,00 ^ CНТ^(xi, X2) ||p1,1 • 2) Пусть pi = то. Тогда из (1) следует, что

supvrai |Т»,„2(xi,x2)| ^ C||TC(0'„)2(xi,x2)||0,1.

Откуда получаем ЦТ»,„2(xi,x2)||0,0 ^ C||тi0;„)2(xi,x2)||0,1. Л

Тогда

oo,1 •

Лемма 8 [5, с. 243]. Пусть /(ж1,ж2) € ¿°1Р2, 1 < Pi ^ % < «Э; а» ^ 0; п = (ц + - j-,, г = 1, 2.

II/(«1>«2)|| II f(r1'r2h

|f |q1q2 ^ |f ||P1P2 •

Лемма 9 (неравенство Гёльдера [8, с. 14]). Пусть р € (1, то), | + | = 1. Тогда

ъ ъ 1 ъ 1

j f(x)g(x)dx < (у |/(ж)|^ж) " ( j \д(х)\Чху.

а а а

Лемма 10 [8, с. 51]. Яусшь / € ¿P(1\ /(r) € L0(1), ст(/)(1) = £ afc cos kx,

k=i

2n

afc = — / /(ж) cos kxdx, a^ ^ a^+i для любого k € N, 1 < p < 00, r ^ 0, n € N.

n J

Тогда,

OO \ i

P

||f(r)|P1) * ( Eakk(r+1)p-2 ■ k=i

0(1) °° Лемма 11 [8, с. 12]. Пусть f € LP(i); 1 < p < то ^(f)(1) = E(«fc cos kx + sin kx). Пусть

/(x) — функция, сопряженная с функцией f (x). Тогда,

fc=i

ст(/)(1) = ^(afc sin kx — cos kx), f € L^(1)

« Iif lir ^^ lip

(1)

fc=1

Лемма 12. Яусшь / € L°ip2, 1 < pi < < oo; 1 < p2 < oo; > 0, /?j2j > 0, Qx = -

?(2)

qj = q1, если q1 < то, u qj = 1, если q1 = то, ¿ € (0,1). Тогда,

Wa1>0(f,5),1 P2 « W / íí-(ai+0l)We(l)n(f,í)

' PiP2

dí\ «í 7

+

^ We(2) ;0(f,t)P1P2

dt \ i*i T

Доказательство. Для любого £ € (0,1) существует целое неотрицательное число п, такое, что 2—«.-1 ^ £ < 2—". Поэтому, используя свойство 3 частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, получаем

■ = ^ДЛ £)д! Р2 < ^ДЛ 2—" )д! Р2 < И/ - ^2",00 (/)И91 Р2 + 2-"а1 ^П,1«0^) И91Р2 = ■ + ^

Применяя сначала лемму 3, а затем лемму 4, находим

J1 <

2V+1, оо (f )|PiP^ ^

v=n qiP2 ^ v=n

/ OO 1 1 \ Л / 00 1 1

« í - ^,ОО(/)ИЙр2 j 91 + í £2^-^11/- ^+1,ОО(/)НЙР2

7/-n / \ 7/-n

«1

В силу леммы 2 будем иметь

1

Так как f € ¿P1P2, то V0 ,0(f) = 0, поэтому

J2 = 2-na1 IlV^f) IIq1P2 =2-na1

Применяя лемму 4, имеем

/ n

^í(ír-ir)

E(v2(a o;0)(f) — ^«-'0! o(f))

(«1' 0)

v=0

q1P2

■h « 2"™1 - V¡2„-i]>oo(/))<ai>0)|

l?1 P1P2

v=0

Воспользовавшись леммой 5, приходим к неравенству

J2 « 2"^ ( ¿2^(ai+iT-iT)||(F2,)CO(/) - V[2,-i]>00(/))||gP2) ?í «

v=0

(n \ 4f

v=0

+2— ( ¿ 2^^+iT-Í) II/ - V¡2„-i]i00(/) ||ЙР2) ^ •

v=0

1

1

1

Применяя лемму 2, заключаем, что

« 2~па1 ( £ (/, 1) ) 9!

(1) и, 2^Р1Р2 ^=0 1

Объединяя оценки для 71 и 72, получаем

1 . „ . 1

=п 1 ' ^ ^=0 1

Используя свойства частного модуля гладкости (лемма 1), имеем

0 6 тем самым лемма 12 доказана.

Лемма 13. Пусть / € Ц 92 = 92, если 92 < то, и 92 = 1, если 92 = то, ¿ € (0,1). Тогда

1 + 1

Лемма 13. Яусшь / € ¿°1Р2, 1 < р2 < 92 < оо; 1 < Р1 < оо; > 0, > 0, в2 = ± -

92 = то, ¿ € (0, 1).

1 г 1

4*2 <И\

г

6 0

Доказательство леммы 13 аналогично доказательству леммы 12. 3. Основные результаты.

Теорема 1. Пусть / € ЦР1Р2, 1 = р1 < 91 = то 1 ^ Р2 ^ то а1 > 0 ¿ € (0,1). Тогда,

6

г ¿1

Ша1М\5)оор2 < М + (2)

01

Теорема 1 точна в том смысле, что существует функция /0(ж1,Ж2), такая, что для нее в соотношении (2) знак ^ может быть заменен знаком х .

Вообще говоря, в неравенстве (2) знак < не может быть заменен на х . При р1 > 1 неравенство (2) неверно.

Теорема 2. Пусть / € ЦР1Р2, 1 < р1 < 91 = то 1 ^ Р2 ^ то ¿ € (0,1).

2.1. Тогда, если в1 > а1 > 0, то

1 6

^аь0(/,5)оор2 < У + + + У + (3)

6 0

Утверждение 2.1 точно в том смысле, что существует функция /0(ж1,Ж2), такая, что для нее в соотношении (3) знак ^ может быть заменен знаком х .

2.2. Ясли а1 >71 > 0, то

6

/■ -А. М

^аьо(/,^)оо,р2 < М Р1^71+_к.;0(/,^Р1Р2у. (4)

01

Утверждение 2.2 точно в том смысле, что если в правой части неравенства (4) заменить 71 на

а1 ,

а1 > 0,

г 1

/•__1. ( 2\ йй

^аь0(/,5)оо>Р2 < / * Р1^«1 + Х;0(/^)Р1Р2( Ь-1 у- (5)

Утверждение 2.3 точно в следующем смысле:

(а) для любой функции £(£), положительной, слабо колеблющейся на (0,1) и такой, что £(¿) = б^п!)1 р1 при £ —>■ 0, существует функция Р\(х1,х2), такая, что

¿1(^1,5) = -----^ при

0 р1

(б) для любого £ > 0 существует функция Т2(х1,х2), такая, что

Р2

А2(Р2,5) = -----у оо при £^0.

I Г^ + е,0(р2, *)Р1Р2 ( Ь I) Т

Теорема 3. Пусть / € ¿Р1Р2, 1 = р2 < 52 = ТО 1 ^ Р1 ^ ТО а2 > 0 £ € (0,1). Тогда

&

Г__1_ ¿1

Ш0,а2и,ё)Р1Оо < М Р2^0)а2+х(/^)р1р2у- (6)

02

Теорема 3 точна в том смысле, что существует функция /о(х1,х2), такая, что для нее в соотношении (6) знак < может быть заменен знаком х .

Вообще говоря, в неравенстве (6) не может быть заменен знак Оах . При Р2 > 1 неравенство (6) неверно.

Теорема 4. Пусть / € ¿Р1Р2, 1 < р2 < 52 = ТО 1 ^ Р1 ^ ТО £ € (0,1).

4.1. Тогда, если в2 > а2 > 0, то

1 &

^0,«2(/,£)Р1со < £"2 У г(а2+^Ч;/32+_а/,£)Р1Р2у + У Г^0;а2+_а/,£)Р1Р2у. (7)

& о

Утверждение 4.1 точно в том смысле, что существует функция /о(х1,х2), такая, что для нее в соотношении (7) знак <С может быть заменен знаком х .

4.2. Если а2 > 72 > 0, то

&

Г _ ¿1

^0,а2(/,£)Рьоо < М Р2^0;72 + х(/^)Р1Р2 —• (8)

Р2

Утверждение 4.2 точно в том смысле, что если в правой части неравенства (8) заменить 72 на «2, т0 полученное неравенство будет несправедливо. 4.3. Если а2 > 0, то

6

^0,а2(/) £)Р1,оо "С У £ Р2 (/, ¿)Р1Р2 ( 1п — ) -. (9)

о

Утверждение 4.3 точно в следующем смысле:

(а) для любой функции £(£), положительной, слабо колеблющейся на (0,1) и такой, что £(¿) = б^п!)1 р2 при £ —>■ 0, существует функция такая, что

¿1^3,5) = -- "0,а2(*3,а)Р1,оо--^ при

0 р2

(б) для любого £ > 0 существует функция F4(xi, Ж2), такая, что

Л <т? W°,a2 (F4 , ö)pi ,00 „ X , f\

А2{Г4,0) = —-:-—--> ОО При 0 —> 0.

I t~^uj0 +±+e(F4,t)plP2 (In f)f 0 р2

4. Доказательство теоремы 1. Для любого ö € (0,1) существует целое неотрицательное число и, такое, что 2-n-1 ^ ö < 2-n. Поэтому, учитывая свойство 3 частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, получаем

J = Wai,0(Л ö)qip2 < ^ДЛ 2-n)qip2 < ||/ - V2n,oo(/)Hqip2 +2-nai H^V^/)H?1 P2 = J1 + J2-Воспользовавшись сначала леммой 3, а затем леммой 4 и, наконец, леммой 2, имеем

оо

Jl <

£(^,оо(/) - V2„+l>00(/)) « £ 2^1 ||^,оо(/) - ^+1>00(/)||Р1Р2 «

qiP2 v=n

« £ 2"Р1 II/ - ^>00(/)||Р1Р2 + £ 2"Р1 II/ - ^+1>00(/)||Р1Р2 « £ 2г'г\ша1+±ои, -)Р1Р2.

р1 2

^=га ^=га ^=га

Применяя лемму 7, а затем лемму 2, приходим к неравенству

32 = 2-гаа1||<1С»0)(/)11,1Р2 « 2-гаа1||^2("1С^1'0)(/)11р1Р2 « + (/, ¿)Р!Р2-

Объединяя оценки для 71 и 72 и используя свойства частного модуля гладкости (лемма 1), имеем

J «Е < / í P1w«1 + x;0СМ)

v=n P1 0 P1

Р1Р2 £ !

0

тем самым неравенство (2) доказано.

Теперь рассмотрим функцию /о(ж1,Ж2) = sinЖ1 sinЖ2. Для каждого ¿ € (0,1) существует натуральное число т, такое, что < ¿ ^ Применяя свойства частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, для любого числа 7 > 0 и любых р € [1, 00], i = 1, 2, имеем w7;0(/0, ¿)pbp2 х w7)o(/o, - - Поэтому

6

f _ dt

ujaifi(f0,5)qiP2>i5ai и t piwai+j_;0(/o,í)pip2y - ¿ai.

0

Из справедливости последних соотношений следует, что для функции /0(ж1,Ж2) в соотношении (2) знак ^ может быть заменен знаком х .

Покажем, что, вообще говоря, в неравенстве (2) нельзя заменить знак Оа х . Рассмотрим функцию

fi(xi,x2) = cos - ^Г") 'Sin^2 =9i(x1) -sina^,

vi=0

где в1 > -1, a1 > 0. Как показано в [8, с. 90],

т ( 2\<®i т ( 2 \ ei+1

Так как wai;0(/1,¿)ооР2 = wai (g1,5)(¿) ■ || sinж2, T0) используя эти оценки, получим

S о

Таким образом, для функции /1(х1,х2) правая и левая части соотношения (2) имеют разные £,

знак < на х .

Покажем теперь, что неравенство (2) при Р1 > 1 неверно, т.е. не для всех функций / € ¿Р1Р2 справедливо утверждение

&

Г__1. М

Ша1)0(/,£)оор2 < М (10)

о

оо

Рассмотрим функцию /2(^1,^2) = <72(^1)-это^, где <72(^1) = Е -0013х^1-> если а1 Ф 21 + 1,

оо

и 52(^1) = Е -ЁН^р-; если сц =21 + 1.

к1 = 1 £;"1+11пР1 (к! + 1) Как показано в [8, с. 93],

i

/ 1 ч(1) (lnln(n + 3))"i .

Поскольку wai' o(/2,5)op2 = wai (g2, 5)^ ■ || sinж2^p^^, то, применяя эти оценки, получим

á

-1- , „ .ч dt /, , 3\ ¿г

pi'

r¿Wai+_L;0(/2,í)PbP2y (и)

o

W«bO(/2,£)oo;P2 »^(ln^)1 P1. (12)

Ввиду того, что правые части соотношений (11) и (12) имеют разные порядки как функции 5, из справедливости соотношений (11) и (12) следует, что для функции /2(ж1, ж2) соотношение (10) неверно, а это и означает, что соотношение (2) при p1 > 1 также неверно.

5. Доказательство теоремы 2. Полагая в лемме 12 fi^ = fi\ + = oí\ + получим

справедливость неравенства (3).

Теперь рассмотрим функцию /0(ж1,ж2) = sin ж1 sin ж2. Как показано при доказательстве теоремы 1, для любого числа 7 > 0 и любых р € [1, то], i = 1, 2, имеем w7, o(/o,5)pi, p2 х 5Y. Поэтому ' o(/o,5)op2 х 5ai,

á 1

/í"^ai+i)0(/0,í)pi^ x ^ It~{ai+^ujíii+^0(f0,t)pip2j x

o á

Из справедливости последних соотношений следует, что для функции /з(ж1,ж2) в соотношении (3) знак ^ может быть заменен знаком х .

Отметим, что при замене Д на ®1 в утверждении 2.1 для функции /з(ж1,ж2) в соотношении (3) нельзя заменить знак Оа х .

Докажем теперь утверждение 2.2.

Полагая в лемме 12 fi^ = fi^ = 71 + — и используя свойство 5 частного модуля гладкости (лемма 1), получаем

1 á

T = w«bo(/,á)oo,p2 -С 5ai Jt~{ai+~i]uJli+2.!0(f,t)PlP2j + jt~ñujli+2.!0(f,t)PlP2j = J1 + J2.

á o

Применяя свойство 4 частного модуля гладкости (лемма 1) и учитывая, что 71 < а, имеем

\ Ш11+— ,о(/> ^)piP2 , /7+ w +J_ 0(/, ¿)P1P2 ,, J = ¿«1 / P1' -^—(01—71) __ ^ "1' - / ^

У ¿ti+й t У ¿

I ±_ о(/, д)р1Р2 + -А. ,о(/' ^Р1Р2 Г Л/ Г ^ , 0(/, ¿)Р1Р2 Л « Р1 ,-« Р1 ,- / ^ « / Р1 ,-^ = 72.

Следовательно, 7 ^ 72, что и завершает доказательство соотношения (4)

Р1 Р2

Как показано при доказательстве теоремы 1, в случае р1 > 1 существует функция /0 € ЦР1Р2,

такая, что для нее несправедливо утверждение

6

Г__L сИ

^а1,0(/, ¿)те,р2

01

Это означает, что при замене 71 на а в неравенстве (4) полученное неравенство будет неверно. Докажем, наконец, утверждение 2.3.

Для любого ¿ € (0,1) существует целое неотрицательное число и, такое, что 2—п—1 ^ ¿ < 2" Поэтому в силу свойства 3 частного модуля гладкости (лемма 1) и леммы 2 имеем

7 = ¿)те,р2 ^ ^^^ 2 П)те,р2 ^

« ||/ - ^2п;СО(/)||те ,р2 + 2—Па1 ||^(а>1о;0)(/)Уте ,Р2 = 7 + ^

Применяя сначала лемму 3, а затем лемму 4, получаем

оо оо

л « - ^+1;СО(/)) « е2^||у2,;СО(/) - ^+1;СО(/)цР1Р2«

£=П те,р2 £=П

СЮ сю

«Е2%1 II/ - ^,оо(/)||Р1Р2 + Е2%1 II/ - ^+1,со(/)||Р1Р2-

£=п

На основании леммы 2 заключаем, что

оо

1

V=п

оо оо

Теперь оценим 72. Пусть а(/,жьж2)= £ £ А£1£2(/,ж1,ж2). Тогда

£2 = 1 £1 = 1

оо оо

(т(/(аь0), ЖЬЖ2)= Е Е [сой (/, Жь ®2) - ЙШ Ж1, Ж2)] =

£''2 = 1 £1 = 1

ОО оо

^ Е Е^ (/(а1'0),Ж1,Ж2), £2 = 1 £1 = 1

где В£1£2 (ж1, Ж2) есть функция, сопряженная к функции А£1£2 (ж1, Ж2) по перемен ной Ж1;

^ оо оо (СХ\ Н__

о-(/(а1+й'0),ж!,Ж2)= Е Е [СО!3-—

£2 = 1 £1 = 1

£2 = 1 £1 = 1

Обозначим через Р1'°\х1, х2) функцию, такую, что

тете 1

£2 = 1 £1 = 1

Е Е [cos^-AvlV2(f,xi,x2) - Sin^-Bviv2(f,xi,x2)

Тогда

2

V2 = 1 V1 = 1

V1 P1 •

oo 2n+1-1

^(V^noo(/,Ж1,Ж2))= E E Avi AviV2 (/,Х1,Ж2), V2 = 1 vi = 1

, . oo 2n+1-1

^(^^0)(/,Ж1,Ж2))^ E Av1 Av1V2 (/(а1'0),Ж1,Ж2),

V2 = 1 V1 = 1

£2 = 1 £1 = 1

*(«! + —,0) оо 2п+1-1 о")

£2=1 £1 = 1

где

. = Г 1, если 1 ^ ^ 2П; 1/1 ~ \ 2 - ^г, если 2га + 1 ^ г/1 ^ 2га+1 - 1.

Зафиксируем Ж2 = ж20) и обозначим

У2(па1)(Ж1)(1) = 4^0)(жЬЖ20)),

2

V2n (ж1)(1) = (ж1 ,Ж2 >

Можно проверить, что

= ^ (13)

2Р1 2Р1

где — функция, сопряженная к функции У2п Р1 (ж!)1-1) по переменной х\.

Легко проверить также, что

2п

Xl)W = J y*!ai+^\t)WK2n(Xl-t)dt,

_ 2n+1-l _j_

где K2n(t) = E A4 P1 cos fit. Применяя неравенство Гёльдера (лемма 8), получим м=1

И^ОпЯИ« < К^'ытм . ит^иw ± + ± = 1. (14)

p1 p1

В силу леммы 10 имеем

-2п+1-1 ч -А. /2п+1-1

^=1 ^=1

Используя соотношение (13), а затем лемму 11, заключаем, что

Подставляя эти оценки в неравенство (14), получаем

НФ^ЯН^ « (n + ljV^W1'«?- (15)

Соотношение (15) справедливо для почти всех х2. Поэтому, применяя сначала неравенство (15), а затем лемму 2, имеем

2тг j_

Р2

J2 =2-nai j|V2Sai¿,)C/)Ноо ,p2 = 2~nai{ / 11| Vi™5, «o^ (/, ж1, ж2) 11 оо |p2 ¿жП Р2 «

. Д- («1+— ,0) „j_ . .Д. 1

« 2"«^ (п + 1) ||V¿,>00 (/)||Р1Р2 « 2^ (п + 1) WQ1+JL>0(/, —)P1P2.

Таким образом,

1 -1 оо 1 _±_ 1 _ 1 1

J < 2гай (n + 1) wai+_L;0(/, — )Р1Р2 + £ 2vñuai+±t0(f, — )Р1Р2.

Так как

pi V m pip2 v=m+1 Pi 4 piP2

оо

-L-l

Л Л 1

« £ „Р1- (ln^)pi Uai+iJf,~

v=m+1 i V 7 piP2

то, используя свойства частного модуля гладкости (лемма 1), получаем

<5 1

/■ --L ,, ч Л 2ий з < У * ^ у,

и тем самым неравенство (5) доказано.

Теперь докажем точность утверждения 2.3.

(а) Рассмотрим функцию ^1(х1 ,х2) = /1(х1)в1п х2, где

оо ,

cos кж

h(xi) = fcai+11' если «i + 1, í GN;

fc=1

оо . ,

, , . v^ sin кж1

/l(®l) = Z^ fcai + 1 ' еСЛИ ai = 21 + 1' 1 G N-fc=1

Пусть £(ж1) — функция положительная, слабо колеблющаяся на (0,1) и такая, что

/ 2\1_57 aXl) = 5{lU~1)

при ж1 ^ 0. В [8, § 4.4] доказано, что

^(/i-t)™«*)? 1

Ja i + -

o p

Так как

Ai(F ¿) = -^bo(^i^)oo,P2-= -uai(f5)^-= ^

O i ,«1 en ,

ft-nu^+^Fut^mf ¡t-^uj^ih^mf 0 pl 0 pl

, i-

1

fin pi

то Ai(Fi, á) » -—-, откуда следует, что A\{F\, ó) —> оо при ó —> 0 .

v=n

оо

(б) Рассмотрим функцию ^2(ж1,ж2) = /2(^1) sina^, где /2(^1) = Е u°l+i+s 1 «1 > 0, а\+е ф 21+1,

k=1

l € N. В [8, § 4.4] доказано, что

А2СМ) = i-ШаЛЬМ)-» тт^т-

(mD^-f 1П ■'

0 pi

Так как A2(F2, ó) = А2(/2, S), то A2(F2, ó) » &s 1 ± , откуда следует, что A2(F2, ó) —> 00 при ó —> 0.

s

Теперь покажем, что правые части неравенств (4) и (5) несравнимы при <71 < а\. Обозначим

<5 г 11 [__i_ dt г__i_ / 2\ ñíií

Bi{F,5) = Jt piw7i+_L;o(/,í)pip2y) B2{F,5)= Jt piwai+_L)0(/,í)PlP2í ln -j j.

0 0

Рассмотрим функцию F3(x1,x2) = /з(ж1)/з(ж2), где /з(А) = sint. В f8, § 4.4] доказано, что при а i ^ Bi (f3,6) 1

-f < 71 < «i имеем х ¿ai-71 ln|, где

*lCM) = I B2(fs,6) = I t-nuai+±(fs,t)$> (ln|) P1 J.

0 0

Так как £1(^,5) = ВДз,5)||/з||P2}, £2(^,5) = ВДз,5)||/з, то

Bi(F3,ó) 1

откуда следует, что

___ оо при ¿ 0. (16)

Рассмотрим функцию Т4(ж1,ж2) = /4(ж1)/з(ж2), где функция /4(t) такова, что

^(/^-(n + l)"^-«. В [8, § 4.4] доказано, что при < 71 < ai имеем ^[^¿j ^ О11!)1 P1 > гДе

<5 <5

Bi(U,ó) = 1t~ п w7l+j_ (/4, у, 52(/4,¿) = I (ln|) P1 у.

Так как ßi(F4,5) = ВД^ЭНЖ, 52(F4,5) = Я2(/4,¿)||/Ж, то gjgg х (Inf)1 pi , откуда

то при 5 ^ 0. (17)

получаем, что

В2(Р4,6)

Из справедливости соотношений (16) и (17) следует, что правые части неравенств (4) и (5) несравнимы.

Теоремы 3 и 4 доказываются аналогично теоремам 1 и 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 19-01-00457) .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Потапов М.К., Симонов Б.В. Оценки смешанных модулей гладкости в метриках Lq через смешанные модули гладкости в метрике Li // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 2. 12-26.

2. Потапов М.К., Симонов Б. В. Связь между смешанными модулями гладкости в метриках Lp и L^ // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 3. 21-35.

Li L

Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 1. 16-24.

4. Potapov М.К., Simonov В. V. Analogues of Ulyanov inequalities for mixed moduli of smoothness // Methods of Fourier analysis and approximation theory. Applied and numerical harmonic analysis. Basel: Birkhäuser-Verlag, Switzerland, 2016. 161-179.

5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.

7. Потапов М.К., Симонов Б.В. Свойства частного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике // Современные проблемы математики и механики. Тр. мех.-мат. ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова. Т. X. Математика. Вып. 1. К 60-летию семинара "Тригонометрические и ортогональные ряды". М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2014. 58-71.

8. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Дробные модули гладкости: Учебное пособие. М.: МАКС Пресс, 2016.

9. Потапов М.К., Симонов Б.В. Неравенства разных метрик для тригонометрических полиномов // Изв. вузов. Математика. 2019. № 1. 1-14.

10. Унинский А.П. Неравенства в смешанной метрике для тригонометрических полиномов и целых функций конечной степени // Мат-лы Всесоюз. симп. по теоремам вложения. Баку, 1966. 212-213.

11. Бари П.К. Тригонометрические ряды. М.: Изд-во физ-мат. литературы, 1961.

Поступила в редакцию 09.01.2019

УДК 519.21

НОВЫЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНЫХ МАКСИМУМОВ

ПРИЗНАКОВ ЧАСТИЦ В ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССАХ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

А. В. Карпенко1

Изучаются двумерные максимумы признаков частиц в бессмертных ветвящихся процессах с непрерывным временем. Найдено предельное распределение для максимумов двух признаков в два момента времени. Получены предельные интенсивности скачков максимумов вверх и вниз совместно для обоих признаков или хотя бы для одного признака. В случае независимых признаков вычислены средние числа совместных скачков максимумов вверх и вниз за все время. Результаты проиллюстрированы примерами.

Ключевые слова: многомерные распределения, экстремумы, копулы, ветвящиеся процессы.

Bivariate maxima of particle scores in immortal branching processes with continuous time are studied. The limit distribution for a maximum of two scores at two points in time is found. The limit intensities of the up and down jumps of the maximum for both scores or at least one score are obtained. In the case of independent scores, mean total numbers of joint maxima jumps up and down are calculated. Results are illustrated by examples.

Key words: multivariate distributions, extreme values, copulas, branching processes.

1. Введение. Интересным направлением междисциплинарных исследований на стыке теории экстремумов и теории ветвящихся процессов является изучение максимумов случайных признаков частиц в ветвящихся процессах (по поколениям или за все время). Отметим фундаментальные в этой

1 Карпенко Анна Валерьевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karpenki9Qyandex.ru. Karpenko Anna Valer'evna — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.