Связь между полными модулями гладкости в метриках L1 и L∞ Текст научной статьи по специальности «Математика»

лаем флип (5,8) —> (2,10), это представлено на рис. 2, h, г. Но флип (2,8) —> (9,10) на ребре 9 — 10 мы не можем сделать (что показано пунктиром на рис. 2, j), так как получим кратное ребро 9—10.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты флипов и стягиваний, но при этом число вершин уменьшить невозможно.

Значит, согласно алгоритму число вершин должно быть п + 3. Но, например, для многообразия с характеристикой % = —10 минимальная триангуляция есть К12, что следует из формулы (1). Для % = —12 по формуле (4) необходимо всего лишь 13 вершин, т.е. на две вершины меньше, чем в предложенном нами алгоритме.

Эта же конструкция подходит и для неориентируемого случая, но с некоторыми изменениями. Как известно [6, 10, 11], ручка при наличии пленок Мёбиуса распадается в две пленки. Следовательно, эйлерова характеристика будет меньше на 2, чем у исходного многообразия.

9. Триангуляция кренделя. Получим триангуляцию кренделя путем подклеивания триангулированной ручки к двум треугольникам триангуляции тора, как предложено в п. 8. Рассмотрим треугольники 1 — 5 — 2 и 4 — 3 — 6 на минимальной триангуляции тора (отмечены на рис. 3, а серым цветом). Подклеим ручку, результат представлен на рис. 3, Ъ. Но это еще не является разверткой кренделя: если склеить все граничные ребра, то неприклеенными останутся ребра 1 — 3,3 — 4,1 — 4. Во избежание этого подклеим треугольник 1—3 — 4 и получим развертку, задающую минимальную триангуляцию (рис. 3, d).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ringel G. Wie man die geschlossenen nichtorientierbaren Flachen in möglichst wenig Dreiecke zerlegen kann // Math. Ann. 1955. 130. 317-326.

2. Jungerman M., Ringel G. Minimal triangulation on orientable surfaces // Acta. Math. 1980. 145. 121-154.

3. Cervone D.P. Vertex-minimal simplicial immersions of the Klein bottle in three space // Geometriae Dedicata.

1994. 50. 117-141.

4. Lawrencenko S.A., Negami S. Irreducible triangulations of the Klein bottle // J. Combin. Theory. Ser. B. 1997. 70, N 2. 265-291.

5. Фукс Д.Б., Фоменко А. Т. Гомотопическая топология. Ижевск: УРСС, 1989.

6. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. М.: Изд-во МГУ, 1998.

7. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1972.

8. Ошемков A.A., Попеленекий Ф.Ю., Тужилин A.A., Фоменко А.Т., Шафаревич А.И. Курс наглядной геометрии и топологии. Сер.: Классический учебник МГУ. M.: URSS; Леланд, 2014.

9. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. 3-е изд. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2010.

10. Бориеевич Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я. А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. Ижевск: УРСС,

1995.

11. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1983.

Поступила в редакцию 25.03.2015

УДК 517.5

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛНЫМИ МОДУЛЯМИ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКАХ Li и Loo

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе установливается взаимосвязь между полными модулями гладкости натуральных порядков в метриках L\ и L^.

Ключевые слова: полный модуль гладкости, метрика.

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.

Interrelation between full moduli of smoothness of natural orders in the metrics L\ and Loo is considered in the paper.

Key words: full modulus of smoothness, metric.

1. Обозначения и определения. Установлению взаимосвязи между модулями гладкости в разных метриках посвящено большое количество публикаций (см., например, [1-14]). В настоящей работе выявляется взаимосвязь между полными модулями гладкости натуральных порядков в метриках L \ и L^.

Введем обозначения:

Lp, 1 ^ р ^ оо, — множество измеримых функций f(x,y) двух переменных, 27г-периодических по каждому переменному, таких, что ||/||р < оо, где

[2тг 2тг \ р

/ / \f(x> y)\pdxdy , если 1 ^ р < оо; о о )

sup vrai\f(x,y)\, если р = оо;

Osííes^tt, Osíys^TT

2тг 2тг

Lp — множество функций / € Lp, таких, что J f(x, y)dy = 0 для почти всех х и f f(x, y)dx = 0

о о

для почти всех у,

оо оо

а(/) — ряд Фурье функции / € Lp, т.е. а(/) = Е Е Ckik2el<yklx+k2V\ гДе

fcl=—оо к2 =—оо

2тг 2тг

cfclfc2 = ¿2 J j f{x,y)e~^x+k^dxdy о о

Vriiooif), Voon2(,f)i Vnin2 (f),n = 0,1,2,... , — суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции / € Lp,

т.е.

2тг 2тг

Vnioo(f) = U Kx + tuyWiïntjdh, VW/) = U f(x,y + h)V^(h)dh, о о

2тг 2тг

о о

1 siní ( к +

F0°(í) = D0(t), V¿n(t) = - (Dn(t) + ... + D2ra_i(í)), n = 1,2,..., Dfc(í) = VV . = 0,1, 2,... ;

n 2 sin 7j

Enioo(f)p — частное наилучшее приближение по переменной х функции / € Lp, т.е. EniOD(f)p = inf К/ — TniOD\\p, где функции TniOD(x,y) € Lp и являются тригонометрическими полиномами по-

Тп-^ со

рядка не выше ni по переменной ж;

-^oora2(/)p — частное наилучшее приближение по переменной у функции / € Lp, т.е. -Еооп2(/)р = inf К/ — ТООГ12||р, где функции ТООГ12(ж,у) € Lp и являются тригонометрическими полиномами по-

2~соп2

рядка не выше п2 по переменной у,

Eniri2(f)p — наилучшее приближение по двум переменным функции / € Lp, т.е. Enin2(f)p = inf К/ — ТП1П2\\Р, где функции ТП1П2(х,у) € Lp и являются тригонометрическими полиномами по-

1 1П2

рядка не выше ni по переменной х и порядка не выше п2 по переменной у,

Д^1 (/) — разность с шагом Л-i натурального порядка ri по переменной х функции / € Lp,

т.е. Д£(/) = Е (-irO/^ + Cn

д^(/) — разность с шагом Л,2 натурального порядка г2 по переменной у функции / € Lp,

Г2

т.е. Д£(Я = Е (-1)^(9/0*,y + fo-^);

1^2=0

Tri-, п

^■h! h2(f) — полная разность с шагами h\ и h2 натурального порядка г функции / € Lp,

г

т.е. Arh h (/) = ^(-l^Qfix + (г ~ v)hi,y + (г - v)h2), где Q = 1 для v = 0, Q = г для i>=0

v = 1, = -¿-^j-для v ^ 2;

Mri,o(f,S)p — частный модуль гладкости по переменной ж натурального порядка Г\ функции / € Lp, т.е. wri,o(f,6)p = sup ||Д£(/)||Р;

Wo,r2(f,S)p — частный модуль гладкости по переменной у натурального порядка Г2 функции / € Lp, т.е. u)0,r2(f,5)p = sup || Д^2 (/) ||р;

\h2\<6

— полный модуль гладкости натурального порядка г функции / € Lp, т.е. u)r(f,5)p = sup \\AliM(f)\\p;

\hi\^S,i=l,2

Si = {l = (¿i, l2) : l\ + ¿2 = 1} j H — целая часть числа a. Приведем определение производной по направлению в смысле Вейля.

оо оо

Пусть a(f) = Ck1k2el<yklX+k2V\ штрих означает отсутствие членов coo, Сок2, с^о, где

к\ =—оо к2=—оо h = ±1, ±2, ...,¿ = 1,2.

Пусть I € §1. Если ряд

оо оо '

к\ =—оо к2=—оо

где (¿fc)r = |А;|гегг^81ёп;г, г € N, есть ряд Фурье некоторой функции, то эту функцию называют производной порядка г по направлению I в смысле Вейля функции / и обозначают /(г>г). В случае I = (1,0) производную порядка г в смысле Вейля обозначают через /(г'°) является частной

производной по х порядка г. В случае I = (0,1) производную порядка г в смысле Вейля обозначают через /(°'г) является частной производной по у порядка г.

Будем также рассматривать смешанные частные производные

оо оо '

^(ri.ra) = ^(0,г2))(п>0)) a(f(n,r2^= £ ftlfc2ei(№'(îl£i)n(îfc2f (пем,г = 1,2).

ki =—00 к2=—оо

Для неотрицательных функционалов F(f,ö 1,^2) и G(f,ö 1,^2) будем писать F(f,ö 1,^2) "С G(f,ö 1,^2)) если существует положительная постоянная С, не зависящая от /,¿1 и ¿2) такая, что F(f,6i,62) < CG(f,öi,ö2j. Если одновременно F(f,6i,62) < G(f,6i,62) и G(f,6i,62) < F(f,6i,62), то будем писать F(/, ¿1, ¿2) х С(/, Si,ö2).

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [15-17]. Пусть / € Lp, 1 ^ р ^ оо, m = 0,1, 2,..., г € N. Тогда а) ||/-Kraoo(/)||p<ßmoo(/)p<a;r>of/,: 1

m+1 ,

б) ||/ - Кот(/)||р « ^„(Яр « ;

в) ||/ - Кпт(/)||р « Ятт(/)р « а;г (/,

Лемма 2 [13]. Пусть / € Ьр, 1 ^ р ^ оо, ш = 0,1, 2,... . Тогда

я)||Кгаоо(/)||р « \\fWp, б)\\Уоот(Л\\р « ||/||р, в)||Утт(/)||р « ||р.

Лемма 3 [18]. Пусть / € ¿р, 1 ^ р < д ^ оо; д* = д, если д < оо; д* = 1, если д = оо;

00 о ! 1 1 "I * *

ш = 0,1, 2,... . Тогда Е2т_ 1 2т_,(/), < { £ 2„_1(/)Р} •

у=т

Лемма 4 [19-20]. (а) Яусшь а > 0, = ( ' еСМЛ ° < ^ ^ %'

Тогда для любого t €

1, если t = 0.

ОО ^ оо

справедливо равенство g(t) = dve2lvt, причем числа dv таковы, что \dv\ = С

v=—oo v=—oo

где постоянная С\ зависит, лишь от а.

7Г 7Г 2' 2

(б) Пусть а> 0, дф) = { ' еСЛ" ° < ^ ^

[ 1, если £ = 0.

Тогда для, любого £ €

7Г 7Г 2 ' 2

справедливо

оо

равенство д\{1) = Е <1*е , причем числа с?* таковы, что Е 1^1 = Сг, постоянная С2

и=—оо и=—оо

зависит лишь от а.

га га '

Лемма 5. Пусть 0 < |/г^| ^ ^(г = 1, 2), Тпп(х, у) = Е Е гс?е штрих

1-11 = —п /12 = — П

означает, что нет членов Соо,сМ1о, СоМ2, для = ±1,±2,...(г = 1,2), 1 ^ р ^ оо, г € М, п € N.

гр(т,г—т)

V

Доказательство. Рассмотрим 7 = Д^ ^2(Тгага(ж— у—Из определения полной разности имеем

Тогда \\АЪ1МТпп\\р < £

т=0

3 = Е(-1 Г + " ^ЪУ + (I -

и=0 га га '

= Е Е ^Ем^,

/11=—га/12 = —га г^=0

га га '

«V /

/11 = —га/12=—га г^=0

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, тогда

га га '

^^ ^^ ^ ег(М1Ж+М22/)ег§(^1/11+^2/12)^ _ е-г(тЬ1+Ц2Ь2)у _

Е Е V

/¿1 = -га /12=~п

га га '

л ^......Р.^+^/^яш

/11 = -га /12=-га

га ' : +№^2

= Е Е +

/11 = — га /12=—га 2

Применяя лемму 4, (а) и обозначая I = (¿1, ¿2), где ¿1 = ¿2 = т^, Л- = \/~Щ~\~Щ, заключаем, что

гага' оо

</= Е ^ с^е^+^г^! +щ2Ь2)г Е =

/11=-га /12 = -га

оо гага

и=—оо р,\=—пр,2 = —п оо гага'

и = — 00 Ц1= — ПЦ2 = —П

Используя формулу бинома Ньютона, а затем определение смешанной частной производной,

получаем

оо га га ' / \

з = нг ^^ Т. Е с^е^1^1^2^2» Г НткГШЯ

и=—оо М1=—га /12 = — га т=0 ^ '

°° г /гЛ

7/- -^»О г > I-П ^ '

1>=—оо т=0

10 ВМУ, математика, механика, № 1

Тогда

£ \dv\Y,\\Ttr-m\x + vh1),y + vh2) ^hrY,\Tt'r-m]{x,y) Y. Ш-

v=—oo m=0

Опять применяя лемму 4, (а), находим

т=0

НАrhlMTnn\\p = || J\\p « n~r \\Ttr~m)

m=0

что и требовалось доказать.

гага'

Лемма 6. Пусть Тпп(х, у) = cl_tll_t2el('pix+^2y\ где штрих означает,, что нет, членов

Ц1= — П /12 =—га

Соо, о, Со№, для fj-i = ±1, ±2, ...(¿ = 1,2), 1 ^ р ^ оо, г € N, п € N, I € Si. Тогда

Till1"1 ^пг\\Агж1 ж ¡ Tnnllp.

р 2п х ' 2n ^

Доказательство. Рассмотрим / = Т^1\х,у). Из определения производной по направлению

п п '

1= Е Е ^I^ix+fl2y4¥ih + mi2)r =

имеем

m=-п ¡12=-п га га '

т)' Е Е

/il=—га /i2 = —га

4п + № J -

2п\г

7Г

га га

Е Е

; sin ■

sin

/11 = -га/12=-га 4

Применяя лемму 4, (б), а затем формулу бинома Ньютона, заключаем, что

га га '

7Г

/11 = -га /12=-га

7Г 7 I 7Г 7 ОО

oo ran,

v=—oo т=—пц2 = —п

V= — 00 Ц1 = —ПЦ2 = —П

oo га ra '

r

E <Е(-Ц"С) E E'

m=0

i>=—oo m=0 00 r

ra ra

/11 /12

/11=-ra/i2=-ra ra ra '

= E «Енг(J E E

v=—oo m=0 ^ ' /ti=—ra/t2 = —ra

В силу определения полной разности имеем

[2п\г V^ ,* л г / 7Г , Г7Г, 7Г, Г7Г,

/= — > dtArx , х , Тгага ж + z/—¿1---h,y + v—¿2---¿2

V тг / ^ " 2^ll'2^l2\ V 2п 2 2п 2п 2 2п

Тогда

гр(Г,1^

Е к

а г- ^ ( г/7г^1 Г7Г , Г7Г ,

^|2ТгагаI ж + —--— к,у + —--—/2

2п ' 2п V 2п 4п 2п 4п

= пг\\А^11^12(Тпп(х,у))\\Р Е

и=—оо

Применяя лемму 4, (б), находим

р 2п '2п

что и требовалось доказать.

гага'

Лемма 7. Пусть Тпп(х,у) = ^ ^ с1_111_12ег('Р1Х+^2У\ где штрих означает,, что нет, членов

Ц1=—п /12 = —га

Соо,ето, для ¡Лг = ±1, ±2,... (г = 1,2). Тогда ЦТ^Цоо <

га га '

Лемма 8 [21]. Пусть г £ £ N и т, ^ г — 1,Тгага(ж,у) = ^ ^ где

/11=-га /12 = -га

штрих означает, что нет членов Соо,сМ1о, СоМ2, для = ±1,±2,...(г = 1,2). Тогда, для любой смешанной производной существует г направлений, заданных векторами и = €

§1 (г = 1,2,... , г), для, которых = /л(т, г, Ь)Тппг\ где коэффициенты /¿(т, г, 1{) зависят

г=1

только от, т,г и ¿¿(г = 1, 2,..., г).

3. Конструктивная характеристика полного модуля гладкости.

Теорема 1. Пусть / € К, 1 ^ р ^ оо, г € М, п € N. Тогда

V И/ Р ^—„ И р

(1)

т=0

Доказательство. Обозначим .]\ = п г||Кгга°^(/)||р- Применяя лемму 6, имеем

Л « ||ДГ о*и/)||Р « 11А^,0 (Упп{Л - /)||р + ||АГ_. ,о(/)||Р.

2{2п — 1) ' 2{2п — 1) ' 2{2п — 1) '

Используя определение и свойства частного модуля гладкости, получаем

■Ь « II/ " Кгга(/)||р + ) « ||/ " Упп(Л\\р + "г,о(/,

2(2п - 1)/р Рассуждая аналогично, заключаем, что

■Ь = п-р||^>(/)||р « II/ - ^га(/)||р + шоМ, •

V П/ V

п/р

Очевидно, = ||/ - 14га(/)||р < ||/ - Упоо(/)||р + \\Упоо(1' - Уооп(Л)\\Р- В силу леммы 2, а имеем "С ||/ — Упоо(Л Ир + II/ — Уооп(Л Ир- Применяя лемму 1, а и б а используя свойства частного модуля гладкости, получаем

< Коо(/)р + ^оога(/)р < иГ,о(/, —^—Г) + (7, ~Цг) < (7, + Шо,г(/,~) ■

V П + 1/р V П+1/р V П/р V П/р

Для любого т€Кит^г-1на основании леммы 8 приходим к оценке

1

1\

Воспользуемся леммой 6, а затем определением полного модуля гладкости. Тогда

г г

■ь = п-г\\у^г~т)и)\\Р« ^2п~г\\уппкЧл\\Р« ЕиА\г« „,(*> <У™Шр «

г=1 г=1 2(2п-1) ' 2(2п-1)

г г

¿=1 2(2п-1) ' 2(2п-1) ¿=1 2(2п-1) ' 2(2п-1)

Используя свойства полного модуля гладкости, имеем <С ||/ — ^га(/)||р + Сс>г^/, ^ . Поэтому

■Н = п-г £ \\У^г~тЧЛ\\Р « II/ - ^„(/)||Р + Л/, •

^—' V п/ Р

т= 1

С помощью оценок для 71, .]2, </з и получаем

^ ^ (г 1^

т=0

Так как

1\ С г 1\

J = n-rY^\\Vt'r-mЧЛ\\P + \\f-Vnn(Л\\P^UrJf,-) +^0,г(/,-) + <*(/,") •

^—. V И/р V та/р V П / р

сог,о(/,-) +сооМ,-) = вир ||А^(/)||Р+ вир ||А^2(/)||р =

= 8ир ||А^^2(/)||р+ вир ||ди2(/)11р<

« вир \\К11г2(МР+ вир ||А^2(/)||р = 2^(/,1) ,

¿=1,2 —,г=1,2 У а/р

Н^ШНр = то ,7<а;г(/,±)

Таким образом, доказана оценка снизу в соотношении (1). Теперь докажем оценку сверху в соотношении (1). Используя свойства нормы функции и свойства полного модуля гладкости, имеем

> = Шг 1)Р <К Шг 2(2^1) )р << " 2(2^1) )р + ЩЬТ) )р = * + ^

' / _ \

Ясно, что <С ||/ — Кгп(/)||р- Применяя лемму 5, заключаем, что ^ "С ^ ЦК!™''" (/)||Р-

171=0

г с _ ■)

Объединяя оценки для и ¿2, получаем ^ <С ||/ — К1га(/)||р + п_г ^ ЦК!™''" (/)||Р- Таким образом,

171=0

доказана оценка сверху в соотношении (1).

4. Взаимосвязь между полными модулями гладкости в метриках Ь\ и Ь^. Теорема 2. Пусть / € г € М, 5 € (0,1). Тогда

6

/гИ

Г2и>г+2Ш) 1Т- (2)

о

Теорема 2 точна в том смысле, что существует функция /о(х,у), такая, что для нее в соотношении (2) знак <С может быть заменен знаком ж: .

Доказательство. Для данного 5 € (0,1) существует целое неотрицательное число п, такое, что

о^тт ^ $ < Тогда I = и)г(/, 6)оо шг[ /, ) . Применяя теорему 1, получаем

V / оо

г

I « 2— £ ||4Т"т)(/)11=о + II/ - ^2»2»(/)||оо = Л +

т=0

В силу лемм 1, в и 3 имеем J2 <С ^2"2«(/) оо ^ Ху 22ítü/2M2M(/)i• Лемма 1, в дает

ß=n

оо ß=n

Теперь оценим Ji. Применяя лемму 7, получаем

Jx«2— ¿ ii4^1,r"m+1)(/)iii«2"rar E nví^miii«2— E \\y^2~v\f)h-

m=0 v=0

Из теоремы 1 имеем J\ <C 22rawí.+2^/, • Объединяя оценки для Ji и получаем

оо i /• л

J« E22^+2(/,^)i « / í"V+2(/,í)iT.

Q

Таким образом, соотношение (2) доказано.

Рассмотрим функцию /о(ж) = sin ж sin у. Применяя теорему 1 и используя свойства полного

модуля гладкости, для любого г € N и р € [1, оо] получаем ojr(fo,ó)p х >í 2_гаг х

Поэтому wr(/o,á)oo " и Jt~2ojr+2(fo,t)iY ^ Следовательно, для функции /о в соотношении

о

(2) знак <С можно заменить знаком х .

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-01-01236а) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3682.2014.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123), № 1. 104-131.

2. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Н// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 3. 649-686.

3. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Об одном неравенстве П. Л. Ульянова // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 33-35.

4. Potapov М., Simonov В., Tikhonov S. Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < oo. A survey // Surveys Approx. Theory 2013. 8. 1-57.

5. Потапов M.K., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости дробных порядков функций из пространств Lp, 1 < р < оо // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. VI: Математика. Вып. 1 (к 105-летию С.М. Никольского). М.: Изд-во МГУ, 2011. 90-110.

6. Потапов М.К., Симонов Б.В. Аналоги неравенства Ульянова для дробных модулей гладкости // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. VIII: Математика. Вып. 1 (к 130-летию H.H. Лузина и 85-летию П. Л. Ульянова). М.: Изд-во МГУ, 2013. 62-70.

7. Потлпов М.К., Симонов Б. В. Связь между модулями гладкости в метриках Lp и С // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 1. 7-16.

8. Потапов М.К., Симонов Б.В. Модули гладкости положительных порядков функций пространств Lp, 1 s' р ^ оо // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. VII: Математика. Механика. Вып. 1 (к 190-летию П. Л. Чебышёва). М.: Изд-во МГУ, 2011. 100-104.

9. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-135.

10. Ditzian Z., Tikhonov S. Ul'yanov and Nikol'skii-type inequalities //J. Approx. Theory. 2005. 133. 100-133.

11. Simonov В., Tikhonov S. Sharp UPyanov-type inequalities using fractional smoothness //J. Approx. Theory 2010. 162, N 9. 1654-1684.

12. Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces // Arch. Math. 2010. 94.155-164.

13. Potapov М.К., Simonov B.V., Tikhonov S. Yu. Constructive characteristics of mixed moduli of smoothness of positive orders // Proc. 8th Congress Int. Society for Analysis, its Applications, and Computation (August 22-27, 2011). Vol. 2. M.: People's Friendship University of Russia, 2012. 314-325.

14. Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Теоремы вложения в конструктивной теории приближений // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 107-148.

15. Потапов М.К. О приближении углом // Тр. конф. по конструктивной теории функций. Будапешт: Изд-во АН Венгрии, 1971. 371-399.

16. Потапов М.К., Симонов Б.В. Свойства частного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. X: Математика. Вып. 1 (к 60-летию семинара "Тригонометрические и ортогональные ряды"). М.: Изд-во Попечительского Совета мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014. 58-70.

17. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости дробных порядков. Ч. II. М.: Изд-во Попечительского Совета мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2015. 1-104.

18. Тиман М.Ф. О вложении L^ классов функций // Изв. вузов. 1974. 149, № 10. 61-74.

19. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Roczn. Comment. Math. Prace Mat. 1976/1977. 19, N 2. 389-400.

20. Потапов M.K., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости дробных порядков. М.: Изд-во Попечительского Совета мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014. 1-136.

21. Тиман М.Ф. О разностных свойствах функций многих переменных // Изв. АН СССР Сер. матем. 1967. 33. 667-676.

Поступила в редакцию 26.11.2014