Уточнение неравенства Ульянова для смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

УТОЧНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА УЛЬЯНОВА ДЛЯ СМЕШАННЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ С ЛАКУНАРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ФУРЬЕ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе получено неравенство между смешанными модулями гладкости для функций с лакунарными коэффициентами Фурье, уточняющее известное неравенство Ульянова для модулей непрерывности.

Ключевые слова: смешанный модуль гладкости, лакунарные коэффициенты Фурье, неравенство Ульянова.

An inequality for the mixed moduli of smoothness for functions with lacunary Fourier coefficients improving the known Ul'yanov's inequality for moduli of smoothness is obtained in the paper.

Key words: mixed module of smoothness, lacunary Fourier coefficients, Ul'yanov's inequality.

Для функций одного переменного В. И. Коляда [1] доказал неравенство, уточняющее известное неравенство П. Л. Ульянова [2, 3]. В настоящей работе получено аналогичное неравенство между смешанными модулями гладкости для функций с лакунарными коэффициентами Фурье.

1. Пусть Lp (1 < p < то) — пространство измеримых функций двух переменных f (x,y), 2^-периоди-ческих по каждому переменному, таких, что

2тг 2тг 1

\f(x,y)\pdxdy*J " < то, 0 0

(f, $1 ,$2)p — смешанный модуль гладкости порядков а\ (а\ > 0) и а (а > 0) по переменным x и y соответственно функции f G Lp, т.е.

те те

Waia2 (f,$1 >$2 )p = SUp (f )||p = SUp

¿=1,2 ¿=1,2

V^ \^(-1)ki+h2( аМ I a2

.kw \k2 ki=0 k2=0 4 17 4 2

^ ^(-1)kl+k2U )( I- )f(x+(a—k1)h1 ,y+(a2-k2)h2)

где (») = 1 для к = О, (X) = а для к = 1, (£) = для к > 2.

Для неотрицательных функционалов F(f,5\,62) и G(f,5\,62) будем писать F(/,61,62) ^ G(f,6\,62), если существует постоянная C, не зависящая от f, 61, 62, такая, что F(f, 61, 62) ^ CG(f, 61, 62). Если одновременно F(f, 61,62) < G(f, 61,62) и G(f, 61,62) < F(f, 61,62), то будем писать F(f, 61,62) ^ G(f, 61,62). Целью работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть / е Lp, 1 < р < q < то, 9 = | — а\ > 9, «2 > 9, 6i G (0,1), г = 1, 2, / имеет ряд Фурье

(X (X

У^ У^ amn cos 2mx cos 2ny. (1)

m=0n=0

Тогда

1 1 I

_ sot!-в ¡а2-в I I I 4.-р(оц-в)4_-р(а2-в), ,P ( t 4- 4- ^ dt\dt2\p

DUMM = 6T~e6T~e[j f «

¿1 ¿2

¿1 ¿2 1 « (//t^%q4ia2(f,ti,t2)p^y =C(f,6l,62), (2)

причем в соотношении (2) знак ^ нельзя заменить на знак ^ .

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapov@mail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград. гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002@yandex.ru.

p

Аналогичная теорема для функций одного переменного доказана в работе [4]. Неравенство типа Ульянова для смешанных модулей гладкости установлено в работе [5].

2. Приведем вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства основного результата работы.

Лемма 1 [6]. Пусть / £ Ьр, 1 < р < ж, а\ > 0, а2 > 0, Ш\ £ М, т2 £ N, / имеет ряд Фурье

те оо

УЗ УЗ (йп1 п2 С08 П\Х 008 П2У + Ьп1п2 ^П п1х со8 п2У + Сп1 п2 С08 П\Х ЭШ П2У + бт,1п2 йШ П\Х 8Ш П2у) = П1 = 1 П2 = 1

те те

= УЗ УЗ АП1П2 (х,у)-

п1 =1 п2 =1

Тогда

— , —) и т7а1тГа2 т1 т2/р П 1 2

т1 т-2

УЗ УЗ п11 па2Апт2(х,у)

п1 =1 п2 =1

+ т

—а1

т1 те

УЗ ХЗ Па]1 Апт2 (х,у)

П1 = 1 П2=т2 + 1

+

+т-а2

те т2

УЗ УЗ п22 АП1П2 (х,у)

П1=т1 + 1 П2 = 1

+

те те

уз уз ап1П2 (х,у)

п1=т1+1 п2=т2+1

Лемма 2 [7, гл. VII, § 7]. Пусть / £ Ьр, 1 <р < ж, / имеет ряд Фурье (1). Тогда

и

П

ЕЕ'

т=0 п=0

Лемма 3 [4]. Пусть йк ^ 0, Ьп^ 0, 0 < р < оо.

те те / к \р те

(а) Если 52 ак < йп, то ¿2 йк( 52 Ьп) ^ 52 йкЩ..

к=п к=1 V п=1 / к=1

п те / те \р те

(б) Если 52 йк < йп, то ¿2 йк 52 Ьп) п 52 йк Ьрк.

к=1 к=1 \п=к / к=1

Лемма 4 [7, гл. I, § 9]. Пусть йк ^ 0, 0 < а < в < о, тогда

к=1

Ей? « Е¿¡у

к=1

3. Докажем вспомогательную теорему, которая имеет и самостоятельное значение.

Теорема 2. Пусть / е Ьр, 1 < р < д < оо, 9 = ^ — а\ > 9, > 9, щ = 0,1, 2,... , г = 1, 2, / имеет

ряд Фурье (1). Тогда

р я

й)

п1 п2

=0 М2 =о

те / , оо / П2 \ § \ ~

+2-п1(а1-0)( у] 2;20я( ^3 й;;1М222^1аЛ ) + 2-п2(а2-в)( уз ^3 й;;1М222;2а2) I +

М2 =п2

; 1; 2

; 1 =0

те те

; 1 = п1

•;2=о

+ Е Е 2;1 яв2;2яв) = С1 + С2 + сз + С4

; 1 = п1 ; 2 = п2

б)

I ' 2"1' 2га2 / П

п1 п2

; 1; 2

=0 ;2 =0

р

р

р

р

2

р

тп

1

+2

—п1(«1 — в)

п1

2№р(«1 —в)1 ^

; 1=0

й

2

; 1; 2

; 2 = п2

тете

+( ЕЕ

1

2 \ р

п2

+ 2—п2(«2 —в) ( УЗ 2^2Р("2 —в)1

й

2

;2

; 2=0

= + ¿2 + 4 + ^4.

2

; 1; 2

1

2 \ р

+

; 1 = п1

- ;1=п1 ;2 =п2

Доказательство. Докажем п. а. Легко видеть, что

1111 тете

7-, = сд(1' — — ^ V V (I' — —

1 V ' 2^2 У П ^ ' 2^1 ' 2^2 У„

^1=п1 V2=n2

Применяя лемму 1, получим

/1 и Е Е 2(V1+V2)яв ' 2—'"1а1Я • 2—V2а2Ч УЗ Е 2"1 2"2;2й;1;2 соэ2;1 хсов2;2у

оо оо

V1 V2

п

Vl=nl V2=n2

оо оо

+ 53 Е 2^1+^4 • 2

Vl=nl V2=n2 тете

+ 53 Е 2^1+^4 • 2

—VlalЯ

;1=0;2=0 Vl те

+

53 Е 2а1 й;1;2 сов 2;1 х сов 2;2 у

;1=0 ;2 =V2+1

—V2a2q

Vl=nl V2=n2 оо оо

те V2

53 Е 2"2 ;2 й;1;2 СОЭ 2;1 х С08 2;2 у +1 ;2 =0

+

р я

+

оо оо

Vl=nl V2=n2

В силу леммы 2 имеем

+ УЗ Е 2(V1+V2)qв УЗ Е й;1;2 соэ 2;1 х СОВ 2;2у

=Vl+1 ;2 =V2 + 1

= ¿1 + ¿2 + ¿3 + ¿4.

оо оо

¿1 и у ^ 2Vlq(в—«1)2V2q(в—«2) | ^ ^ 22(^1 «1+;2а2)( П =0;2=0

и

П

Vl=nl V2=n2

тете

2

V1=nl V2 =п2 оо оо

V! V2

2

; ;2

2

2 и п

Vlq(в—al) 2V2q(в—a2)

п1 п2

2V2q(в—a2) / ^ ^ 22(;

Vl=nl V2=n2 оо оо

;1=0;2=0 п1 V2

£

1 а1 +;2 «2 )й2 \ + й; 1 ; 2

+ ^ ^ 2Vlq(в—«1 )2V2q(в—a2)^y^ 22(^1 а1+;2а2)й2 | +

-=0;2=п2

Vl=nl V2=n2

Vl п2

+ ^^ 2Vlq(в—«1 ^2я(в—«2) / ^^ 53 22(;1 а1+;2а2)й2 I +

^=п1;2=0

оо оо

+ ^ ^ 2Vlq(в—«1) 2V2q(в—«2)/ ^ ^ 22(;

Vl=nl V2=n2 ^ =п1 ;2=п2

Так как а1 >0 и а2 > 0, то ясно, что

V1 V2

1 а1+;2а2)й;;1 ;2 ) = ¿11 + ¿12 + ¿13 + ¿14.

/ и 2—П1Я(«1 —в)2—П2Я(«2 —в ¿11

п1 п2

22(;1 а +;2«2)

;1=0;2=0

2 Ги '

й;1 ;2 I п с1.

Поскольку а1 > 0, имеем

¿12 и 2п1Ч(в—«1) ^ 2V2q(в—a2)l^ ^ 22(;

П

V2 =п2

V2 п1

11 а1+;2«2) й2

; 2 =п2 ; 1 =0

я

V

Ч

V

Ч

V

Воспользовавшись леммой 3 (а), получим

¿12 2™1 ^-а!) ( Е п >1=0

V2=П2

а1 а2

>1>2

2 и п

Итак, показано, что ¿12 П с2.

Аналогично доказывается, что ¿13 П с\ и ¿14 П С4. Таким образом, мы установили, что ¿1 П е\ + с2 +

и л | л

с3 + с4.

На основании леммы 2 имеем

¿2

и

П

и и / V1 и

у^ у^ 2Vl9(б-аl ^2 ^ ^ 22^1

Vl =П1 V2 =П2

ч 2

^а2 Vй

\ "" аМ1 >2 / р|

^>1 =0 >2 ^2 7

Vl=nl V2=ra2 оо оо

ОО ОО ✓ щ оо \ 2

и ^ ^ 2Vl9(б-аl) 2V29^| ^ ^ 22^1 "1 а2

а>1>2 ' +

+

4 >1=0 >2^2 и и / Vl и

£ Е Е Е 22^а2№)^г21 + г22.

Vl=nl V2 =П2

Так как «1 > 0, то ясно, что

- >1 =П1 >2 ^2

■ и 2-п1Я(а1—

¿21 п 2

V2=n2

и П1

Е 2V2дв( Е Е 22т

2

>1>2

>2 ^2 >1 =0

В силу леммы 3 (б) имеем

¿21 и 2-п1д("1 2V29б | 22>1 «1

^ V2=n2 ^>1=0

2 ^ и ,

а>^2 I п С2 •

Применяя лемму 3 (а), а затем лемму 3 (б) и учитывая, что «1 > в, получим

и и , и

¿22 и £ 2-е 2-Е '

Vl=nl V2 =П2 >2 ^2

2

2 оо

>и Е

П ^

Vl=nl

2^^ 2—aVlV2 и с4•

=П2

Итак, мы показали, что ¿2 и с3 + с4.

Аналогично доказывается, что ¿3 п с3 + с4 и ¿4 п с4. Следовательно, мы установили, что /1 п е\ + с2 + с3 + с4. Таким образом, п. а теоремы 2 доказан. Докажем теперь п. б. Легко видеть, что

11 II П1 П2 11

/2 = ^ 2_га1Р(а1_б) . 2-га2р("2-б) 2гУ1Р(а1_б) . 2г"2р(а2~в}ир —— ——^

Vl=0 V2=0

2^' 2^ У д'

Применяя лемму 1, получим

П1 П2

/2 и 2-П1 р(«1—б)2—п2р(«2—б) 'у ^ ^ ^ 2Vlр(а1-в) . 2У2р(«2-в) ■ 2^1"1 д . 2—у2«2дх

Vl=0 V2=0

Е Е 2"1 т ■ 2"2 >2 а» 008 2>1 ж соэ2>2 у >1=0 >2=0

+

П1 П2

+2—П1р("1 —б) . 2—П2Р(«2—в)^^ ^ ^ 2 —VlPб ■ 2^*2Р(«2"

Vl=0 V2 =0

Vl

Е

>1=0 >2^2 + 1

Е 2а1 >1 а>1 >2 сов 2>1 ж сов 2>2 у

+

ч

ч

р

X

д

р

ч

п1 п2

+2—п1р(а1 —в) • 2—п2р(а2—в)^ ^ 2—1/2рв • 2^р(а1—в) УЗ 53 2а2;2 й;1 ;2 сов 2;1 х сов2;2 у

Vl=0 V2 =0 п1 п2

те V2

+2—п1 р(«1—в) • 2—п2р(а2—в)^ ^ 2V1p(al —в) • 2V2р(а2—в) УЗ УЗ й;1 ;2 сов 2;1 х сов2;2 у

Vl=0 V2=0

= л + ¿2 + зз + ¿4.

На основании леммы 2 заключаем, что

=Vl + 1 ;2^2 + 1

р

+

я р

, . П1 П2 / VI VI \ |

¿1 и 2—п1Р("1—в) • 2—п2р(»2—в)^^ ^2 2—VlPв • у^ 22(^1 а1+;2«2)й2

П Vl=0 V2=0 =0 ;2 =0

Применение леммы 3 (а) дает

п1 п2

71 и 2—п1 р(«1—в) . 2~п2р(»2 —в)^^ 2PVl(al —в) . 2PV2(al —в) ¿Р и ¿р 31 п ' у / ^ V1V2 П 1.

В силу леммы 2

й

п ^ ^ п

Vl=0 V2=0

п1 п2 / Vl те

¿2 и 2—п1Р("1—в) • 2~п2р(а2—в) ^ ^ ^^ 2^1рв • 2V2P(a2 —■в) | ^^ 22^1 «1 й2 и

П v1=0 v2 =0 ^;1=0 ;2=V2

р

, . П1 га2 / VI п2 ч |

^ _Т! 1 Г\ 1 _Й\ ^ _<Г> п п (Г\ п _Й\ X* X * ^ _7/-1 _^ I X * X * ^ О / / -1 /"У/1 О \

2—п1р(а1—в) ^ 2—п2р(а2—в)^^ ^2 2—VlPв • 2У2Р(а2 —в) | ^^ ^2 22;1 ®1 й2 | + П v1=0 v2=0 ^ =0 ;2=V2

Г11 П2 / VI оо ч £

1 а1 й2 2

"1 "2 / VI оо \ |

+2—п1р(«1—в) • 2—п2р(а2—в)^^ ^2 2—VlPв • 2У2Р(а2 УЗ 22;1 "1 й2 | = ¿21 + ¿22.

7/, =0 >/„ =0 ^ ; =0 МО =п '

v1=0 v2=0 ч;1=0 ;2=п2

Применяя лемму 3 (а), а затем лемму 3 (б), получим

п1 п2

и____п---ДА X ^ X ^ (п,----ДА »г. и

¿21 и 2—'™1Р(а1 —в) • 2—п2Р(»2 —в) ^^ 2PVl(al—Рв • 2pv2(a2 —в)аР и

Vl =0 V2=0

Так как а1 > 0, то

II 711 / 1/1 °° \ 2

*—' _Л -1 /-4/1 _/3 I X * _7/1 !Г\Н I X * X * О / / -1 /"к/ -1 О I

1а1 йМ

¿2^ 2—п1р(а1—УЗ 2—-в £ УЗ 22;1 ^

V1=0 ^ =0 М2 =п2

Воспользовавшись леммой 3 (а), получим

II 711 / °° \ 2 I I

Ь ^ УЗ УЗ а21№ ) ^ ^

й

п ^ v ^ п

V1=0 4 М2 =п2 7

Итак, мы показали, что ¿2 П ¿Р + ¿р.

Аналогично доказывается, что ¿з П ¿Р + ¿р, ¿4 П ¿4 + ¿4 + ^р + ¿4. Таким образом, мы установили, что 12 П ¿Р + + ¿3 + ¿4. Следовательно п. б теоремы 2 доказан.

4. Докажем теорему 1. Для каждых 5г £ (0,1), ¿ = 1, 2, существуют натуральные числа щ, ¿ = 1, 2, такие, что 2—п1 < Й1 < 2—п1+1, 2—п2 < 62 < 2—п2+1. Поэтому

А = 6г,62) « 2?(/, , Б = С(/, ¿ь ¿2) » С(/, .

Применяя теорему 2, получим

А < + ¿2 + ^3 + ^4, В > С1 + С2 + Сз + С4.

я

Покажем, что йг <С с^, г = 1, 4. Рассмотрим

/ П1 т \ з

¿1 = 2—п1(«1 —б) , 2—п2(«2 аР 2Р(>1 ("1—б)+>2(«2 —б)) \

> =0 > =0

->1=0 >2=0

Если р ^ 2, то на основании леммы 4 будем иметь

/ пх П2 ч I

¿1 ^ 2—П1 ("1—б) . 2—п2("2 —б) ( ^^ а2 22(>1 "1+>2«2) . 2—2б(>1 +>2) |

=0 =0

- >1 =0 >2 =0

откуда следует, что ^ С1.

Если 1 < р < 2, то, применяя неравенство Гельдера с показателем -, получим

р

¿1 = 2—п1("1—б) . 2—п2("2—б) / ^^ ^а> > 2>1"1+>2"2)р . 2—рб(>1+>2)\ ^

>1=0>2=0 '

/ П-1 п2 ч I

^ 2—п1 ("1 —б) . 2—п2("2 —б) ( ^^ а2 22(>1 "1+>2"2М = С1

=0 =0

Итак, мы показали, что ^ С1. Теперь рассмотрим

( II, 1 / ио ч 2. ч

Е ( Е С) У

■>1 =0 4 >2 =п2

Если р ^ 2, то, применяя неравенство Минковского, получим

¿2 < 2—п1 ("1—19)( Е ( Е 2>1 р(

>2=п2 >1 =0

00 / п1 \ — \ \ "1—б)ар >1 >2

Так как р ^ 2, то на основании леммы 4 заключаем, что

¿2 < 2—п1(№1—>9)( е Е 22>1 °

>2=п2 >1=0

1

2

"1 —б)а2 а>1 >2

П1 ч ч 1

1 4 4 2

= 2—п1("1 —б)1 I 22>2б ^ 22>1 ("1—б)а2 Л 2—22>2б

>2=п2 >1=0

В силу неравенства Гельдера с показателем |

(ОО , П\ ч 2ч I

£ 2>2£ 22>1 ("1—б)а>1>^ *<< С2

2 \ д

Г>^~б>а>1>2 )

• >2 =п2 Ч>1 =0

Если 1 < р < 2, то, воспользовавшись леммой 4, получим

П\ ОО ч 1

\ р

р

(п1 и Ч.

^ 2>1 р("1—б) ^ а>1>2 )

>1 =0 >2 =п2 7

_ 2—п1("1 ( 2>1р"1 ар 2—>1 рб

>2=п2 >1=0

Применение неравенства Гельдера с показателем - к внутренним скобкам дает

£ . 1 2 л \ р

/ оо , m \f \

d2 < 2-ni(aiЕ 2М2вр( Е 22M1 aia21 2-М20pl

' Ц2=П2 =0

В силу неравенства Гельдера с показателем -

p

ni

(LXJ ✓ /¿1 s £ s i

Е 2М2 Е 22M1 ai a21MJ ) С2.

Итак, мы показали, что d2 ^ С2.

Аналогично доказывается, что d3 ^ Сз и d4 ^ С4. Но тогда верно и неравенство d1 + d2 + d3 + d4 ^ С1 + С2 + С3 + С4, в силу которого A ^ B, что и доказывает теорему 1.

5. Покажем, что в соотношении (2) знак ^ нельзя заменить на знак ^ . Для этого построим функцию fo(x,y) Е Lp, такую, что члены неравенства (2) имеют разные порядки как функции 61 и 62. Рассмотрим функцию

((

fo(x,y) ~ Е ^Zamn cos 2mx cos 2ny,

m=0 n=0

где amn = , (3i > — /?2 > ai > 61, a2 > б1, 61 = | - 1 < p < q < 00. Применяя леммы 1

и 2, получим

i i\ и (щ + if1+^(n2 + и /, l l

G Lv, Шалао ( ./0, XI—, ^Г- j . -Г—I________ _L0r ~ 1 - -

P) ai«2 \ JU) 2щ ' 2«2 )p p| 2airai • 2a2Tl2 П aia2 \4,/u' 2™i ' 2ra2

Но тогда для каждых ôi, ôi G (0,1], i = 1, 2, имеем

U a a ( 2 + i f 2 \P2 + 5 и ^aia2(fo,6l,Ô2)p ^ VV ^ In — (^lll — J ^ UJaia2(fo,6l,Ô2)q.

Теперь легко проверить, что

Д/оЛЛ) ^ ¿Г"^2"', С(/оЛЛ) ^

Таким образом, действительно, члены неравенства (2) для функции fo(x,y) имеют разные порядки

как функции ¿1 и ô2.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00169, 12-01-00170) и государственной

программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-979-2012-1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-136.

2. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 3. 649-686.

3. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123), № 1. 104-131.

4. Potapov M.K., Simonov B.V., Tikhonov S.J. Relations for moduli of smoothness in various metrics: functions with restrictions on the Fourier coefficients // Jaen J. Approx. 2009. 1, N 2. 205-222.

5. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Соотношения между смешанными модулями гладкости и теоремы вложения классов Никольского // Тр. Матем. ин-та РАН. 2010. 269. 204-214.

6. Потапов М.К., Симонов Б.В. О взаимосвязи классов функций Бесова-Никольского и Вейля-Никольского // Тр. Матем. ин-та РАН. 1995. 210. 218-238.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М.: Мир, 1965.

Поступила в редакцию 13.12.2010