CC BY
6Оценим точность, с которой угп(х~,е) приближают ^ i~i у(х~, е). Для каждого п € No, г € 1,ш, и
е € (0, во] имеем (см. (55), (11) и (54))
II У(Х] е) - Угп(х-, в) || = II У(Х] е) - е1^ (х/е) - е2^ е) || = х
х \\£^т z(x/e-, е) -z%n{x/e\ е)|| < е2~г ||<р(х/е;е) - ipn(x/s;s)\\Сгп[о,х] < С0е2~г (j0e/e0)n.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1967.
2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Курс высшей математики и математической физики. М.: Наука. Физматлит, 1998.
3. Копачевский //., /.. Смолич В.П. Введение в асимптотические методы: Специальный курс лекций. Симферополь: Таврич. нац. ун-т, 2009.
4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1973.
5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений: Актуальные вопросы прикладной и вычислительной математики. М.: Высшая школа, 1990.
6. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа: Университетский учебник. Сер. Прикладная математика и информатика. М.: 1111 "Академия", 2007.
7. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. II. Дальнейшее построение теории. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1968.
Поступила в редакцию 01.02.2017
УДК 517.5
ОЦЕНКИ СМЕШАННЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКАХ Lq ЧЕРЕЗ СМЕШАННЫЕ МОДУЛИ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКЕ Ьг
М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2
В работе выясняется взаимосвязь между смешанными модулями гладкости дробных порядков, рассматриваемыми в метриках L\ и Lq.
Ключевые слова: неравенство, метрика, смешанный модуль гладкости дробного порядка.
Interrelations between mixed fractional moduli of smoothness considered in metrics of L\ and Lq are studied in the paper.
Key words: inequality, metrics, mixed fractional moduli of smoothness.
Оценки модулей гладкости в одной метрике через модули гладкости в другой метрике используются при изучении теорем вложения разных классов функций и в ряде других вопросов. После введения С.М. Никольским [1] и Н.С. Бахваловым [2] классов функций с доминирующей смешанной гладкостью актуальными стали такие оценки для смешанных модулей гладкости. В настоящей работе приведены некоторые из таких оценок.
1. Основные результаты. Введем следующие обозначения:
1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.
2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.
Lp, 1 ^ р ^ оо, — множество измеримых функций двух переменных f(x 1,^2), 2-/г-периодических
1
/ 2тг 2тг \ р
по каждому переменному, таких, что ||/||р < оо, где ||/||р = ( / / \f(xi,x2)\pdxidx2 ) , если
\о о /
1 ^ р < оо; ||/||р = supvrai \f(xi,X2)\, если р = оо;
0siiKisi27r 0sCiK2sC27r
2тг 2тг
Lp — множество функций / € Lp, таких, что J f(x\,x2)dx\ = 0 для п.в. Х2 и f f(x\,x2)dx2 = 0
о о
ДЛЯ П.В. Х\]
— разность с шагом h\ положительного порядка а\ по переменной х\ функции / € Lp,
00
т.е. А?1 (/) = £ (-1)гУ1("11)/(ж1 + (ai ~ ^1)^1^2), где (") = 1 для v = 0, (") = а для v = 1,
vi=0
{„) = -—¡J- ДЛЯ V ^ 2;
— разность с шагом Л-2 положительного порядка СК2 по переменной Х2 функции / € Lp,
00
т.е. А«2(/)= £ (-1)^(°2)/(ж1,Ж2 + (а2 -I/2)^2);
^2=0
^аьа2(/, — смешанный модуль гладкости положительных порядков cki и соответствен-
но по переменным х\ и Ж2 функции / € Lp, т.е.
= sup ||A^(A£22(/))||P; 1/1*1^,1=1,2
[а] — целая часть числа а. Для неотрицательных функционалов F(f, ¿1, 82) и G(f, ¿1, 82) будем писать F(f, ¿1, 82) <С G(f, ¿1, 82), если существует положительная постоянная С, не зависящая от f,8\ и 82, такая, что F(f, 61,62) ^ CG(f, 61,62). Если одновременно F(f, 61,62) -С G(/, 61,62) и G(/, 61,62) -С F(f ,61,62), то будем писать F(/, ¿1, ¿2) - С(/, ¿1, 62).
В работе [3] доказаны следующие теоремы 1-3.
Теорема 1. Пусть / € 1 = р < д = 00, сц > 0, 8i € (0,1), i = 1, 2. Тогда
w,
¿1 ¿2
dti dt2
"1,"2 (/А> < I /(¿1^2) 1WQ:i + l,Q;2 + l(/!il!i2)l —— • (1)
¿1 ¿2
о о
Теорема 1 точна в том смысле, что существует функция /о € такая, что для нее в соотношении (1) вместо знака <С можно поставить знак ж: .
Теорема 2. Пусть / € Ь®, 1 = р < д < оо, щ > 7г > 0, 81 € (0,1), г = 1, 2. Тогда
-о Jrpi
¿1 ¿2
о о
Теорема 2 точна в том смысле, что если заменить в соотношении (2) хотя бы одно на щ, то полученное соотношение будет неверным.
Теорема 3. Пусть / € 1 = р < д < оо, щ > 0,81 € (0,1), г = 1, 2. Тогда
¿1 ¿2
о о
Теорема 3 точна в следующем смысле:
1) для любых функций ¿¡¿(¿г), положительных, слабо колеблющихся на (0,1) и таких, что = о ^ (г = 1,2), существует функция Т\(Ж1,Ж2) € Ь®, такая, что
^,^¿2) = —-^^1,81,82),--^
0 0 4 4
при ¿1 0 и ¿2 0; 7 ВМУ, математика, механика, №2
2) для любых ег > 0, г = 1,2, существует функция ^2(^1,^2) € Ь®, такая, что
(Р2,5ъ52)д
А2(Р2,51,52) = -Г1- " " ^--> оо
(/} т2г1+^а1+1_,+£иа2+1+£2 (г2, * ь ¿2)1]91п £ 1п | ^ ^) *
0 0 ч Р
при ¿1 О И ¿2 -> 0.
В настоящей работе доказываются теоремы 4 и 5, дополняющие теоремы 2 и 3. Теорема 4. Пусть / € Ь®, 1 = р < д < оо, а\ > 0, а2 > 72 > 0, Ьг € (0,1), г = 1, 2. Тогда
¿1 ¿2
иаьаД/ЛЛ), « ( I I [(М2)-1+^а1 + 1_1;72 + 1_1(/, ¿1^2)1]" 1П (3)
о о
Теорема 4 точна в следующем смысле:
1) для любой функции ^(¿1), положительной, слабо колеблющейся на (0,1) и такой, что ^1(^1) = о ^, существует функция Рз(х\,х2) € Щ, такая, что
А^зЛЛ) =-^ьо^зЛЛ),-г ^ ^
\ о о 4 4 4 7 /
для любого фиксированного ¿2 и ^ 0;
2) для любого е\ > 0 существует функция Р^(х\,х2) € Ь®, такая, что
= -"аьо^ЛЛЬ-г ^ ^
/ ((¿1^)-1+^а1+1_1+£ь72+1_1 и, ¿2)1)" 1п | ^ ^ )9
для любого фиксированного ¿2 и ^ 0;
3) если в соотношении (3) заменить 72 на а2, то полученное соотношение будет неверным. Теорема 5. Пусть / € Ь®, 1 = р < д < оо, а\ > 71 > 0, а2 > 0, Ьг € (0,1), ¿ = 1,2. Тогда
¿1 ¿2 1
^ь«2(/ЛЛ)д<< (/ I (4)
о о
Теорема 5 точна в следующем смысле:
1) для любой функции £2(^2)) положительной, слабо колеблющейся на (0,1) и такой, что £2(^2) = б ^, существует функция Тб(ж1,Ж2) € такая, что
А^бЛЛ) = -^Ь^бЛЛ),-г ^ ^
для любого фиксированного ¿1 и 52 —,► 0;
2) для любого £2 > 0 существует функция Рт(х\,х2) € такая, что
А^ЛЛ) = -^(^ЛЛ),-^ ^ ^
для любого фиксированного ¿1 и 52 —,► 0;
3) если в соотношении (4) заменить 71 на ск1, то полученное соотношение будет неверным.
2. Вспомогательные результаты. Введем следующие обозначения:
УП1оо(/), УооП2(/), УП1П2(/),щ € N и {0}(г = 1, 2), — суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции / еЬр, т.е.
2тг 2тг
УП1СО(Л = 11/(Ж! + х2)У£1(Ь)<И1, Уооти) = ^ 1¡(хъх2+12)У^(12)М2,
2тг 2тг
о о
где ад = Д,(*), О*) = !(£„(*) + ... + п € Ж, ад = А; € N и {0};
Ут1гГП2(/)р — наилучшее приближение углом функции / € Ьр, т.е.
~¥гп1,гп2 (/)р — ^^ II/ Т00^т2 7т1;00||р,
где Тт1;00(ж1, ж2) — функция, являющаяся тригонометрическим полиномом порядка не выше т1(т1 € N и {0}) по переменной х\ и такая, что Тт1>00 € Тр;
Тоо,т2(ж1) х2) — функция, являющаяся тригонометрическим полиномом порядка не выше т2(т2 € N и {0}) по переменной х2 и такая, что Т00>т2 € Ьр;
/(р1ур2)(х\,х2) — интеграл в смысле Вейля функции ¡(х\,х2) € Ьр порядка р\ ^ 0 по переменной Х\ и порядка р2 ^ 0 по переменной х2 ( см. [4, с. 238]);
/(р1'р2\х\,х2) — производная в смысле Вейля функции /(х\,х2) € Ьр порядка р\ ^ 0 по переменной х\ и порядка р2 ^ 0 по переменной ж2 ( см. [4, с. 238]). Лемма 1 [5, с. 15, теорема 5.1; 6,
теорема 4.1; 3, с. 133, теорема 6.4.1]. Пусть / € Ь®, 1 ^ д ^
оо,Пг € N и {0}, ¿ = 1,2. Тогда
^ = (7, X ||/ - У2п 1)СО(/) - Уоо^г (/) + ^2«1>2»2(/)||9 +
+ - ^°о,2»2(/))||9 + - ^2»1,оо(/))||9 +
I__\_ II т/(«Ъ«2) / г\ II _ т I п-П1«1 Г 19—П2012Т I о—П!«!—Г12«2 Г
+ 2К«1+"2«2) II 2П1>2П2 1 + 2+ 3+ 4"
Лемма 2 [7; 3, с. 121, лемма 6.1.1, с. 122, лемма 6.1.2]. Пусть / € Ьр, {0};
г = 1,2. Тогда
(а) II/ ~~ К«1,оо(/) — Ъоо,т2(/) + Кт11,т2(/)||р ^ Ут1,т2(Лр!
(б) ||Кп1;СО(/)||р « ||/||р; (в) ЦУоо^ШЦр « ||/||р.
Лемма 3 [7, 8]. Пусть / € Тр, 1 ^ р < д ^ оо, <?* = д, если д < оо; д* = 1, если д = оо, щ €Ми{0}, г = 1,2. Тогда
СЮ СЮ , ч 1
г^1=га1 1>2=П2
Лемма 4 [5; 6, теорема 6.1; 3, с. 136, теорема 6.6.1]. Пусть / € Ьр, д € Ьр, 1 ^ р ^ оо; с^ > 0; т, €Ми{0}, г = 1,2. Тогда
(а) Шаиа2(/, ¿1, 0)р = Шаиа2(/, 0, ¿2)р = Шаиа2(/, 0, 0)р = 0;
(б) Шаьа2(/ + д,$1,$2)р < шаьа2(/, ¿1, ¿г)р + ¿1, ¿2)р;
(в) шаъа2(1',51,52)р < шаъа2и\Ь,Ь)р, если 0 ^ 5í ^и г = 1,2]
(г) <<; еслм о < ^ < ^ < 1, г = 1,2;
(д) ш«ь«2(/, Л 1^1,Л2й2)р < (А1 + 1)а1 (Л2 + 1)а2шаьа2(/,^1,й2)р, если А» > 0; г = 1,2;
(е) ^тьт2 "С Шаьо,2 (/, т1+1, т2+1)р-
8 ВМУ, математика, механика, №2
3. Вспомогательные результаты для функции одного переменного. Введем следующие обозначения:
Lp~\ 1 ^ р ^ оо, — множество 2-/г-периодических измеримых функций одной переменной /(ж),
2п X
для которых 11/Ц^ < оо, где Ц/Цр1^ = ( f \ f(x)\pdxy < оо, если 1 ^ р < оо; Ц/Цр1^ = sup vrai | /(ж) |,
^o ' Osîîks^tt
если p = oo;
Vn1\f), kGNU {0}, — суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции / € т.е.
2тг
= l J f(x + t)V2n(t)dt;
En(f)^ — наилучшее приближение функции / € L« при помощи тригонометрических полиномов Тп(х) порядка не выше п(п € N U {0}) в метрике т.е.
En{f)^ =\ni\\f
-С п
ша(/) — модуль гладкости положительного порядка а функции / € Lp~\ т.е. uja(f,5)^ =
СП 00
sup ||А^(/)||р , где A £(/) = £ (-1 TOf(x + (а - u)h);
|/i|sC<S v=0
f(p)(x) — интеграл в смысле Вейля порядка р ^ 0 функции /(ж) € (см. [9, т. 2, с. 201]); f(p)(x) — производная в смысле Вейля порядка р ^ 0 функции /(ж) € (см. [9, т. 2, с. 201).
га га
Лемма 5 [9, с. 657]. Пусть Тп(х) = £ akcoskx (или Тп(х) = £ (iksmkx) — тригонометри-
к= 1 к= 1 ческий полипом порядка не выше n (n G N), 1 < р < оо, flfc+i ^ (ik для любого k G N. Тогда
/га \ VP
Лемма 6. Пусть Тп( х) = £ (am cos тж + &msin?ra); l=p<g<oo;n€N. Тогда
т=1
ll^ii« «în^n + i)!!^1""^/)!!«. Доказательство. Ясно, что
2тт
Тп(х) = (т!!~^ (х) = i- f T^~lq\t)kn(x-t)dt,
(1-i)
о
га га
где fcra(i) = 2cosf(l - J) £ +2sinf(l - J) £ ^т (см. [10, т. II, с. 201]).
m= 1 "i <? m=l "i <?
Применяя обобщенное неравенство Минковского, получим ЦТ^Цд1^ ^ ||Тп • H^nll«- Так как
га , га
, ,,m И v^ cos mt м v-^ &ш
trail« « Е ^ГГ „ + £ ~
т=1 m 1
(!) || sin mi
_ 1
q " m= 1 ГП1 1
(1)
i
Q
то, применяя лемму 5, имеем
га irai
им?* « (£(V(l4))^-2)' = (Е^у «^(n + i).
Следовательно, <С In» (п + 1)||Т^ g\/)||i1'>-
Лемма 7 [3, с. 30, лемма 2.3.1]. Пусть / € Лр\ 1<р<оо,пеМи {0}. Тогда (а) НК^ШН^ « (б) II/ - К^ШН^ « ВД)^-
Лемма 8 [11, с. 121, теорема 4, формула (4.2)]. Пусть / € 1^р<д<оо, пбМи {0}.
Тогда
i
оо
Лемма 9 [12]. Пусть Тп(х) = iak cos kx+Ък sin кх) — тригонометрический полипом порядка
k= i
пе выше п (n € N), 1 ^ р ^ оо, а: > 0. Тогда справедливы, неравенства
(а) ЦД^ГпЦ^ < п-а\\Т{"]\\{р] для любого h : 0 < \h\ <
(б) ЦТ^Ц^ « nlASTj^; (в) ЦТ^Ц^ « n^Tj«.
п
Лемма 10 [13, с. 115, 116; 3, с. 31, лемма 2.3.2]. Пусть / € 1 < Р < оо; а > 0, п € NU {0}. Тогда
\\v£Uf) - vg\mp «2-na\\(v£Uf))la) -
Лемма 11 [9, с. 653]. Пусть последовательность чисел {сп} такова, что сп > 0 для, любого п € N и сп —> 0 при п —> оо. Тогда, существует последовательность чисел {ап}, такая, что ап ^ сп, ап — 2ап+\ + ап+2 ^ 0 для п € N и ап —> 0 при п —> оо.
Лемма 12 [3, п. (а), с. 105, п. (б), с. 106, п. (в), с. 106, п. (г), с. 101, п. (д) с. 107, 108]. Пусть 1 < q < оо, 5 € (0,1).
(а) Пусть а\ > 0; — положительная функция, слабо колеблющаяся на (0,1) и такая,
(«1+1--) 00
что {\{х) = о (in при х —> 0. Пусть функция fi(x) такова, что f1 4 (х) = o-kcoskx, где
k= 1
fií-) —
посл,едова,т,ел,ьност,ь {а^} удовлетворяет условиям леммы 11 для ск = (щ^фуу)29- Тогда,
о 4
(б) Пусть /г(ж) = sin ж. Тогда, При (12 > 72 > 0
A2(f2,5) = —--_ ¿a2_72.
о q
при ai > 0, «2 > 0,7i > 0,72 > 0
¿ i
о
s
D2(f2,S) = (I (r^^.iC/a.í)«)^)^^,
o
s
,dts 1
Di(h,6) = ( j (Г^^^ЛУ^У o
s
Mf2,S) = ( / Infl)^^(lnf)«.
(аз-|-1_!-|-е) оо
(в) Пусть е > 0, аз > 0, функция /з(ж) такова, что /3 4 (х) = £ аксо$кх, где последо-
к=1
вательность {ак} удовлетворяет условиям леммы 11 для ск = Г ^ 4. Тогда
А ({ __ ^ _1
Аз(/з,о) = —-г »-9 1 •
. п С/о ¿£(1п|)"
(а1 + 1-1)
(1(г1+^аз+1_1+£(/3 ЛУ^у
V 0 7
(г) Пусть а > 0, функция /¿(х) такова,, что /4 9 (х) = £ аксо$кх, где последователь-
к=1
ность {ак} удовлетворяет условиям, леммы 11 для, ск = ( щ^+ту)д- Тогда,
(1) — —+1 — -
(д) Пусть СК1 > 71 > > 0, функция /5(ж) такова, что ^(/5)1 х (71 + 1) 2 ^ . Тогда
I Лч 1 „1
А СМ) = ( У +
о
г
Д1СМ) = ( / )' х
Лемма 13 [14]. (а) Пусть ак ^ 0; Ьк ^ 0; £ ак = 7гаОга- Тогда, если 1 ^ р < оо, то
к=1
оо оо оо
\Р
А;=1 га=А; А;=1
(б) Пусть ак ^ 0, Ьк ^ 0, £ ак = /Зпа>п- Тогда, если 1 ^ р < оо, то
к=п
оо к оо
£ ак ( ^ 6„)Р < ^ ак(Ьк/Зк)р.
к= 1 п=1
4. Доказательство теоремы 4. Для каждого ^ € (0,1) существует натуральное число Пг, такое, что ^ ^ < ' ^ = Тогда на основании свойства (в) леммы 4 имеем 7 =
ад*1,а:2 (/) ) ^ ^«1,02 (/> 2™Т> 2™2")д •
Применяя лемму 1, получаем 7 < 2"га1"1-га2«2 Ц^р^/) + ЦУ^^И - (/))||д +
2_„2«2 ||^О;«22)(/ _ У2П1>оо(/))Ц9 + ц; _ у2„1;СО(/) _ ^^ (/) + у2И1;2„2 (/)||9 = ^ + ]2 + +
Сначала оценим Обозначим = гр, тогда =
Рассмотрим функцию для почти всех х2 как функцию только Х\ и обозначим ее ^1(^1).
Применяя лемму 6, находим
уф^Ы)!!« « (щ + ^Ы)!!^-
Тогда
А1 = иФйти, = = ( I ((I \у^тчхХЛчйх
2тг 2тг 1
т:\я . \ Я
> > V =
о о
2тг 2тг
о о
2тг 2тг
" (П1 + 1)« /
О О
В силу неравенства Минковского имеем
2тг 2тг
¿1 « (П1 + !)"/(/ I''0)(ф22 (/))№) * ^. (5)
о о
Так как "'0)(У®^(/)) = Ч'°\Л), то, обозначив = г], рассмот-
рим функцию Г)(х1,х2) для почти всех Ж1 как функцию только х2 и обозначим ее щ{х2)- Оценим
{{У^Ы^М? ■
Обозначим у(ж2) = У2п2\г/2(х2))■ Так как / € Ь®, то ^"^(^(жг)) = 0 = ^ (<£>). Поэтому,
применяя лемму 7, имеем 1\ = ||^2^2^(?72(ж2))||^ = — "С -Е'о((^)д1'>-
Используя лемму 8, получаем <С £ 2гУ(-1_. Так как у? — тригонометрический
полином порядка не выше 2га2+1 — 1, то Е?»= 0 для г/ ^ п2 + 1. Так как Ур"-!]^) есть тригонометрический полином порядка не выше 2^ — 1, то для 0 ^ V ^ п2 имеем
Ег-^ф)? « у - У^%(т)\\{1) = \\У^\т) - У^ШИ?■
я
. Так как
Поэтому II « £ ч'4 II- У^ЦтЖ 1/=0 1 1 1
П2
4"2)ы - = Е(4а2)ы - ^ы),
то, применяя свойства нормы, заключаем, что
П2
- ||4"2)ы - у^ши? « Е \\У£2)Ы -
Используя лемму 9 (в), а затем лемму 10, получаем
Т12 П2
712+1 1 < 11 ъ
Но тогда
д I
А« (±2^ Ге^2"72"1^!!^]1"^^)!!^) V-
10 ВМУ, математика, механика, № 2
Применяя лемму 13 (полагая аи = ч\ если и = 0,1,... , п2, и аи = 0, если и = п2 + 1, ■ ■ ■,
= 2м(-а2_72_1+9-)||^Г-!] <г\г?2)||!1\ если /л = 0,1,... ,п2 + 1, и = 0, если ¡л = п2 + 2,.... ), имеем
/П2 + 1
71 < £ ^2{а2~12-{1 V г^=0
га2
4^=0
Д72 + 1-^)
Применяя лемму 7, (а), получаем
' (72 + 1-1).
и=0
'Ч
<
<<2п2(«2-72)||^2+ ^(Г,2(Х2))\\{1).
Таким образом,
2тт 2тг
Л = 2-га1а1-га2а2||4а11р2)(/)11, = I ((| (фр^/)
В силу неравенства (5) имеем
о о
ч \ о\9
(¿Ж1
л < 2-П1а1-П2а2{т + 1)?
2тг / 2тг
0 \0 2тг / 2тг
= (щ + 1)«2
— П\СХ\—Г12<У.2
0 \0
Применяя к внутреннему интегралу оценку (6), получаем
2тг 2тг
3\ < (П1 + 1)Ь-га1а1"га2а2 у 2т(-а2-^ у |УС
(0,72 + 1--) («1+1 —-,0) 2П2 9 (^ 9 (/))(Ж2)|ЙЖ2£гЖ1 =
о
2тг 2тг
= (т + 1уч2-П1а12-П2"'2! J |У2п1;2п2
о о
= («1 + 1)^2га1(1"9)2га2(1"9)2"га1(а1+1"")°"га2(72+1"")
ч'2~
2тг 2тг
^ Г Г ■ («1 + 1-^,72 + 1-^)
|У2
2П1,2П2
О О
Воспользововшись леммой 1, имеем
Л <(п1 + 1)Ьга1(1"«)2га2(Н)
Применяя лемму 4, (г), получаем
1_1 (/,^7,-^
^«1+1—^ ,72+1—^ ^^' 2га' 2га2 У1'
(6)
<
/ 1 1
2п1+1 2п2+1
1 1 \2П1+2 2п2 + 2
1
\ «
(vln-j<г ^1+1_1;72+1_1 (/, ¿1, ¿2)1
<
2п1+1 2п2+1
0 о
"1+7
1п
2 \
9 (И\ (¿¿2
7777
9 (¿¿1 (¿¿2 7777
<
1
\*
<
¿1 ¿2
<
(*1*2) 1+9 1)72+1_ 1 (/, ¿1, ¿2)1
¿1 ¿1 ¿2
ч0 0
Теперь оценим = 2 П1а1 Н^т?!1'^/— К>о,2п2 (/))||9- Обозначим = ■0. Рассмотрим
функцию ж2) для почти всех х\ как функцию только Ж2 и обозначим ее ^(жг)- Тогда, применяя
/2тг *
лемму 7, (б), находим А = I / ^(жг) - ^«г(02(ж2))|9йж2)9 < ^2™2 (02)д ■
v о 7
В силу леммы 8 имеем
ОО 1 оо 1
А« Е « Е 2
(7)
Ь>2=П2 Ь>2=П2
Тогда, применяя к внутреннему интегралу неравенство (7), получаем
2тг 2тг
О о
2тг
<
Е 2
"29(1-^)
(1)
\ -с1х 1 ] 9 =
2тг
2тг
Е 2
"29(1-^)
'г-^-!^)!!^ V)' = ( Е 2
'Ъ-У^ШШ
(1)
(1х\)4 =
2тг 2тг
Е 2
и2=п2
4
(аь0).
С?Ж2 ] (¿Ж1 ) 9 =
О О 2тг 2тг
Е2
^2=П2 о 5
Ввиду неравенства Минковского имеем
2тг 2тг
(«1,0) ,
\ д
(1X2 ЛХ\
А2«( Е 2
Ь>2=П2
д \ « йх\ (1X2
я\ 1
4 х ч
О О
(8)
Обозначим / — 21,2-1(1) = С- Рассмотрим функцию £(ж1,ж2) для почти всех Ж2 как функцию только Х\ и обозначим ее £1^1). Используя лемму 6, получаем
Н^&О*!))!!^ «(ш +1)« 11^7'* д/(6)Н7; = («1 +1)« / 1^7' * (9)
1„ («1+1-1),
2П1
|(1)
2тг
I Г. >1 + 1-1),
Применим к внутреннему интегралу в неравенстве (8) неравенство (9), тогда будем иметь
2тг 2тг
^Х'^и-Уоо ,2-2-1 (Я)
('1х\с1х2
(10)
Таким образом, используя неравенство (10), заключаем, что
2?Г 2тг
л л
^2=П2 0 0
(1х\(1х2
Ч\1 4 > ч
2тг 2тг
В силу леммы 1 имеем
^ 2гУ29(1-^)(щ + 1)(2
^2»ТТ^и-Уоо^МП)
1\Х ^ \ п
о О
оо ' У2=П2
Применяя лемму 4 (свойства (в) и (г)), получаем
1 1 2п1+1 2"2+1
^2 ="-2 1 1 2п1+2 2^2 + 2
9 2 Мг М2 \ д
ш---<С
¿1 ¿1 ¿2 '
¿1 &2
<
(*1*2) 1+^а1 + 1_1>72 + 1_1 (/, ¿1, ¿2)1
<?,_ 2 йи (и2\\ ¿1 ¿1 ¿2
1п- —— ]* =С.
О о
Теперь оценим = 2 га2а2 — ^™1,оо(/))||д- Обозначим У^'2П2(/) = '0- Рассмотрим
функцию 0(ж1,ж2) для почти всех х2 как функцию только Х\ и обозначим ее ф\{х\). Тогда, применяя
/2тг *
лемму 7, (б), имеем В = ( / \ф\{х{) — У2гч (гр1(х1))\дс1х1 )4 <С 001 •
^ о '
В силу леммы 8
оо 1 оо 1
Тогда, применяя к внутреннему интегралу неравенство (11), имеем
2тг 2тг
(11)
В1 = \\у£$и-Уп,ооШя =
0 0
2тг
« ( / (( Е ^Ш!!?^)'%1х2у =
VI =п 1
2тг
2тг
1(1)9,
К1)«,
2тг 2тг
Е 2
(о ,а2).
(IX1 ) I 4 =
О О 2тг 2тг
Е2
9
О О
Используя неравенство Минковского, получаем
2тг 2тг
Б, < ( £ 2
(0,«г)/
\ Я
йХ2 (1х 1
(12)
о о
Обозначим / — У2к1-1 оо(/) = С) рассмотрим функцию £(Ж1,Ж2) для почти всех Ж1 как функцию только Жг и обозначим ее Сг(ж2)- Оценим /3 = ((^^(^(жг))!!«-
Обозначим <^>(ж2) = Т^п^(С2(ж2))• Так как / € то ^"^((2^2)) = 0 = И) (<£>). Поэтому, применяя лемму 7, (б), имеем /3 = ((^^((г^г))И« = — -С -Е'о((^)д1'>•
В соответствии с леммой 8 получаем <С £ 2гУ(-1_.
Так как <£> — тригонометрический полином порядка не выше 2га2+1 — 1, то = 0 для
V ^ п-2 + 1- Ввиду того что (С2) есть тригонометрический полином порядка не выше 2^ — 1,
для 0 ^ V ^ имеем
г(а2)
(1)
г{а2),
т{а2)
|(1)
Поэтому 4 « Е 2К1"^[||4а22)(С2) - ^(Са)!!1!
г(«г)
I (1)
и=0
г(а2),
Так как У^'^) ~ У^Х^Съ) = £ (У^Х(2) ~ У^Х-^С2))? то, используя свойства нормы, за-
п2
г(а2)
(а2)
ключаем, что /4 ее (2) ~ У^цШХ « 2 Н^Сз) - уХХХАШ? ■
Применяя лемму 9, (в), а затем лемму 10, получаем
п2+1
« Е2
м(а2-72-1+1)||т/(72+1-1) (1)
(С2) II1
Но тогда /з « I £ 2"*1"?) ( \\У^ХХХ ^ ((2) Н^
п2
1-1) /712+1
„ г^=0
V
[2М
Применяя лемму 13 (полагая а^ = 2гУ<?(-1 ч\ если и = 0,1,... , 112, и аи = 0, если г/ = П2 + 1, ■ ■ ■, 1\ (72+1-1) цч
4 И^гм-1] 4 (Сг)!!! ) если Ц- = 0,1, • • •,П2 + 1, и Ь^ = 0, если ц = П2 + 2,...), имеем "-2 + 1
& = 2М«2-72-1 + 1)||Т/Ь + 1-д)
« Е2
^9(1 д ) 72 (1 д
'ч
га2
2("2-72)^9
и=0
2(:Г1"-,(б)и(11»
В силу леммы 7, (а) имеем
П2
/з <
—72)^9
и=0
2П2
(С2)||
(1)
К
я\1
4 > ч
<
^(СгЫ)!!^- (13)
Тогда, применяя к внутреннему интегралу в неравенстве (12) неравенство (13), находим
оо 2?г 2?г
« ( Е 2гУ19(1-^)( У 2га2("2"72) У |У212
Д72+1 ^((2)^2)1^2^1)')" =
г/1=П1
2тт
2тг
л л
^ ^ *?(1 ф) ^ / 2га2(«2"72) /
(0,72+1 — ^) /
' оо,2п2 (/ - ^1-1,оо(/))МЖ2ЙЖ1
Таким образом, используя неравенство (14), заключаем, что
2тг 2тг
г/1 =П1
о
2тг 2тг
^19(1-■|)2га29(1—/2_"-2(72+1—
Е 2
г/1=П1
Согласно лемме 1 будем иметь
оо
^ «( Е 2
У\=п\
к
(0,72+1-^)
оо,2п2
(/ - ^2-1-1 оо(/))1^2^1
0 0
Используя лемму 4 (свойства (в) и (г)), получаем
1 1
2-1 + 1 2п2 + 1
Л« Е
(М2) 1+9 1>72+1_ 1 (/, ¿1, ¿2)1
гу1=п-1_1__1
2-1 + 2 2п2 +2
¿1 ¿2
(Й2\ ^ ¿1 ¿2 V1
<
<
¿1 ¿1 ¿2 /
о о
СМ2) ^а1+1_1)72+1_1(/,¿1^2)1 Наконец, оценим В силу лемм 2, (а) и 3 имеем
(оо оо
Е Е 2К+гУ2)(1-")^1-1;2-2-1(/)1
У\=П\ Ь>2=П2
Применяя лемму 4 (свойства (е), (в) и (г)), получаем
оо оо
74« £ £ 2
=«4 и2=П2
Я ( Г __
«1 + 1-^,72 + 1-^ ^ ' 2^1 ' 2^2 ; 1
<
¿1 &2
<
(¿1*2) 1+^а1+1_1)72+1_1 (/,¿1^2)1
7717 1 <<с-
ч0 0
(14)
Итак, из оценок для <]\, <]2, </з и следует, что 3 <С С, и тем самым неравенство (3) доказано. Теперь докажем точность теоремы 4. Пусть /1 (ж), /г(ж), /зж), /4(ж) и /б(ж) есть функции, определенные в лемме 12.
1. Рассмотрим функцию Р^{х\,х2) = ¡2{х2). Так как ^1(^3, ¿1 А) = ^4-1 (/1 А) • А2(/2,52),
то, применяя лемму 12, (а) и (б), получаем
/ Ь -г \ ^
I 01 \ 2д Г«2-72
Ч1О1)-
откуда следует, что ^1(^3, ¿1, ¿2) оо при ¿1 —>■ 0 при любом фиксированном 52.
2. Рассмотрим функцию ^4(ж\,х2) = /3(^1) • }2{х2). Так как ^(^АА) = ^4з(/з, ¿1) • А2{}2, 52), то, применяя лемму 12, (в) и (б), получаем
А2№,5ъ52) »---г^2"72,
ЪЧНУ9
откуда следует, что ^2(^4, ¿1, 52) —>■ оо при ¿1 —>■ 0 при любом фиксированном 52.
3. Покажем теперь, что если в соотношении (3) заменить 72 на а2, то полученное соотношение не будет верным. Для этого покажем, что для любой функции f £ Ь®, где 1=р<д<оо, не существует такой положительной постоянной С, не зависящей от /А и 52, что справедливо неравенство
¿1 ¿2 0 0
Рассмотрим функцию ^(ж\,х2) = ¡2{х{) ■ ¡±{х2).
Так как = ша1}а2(Р5, 5\, 52)д = ша1(/2, ¿1)^ • ш«2(/4, 52)^\ то, применяя лемму 12, (б) и (г), получаем, что » ё^ё^2 ^1п1п д .
Так как ша +1_1 +1_ 1(^5, ¿2)1 = ыа1+1_1 (/2 А)!^ • иа9+1_1 (/4 А)^, то, применяя лемму
<?' <? ч ч
12, (б) и (г), получаем, что о о
Если бы существовала положительная постоянная С, не зависящая от ¿1 и 52, такая, что ^
1
С -^2, то для любого фиксированного ¿1 € (0,1) было бы справедливо неравенство Мп1п^|д <С
1
1п )4 . Однако это неравенство неверно при 52 —> 0. Тем самым показано, что в неравенстве (3) нельзя заменить 72 на а2.
Доказательство теоремы 5 аналогично доказательству теоремы 4. 5. Дополнения. 1. Докажем, что неравенства
¿1 ¿2
^ь„2(/АА)д« (11 [(^2)-1+^71+1_1)72+1_1(/,*1, Ь^у^-^У = ВДАА), (15) о о
¿1 ¿2
^^(/АА),«^ I [(М2)-1+^а1 + 1_1;72 + 1_1(/,*1^2)1]91п^^)^Б2(/,51,52) (16) о о
несравнимы при СК1 > 71 >
Рассмотрим функцию ^8(ж1,ж2) = }2{х{)}2{х2). Так как Б^^АА) = ¿М/г АЭ-^Ы/г А)) -62(^8 А А) = ^М/2, 6\)02а2, 52), то, применяя лемму 12, (б) при 71 < абудем иметь
-^-- —>■ оо при V 02 и 01 —У 0. (17;
ч
Теперь рассмотрим функцию 7*д(ж1, Жг) = /бСж^/гСжг). Так как £>1(^9, ¿1, ¿2) = £>1(/б, ¿О-С^/г, ¿2), В2(Р9, 61,62) = ^(¡5,^1)02^2,^2), то при а! > 71 > Щ- имеем
В^ММ) Л 2 и
( 2 >\«
( In — Jg —> 00 при V ¿2 и ¿1 -> 0. (18)
Б^эЛА) V 6г)
Из соотношений (17) и (18) следует, что правые части неравенств (15) и (16) несравнимы. В каждом конкретном случае более точные результаты можно получить, применяя теорему 2 или теорему 4.
2. Аналогично рассуждая, можно показать, что неравенства
¿1 ¿2 г
Waba2(/A,52)g < (У J [(tlt2) 1+^1+i_I;72+i_l(/,il,i2)l]^^)
о о
ч
¿1 &2 0 0
несравнимы при 0:2 > 72 > Яр.
В каждом конкретном случае более точные результаты можно получить, применяя теорему 2 или теорему 5.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 16-01-00350).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера // Сиб. матем. журн. 1963. 4, № 6. 1342-1364.
2. Бахвалов Н.С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. 7-16.
3. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Дробные модули гладкости. М.: Макс Пресс, 2016.
4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
5. Potapov М., Simonov В., Tikhonov S. Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < 00. A survey // Surv. Approxim. Theory. 2013. 8. 1-57.
6. Potapov M.K., Simonov B. V., Tikhonov S.Yu. Constructive characteristics of mixed moduli of smoothness of positive orders // Proc. 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (August 22-27, 2011). Vol. 2. Moscow: People's Friendship University of Russia, 2012. 314-325.
7. Потапов M.K. О приближении углом // Proc. Conf. Constructive Theory of Functions. Изд-во АН Венгрии, 1971. 371-399.
8. Потапов M.K. Вложение классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1974. 131. 199-210.
9. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1961.
10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.
11. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123), № 1. 104-131.
12. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. Prace Mat. 1976/77. 19, N 2. 389-400.
13. Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Теоремы вложения в конструктивной теории приближений // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 107-148.
14. Потапов М.К. Об одной теореме вложения // Mathematica. 1972. 14(37), N 1. 123-146.
Поступила в редакцию 22.06.2017
