Усиленное неравенство Ульянова для полных модулей гладкости функций из пространств со смешанной метрикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

8

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

Заметим следующий очевидный факт.

Предложение 16. Предположим, что отображение Хаусдорфа сохраняет расстояние между элементами некоторого всюду плотного подмножества M. Тогда отображение H изометрично.

Следствие 7. Если ограничение отображения H на множество конечных метрических пространств изометрично, то отображение Хаусдорфа изометрично на всем пространстве M.

Конечное метрическое пространство называется пространством общего положения, если все его ненулевые расстояния различны, а все неравенства треугольника - строгие.

Следствие 8. Если отображение Хаусдорфа сохраняет расстояние между пространствами общего положения, то отображение H — изометрия.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. А. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, a также профессору А. О. Иванову за полезные обсуждения.

Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ivanov A., Tuzhilin A. Local structure of Gromov-Hausdorff space near finite metric spaces in general position // ArXiv e-prints. 2016.

2. Бураго Д.Ю, Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

3. Ivanov A., Tuzhilin A. Geometry of compact metric space in terms of Gromov-Hausdorff distances to regular simplexes // ArXiv e-prints. 2016.

4. Borsuk K., Mazurkiewicz S. Sur l'hyperespace d'un continu // Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie. 1931. 24. 149-152.

Поступила в редакцию 22.12.2017

УДК 517.5

УСИЛЕННОЕ НЕРАВЕНСТВО УЛЬЯНОВА ДЛЯ ПОЛНЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ СО СМЕШАННОЙ МЕТРИКОЙ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

Для функций одной переменной известно неравенство Ульянова о связи между модулями непрерывности в разных метриках. В работе рассматриваются функции двух переменных. Доказано усиленное неравенство Ульянова о связи между полными модулями гладкости положительного порядка в разных смешанных метриках.

Ключевые слова: неравенство, полный модуль гладкости, смешанная метрика.

For functions of one variable Ul'yanov inequality about the connection between modulus of continuity in different metrics is well known. In this paper functions of two variables are analyzed. Sharp Ul'yanov inequality for function's full modulus of smoothness of positive order in the different mixed metrics is proved.

Key words: inequality, full modulus of smoothness, mixed metric.

1. Обозначения. Введем следующие обозначения:

LPlP2, 1 < Pi < oo, i = 1,2, — множество измеримых функций f (xi,x2) двух переменных, 2п-периодических по каждому переменному и таких, что

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград. гос. техн. ун-та, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

9

dx2 ) < то;

27Г 27Г Р2 1

Р1 \ Р2

Р1Р2 - I / I If(X1,X2)|P1 dxi 0 0

2п

Lpip2 — множество функций f € LP1P2, таких, что J f (x^x2)dx2 = 0 для почти всех x1 и

1 2 1 2 0

2п

/ f (x1,x2)dx1 = 0 для почти всех x2; 0

a(f) — ряд Фурье функции f € LP1P2, т.е.

те те

CT(f )= X] (а™1™2 cos П1Х1 cos П2Ж2 + brai„2 sin П1Ж1 cos П2Ж2 +

„1=0 П2=0

те те

+v„1„2 cos П1Ж1 sinП2Ж2 + d„1„2 sinП1Ж1 sinП2Ж2) = ^ ^ (f),

„1=0„2=0

где cos(0 • t) = 4

2

2n 2n 2n 2n

= J j f(xi,X2)cosniXicosn2x2dxidx2, bnin2 = —2 J j /(жьж2) sin milcos n2x2dxidx2, 0 0 0 0

2n 2n 2n 2n

t)ni„2 = — J j f(xi,x2) COS П1Ж1 sinn2x2dxidx2, dnin2 = j J f(xi,x2)smnixismn2x2dxidx2 0 0 0 0

коэффициенты Фурье функции / € ЬР1Р2. Ряд Фурье функции / € ЬР1Р2 будем записывать и в комплексной форме:

тете

Í(V1^1+V2X2)

CT(f) = Е S CV1V2e

^1=-те V2 = — те

где с^ = ¿т / / ¡{xi,x2)e-i(-VlXl+V2X2\lxidx2 для i/¿ € Z, г = 1,2, или

^1=—те ^2 = — те

2п 2п

II

00

= ^ ) С— ¡^11^2 = ^ )

_ + ^2 "^1^2) _ ^^1^2 + + "^1^2)

С^-г^з = ^ ) = ^

для V ^ 0 (г = 1, 2).

Также введем обозначения:

5щте(/(/),^ЩП2(/),п = 0,1, 2,... , — частичные суммы ряда Фурье функции / € ,

т.е.

2п 2п

5щоо(/) = ^У /(Ж1 5ооп2(/) = ~ J 1(х1,х2 + 12)0П2(г2Щ2,

0 0

2п 2п

= ^ / / /(Ж1+¿1^2+ ¿2)^где / , А; = 0,1,2,...;

у у 2 эт I

0 0 2

ТП1П2 (Ж1,Ж2) — тригонометрический полином порядка не выше п по переменной Ж1 и порядка не выше П2 по переменной Ж2;

ТП1те (Ж1,Ж2) — функция, являющаяся тригонометрическим полиномом порядка не выше п по переменной х1;

ТтеП2 (Ж1,Ж2) — функция, являющаяся тригонометрическим полиномом порядка не выше П2 по переменной ж2;

ЕП1те(/)Р1Р2 — частное наилучшее приближение по переменной ж1 функции / € ¿Р1Р2, т.е. Е«,1те(/)Р1Р2 = 11/ — Тга1^УР1Р2 ;

„ П1 то

ЕтеП2 (/)Р1Р2 — частное наилучшее приближение по переменной ж2 функции / € ¿Р1Р2, т.е.

Ете«,2 (/)Р1Р2 = 11/ — Тте«,2 11Р1Р2 ;

„ топ2

ЕП1П2 (/)Р1Р2 — наилучшее приближение функции / € £Р при помощи тригонометрических полиномов Т„1„2 , т.е. Е„1„2 (/)р1Р2 = ||/ - Т„1„2 11Р1Р2 .

„ П1П2

те те '

Пусть а(/) = ^ ^ с^2ег(^1Х1+^2Ж2), где штрих означает, что в сумме нет членов соо, с^о,

^1 = -те ^2=-те

Со^2 для V» = ±1, ±2,... (г = 1, 2).

тете'

Пусть числа а» ^ 0, г = 1, 2. Тогда если ряд ^ ^ с^2 (ш^"1 (ш2)°2ег(^1Ж1+^2Ж2), где

^1 = -те ^2=-те

{гк)а = 81§п'г) есть ряд фурье некоторой функции, то эту функцию называют дробной про-

изводной функции / в смысле Вейля порядка а по переменной Ж1 и порядка а2 по переменной Ж2 и обозначают /(а1>а2) (см. [1, с. 238]);

те те '

если ряд си1и2(гь,1)~а1 (гь,2)~а2е,^и1Х1+и2Х2\ где {гк)а = \Ца е1"^^, есть ряд Фурье

^1 = -те ^2=-те

некоторой функции, то эту функцию называют дробным интегралом функции / в смысле Вейля порядка а1 по переменной ж1 и порядка а2 по переменной ж2 и обозначают /(а1,а2) (см. [1, с. 238]). Пусть также

А^ (/) — разность с шагом положительного порядка а1 по переменной ж1 функции / € £Р1Р2,

т.е.

те , ч

(f) = £ (-1)VM Л f (x! + 1 - vi)hi,x2);

„-, —n V 1/

^1=0

Аа2 (/) — разность с шагом Л,2 положительного порядка а2 по переменной ж2 функции / € £Р1Р2,

т.е.

те / \ АО,2(/) = £ (-1Г V2 /(Ж1,Ж2 + ( «2 - V2)h2); ^2=0 ^

А'^ф (/) — полная разность с шагами и Л,2 положительного порядка а функции / € £Р1Р2,

те / \

А^(/) = Е^И V /(Ж1 + (а - V)ЬЬЖ2 + ( а - V ^=0 ^ '

т.е.

(а\ 1 п (а\ 1 (а\ а(а—1) — (а-v+1) ^ 0

где (J = 1 для г/ = 0, (J = а для г/ = 1, (J = -^-^ для г/ ^ 2;

wai)n(f, ¿)pi Р2 — частный модуль гладкости по переменной x1 положительного порядка а1 функЦии f € LP1P2 , т.«2. Wai,n (f,^)pip2 = sup IIA^l(f )||pip2;

wn,a2 (f, ¿)pip2 — частный модуль гладкости по переменной x2 положительного порядка а2 функЦии f € Lpip2 , т.е Wn,a2 (f,£)pi p2 = suP |Aa2 (f )|pip2 ;

w«(f, ¿)pip2 — полный модуль гладкости положительного порядка а функции f € Lpip2, т.а Wa(f,^)pip2= sup ||Aaih2 (f )|pip2 ;

[a] — целая часть числа a.

Для неотрицательных функционалов F(f, ¿^¿2) и G(f, ¿^¿2) пишем F(f, ¿^¿2) ^ G(f, ¿^¿2), если существует положительная постоянная C, не зависящая от f, ¿1 и ¿2, такая, что F(f, ¿1,^2) ^ CG(f, ¿^¿2). Если одновременно F(f, ¿^¿2) ^ G(f, ¿1, ¿2) и G(f, ¿^¿2) <С F(f, ¿1,¿2), то будем писать F(f, ¿1, ¿2) ~ G(fA^).

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [1, с. 22]. Пусть 1 ^ р» ^ то (г = 1, 2), ^(ж1,ж2,у) — измеримая функция, заданная на [0, 2п]3. Тогда имеет место неравенство

2п 2п

№(Ж1 ,Ж2,У)|ЙУ

< / У^(ж1 ,Ж2,У)|Р1Р2¿У

о Р1Р2 о

Лемма 2 [1, с. 241]. Пусть / € £Р1Р2, 1 < р» < то (г = 1, 2).

(а) Если /Х1 (ж1,ж2) — функция, сопряженная по ж1 с функцией /(ж1,ж2), то

и < С||/||р

| | Р 1 Р 2 | | Р 1 Р 2

(б) если /Х2(ж1,ж2) — функция, сопряженная по ж2 с функцией /(ж1,ж2), то

Р 2 | |Р1Р2 ^ С ||/| |Р1Р2 ,

где постоянная С не зависит от /.

Лемма 3 [1, с. 243]. Пусть / € £Р1Р2, 1 < р» ^ д» < то, а» ^ 0, г = 1, 2. Тогда

(<21 + ----— ,СК2Н------М II

Р1 91 Р2 92

91,92 ^ ||/ 1 1 2 2 |Р1 Р2 •

||/(а1'а2)|и2 <И/

Лемма 4. Пусть / € ¿Р1Р2, 1 < р < то, т» = 0,1, 2,..., г = 1, 2. Тогда

(а) 11 5т1 те (/)|Р1Р2 ^ ||/1 |Р1Р2 , (б) ||5 тет2 (/)||Р1Р2 ^ ||/1 |Р1Р2 , (в) ||5т,1 т2 (/)||Р1Р2 ^ ||/|Р1Р2 .

Доказательство. Рассмотрим для почти всех Ж1 и Ж2

п

О ( ^ 1 [ */ 81п(т1 +

Ьтьоо(Ж1,Ж2;/) = - / /(Ж1 + ¿1, Ж2)-— ; Т~-¿¿1

7Г У 2 эт

п

Х2] /) = ^ У /(Ж1 + ¿ьЖг)81^^1^!-

Тогда

п

1 (' „, „ Г8Ш(Ш1 +

5тЬоо(ж1,ж2; /) - 5^ь00(Ж1,Ж2; /) = - J /(ж! + ¿1,ж2)

п

/■ п

втт^! • сое 1

(¿¿1 = — / /(ж1 + ¿1,ж2)соет^хд^х. (1)

2п ./

Применяя свойства нормы, получим ||^т1,те(/) |Р1 Р2 ^ ||5т1,те (/) - ^таьтеШ^ Р2 + И^ьтеШ Р2 . Оценим ||5т1 ,те(/) - ^ 1 ,те(/)||Р1Р2. Используя равенство (1) и лемму 1, имеем

п

1

||5"тьоо(/)-5"^ь00(/)||Р1Р2 = J /(ж1 + *1,а:2)со8т1М*1||р1Р2 <

п

1

+^'Ж2)С08Ш^1||Р1Р2^1 < ||/||Р1Р2.

-п

Оценим теперь ||5т 1>те(/)||Р1Р2. Заметим, что

п

с* / п 1 [ 1+ т1(^1 + Ж1 - Ж1)

^тьоо^ь^;/) = - / /(ж1+^1,ж2)-—-г-=

7Г 7 ^^

-п 2

и

п

п п

' Р1Р2

1 Í f (xi + ti,X2)sinmi(xi + íi) ^ 1 f f (xi + íi,X2)cosmi(xi + íi)

= cosmia;i— / -;-at\ — smm^i- / -;-at\ =

7Г J 2tg| 7Г У 2tg|

—п —п

= gmmi,^(xi,X2) sinmixi - hmibœ(xi,X2) cos mixi,

где gm1,œ(xi, x2) = f (xbx2) ■ cos mixi, hmi,œ(xi, x2) = f (xi, x2) ■ sinmixi. Тогда, применяя лемму 2, получим

(f )||р1Р2 < llgmi (f )|P1P2 + ||hmi,œ(f) Ур1Р2 ^ ||f 1 |P1P2•

Таким образом, утверждение (а) доказано. Утверждение (б) доказывается аналогично. Утверждение (в) доказывается с помощью утверждений (а) и (б).

Лемма 5 [2]. Пусть 1 < p < то, i = 1, 2, ai > 0, n € N, f € LP1P2, g € LP1P2, тогда

1) ^a1,ü(f, 0)P1P2 = 0;

2) Wa1,ü(f +

3) Wa1,ü(f,í)P1P2 < Wa1,ü(f, ¿)P1P2, если 0 ^ ¿ ^ í;

^ ^ ,o(/,¿)p1p2 < ^ ,o(/.«)pip2 ; если o < í < 5 < f ; 5) -Era-l,oo(/)pip2 ^ w«i,o(/) ^)pip2 •

Лемма 6 [2]. Пусть 1 < p < то, i = 1, 2, a2 > 0, n € N, f € LP1P2, g € LP1P2, тогда

1) Wü,a2 (f 0)P1P2 = 0;

2) Wü,a2 (f +

3) Wü,a2 (f,í)P1P2 < Wü,a2 (f, ¿)p1P2 , если 0 ^ ¿ ^ í; ^0,а2(/,Д)Р1Р2 < U0,a2W)P1P2 ^ если 0 < f ^ ¿ <

5)

-l(/)pip2 w0,a2(/> ñ)piV2-Лемма 7. Пусть f € LP1P2, 1 < p < то, тг == 0,1, 2,..., > 0, i = 1, 2. Тогда

(а) II/— ^"iioo(/)||pip2 x Emi00(f)PlP2 <C wai)o ( /, m )

= / p

(б) II/ — >5oOm,2 (/) Ilpip2 (/)pip2 ^ w0,«2 ( /) 777,9 + 1 )

2 P1 P 2

(в) ||f — Sm1m2 (f )|P1P2 ^ Em1m2 (f )P1P2 •

Доказательство. Пусть e > 0, и пусть T^ 1 есть тригонометрический полином по переменной xi, такой, что ||f - T41;TO|p1p2 ^ Embœ(f)p1p2 + e. Так как Smb^(Tmbœ) = Тть^, то, применяя лемму 4, (а), имеем

||f — Sm 1,œ(/)|P1P2 ^ ||f — Tm,1,œ|P1P2 + ||Sm 1,м(/ — Tm,1,œ)|P1P2 ^ ||f — Tm,1,œ|P1P2 ^ 1,œ(f)P1P2 + e

В силу того, что последнее неравенство справедливо для любого e > 0, справедливо неравенство

||f — Sm 1,œ(f ) Ур1р2 ^ Em,1,œ(f )P1P2 .

Поскольку очевидно, что Em1,œ(f)P1P2 ^ ||f — Sm1>œ(f)||P1P2, то из справедливости двух последних неравенств следует ||f — Smb^(f)||p1p2 ~ Embœ(f)p1p2.

Применяя свойство 5 леммы 5, получаем I|/-Smb00(/)||P1P2 - Emit00(f)pip2 < w«bo(/, ^T+î)pip2> откуда следует справедливость утверждения (а).

Утверждения (б) и (в) доказываются аналогично.

Лемма 8 [3]. Пусть f € LP1P2, 1 ^ p ^ то (i = 1, 2), а > 0, вг > 0, i = 1, 2, 3. Тогда (а) да!(f + g) = да!(f) + Aa1(g); (б) д£(f + =) = д£(/) + да2(g);

(в) да?/=2 (f+g)=дак (я+д^ (g); =о д%(д* (f))=дагв1 (f); (д) да2 (д£(f))=дат"2(f); (е) даз^ (двк(f))=даз+в3(f);

(ж) цда1 (f)|р1р2 « и/11P1P2; (з) нда(f)|р1р2 < И/11P1P2; (и) цдазь2(f)|p1p2 < И/ИР1Р2.

Лемма 9 [2]. Пусть T„1œ € Lü1P2, 1 < p < то (i = 1, 2), ai > 0, ni € N. Тогда

(а) ||Д^(Тга1СО)||Р1Р2 < ща1\\Т^0) ||Р1Р2 алл любого h : 0 < \1ц\ <

(б) ||Tral0o ^ ||pip2 ^ 1II Д^Е_ (îraioo) ||pip2 ! (в) ll^raioo ^ ||pip2 ^ п11 lieraiоо ||pip2 • Лемма 10 [2]. Пусть Tœ„2 € Lü1P2, 1 < p < то (i = 1, 2), a2 > 0, n2 € N. Тогда (а) НД^СГсо^)!!^ < Ща'\\Т^22)\\Р1Р2 для любого h2 : 0 < \h2\ <

(б) и«' у

PlP2 ^ П22 II^Ä. {Т0ОП2) Wpip2 > (В) ||^ООП2 llpip2 ^ П22 ||^ООП2 Ilpip2 •

n2

С (sint\a если о < m ^ — ■ Лемма 11 [4; 5; 6, с. 17]. Пусть а > 0, g(t) = < V 4 / 2' Тогда для любого

1, если t = 0.

t €

7Г 7Г 2' 2

оо ^ оо

справедливо равенство д(£) = Е ^ег2^, причем числа ^ таковы, что Е | = С1,

где постоянная С1 зависит лишь от а.

о

Р1 Р2

v=—ОО

Лемма 12 [1, с. 238]. Пусть / € , 1 < р < то (г = 1, 2),

а(/) = ^ ^ (а^! V2 cos ViXi cos V2X2 + bv!v2 sin ViXi cos V2X2 +

V1 = 1 V2 = 1

00 00

+Vv1v2 cos ViXi sin V2X2 + dv1v2 sin ViXi sin ^2^2) = £ £ (/)•

V1 = 1 V2 = i

Пусть

2т 1 2т2

Аоо(/) = Ап(/), А„1о(/) = £ ) для т1 € М, Аот(/) = £ ^(/) для т2 € N

^1=2т1-1+1 ^2=2т2-1 + 1

2т 1 2т 2

Ат1Ш2 (/)= £ £ (/) для т1 € N и т-2 € N.

^1=2т1 -1 + 1 ^2=2т2-1 + 1

Тогда

ОО ОО 1

(а) НЛи.^К Е Е Д^(/))*||Р1Р2;

^1=о ^2=о

оо оо 1

(б) если /(«ьо) е ¿01рз) то ||/(аь0) ||Р1Р2 ~ ||( Е Е 22г^ Д21г,2(/))2 Ц^;

^1=о ^2=о

оо оо 1

(в) если/М <= Ь°Р1Р2, то ||/(0'а2) ||Р1Р2 ~ ||( Е Е 22-2«2 Д21г,2(/))2 Ц^;

^1=о ^2=о

оо оо 1

(г) если /(аь«2) ^ Ьр1р2, то ||/(а1'а2) ||Р1Р2 ~ ||( Е Е 22^1+2^2Д21г,2(/))2||Р1Р2.

^1=о ^2=о

Лемма 13 [5, 7, 8]. Пусть 7 € М, а > 0, а* = а, если а € М, а* = [а] + 1, если а€ N. Тогда

те

(а) Е (-1)^0= (1 - е^)а;

^=о

м ^ а ^ /0, если ^ = 2к + 1,к € N и {0};

Й^ИЖД) = | (-1)2(2), если /х = 2к,к€ Ми {0};

(в) Е к:) I < 2а.

^=о

Лемма 14 [1, с. 239; 9]. Пусть дана кратная последовательность чисел Л(к1, к2) (к» = 0, ±1, ±2, ...; г = 1, 2), удовлетворяющая условиям

±|2|к1| —1| ±|2|к2|-1| |Л(к1,к2)| < м, £ |Аю(ЛА,к2))| < М, |Ао1(Л(к^))| < М,

^1=±2|к11 — 1 ^2=±2|к2|-1

±|2|к1| —1| ±|2|к2|—1| £ £ |Ап(Л(^2))| < м,

^1=±2|к1|—1 ^2 = ±2|к2|-1

где М — константа, А10(Л^, к2)) = Л^, к2) - Л^ + 1, к2), А01(Л(к^ = Л(к^ - Л(к^ ^ + 1), Аи(Л^, = Л^, - Л^ +1, - Л^, ^ +1) + Л^ +1, ^ +1) (при к» = 0 соответствующая сумма распространяется только на V» = 0, г = 1, 2); знак "+" или "-" ставится в зависимости от к» > 0 или к» < 0 (г = 1, 2) соответственно.

оо оо

Пусть f (xi,x2) € LP1P2,1 < Pi < = 1,2) и <г(/) = £ £ cfclfc2ei(fclXl+fc2X2).

ОО оо

Тогда ряд £ Е A(fci,k2)cfclfc2ei(fclXl+fc2X2) есть

ряд Фурье функции g(x1,x2), такой, что

g € LPlP2 и ||g||PlP2 ^ A(p^p2,M)||f||PlP2, где постоянная A(p^p2,M) зависит лишь от pi, p2 и M. Лемма 15 [10]. Пусть а > 0, /3 € (0, 2-/г)7 /3 ф §,тг, Тогда существует число (р, такое, что

e^(iki cos в)а + № sin в)а = 0

при любых k¿ = ±1, ±2,..., i = 1, 2, где

(iki cos/3)" = |kicos/3re^asign(fclC°s/3), (¿k2sin/3)a = |k2 sin"sign(fc2sin/3).

Лемма 16 [10]. Пусть a > 0, /3 € (0, 2-/г)7 /3 ф число (р удовлетворяет условиям

леммы 15. Тогда функция

(ix1 cos в + ix2 sin в)а

F (Ж1,Ж2) =

cos в)а + (ix2 sin в)а' где

(ix\ cos/3 + гж2 sin/3)" = |ж! cos/3 + ж2 sin/3reíaisign(:ClCOS/3+:C2SÍn/3), (гж1 cos ¡3)a = Acos/3|Vaisign(:clcos/3), (гж28т/3)а = |ж2 sin/3| Vaisign(:C2SÍn/3),

обладает свойствами: функции F(Ж1,Ж2), Ж1 ^g^2^ > X2dF<"g^X2\ Х\Х2д Q^idx^ ограничены при любых x1 € R и x2 € R.

Лемма 17 [10]. Пусть а > 0, /3 € (0,2тт), /3 ф число <р удовлетворяет услови-

ям леммы 15. Тогда последовательность чисел = ^^/3^+(¿At2fil/3)" = ^Х/^ь А^), =

±1, ±2,..., i = 1, 2, удовлетворяет условиям леммы 14.

n n '

Лемма 18. Пусть Tnn(x1;x2) = Е Е сМ1№ег(м1Х1+даХ2), где штрих означает, что в сум-

Mi=-n M2=-n

ме нет членов c00, c0jU2, cMl0, где ^ = ±1, ±2,..., i = 1, 2.

Пусть 1 < p¿ < оо (г = 1, 2), о; > 0, п € N. Тогда для любых h¿, таких, что 0 < \hi\ ^ i = 1, 2, справедливо неравенство

l|A/U (Tnn(X1,X2))|PlP2 « n-^||Tt'0) ||PlP2 + ||ГПП'а)|

Pl P2

Доказательство. Рассмотрим J = A^l/l2 (тпп ^xi — — ^f2)) • По определению полной

:ости имеем

ТО , ч

J = £(-1Л а)Гп» + - /^1,Ж2 + - !/) =

V=0

n n ' те ✓ ч

1 =-n Uo =-n V-О ^ '

Ul=—nu2 = —n V=0

n n ' те

Í(iJ,ixi+iJ,2X2) pif(iJ.ihi+iJ,2h2) \~~V_i I а I p-iv{pihi+H2h2)

Ul = —nu2=—n v=0 ^

С помощью леммы 13 получаем

n n '

J _ ^ g^jUlЖ1) gi^-(^1/11+^2/12) ^ _ g-i(/tl/ll+/t2/l2)^ _

Ul = —n U2=—n

nn

Ul = —n U2 = —n

п п ' Í fj-lhi+^h.2

N«/Smi 2

Hlh1+H2h2 J

/ii=—ra /i2 = — n \ 2 /

Используя лемму 11, заключаем, что

гага ' те

J = Е W2ei(M1 Х1+М2Х2+ г^Г E dveiv(w h1+^2h2) =

=—ra^2 = —„ v=—<re

те rara '

= E dv E E W2ei^1(x1+vh1)+i^2(x2+vh2)(¿^1h1 + ¿^Г =

v=—<re ^1 = —ra^2=—„ те rara '

= E dv E E W2eiM1 (x1+vh1)+i^2(x2+vh2)|h|a(¿^1 cos в + ¿^2 sin в)а

v=—те M1=—„^2 = — n

где |Л,| = cos/? = ^ , sin/? = ^ ft € [0,2тг). Так как /i¿ ф 0, г = 1,2, то

_ /( ___ R ГЛОТ, Л /ТОЛ/Т ИТТТГ' ТТГЛ

/3 ф 0, §,7Г, Возьмем число <£>, удовлетворяющее условиям леммы 15. Тогда имеем

те гага

1«

J = |h|a Y. dvY E W2ei^1(x1+vh1)+i^2(x2+vh2)AM1M2 cosв)а + (¿^ sinв)а) ,

v

v=—те M1 = — „^2=—„

гпр л - (^icos/3+¿№ sin/З)" TT тпггтя

P1P2 ^

oo

ra ra

< |h|a E |dv| E E W2ei^1(x1+vh1)+i^2(x2+vh2)AM1M2 cosв)а + (^2 sinв)а)

v=—те ^1 = —ra^2=—„

Применяя леммы 17, 16 и 14, приходим к оценкам

llJ I lp1P2 ^

n n

\а/- \а i Q\a (• , \а"|

p1 p2

p1 p2

< |h|a Y |dv| Е Е W2ei^1(x1+vh1)+i^2(x2+vh2) [e^(cos вГ^Г + (sinвГ(Ыс

v=—те М1 = — n^2=—n

те

= Е |dv | ||TÍa'0) (X1 + vh1,X2 + Vh2)(cos в)^ + T^X + vhbX2 + vh2)(sin в)а|р1р2 <

<| h |а E | dv | (||тПп0) 1 P1P2 + ||Tran' ^рда) • v=—те

С помощью леммы 11 получаем

||J 1 |P1P2 ^ n (||Trara' ) Ур1Р2 + ||Trara ^рда) ,

что и требовалось доказать.

га га

Лемма 19. Пусть тпп(ж1,ж2) = ^ ^ Сидаег(м1Ж1+№Ж2), где штрих означает, что в сум-

м1=-п ^2 = -га

ме нет членов с00, е0^2, ст0, где ^ = ±1, ±2,..., г = 1, 2.

Пусть 1 < р < гс>(г = 1, 2), а > 0, п € N. Тогда справедливо неравенство

(Тпп> j <С fi (lloran' ^ Ilpip2 + II ^гага UP1P2J■

V Pi P2

а

v=

Доказательство. Обозначим J = ша(Тпп, . Ясно, что

J < sup HA^h,(Tnn)IUp2 + sup llAa1o(Tnn)yPiP2 + sup ||Agh2(Tnn)||pip2 = Jl+J2+J3-Применяя лемму 18, получаем

J1 ^ П ( ||T0o' ^ HP1P2 + 11 T0o'

P1P2

В силу леммы 9, (а) имеем

J2 < sup ||Agi (Tnn) |pi P2 « п-!^^.

На основании леммы 10, (а) заключаем:

J3 < sup ||А^2(T„„)|pip2 « п-!^^.

Следовательно,

J ^ П ( HT,(ra' ) Hpip2 + ||Trao' ) HPiP2

что и требовалось доказать.

< р < ™ г = 12 /с г и ^ ^

Р1Р2> У € Р1Р2

Лемма 20 [3]. Пусть 1 < р» < то, г = 1, 2, / € 2, д € 2, в > а > 0, п € N. Тогда

1) wa(/, 0)pip2 = 0;

2) wa(/ + g,^)pip2 < ¿)pip2 + wa(g,^)pip2;

3) wa(/,£)pip2 < wa(/,i)pip2, если 0 ^ 5 ^ t; ^(/.¿)P1P2 < ^ если о < t ^ г <

«и > и/Р1 Р2 ^ ^«V

^О; , ЬЬ^Ш \ (У \ 2 !

5) К-Ы-^Лрхрз < Ша(/, ^)Р1Р2-

Лемма 21 [11, с. 133; 12]. Пусть 1 < р» < д» < то, п» € N и {0}, г = 1, 2. Тогда

_1____1___1_

(а) ||Г„1>га2||д1д2 < (щ + 1)Р1 «1(гг2 + 1)"2 ад ||Тгаьга2 ||Р1Р2;

1 1

(б) утщ

,те ||^1Р2 ,те 1 |Р1 Р2 ;

_1___1_

(в) \\Тсо,п2\\р1д2 < (П2 + 1)Р2 92 ЦТоо^Црда.

Лемма 22 [13]. Пусть 1 < р» < д» < то, М», Ж» € N и {0} (г = 1, 2), М2 ^ М1, N2 ^ N1. Тогда

M2

mi=Mi

N2

M2

J_

1___М„ ,,„ \ 91

mi ,001

02=Ni

qi,q2 4mi=Mi

N2

Е Тоо,2"2 «( Е 2il292(---)||TCO;2n2 И® V2

qi,P2

qi,q2 4 o2=Ni

1

Лемма 23 [11, с. 125]. Пусть ага ^ 0, п = 1, 2,..., 0 < в < а < то. Тогда

1/а / \ 1/в

ап

о= 1 ' ^ о= 1

3. Конструктивная характеристика полного модуля гладкости. Теорема 1. Пусть / € ¿Р1Р2, 1 < р» < то (г = 1, 2), а > 0, п € N. Тогда

-) ~ «-"И^СЛИр^ +п-а114°па)(/)11р1р2 + II/ " ^„(ЛЦр^. (2)

п Р 1 Р 2

Доказательство. По лемме 9, (б) имеем

^ = Ли^'0)(/)1иР2«||А^5гага(/)цР1Р2 < та - 5гага(/))цР1Р2 + ||А?(/)цР = зи +

П п п п

Применяя лемму 8, (ж), получаем

^11 « ||/ — ^'гага(/)Ур1Р2 « ||/ — ^гате(/)Ур1Р2 + У^гате(/) — ^гага(/)Ур1Р2 = = ||/ — ^гате(/)|р + У^гате(/ — ^тега(/))|р1 р2 •

В силу леммы 4, (а) имеем 711 « ||/ — £пте(/)||Р1Р2 + ||/ — <5теп(/)||Р1Р2. На основании леммы 7, (а) и (б) заключаем, что «7ц < ЕпооЦ)Р1Р2+Е^Ц)^ < ша,о(/, ^т)Р1Р2 + птт)р1р2- Применяя

свойство 3 лемм 5 и 6, получаем оценку .1п < ш«,о(/, + „ • Поэтому

J11 « sup ||Д£ (f )||

P1 P2

+ sup ||Д^2 (f )|| P1 P2

= sUP ||Д^2 (f)||P1P2 + sUP ||Д^2 (f)||P1P2 <

\hi\^,h2=0 \h2\^,hi=0

< sUP |Да1^2 (f )|P1P2 + sUP ||Д^2 (f)||P1P2 = 2^а(f,

: 2n 'I ^ I ^ 2n ' -И 2n 'I ^ I ^ 2n

l^lK^.NK^ v ¿1L' P1P2

2n/ P

Теперь оценим : </12 "С вир ||А? (/)||Р1Р2 = и)а>о[/, • Применяя свойство 4 леммы 5,

' Р1Р2

получаем

п / п \

Jl2<W«)0(/,—) = sup ||Д£ Л2(/)||Р1Р2 < sup ЦА^зШЦрхрз = W« /,—

Р1Р2 l/nKJL.fca^ V 2n/pip2

Объединяя оценки для Jn и J12, имеем Ji <С uja(f, . Рассуждая аналогично, приходим к

2n P1 P2

оценке

= „-«II с(0,«)/ - " / „ 7Г N , ,, „ „ , _N ,, / „ 7Г

■h = n"a||^(/)IUP2 « "«(/, 2^)p1P2> = II/ " ¿W/)IUp2 « Ua(f, -)pip2.

Таким образом, доказано неравенство

rc-ató°>(/)||pip2 + n-a\\s&a\f)\\pip2 + II/-¿W/)||P1P2

^ ....... ......~................~ ..... " "Ja"'2nJ

P1 P2

Применяя свойство 4 леммы 20, получаем ша ( /, ^ ) <С ша ( /, \ ) , а применяя свойство 3

V П / Р1Р2 V /Р1Р2

леммы 20, получаем ша ( /, ^ ) <С Сс>а ( /, ^ ) . Эти соотношения означают, что

V /Р1Р2 V /Р1Р2

"«(/,-) . (3)

V И/ P1P2 V 2п/ P1P2

Следовательно, доказана оценка снизу в соотношении (2). Теперь докажем оценку сверху в соотношении (2).

Используя соотношение (3), свойства нормы функции и лемму 8, (в), имеем 3 = «Ша(/,Л «Ша(/ -£„„(/), + = к + П-

V п/Р1Р2 V 2п/ Р1Р2 V 2п/ Р1Р2 V 2п/Р1Р2

На основании леммы 8, (и) заключаем, что ¿1 « ||/ — (/)||Р1Р2. Используя лемму 19, имеем

¿2 « П-а||5&0) (/) ||р1 Р2 + (/)||Р1Р2 .

Поэтому справедливо неравенство

j <||/ - Snn(f )IUP2 + n-a||snn'0)(/)|U Р2 + n-aysn0ia) (/ )||

P1P2 )

т.е. справедлива оценка сверху в соотношении (2).

4. Связь между полными модулями гладкости в разных смешанных метриках. Теорема 2. Пусть / € ¿Р, 1 < р» < д» < то, д = шт(д^ д2), а > 0, £ € (0,1). Тогда

о

1 1 1 1

4 p 71 ' 4

КР1 71 y Р2 72

1 dt \ a T

Доказательство. Рассмотрим 3 = ша(/, £)9192. Для каждого £ € (0,1) существует целое неотрицательное число п, такое, что ^тт ^ $ < ^г- Поэтому 3 <С ^г) . Применяя теорему 1, получаем 1 2

^ ^ 2«« 11<$2™2" (/) 119192 + + II/ ~ ^2"2"(/) ||91д2 - Л + <^2 + З3.

В силу леммы 3 имеем 31 ^ 2 гаа||£2п2/1 91 Р2 42 (/)||Р1 Р2. Согласно лемме 12, (г)

2-

V1V2

Ji < 2"™ ( £ 22(гУ1(а+и '

^ V1=0 V2=0

nn

<

P1P2

V1=0 V2=0 < 2-na

j 2—na

2

V1=0 V2=0

2гп(а+^---^ + ^---M д 2

14 Р1 71 Р2 72 A2

V1V2

V1V2

V1=0 V2=0

j

P1 P2

P1 P2

Применяя лемму 12, (б) и (в), получаем

Ji < 2—

с Р1 71 Р2 72 ¡ f\ °2n2n (/ )

+ 2—

P1 P2

<

P1 P2

с Р1 71 Р2 72 ¡ f\

°2n2n (/)

P1 P2

I _±____ _±____ \f~lj / 1 \

С помощью теоремы 1 приходим к оценке 3\ <С 2 р1 п 72у ______к (/, ^тг)

)К Р <71 РО ПО ' /

^ Р1 П1 Р2 П2 '

Оценим, наконец, 3з. В силу леммы 12, (а) имеем

Р1 71 ^Р2 72 2 PlP2

Аналогично доказывается, что Т2 <С 21Р1 71^2 «2 ^______(/>

Р1 71 Р2 72

J3 = ||/ - S2n2n (/)||q№ «

<

оо оо

n

n

Е Е A21V2(/)+ Е EA^1V2(/) + Е Е A21V2(/)

V1=n+1 V2=n+1 V1=n+1 V2 = 0 V1=0 V2=n+1

<

9192

<

те V1

те V2 — 1

E EA^1V2(/)+ E EА21^2(/)

V1=n+1 V2=0 V2=n+1 V1=0

<

9192

<

те V1

E Ea-2 (/)

V1=n+1 V2=0

j

91 92

те V2

E EA^1V2 (/)

V2=n+1 V1=0

<

91 92

«

(/)

^1=га+1

9192

Е (52т,2т (/) — 52т-1,2т (/)]

—г, _1_1 V '

т=га+1

+

9192

Е (52*2 ,2*2 (/) — 5*2*2 ,2*2-1 (/))

=п+1 ^ '

Е ( 52т,2т (/) — 52т,2т—1 (/)]

91 92

т=га+1

= <32 + <31.

Применяя лемму 22, получаем

<31«( Е 2т91(Р1 «1152т>2".(/)-52т>2т-1(/)||

^ т=га+1

91 Р1 92

С помощью леммы 21, (в) приходим к оценке

т=га+1

Р1 Р2

Используя лемму 12, (а), получаем

<31« Е

т=га+1

Применим лемму 23, тогда

<31« Е

^ т=га+1

2 Р1 «1 Р2 «2

2 Р1 «1 Р2 «2

ЕДкт(/)

к=0

Р1 Р2

Ет( ^___—+—___к)

2 ^ Р1 «1 Р2 «2 '

т=га+1

В силу леммы 12, (а) имеем

оо оо

9^ 1

4 1 ч

<

Е Дкт(/) к=0

> т— 1

Е Е ди(/)+Е Ед-2(/)+Е Е Д

Р1 Р2 т— 1 оо

2

(/)

^1=т ^2=т

^1=т ^2=0

^1=0 ^2=т

Р1 Р2

<31« Е

пт(----- + ----М||( ^ и

2 91 Р2 -5"2т-1)2т-1||р1р2

■ т=п+1

Аналогично доказывается, что

<32 « Е

т=п+1

пт(—---- + ----—),, „ п и

2 91 Р2 92 ;||/ -5"2т-1)2т-1||р1р2

Таким образом, мы доказали, что

<3 « £

пт(—---+ ^---п I

2 >1 91 Р2 92 У||/ - 52т_1 2гп-1\

Р1 Р2

т=п+1

9^ 1

4 1 9

Используя теорему 1, получаем

те

<3 < ( Е 2т<г(-

т=п+1

Р1 И 1 Р2 52'ш' , , , , I / -

а-М______к \ ^ ' От-1 .

+ Р1 91 Р2 92 4 1 Р1Р2

Объединяя оценки для <1, <2 и <3 и применяя свойства полного модуля гладкости, имеем

< <

Что и требовалось доказать.

___Л___к-)

Р1 «1 Р2 «2

Р1 Р2

9

1

2

9

«

9

«

9

«

5

ь

Отметим, что теоремы 1 и 2 для pi = p2 содержатся в работе [5].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 16-01-00350).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

2. Потапов М. К., Симонов Б. В. Свойства частного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. X. Математика. Вып. 1. К 60-летию семинара "Тригонометрические и ортогональные ряды". М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2014. 58-70.

3. Потапов М. К., Симонов Б. В. Свойства полного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. XI. Математика. Вып. 1. К 80-летию В.А. Скворцова. Обобщенные интегралы и гармонический анализ. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2016. 76-91.

4. Potapov M. K., Simonov B. V., Tikhonov S. Yu. Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < то: A survey // Surveys in Approximation Theory. 2013. 8. 1-57.

5. Потапов М. К., Симонов Б. В., Тихонов С. Ю. Модули гладкости дробных порядков. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2014.

6. Потапов М. К., Симонов Б. В., Тихонов С. Ю. Дробные модули гладкости. М.: Макс Пресс, 2016.

7. Potapov M. K., Simonov B. V., Tikhonov S. Yu. Constructive characteristics of mixed moduli of smoothness of positive orders // Proc. 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (August 22-27, 2011). Progress in analysis. Moscow: Peoples Friendship University of Russia, 2012. Vol. 2. 314-325.

8. Butzer P. L., Dyckhoff H., Gorlich E., Stens R. L. Best trigonometric approximation fractional order derivatives and Lipchits classes // Can. J. Math. 1977. XXIX, N 4. 781-793.

9. Бессонов Ю. Л. О существовании смешанных производных дробного порядка в Lp // Успехи матем. наук. 1964. XIX, вып. 4(118). 163-170.

10. Потапов М. К., Симонов Б. В. Полные модули гладкости положительных порядков функций из пространств Lp, 1 < p < то // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. X. Математика. Вып. 2. К 100-летию Лузинского семинара по теории функций. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2015. 101-133.

11. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

12. Унинский А. П. Неравенства в смешанной норме для тригонометрических полиномов и целых функций конечной степени // Мат-лы Всесоюз. симп. по теоремам вложения. Баку, 1966. 212-213.

13. Симонов Б. В. Смешанные модули гладкости в смешанных метриках // Матем. заметки. 2012. 92, № 5. 747-761.

Поступила в редакцию 24.01.2018

УДК 511

РЕАЛИЗАЦИЯ БЫСТРОГО АЛГОРИТМА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО КОДИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ АРХИТЕКТУРЫ CUDA

А. Ю. Чекунов1

В работе сравниваются скорость и качество реализации быстрого алгоритма распознавания контуров, основанного на геометрическом кодировании, c широко используемой реализацией алгоритма Кэнни распознавания контуров из открытой библиотеки компьютерного зрения OpenCV (Open Source Computer Vision Library) с применением параллельной архитектуры CUDA (Compute Unified Device Architecture). Сравнение показывает, что

1 Чекунов Алексей Юрьевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexey. chekunov@mail .ru.