CC BY
713. Селезнёва С.Н. Нижняя оценка сложности нахождения полиномов булевых функций в классе схем с разделенными переменными // 11-й Междунар. семинар "Дискретная математика и ее приложения". М.: Изд-во МГУ, 2012. 216-218.
14. Григорьев Д.Ю. Нижние оценки в алгебраической сложности вычислений // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1982. 118. 25-82.
15. Alón N., Karchmer M., Wigderson A. Linear circuits over GF(2) // SIAM J. Comput. 1990. 19, N 6. 1064-1067.
16. Гашков С.Б., Кочергин B.B. Об аддитивных цепочках векторов, вентильных схемах и сложности вычисления степеней // Методы дискрет, анализа в теории графов и сложности. Вып. 52. Новосибирск, 1992. 22-40.
17. Гашков C.B., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М.: Высшая школа, 2000.
Поступила в редакцию 10.10.2012
УДК 517.5
СВОЙСТВА СМЕШАННОГО МОДУЛЯ ГЛАДКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ПОРЯДКА В СМЕШАННОЙ МЕТРИКЕ М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2
В работе рассматриваются основные свойства смешанного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике.
Ключевые слова: смешанный модуль гладкости, смешанная метрика.
Basic properties of the mixed modulus of smoothness of positive order in a mixed metric are considered.
Key words: mixed modulus of smoothness, mixed metric.
C.M. Никольский fl] и H.C. Бахвалов [2] ввели в рассмотрение классы функций с доминирующим смешанным модулем гладкости натурального порядка. С тех пор появилось довольно много работ, в которых изучаются как вложения классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости, так и свойства самих смешанных модулей гладкости, особенно большое внимание уделяется исследованию модулей гладкости любых положительных порядков.
В данной работе рассматриваются свойства смешанного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике LPlP2,1 ^ pi ^ те, i = 1, 2. Аналогичные вопросы рассмотрены для случая 1 ^ pi = p2 ^ те в работе [3].
1. Определения. Введем обозначения:
Lpip2, 1 ^ pi ^ те, i = 1,2, — множество измеримых функций двух переменных f (xi,x2), 2п-
периодических по каждому переменному, таких, что \\f\\P1,P2 = ||{||f||P1}||P2 < те, где \\F\\Pi = i
/2тг \ щ
I f F^dx^ , если 1 ^ pi < те, и \\F\\Pi = sup vrai|F|, если pi = те;
2n 2n
LP1P2""""""""' множество функций f £ LP1P2, таких, что J f (x1,x2)dx1 = 0 для п.в. x2 и J f (x1,x2)dx2 = 0
0 0
для п.в. xi;
Vmi tix(f ),V<x>,m2 (f ),Vm1,m2 (f) _ суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции f (x1,x2), т.е.
2п 2п
Vmi,oo (/) = ¡{Xl+tux^v^it^dtu Fco,m2(/) = ^ J f{Xl,X2+t2)V^{t2)dt2, 00 2n 2n
Vmum2(f) = ^ J J f(x1+t1,x2+t2)V^i(ti)V^(t2)dt1dt2 (ггц = 0,1,2,..., i = 1,2), 00
1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.
2 Симонов Борис Витальевич— канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.
16 ВМУ, математика, механика, №6
где V0°(t) = D0(t), V^(t) = D"(t)+-:D2-l(t), n = 1,2,..., Dm(t) = m = 0,1, 2... ;
f (pi,pl — производная в смысле Вейля функции f (X\,X2 ) порядка pi(pi ^ 0) по перемен ной xi и порядка р2(р2 ^ 0) то перемен ной x2 [4, с. 238];
Ymi т2 (f )pipi ~ наилучшее приближение двумерным углом функции f G Lpipi, т.е. Ymi mi (f )pip2 = ^ inf \\f - Tmi , ж Тж,m2\\pipi i ГД6 ^уНКЦИИ Tmi,ж (X1 ,X2 ) G Lpip2 И ЯВЛЯЮТСЯ TpHpQHQMgTpHxigcKH™
Tm i, oo 5 To ,m 2
ми полиномами порядка не выше Ш\ по перемен ной x\, а функции Тж, m2 (x\,x2) G Lpip2 и являются тригонометрическими полиномами порядка не выше Ш2 по перемен ной x2-
Для функции f G Lpip2 определим разности с шагами hi и h,2 положительных порядков ai и a2 соответственно по переменным xi и x2 следующим образом:
<х <х
К (f)=J2(-1)Vi (£) f(xi + (ai - Vi)hi,x2), Kl (f)^(-l)V2 (%) f(xi,x2 + («2 - V2)h2),
vi =0 vi=0
где (") = 1 для v = 0, (") = а для v = 1, (") = v+i) ^^ v
Обозначим через wai,a2 (f,6i ,§2)pip2 смешанный модуль гладкости положительных порядков ai и а2 соответственно по переменным xi и x2, т.е.
шai,а2 (f,§i ,§2 )pi pi = sup уд^ ^l
(f ))\\pip2 ■
, i=i,2
Введем обозначения:
Wpap2° — множество фун кцпй f G L0ipi, таких, ч то f(ai,0) g L<pip2, W^pf* — множество фун кцпй f G L0ipi, таких, ч то f(0,ai ) G L<pip2, Wpap2al — множество фун кцпй f G L0ip2, таких, ч то f(ai,ai) g L0ip2 ■
К-функционадом функции / £ £р1Р2 будем называть величину
Ка1 ,а2 имм)рр = п. , , \\/ - 91 - 92 - П\\р1Р2 +
++аЦ\9(а1 >°)|| + +а2\\9(°'а2 )|| I +а1 +а2\\п(а1 ,а2)\\
+Ь1 \\п1 \\Р1Р2 + ь2 \\д2 \\Р1Р2 + Ь1 ь2 \\д \\Р1 Р2
где и > 0, г = 1,2.
Для неотрицательных функционалов ¥(/,61,52) и С(/,61,52) будем писать ¥(/,61,62) ^ С(/,61,52), если существует положительная постоянная С, не зав таящая от /,61 и §2, такая, ч то ¥ (/,61,62) ^ СС(/, 61,62). Если одновременно ¥ (/,61,62) ^ С(/,61,62) и С(/,61,62) ^ ¥ (/, 61,62), то будем писать ¥(/,61,62) ~ С(/,§1,62)•
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1 [5]. Пусть / £ ЬР1Р2, 1 ^ рг ^ те, кг £ N,41 = 0,1, 2,..., г = 1, 2. Тогда
п п
||/ — Кг1,оо(/) — ^оо,П2 (/) + Кгьгаг (/)\\p1p2 ^ (/)р1Р2 ^ ^ьА^/) Г~Г) ~ Гт)р1Р2"
41 + 1 42 + 1
Лемма 2. Пусть / £ Ь°1Р2, 1 ^ рг ^ ^ 4г = 0,1,... ,г = 1, 2. Тогда
(а) \\^1
<Х>(/)\\Р1Р2 ^ \\!'\\Р1Р2 > (б) (/)\\р1Р2 ^ \\/\\Р1Р2 .
Доказательство. Так как ^ / ^ 3 для т = 0,1, 2,... , то, применяя обобщенное неравен-
ство Минковского, имеем
п
0
2п 2п
1 f f (XI + h, x2)V^(ti)dti
П J - ' ni
0 pipi 0
№4*1)1 \\f(Xl +ti,x2)\\
pi p2 dti < 3\f \\pipi,
œ>(f ) \\pip2 —
т.е. справедливо неравенство (а). Аналогично доказывается и неравенство (б).
Лемма 3 [6]. Пусть а> 0 Тогда £ (-1)и (£) = 0.
и=0
Лемма 4. Пусть / € Ь<01б2,д € Ь^ , 1 ^ рг ^ ж, аг > 0,в > 0, г = 1, 2. Тогда
(а) (/ + д) = к / + д; (б) (/ + д) = ДЦ / + ^ К К /) = К\+в1 /;
(Г) Д£(ДЦ/) = /; (д) Д1/|1б1б2 « УУб1б^е) Д2/|и2 « И/11б1б2*
Доказательство леммы 4 следует из утверждений работы [6].
Лемма 5. Пусть а1 > 0, функция Тп1С(х1,х2) € Ьб1б2, 1 ^ рг ^ ж,г = 1, 2, и является тригонометрическим полиномом порядка, не выше п1(п1 € N) по перемен ной х1. Тогда, справедливы, неравенства
(а) ||Да1 Ти1^уб1б2 « п1 1 ||ТП1 с» ) любо го Ъ,1 : 0
(б) ||?га100 ||р1р2 ^ Л-Тщоо\\P1P2 >
ту .
П1 '
>; (В) ||Т"-1 с )Уб1б2 « п11 1Т»1С1 б1б2 • "1
Доказательство, (а) Пусть сначала 0 < а\ ^ 1, 0 < \к\\ ^ Тогда, используя результаты работы [6, с. 397], получаем, что для почти всех справедливо равенство
к=—ж
+с
где £ \йк(п1 )| « п—а1 • Отсюда, применяя неравенство Минковского, имеем к=
псПбб
«
+с
Аан1ТП100(Х1-^к1,Х2) « £ |^(П1)|||ТЙь0)||р1и<пГа1||Г1(аь0)
1 2 б 1 б 2
с | б 1 б 2
к=
Пусть теперь а1 > 1, тогда а1 = Ш1 + в1, гДе 0 < в1 ^ 1,т1 € N• Применяя лемму 4 (в), а затем только что полученное неравенство Ш1 раз, находим
^/Н ТП1 сУб1б2 =
НД^ (д™Тп
П1С ||б1 ,б2
« п-ж;-1+в1 Тй
п1с N61,62
« •••
• •• « п'Г1 |Д1 Тт0)Цб1б2 « п-а1 ТС
п1 С Мб1б2!
П1М
и тем самым неравенство (а) доказано.
(б) Используя результат работы [6, с. 392], получаем, что для почти всех х2 справедливо равенство
Т^\хъх2)= £ Ьк(п1)А%ТП100(х1 +
к= 1
кп п1
а1п 2п
-,х2
где £ \Ьк(щ)\ « п^1. Отсюда по неравенству Минковского имеем к=
ЦТ^0) ||б1б2 « Е \Ьк(п1)\
к=
«п
а1
б1 б2
Д«1 гр
± щоо
б1 б2
[П1Ю ||б1б2 '
и тем самым неравенство (б) доказано.
Применяя лемму 4 (д) и только что доказанное неравенство, получаем ||ТП(а^0) |б1б2 « п^1 ЦТп и тем самым неравенство (в) доказано. Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Пусть а2 > 0, функция Тсп2 (х1,х2) € Ьб1б2, 1 ^ рг ^ ж,г = 1, 2, и является тригонометрическим полиномом порядка, не выше п2(п2 € N) по перемен ной х2. Тогда, справедливы, неравенства
(а) ЦА^ГоопзЦр^з < Ща2\\Т^22)\\Р1Р2 для, любого Л,2 : 0 < \Н2\ <
(б) ЦТоопг Ир1р2 IIД ^--^оогаг Нр1Р2 > (®) Ц^оогаг ||р1рг Н-^ооггг 11р1Р2 •
п2
Доказательство леммы 6 аналогично доказательству леммы 5. Лемма 7. Пусть / € Ьб1б2, 1 ^ рг ^ ж,тг = 0,1, 2,... ,аг > 0,г = 1, 2^ Тогда
(а) ||*2»1+1«(/) - ^2^1 с(/)|б1б2 «21™1 а1 ||к(:11;1о(/) - у£1 %(/)||б
2т1+1с
17 ВМУ, математика, механика, №6
| б 1 б 2
1
1
(б) \уж^т2+1 (/) - (/^ «2-™2 а2 уи^ (/) - (/)\\
»2т2+1у^ > г О 2т2 \J )\\Р1Р21 (в) \\V2m1 2^2 (/) - У2т1 + 12^2 (/) - У2^1 2^2 + 1 (/) + У2т1+12^2+1 (/)\\Р1 Р2 « 2-т1 а1-т2а2 \\ (^1 2^2 (/) -
У2т1+12т2 (/) - У2т12т2+1 (/) + У2т1 + 12т2+1 (/)) \\Р1Р2 .
Доказательство леммы 7 аналогично доказательству лемм 3.3 и 3.4 из работы [7]. 3. Конструктивная характеристика смешанного модуля гладкости. Теорема 1. Пусть / £ Ь° 2, 1 ^ рг ^ ж,аг > 0,4г £ М,г = 1, 2. Тогда
Р1 Р2
' 2щ - 1' 2п2 - 1 ^Р1Р2 ~ П1 №1П2 "2^\\р1Р2 + П1 а1 И«^/ ~ ^оо,п2(/))||Р1Р2 + +4-а2 Ша) (/ - УП1О (/))\1,т + ||/ - УП10 (/) - V» ,П2 (/) + УП1 ,П2 (/)\
Р1 Р2 1 2 1 2 Р1 Р2
Доказательство. В силу леммы 4 (а) и (в) и свойств нормы функции для любых ^ и 4г £ N,г = 1, 2, имеем
\\К\ (^ (/))\\Р1Р2 < \\К\ (^ (/ - Угьоо (/) - V» ,П2 (/) + Ущ ,П2 (/)))\\Р1 Р2 + + \\Аа\ (л% (УП10 (/ - V» ,П2 )))\р1Р2 + (У00 ,П2 (/ - УП10 )))\р1р2 +
+ \\ла1 (К?2 (УП1,П2 (/)))\\Р1 Р2 = 11 + 12 + 13 + 14.
Сначала оценим 11 сверху. Обозначим р(х,у) = / - УП1>00(/) - V»,П2(/) + УП1,П2(/). Применяя лемму 4 (д) и (е), получаем, что справедливы неравенства
11 = \\АЦ (А% Ш\Р1Р2 « ШР1Р2 « МР1Р2 .
Следовательно, доказано, что 11 « \\/ - Упг»»(/) - V»щ2(/) + Ущ,^(/)\\рр. Теперь оценим 12 сверху. Обозначим ф = / - V»,П2 (/). Согласно лемме 4 (е),
12 = (л% (УП1» (ф)))\\ Р1 Р2 «\\ла\ (Ут »(ф). \ Р 1 Р 2
В силу леммы 5 (а) для : 0 < \к\\ ^ 2га^"_1 справедливо неравенство \\А^111(УП1>00(гф))\\Р1Р2 <С ||1/гаьоо0^('(/;)11р1Р2- Следовательно, доказано, что для 0 < \Н\\ < 2пг-\ имеем
12 « 4-а1 Уа^/ - VО ,П2 (/))\\Р1Р2 .
Аналогично доказывается, что для 0 < |Лг-х| < 1; 0 < < 2П2-1 справедливы неравенства
1з « 4-а2\\Vga)(/ - УЩ,оО (/))\\Р1Р2 ; 14 « 4-а14-а2 Уапа2)(/)\\Р1Р2 .
Отсюда следует, что
пп
<22 (/') 2п _ I ' 2п2 — 1^Р1Р2 ^ ^ _ Уп1,оо(1) — Уоо,П2{1) + ^/п,1,П2(/)11р1Р2 +
+4-а1 у^/- V» ,П2 (/))\\Р1Р2+4-а2\\у(°а2)(/ - уП1,о (/))\\Р1Р2+4-а14-а2\\ущаща2)(/)\\рр. Тем самым оценка сверху в теореме 1 доказана.
Теперь проведем оценку снизу. В силу леммы 1 и свойств модуля гладкости натурального порядка имеем
А1 = \\/- УП1 о (Л - V» ,П2 (/) + УП1 <П2и )\\рр «
п п п п
п п п п
« ^Ы+1,Ы+1 (/, ^ « ЫЫ+1.Ы+1 [I, 2^1-1' ;
Применяя лемму 4 (в) и (г), получаем
А1 < 8ПР \л[а11]+1-а1 (ла]+1-а2 (ла1 (Л% (/)))) \\р1 Р2.
2^7-1
Согласно лемме 4 (д) и (е), имеем
А! < SUp (f Mpp = Uaua2( f,
П П
2щ - V2n2 - 17 pip2
Теперь оценим А2 = - V»,П2(/))\\р1Р2-
Обозначим 7(х,у) = /(х,у) - V»,П2(/). Тогда, применяя лемму 5 (б), получаем, что справедливо неравенство
11К^0)(7)11Р1Р2« Ч1 11Д^(^Ь=О(7))11Р1Р2-
2п1-1
Откуда следует, что А2 < та"1 ||К,1Гоо(А"17Г (7))||Р1Р2-
2 п^ —1
Согласно лемме 2 (а), получим
А « па1
A^v-v^f))
7Г
2п1-1
Р1Р2
Обозначим А°\_(/) = Тогда А2 < та"1^ - У(Х>!П2(Г)\\Р1Р2. Так как У0,оо(¥) = ,п2(¥) = 0, то — 1
А2 « 411 \\¥ - (¥) - V». т2(¥) + У°,П2(¥)\\р1 Р2- Откуда в силу леммы 1 и свойств модуля гладкости натурального порядка А2 < та"1ш[а1]+1)[а2]+1(¥, тг, ^щ)Р1Р2 < та"1^«^^^^, тг, 2^Ьт)р1р2- На основании леммы 4 (в) и (г) заключаем, что
А « па1 sup АЫ+!(АЫ+!-а2(А%(F)))
I /и К И
Р1Р2
Согласно лемме 4 (д) и (е), имеем А2<пГ sup || Д^2 (F)||P1P2 = та"1 sup Д£22(Д^(/)) «та>«ь«2 (7,
П П
2ni - 1 2n2 - 1
2^1 х ^ ^ ' Р1Р2
Аналогично доказывается справедливость неравенств
пп
\\У£П22\f - Vnuoo (f ))\\Р1Р2 « па2 ^2 ( f,
2П1 - 1 2П2 - К Р1Р2
241 - 1 242 - 1 Р1Р2 Отсюда следует, что
\\/ - УП1,» (/) - V» Щ2 (/) + Уп1 ,П2 (/)\\Р1Р2 + 4-а1 У^/ - V» Щ2 (/))\\Р1Р2 +
+п2а2\\У^(/ - УПи00(тР1Р2 +таГ"1та2-"2||^«ь"2)(/)1иР2 « (7 *
V 241 - 1 242 - К Р1Р2
т.е. справедлива оценка снизу в теореме 1.
К
Теорема 2. Пусть / £ Ь^р1Р2, 1 ^ рг ^ те, аг > 0 0 < 6г ^ п, г = 1, 2. Тогда
^а1 ,а2 (./, 61,62)Р1 Р2 — Ка1 ,а2 (/,61,62)р1Р2 . (1)
Доказательство. Для любых 5г € (0,7г] найдутся натуральные числа щ, такие, что 2пк+1 < 5% ^ з^гт, г = 1,2. Если / е Ь°Р1Р2, то
("Уп1+1,оО(/) - У„1+1,п2+1(/)) £ wРаp,f), (у»,п2+1(/) - У„1+1,п2+1(/)) £ wp°pа22\ У„1+1,п2+1(/) £ wp<аp):íа2)).
18 ВМУ, математика, механика, №6
Поэтому
Ка1 ,а2 (Л ¿1^2)б1б2 ^ У/ - (Уп1 + 1,с(/) - Уп1+1,п2 + 1(/)) - (Уоо,п2+1(/) - Уп1+1,п2 + 1(/)) - Уп1+1,п2 + 1(/) Нб1 б2 +
||Уг1 + 1,оо(/) — ^х+1,п2 + 1(/)||Р1Р2 + ¿22 ||Кх>,'п2-+1(/) — ^?г1+1,п2 + 1(/)|б1б2 + 1 ¿2 2 ||Уп1 + 1,п2+1(/) УР1Р2 = = У/ - У'п,1 + 1,сю (/) - Ус ,п2+1(/) + Кп1 + 1,п2 + 1(/)Уб1б2 + ¿11 УКпа+1°)оо (/ - ,п2+1(/))|б1б2 +
^¿«2 Иу^+л/ - Уп1+1с (/))|б1б2+¿а1 ¿а2 иупа+т^+Шб^ «
« ||/ - Уп1 + 1с(/) - Усо,п2+1(/) + Уп1 + 1,п2+1(/)Ур1б2 + (п1 + 1)"а1 УУ^(/ - Усо,п2 + 1(/))|б1б2 +
+ (п2 + 1)"а2 УУi°;nа¿l(/ - Уп1 + 1с (/))|б1б2 + (п1 + 1)"а1 (п2 + 1)"а2 ЦУпа+ Й + 1(/)||рр •
Применяя теорему 1, а затем определение смешанного модуля гладкости, отсюда получаем
п п
Каиа2а,51,52)Р1Р2 < ша1,а2 (/, 2 + 1 , 2 + 1 )Р1Р2 < ^«ьа2(/, ¿1,Й2)Р1Р2- (2)
Теперь докажем обратное неравенство. Для любых функций д1 € шР^0^, д2 € шР°р«2)и д € шб^;"2), согласно лемме 4 (а) и (б) и свойствам нормы, имеем
(/Л, ¿2)Р1Р2 « ,а2 (/ д1 д2 д^1 , ¿2)р1р2 + ^а1,а2 (д1 ,¿l, ¿2 )Р1Р2+
,а2 (д2, ¿1, ¿2 )Р1 Р2 + ^«1 ,«2 (д, ¿1 ,¿2)б1Р2 = ' + ' + ' + ' • Из леммы 4 (д) и (е) получим ,]1 «У / - д1 - д2 - д||Р1 Р2 •
Теперь оценим .]2 • Для любых ¿г € (0,п] найдутся целые неотрицательные числа щ, такие, что 2^2-1 < ^ ^ 2"»+1 —1' 1 = 1'2- Рассмотрим В2 = Ша1,а2{д I, 2гп + 1_г, 2"2 + 1-1 )Р1Р2" В СИЛУ леммы 4 (а), (б), (д) и (е) имеем
п п п п
В2 < шаьа2 ( 91 - Т'эт.осЫ, +1 _ , +1 _ ) + шаьа2 ^1,00(51), 2^ГГТ> 2^+ПГГ <
- - б 1 б 2 - - б 1 б 2 « ||д1 - У2"1 ,о(д1)Уб162 + 8ир ||Д«1 (У^ , оо (д1 ))||р1 р2 = '21 + '22 •
|Л1|<
2п1 + 1_1
•Л"
Применяя лемму 5 (а), а затем лемму 2 (а), получим, что для Н\ : 0 < \Н\\ ^ 2"1+1-1 справедливы неравенства
||д«1 У2"1 с(д1 )Уб1Р2 «2-п1а1 Цу^^ЫИр^ = 2"п1 а1 ||У*.1 оо(дГ ПИр^ «21
1 | б 1 б 2
из которых следует, что .122 « 2 п1 а1 ||д(а1 ,°)Уб1 Р2•
Используя леммы 7 (а) и 2 (а) и рассуждая, как выше, заключаем, что выполняются неравенства
оо
|д1 - У2п1 ,с(д1)|б1б2 « Е 11У2т1 ,с(д1) - У2т1 ;1,оо(д1)|б1б2 «
т1=п1
оо
2т1«1 II V " >с 2 1 ИР1Р2 11 1 11Р1Р2
т1 =п1
Таким образом, ,]21 « 2-п1 а1 ||д(а1,°) ||Р1Р2 •
Объединяя оценки для '21 и '22, имеем В2 « 2-п1а1 ||д(а1 ,°)|р1р2• Так как по определению смешанного модуля гладкости иЗа1>а2 (дЪ ¿1, ^2)Р1Р2 < Шаъа2(д\, 2"1+1-1» 2"2+1-1)Р1Р2' Т0 ^ < 2"га1а1 Ц^!"1 '0) ||Р1Р2 . Аналогично доказывается, что 'з « 2-п2"2 |д2°,а2)У61Р2 •
Теперь оценим '4 • ^^я любых ¿г € (0,п] ^^дутся целые неотриц^^^^^^^ чиела щ, такие, что
2"г+2_1 < й ^ ^ттт—Т> г = 1,2. Рассмотрим В3 = ша1,а2 (д, 2п1+1_1, 2п2+1_1)
Согласно лемме 4 (а), (б), (д) и (е), имеем
« \\9 - У2П1,2П2 (П)\\Р1Р2 + 8ПР (АЦ (У2П1,2П2 (П)))\\р1р2 = Ь1 + Ь2.
Применяя леммы 5 (а) и 6 (а), а затем лемму 2 (а) и (б), получим, что для Ьц : 0 < ^ 2"г+1-1' г = 1,2 справедливы неравенства
\А01 (Аа(У*ч,2п2 (9))\\Р1Р2 « 2-П1а1 \\A12(п))\\р1 Р2 «
« 2-т1 а1 -П2а2\\Vn12П2 (д(а1 ,а2) )\р1р2 « 2-П1 а1 -П2а2\\д(а1 ,а2)\р1р2,
из которых следует, что .132 « 2-П1 а1 -П2а2\\д(а1 ,а2^\\Р1Р2.
Используя леммы 7 (в) и 2 (а) и (б) и рассуждая, как выше, заключаем, что имеют место неравенства
оо оо
\\п - у2п12П2 (91)\Р1Р2 « X/ \\у2т12т2 (9) - У2^1+12т2 (9) - У2т12т2+1 (9) + У2™1+12т2 + 1 (9)\\р1р2 «
т2=П2 Ш1 =П1
оо оо
« XI Е 2т1«1+т2"2 11 (^2т1 2т2 (<?) - У2т1 + 12т2(д) ~ У2гп12гп2 + 1 (д) + + У2т1 + 12т2+ 1 (#) ) ^Ц^ <
т2 =П2 т1=П1
^ 2-П1а1-П2а2 \ \ д(а1 ,а2) I
9
Р1 Р2
Таким образом, 131 « 2-П1а1 -П2а2\\д(а1 ,а2)\\р1р2.
Объединяя оценки для .1з1 и .1з2, имеем В3 « 2-П1 а1 -П2а2\\д(а1 ,а2)\\р1р2. Так как по определению смешанного модуля гладкости
пп
Ша
а1>а2 ) ^)р1р2 ^ Ш"Ъ"2 {91 2Щ+1 _ 1 ' 2™2+1 _ 1 )Р1Р2 '
ТО 14 <С 2-п1а1 -п2И2\\д(а1 ,а2)\\
4 « Р 1 Р 2
Объединяя оценки для 11,12,1з и 14, имеем ^а1,а2 9,61,62) « \\/- 91 - 92 - д\\р1 Р2 + 6а1 \\gt~1\\Р1Р2 + 62а2\\д{2,а2 )\р1 Р2 + 6а16а2\\д(а1 ,а2)\\рр.
Поскольку последнее неравенство выполняется для любых функций д1 £ Шрар,2°, 92 £ WpР^Р^2) и д £
а1,а2)
Р1Р2 , то из него следует неравенство
Ша1 ,а2(91,61,6) р1р2 « Ка1,а^91,61,62) р^ . (3)
Из (2) и (3) получаем соотношение (1). Теорема 2 доказана полностью. 5. Основные свойства смешанного модуля гладкости.
Теорема 3. Пусть / £ Ь^р1Р2, д £ Ь°1Р2, 1 ^ рг ^ ж, > аг > 0 4г £ N г = 1, 2. Тогда
^ Ша1,а2 (/,61, 0)р1Р2 = ша1,а2 (/, 0,62)Р1Р2 = Ша1,а2 (/, 0, 0)Р1 Р2 = 0;
2) Ша1,а2 (/ + 9,61, 62)Р1Р2 « Ша1,а2 (/, 61,62)Р1Р2 + (g, 61,62 )Р1Р2;
3) Ша1,а2 (/, 61, 62 )р1р2 « Ша1 ,а2 (/, Ъ2)р1р2 , есл и 0 ^ 6г ^ = 1,2;
4) Шаъа2им2)щР2 < (Ш2)Р1Р2; если =
"1 "2 ''1 ''2
5) Ша1,а2 (/, М61, \262)Р1Р2 « (Х1 + 1)а1 (*2 + 1)а2
Ша1,а2 (/,61,62)р1р2 , если Хг > 0,г = 1, 2;
П1 + 1 П2 + 1
6) ^П1 — 1,п2 — 1 (/ )р1р2 ша1,а2{11 ^¡)р1р2 ^ ^ ^ Vl1 2 1,^2-1 (/)р1Р2 !
1 2 V1 = 1 Ь2 = 1
7) Шв1,в2 (/,61,62 )Р1Р2 « Ша1,а2 (/,61,62)р1Р2
8) Шаиа2шиб2)р,р2 ^ если 0<5г^тт,г = 1,2. " " "1 1 "2 2
Доказательство. Свойства 1, 2 и 3 следуют из лемм 3 и 4 (а) и (б) и определения модуля гладкости. Докажем свойство 4. Применяя теорему 2, имеем
(Л S1,§2)P1P2 (Л ¿1 ^2)P1P2 Ka1 ,а2 (f,t1,t2 )p1p2 ^a1ta2 (f, ¿1 ,t2)p1p2
~ ¿¡И*2 ~ i?1^2 '
И тем самым свойство 4 доказано. Свойство 5 следует из свойств 3 и 4. Докажем свойство 6. Сначала рассмотрим случай ni ^ 2, i = 1, 2.
Для n1 ^ 2 ж n2 ^ 2 имеем либо ni — 1 = 2mi — 1, либо ni — 1 = 2mi5 где mi £ N, i = 1, 2. Поэтому из определения приближения углом следует, что
J1 = Yn1-1,n2-1(f )P1P2 « Y2m1 -1,2m2-1(f)P1P2 « \\f — Vm1,oo (f) — Voo ,m2 (f) + Vm1,m2 (f )WP1P2 .
Применяя теорему 1, имеем J\ <C toai,a2 (/, i; 2m2-i) • Согласно свойству 4 смешанного модуля, Ji < шаьа2 (/, ) , и тем самым в этом случае левое неравенство в свойстве 6 доказано.
n1 n2 P1 P2
Теперь рассмотрим случай n1 = 1, n2 ^ 2.
Так как n2 ^ 2, т0 либо n2 — 1 = 2m2 — 1, либо n2 — 1 = 2m^, где m2 £ N. Поэтому из определения приближения углом следует, что
A = Y0,n2-1(f)P1P2 « Y0,2m2-1(f )P1P2 « \\f — Vo ,m2 (f )\\p1P2 «
« \\f — V1,oo (f) — Vo ,m2 (f) + V1,m2 (f )\\P1P2 + \\V1,oo (f) — V1,m2 (f)Wp1P2 = Ai + A2. Рассмотрим функцию F(x,y) = f(x,y) — V0,m2(f). Так как s0,oo(f) = 0 и V1,oo(F) = s1,00(F), то sft,0)(F) = (—1)K1 sio(F), где 2ki > ab «1 £ N Поэтому A2 = \\Vi(,^1,0)(f — Vo^(f))\Up2. Итак,
A « \\f — Vi,o (f) — Vo ,m2 (f) + Vi,m2 (f)\p1P2 + WV/2^1,0)(f — Vo ,m2 (f ))\Up2 .
В силу теоремы 1 имеем А <С W2Kl,a2 (/, 7г, 2т7Г_1 ) . Применяя сначала лемму 4 (в) и (д), а затем
V 2 /P1P2
свойство 4 смешанного модуля, получим
A « sup \\AlK1-a1 (да1 (Д02(f)))\\p1 P2 « sup \\Aa1 (A£(f))\\P1P2 =
и тем самым левое неравенство в свойстве 6 доказано в этом случае.
Аналогично доказывается левое неравенство в свойстве 6 в случаях п 1 ^ 2, п2 = 1 и п 1 = п2 = 1. Теперь докажем правое неравенство в свойстве 6.
Для любых натуральных чисел пг найдутся целые неотрицательные числа шг, такие, что 2т*+1 - 1 ^ пг < 2т*+2 - 1, г = 1, 2. Применяя свойство 3 смешанного модуля, а затем теорему 1, имеем
1 1 \ / „ 7Г 7Г
р1 р2 р1 р2
J2 - 0Jai,a2 [ f, ^ W«l,«2 2mi + l _ х' 2"i2 + l _ X ) <
« \\f — V2m1 ,0 (f) — Vo ,2»2 (f) + V2m1 ,2-2 (f)\\p1P2 + 2-m1 a1 \ \ V)—!,0) (f — Vo ,2m2 (f ))\P1P2 +
+2-m2 a2 wv!0^ (f — V2-1 ,o (f)) \\p1p2 +2-m1 a12-m2 a2\\Ф ,amm)2 (f )\P1 P2 = J11 + J12 + J13 + J14. Согласно лемме 1, Jl1 « Y2-1,2-2 (f )P1P2. Так как V0,oo (f) = 0, то
m1
A 2 = \\v£i ,02 (f — Vo ,2-2 (f ))WP1P2 «Y, WVia1,;0)(f — Vo ,2-2 (f)) — V[2a1-°1],oo (f — Vo ,2-2 (f))Wp1P2 .
=0
Применяя лемму 5 (в), имеем
A2 « Е 2^1a1 WV2M1 ,o(f — Vo,2-2 (f)) — V[2M1-1 ],o(f — Vo,2-2 (f))\Up2
M1=0
E a1 \\,oo(f ) — V2^1,2-2 (f) — V2M1-1 ],o(f ) + V[2n -1],2-2 (f )WP1P2 . m =0
Согласно лемме 1,
m1
A2 « E 2M1 a1 Y[2M1-1],2-2 (f )p1p2 «
M1=0
n1 1 n1 n2 « £ ^"^-iw/w*« — £ £ ^-V«2"1^.!,^.^/)
1 V-l-1,2"^\J Jpip2 ^ / . / ,V\ "2 ± Vl~l,V2~i V J JP1P2-
n2
V1 = 1 2 V1 = 1 V2 = 1
l l П1 + 1 П2 +1 _ l _l
Откуда следует, что Ji2 < ^г^ Е Е yvi-i,v2-iU)piP2 = J■
1 2 V1 = 1 V2 = 1
Аналогично доказывается, что J13 « J и J14 « J, и тем самым правое неравенство в свойстве 6 доказано.
Докажем свойство 7. Применяя лемму 4 (в)-(е), имеем
^ьв2алл)p1p2 = sup \\дв1 (Ah2(f))\\p1p2 = sup \K1-a1 (Ah2-a2Aa1 (Aa2(f))))\\pp «
|hi|<5i,i=1,2 \hi\<5i,i=1,2
« sup W(Aa1 (AZ (f ))\\P1P2 = ^
a1 ,a2 (f, ¿1, ¿2)P1 P2 ,
|hi|<5i,i=1,2
что и требовалось доказать.
Докажем свойство 8. Для любых ¿i, таких, что 0 < ¿i ^ существуют натуральные числа щ, такие,
что < 5i ^ г = 1,2. Поэтому в силу свойства 4 смешанного модуля ni +1 ni
Л _ (/; <М2)Р1Р2 ai ai / f J_ J_\
л ~~ ^ "l n2 ша1,а2 \J J ^ J n^)PiP2-
П1 + 1 П2 + 1 _ 1 _ 1
Применяя правое неравенство из свойства 6, получим A « ^ ^ vZ1- Va2- YV1-i,V2-i(f)P1P2.
V1 = 1 V2 = 1
Левое неравенство из свойства 6 дает
П1+1П2+1 /-, 1 \ П1+1П2+1 w/3b/32 (777, ,
А « Е Е (А Л = Е Е .г"1-1""2-"2-1-v /Р1Р2
,/, =L ,/о = L \ 1 2/ P1P2 ,/, =L ,/О = L
V1 ) \V2
1 l^W, Л в2
1/1 = 1^ = 1 Ч"1 "2/PlP2 1^1 = 1 1^2 = 1 ' ' '
Наконец, применяя свойства 4 и 3 смешанного модуля, получим
1 1 I i 1 i 1 ,, I п п
У Р1Р2 \ \ ai —/3i — 1 a2 —/32 — 1 _у ^ /Р1Р2 „ ^l.fev"!? "2;
, ./81 / х/32 "l 2 ^ , x/3w х/32 ^ rfirf
1 ' f —3—^ 1 и1 = 1и2 = 1 Мтт Мтт ^
п1 + 1у \п2 + 1 ) \п1 + 1 ] уп2 +1
что и требовалось доказать. Теорема 3 доказана.
Замечание. Используя свойства 3 и 4 смешанного модуля гладкости в теореме 1, можно заменить
ш«1,а2(/) 2т11_ 1) 2П2 —1 )Р1Р2 на ш«1,а2(/) ^)р1р2-
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-014)0043) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3682.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гёль-дера // Сиб. матем. журн. 1963. 4, № 6. 1342-1364.
2. Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. 7-16.
3. Potapov М.К., Simonov B.V., Tikhonov S.Yu. Constructive characteristics of mixed moduli of smoothness of positive orders // Progress in analysis: Proc. 8th Congr. ISAAC, Moscow, Peoples' Friendship University of Russia. 2012. 2. 314-327.
4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
5. Потлпов М.К. Приближение углом и теоремы вложения // Math. balk. 1972. 2. 183-198.
6. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. Prace Mat. 1976/77. 19, N 2. 389-400.
7. Симонов Б.В, Тихонов С.Ю. Теоремы вложения в конструктивной теории приближений // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 107-146.
Поступила в редакцию 24.10.2012
УДК 519.718.7
ПРОВЕРЯЮЩИЕ И ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ КОНЪЮНКТОРОВ, ДИЗЪЮНКТОРОВ И ИНВЕРТОРОВ
К. А. Попков1
Рассматриваются задачи проверки исправности и диагностики состояний N функциональных элементов, которые реализуют в исправном состоянии заданную булеву функцию / € {ж!&... &ж„, х\ V ... V хп,хТ} и среди которых не более чем к неисправных, путем составления из них схем с одним выходом и наблюдения выдаваемых этими схемами значений на любых входных наборах значений переменных. Допускаются произвольные константные неисправности на выходах элементов. Требуется минимизировать число схем, необходимых для проверки исправности и определения состояний всех элементов. В работе получены нижние оценки вида ck(log2 N - log2 к) для числа указанных схем.
Ключевые слова: функциональный элемент, неисправность, схема, проверяющий тест, диагностический тест.
N
realizing given Boolean function / G .. .&i„,ii V ... V хп,Щ} in their perfect states
k
from them and observation of values produced by these circuits on any value set of input variables. Arbitrary constant faults on outputs of functional elements are permitted. One has to minimize the number of circuits required for operability checking and determination of states
ck(log2 N - log2 k)
indicated circuits.
Key words: functional element, fault, circuit, check test, diagnostic test.
1. Введение. Рассмотрим задачу проверки исправности и распознавания состояний функциональных элементов с использованием экспериментов, заключающихся в составлении произвольных схем из заданных функциональных элементов с последующим "прозваниванием" этих схем, т.е. с нахождением булевых функций, реализуемых составляемыми схемами. Суть общепринятых математических моделей схем из функциональных элементов и тех элементов, из которых строятся эти схемы, с исчерпывающей полнотой и ясностью представлена в [1]; именно такие математические модели являются объектом исследования в настоящей работе.
1 Попков Кирилл Андреевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kirill-formulistQmail.ru.
