Связь между смешанными модулями гладкости в метриках Lp и L∞ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Чашкин A.B. О среднем времени вычисления значений булевых операторов // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 1998. 5, вып. 1. 88-103.

Поступила в редакцию 12.10.2016

УДК 517.5

СВЯЗЬ МЕЖДУ СМЕШАННЫМИ МОДУЛЯМИ ГЛАДКОСТИ

В МЕТРИКАХ Lp И ¿„о

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе выясняется взаимосвязь между смешанными модулями гладкости дробных порядков, рассматриваемых в метриках Lp и L^.

Ключевые слова: неравенство, метрика, смешанный модуль гладкости дробного порядка.

In this paper we study interrelations between mixed fractional moduli of smoothness considered in the metrics of Lp and L^.

Key words: inequality, metrics, mixed fractional moduli of smoothness.

Установлению взаимосвязи между модулями гладкости в разных метриках посвящено большое количество публикаций (см., например, [1-14]). В настоящей работе выясняется взаимосвязь между смешанными модулями гладкости дробных порядков в метриках Lp и L^. 1. Обозначения и определения. Введем следующие обозначения:

Lp, 1 ^ р ^ оо, — множество измеримых функций двух переменных f(x i,x2), 27г-периодических по каждому переменному, таких, что ||/||р < оо, где

2тг 2тг 1

)р

, если 1 ^ р < оо;

о о

р= sup vrai \f(x\, Ж2) I, если p = 00;

0siiKisi27r, 0silK2Si27r

2тг 2тг

Lp — множество функций / € Lp, таких, что J f(x\,x2)dxi = 0 для почти всех х2, J f(x\,x2)dx2 -

о о

0 для почти всех х\]

Vni00 (/), V00п2(/)> Kiin2(/)) ni £ N U {0}(г = 1, 2), — суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции f еЬр, т.е.

2тг 2тг

= ^ f f(x1+h,x2)V^(t1)dt1, Voon2(f) = i I f(xbx2+t2)V^(t2)dt2, 0 0

2тг 2тг

Vnin2(f) = J f{xi+tl,x2+t2)V^{tl)V^{t2)dtldt2,

о 0

где V0°(t) = Do CO, = ±{Dn{t) + ... + D2n-i(t)), neN, Dk{t) = sin^+|)t), k € N U {0};

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.

— разность с шагом h\ положительного порядка а\ по переменной х\ функции / € Ьр,

т.е.

ОО , ч

К (/) = Е (-1)'1 I1 f^ + («1 - "0Ль **)>

7/, —П \ 1 /

1/1=0

/а\ -1 п /«А 1 /«А а(а—1)...(а —г^+1) ^ 0

где J = 1 для v = 0, J = о; для г/ = 1, у ) = —-'—¡^-для v ^ 2;

^h^(f) — разность с шагом Л-2 положительного порядка СК2 по переменной Ж2 функции / € Ьр,

т.е.

ОО ^ ч

А^22(/) = Е (-1Г ("2 )/(*!> *2 + («2 -

waba2(/, <Ь)р — смешанный модуль гладкости положительных порядков а\ и скг соответственно по переменным х\ и Ж2 функции / € Ьр, т.е.

= sup ||A^(A^22(/))||p; ^<¿¿,¿=1,2

Ymi>m2(f)p — наилучшее приближение углом функции / € Ьр, т.е.

^mi,m2 (/)р — i^f II/ ^оо,т,2 ^т,1,оо||р)

J- т-^ , сю у J- сю ,т2

где Tmi)00(a;i,жг) — функция, являющаяся тригонометрическим полиномом порядка не выше mi (mi € N U {0}) по переменной х\ и такая, что Tmi;00 € Lp; Т00;т2(ж1,ж2) — функция, являющаяся тригонометрическим полиномом порядка не выше т-2 (шг € N U {0}) по переменной Ж2 и такая, что Тоо,т2 € ¿р,

f(pi,p2\x\,Х2) — производная в смысле Вейля функции /(ж 1,Ж2) € порядка pi ^ 0 по переменной Ж1 и порядка р2 ^ 0 по переменной Ж2 (см. [15]);

1 ^ р ^ оо, — множество 27г-периодических измеримых функций одной переменной /(ж), для которой Ц/Ц^ < 00, где Ц/Цр1^ = ( / |/(ж)|рс?ж ) , если 1 ^ р < оо, Ц/Цр1^ = sup vrai|/(ж)|,

V 0 / 0sCicsC27r

если р = оо;

Vn(f), п G N U {0}, — суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции / € Ьр1^, т.е.

2тг

= ^ J f(x + t)v*n(t)dt-,

En(f)^ — наилучшее приближение функции / € Lp1^ при помощи тригонометрических полиномов Тп(ж) порядка не выше п (п G N U {0}) в метрике L^p\ т.е. En(f)^ = inf ||/ —

Тп

— модуль гладкости положительного порядка а функции / € т.е. u>a(f,S)P = sup ||A£(/)||W,

\h\<:S

00

где AIU) = £ (-1 rOf(x + (« -

v=0

[a] — целая часть числа а.

Для неотрицательных функционалов F (f, 61,62) и G(f, 61,62) пишем F(f, 61,62) <С G(f ,61,62), если существует положительная постоянная С, не зависящая от f,6\ и 62, такая, что F(f, 61,62) ^ CG(f, 61,62). Если одновременно F(f, 61,62) -С G(/, 61,62) и G(/, 61,62) -С F(f ,61,62), то будем писать F(/, ¿1, ¿2) - С(/, ¿1, <52).

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [13, 14]. Пусть f G L°q, 1 ^ q ^ оо, щ G П U {0}; ¿ = 1,2. Тогда

Uai,a2 (/> ~ 11^ ~ ^2"1,оо(/) - ^оо,2"2 (/) + У2«1)2«2 (/) ||g +

+ _JL_ 11 '0) ( / - Ко 2П2 ( /) ) 11 + —^ 11 Т/(0.«2 )

1

("Ъ"2)

д 2(га1а1+га2«2) II 2ni,2n2

Лемма 2 [16]. Пусть / € Ьр, 1 ^ р ^ оо; т, € N и {0}; ¿ = 1,2. Тогда

(а) II/ ~~ К«1,оо(/) — Ъоо,т2(/) + Кт11,т2(/)||р ^ Ут1,т2(Лр,

(б) ||КпьСО(/)||р«||/||р, (В) ||Ко>т2(/)||р<||/||р.

Лемма 3 [16, 17]. Пусть / € 1 ^ р < д ^ оо, д* = д, если д < оо, д* = 1, если д = оо,

гц € N U {0}; г = 1,2. Тогда

Г2»1-1,2»2-1(/)д « ( £ Е

оо оо

1-1,2^2

-l(/)?

„ Ul=ni 1У2=П2

Лемма 4 [13, 4]. Пусть / € д € 1 < р < оо; аг > 0, тг € N U {0}; г = 1, 2. Тогда

а) toai,a2(f, Si, 0)р = Lúai,a2(f, 0, S2)p = Wq,1)Q,2(/, 0,0)р = 0;

б) 0Jai,a2(f + < Wq,1)Q,2(/, ¿1, á2)p + U)ai,a2(g> Si, S2)p;

в) U)alta2(f, Si,S2)p < Uai>a2(f ,ti,t2)p, если 0 i^Sí^tí, i = 1,2;

r) <<; еслм o < í¿ < < 7Г, г = 1,2;

д) ujai,a2(f,\iSi,\2S2)p < (Al + l)ai(A2 + l)a20Jai,a2(f,Si,S2)p, если A¿ > 0, г = 1,2;

e) Ymi,m2 "C Waiia2 „¿^р m2+l)

Лемма 5 [18]. Пусть f € l<p<g = oo, neN, a>0. Тогда Лемма 6 [18]. Яусшь / € K^co,neNU {0}. Тогда

(a) НВД)!^ « 11/11«, (б) ||/ - Vn(f)\\íl) « En(fÍl)-

Лемма 7 [19]. Пусть / € Kp<^oo,neNU {0}. Тогда

оо v=n

n

Лемма 8 [20]. Пусть Tn(x) = E eos кх+Ък sin kx) — тригонометрический полипом порядка

k= i

не выше n(neN), 1^р^оо;а:>0. Тогда справедливы неравенства

(а) HA^TJ« < п-^ЦТ^Ц« для любого /г : 0 < \h\ <

(б) ЦТ^Ц« <na||ASrra|¿1); (в) ^па\\Тп\\{^.

п

Лемма 9 [14]. Пусть / € L^, l^j9^oo;a>0;n€NU {0}. Тогда

IIУ2п+1(Л - «2-гаа||- ^(ЛЦ«.

Лемма 10 [18]. Пусть 1 < р < оо, 5 € (0,1). (а) Пусть а 1 > 0, ¿ц(ж) — положительная функция, слабо колеблющаяся на (0,1) и такая, что ¿ц(ж) = о (^п^)1 р пРи ж —>■ 0. Пусть

оо

Е еелма! /2/-1,

ЛИ = Г-1 . ,

Ё ртРт, если «1 = 21 - 1, I € N. к=1

Тогда

Ai(fi,S) =

WaJ/bá)^

>

(Ч

Д--

ft-ruj^dbti^mf

ш

(б) Пусть /2 (ж) = sin ж. Тогда При (12 > 72 > 0

A2(f2,S) = -s-- ~ ¿«2-72 s

о р

при а\ > О, (Х2 > О, 7i > 0; 72 > О

s

о

оо

(в) Пусть е > 0, а3 > 7з > 0, а3 + е ф 21 - 1, I € Н, /3(ж) = Е • Тогда

к=1

A2(/3>¿) = ---»

2

/riWa3+1+£(/3,í)r (Ч)

(г) Пусть а > О,

оо

£ -^-! если а ¿21-1,

£ -ааь-> если а = 21-1, I е N.

^ 1пР (к+1)

Тогда

1_1 $ 1 о

(1) "1 1

(д) Пусть функция /5 (ж) такова, что

ЕпШр ~ (и + 1) 2 р • ?Ьг<?а при «1 > 71 > ^ > О

имеем,

&

А(/б= I Ь'ш^цШ^хбЪ,

о

«,</* « - / (Л. о?' (I» |)и?«|»(*|)и.

о

3. Взаимосвязь

между смешанными модулями гладкости в метриках и ¿оо* В работах [21, 22] доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть / € 1 = р < д = оо, щ > 0; 5г € (0,1), г = 1, 2. Тогда

¿1 ¿2

^аь«2(/, < J J(tlt2)~1Ыa1 + l,a2+l(f,h,t2)l-j^--j^-■ (1)

0 0

Теорема 1 точна в том смысле, что существует функция /о € Ь\, такая, что для нее в соотношении (1) вместо знака <С можно поставить знак ж: .

Теорема 2. Пусть / € Ь®, 1 < р < д = ос, щ > 7» > 0, 5г € (0,1), г = 1, 2. Тогда

¿1 ¿2

Шп

I dt\ dt2

a1,a2{f,Sl,52)00^ J J{tlt2) pW71+i72+i(/,Îi,Î2)p —— • (2)

0 0

Теорема 2 точна в том смысле, что если заменить в соотношении (2) хотя бы одно 7i на щ, то полученное соотношение будет неверным.

Теорема 3. Пусть / € Ьр, где 1 < р < g = 00, щ > 0, ôi € (0,1), i = 1, 2. Тогда

¿1 ¿2

^аьа2(/Л, ¿2)00<У j (tit2)-ïu)ai+l>a2 + l(f,tiM)p 0 0

Теорема 3 точна в следующем смысле.

1. Для любых функций £i(ti), положительных, слабо колеблющихся на (0,1) и таких, что = о ^ln j-^j ^ ,г = 1,2, существует функция F\(xi,x2) € Lp, такая, что

Al{Fl,ôl,ô2) = —-^{F^Mo.--^

//VlÎ2)-^ai+i)a2 + i(JPl,il,Î2Ul(Îl)6(Î2)tt

0 0 Р Р

при ¿1 0 И ¿2 0.

2. Для любых е% > 0, г = 1,2, существует функция F2(x\,х2) € Lp, такая, что

д /р Г г Л _¿2)00__

A2{l<2,di,d2) = —----> 00

01 02 1 / ч 1-1

!!(tit2)--^ai+i +1 (F^u), 1п^1п| p tt

0 0 p P \ /

при ¿1 -> 0 И ¿2 0.

В настоящей работе доказываются теоремы 4 и 5, дополняющие теоремы 2 и 3. Теорема 4. Пусть / € где 1 < p < g = 00, а\ > 0, а2 > 72 > 0, ôi € (0,1), г = 1,2. Тогда

¿1 ¿2

СО,

ai,а 2

о 0

Теорема 4 точна в следующем смысле.

1. Для любой функции ^(¿1), положительной, слабо колеблющейся на (0,1) и такой, что £1(^1) = о ^, существует функция Рз(х\,х2) € Ьр, такая, что

А1(Р3,61,62) = —-^Ь«2^зЛЛ)оо--^

0 о 11р''р ¡.а

для любого фиксированного 62 и ¿1 —> 0.

Т1ЪГ111Л<1 TPi i Т1-! d

2. Для любого £\ > 0 существует функция F±(x\,х2) € такая, что

А (ТГ г с \ _¿1,^2)00_

^2(^4,01,02) = -1--► 00

01 02 1 / ч 1-1 , ,

I f(tit2r^ai+l+£1,J2+l (F„tl,t2)p In p f f

00 p P \ /

для любого фиксированного ô2 и ¿1 —>■ 0.

3. Если в соотношении (3) 72 заменить на а2, то полученное соотношение будет неверным.

г0

Теорема 5. Пусть / € Ь®, где 1 < р < д = ос, а\ > 71 > 0; а2 > 0, Ьг € (0,1), г = 1,2. Тогда

¿1 ¿2 .

Я1 / 2 \ р (И\ (М2

о о

Теорема 5 точна в следующем смысле.

1. Для любой функции £2(^2)) положительной, слабо колеблющейся на (0,1) и такой, что £2(^2) = о ^ *, существует функция Р(,{х\,х2) € Ь®, такая, что

А1(Р6,61,62) = —-^,«2(^6^1,^)00--^

0 0 Р Р

для любого фиксированного ¿1 и 52 —,► 0

2. Для любого е2 > 0 существует функция Рт(х\,х2) € такая, что

А1(Г7,51,52) = —-----—-->оо

/ДШ-^г г Ь^)р 1п| Ptt

п п Р Р \ /

0 0

для любого фиксированного ¿1 и ^ 0.

3. Если в соотношении (4) 71 заменить на а\, то полученное соотношение будет неверным.

4. Доказательство теоремы 4. Для каждого 5г € (0,1) существует натуральное число щ, такое, что фт ^ < 2щ-1 г ъ = 1)2- Тогда, применяя свойство (б) леммы 4, получаем

1 = Ша1,а2(/, ¿1, ¿2)00 < и>а1,а2 •

Согласно лемме 1, имеем

3 ^ + 2-п1«1||У2(«Ь0)(/ _ Ус0;2П2(/))||с0 +

+2-п2аЧу{0^)и _ у2П1^т1оо + ц; _ У2„1;СО(/) - ^,2-2 (/) + У2»1,2»2(/)||оо =

= Л + + + J&•

Сначала оценим 71. Обозначим У^'2п2(/) = ■0, тогда Л1 = У2"1'2п2 (/) = Р^1(0). Для почти всех х2 функция ф\(х\) = ф(х\,х^) есть функция одного переменного Х\, причем (ф) = У2п(г1)\(х\)). Применяя лемму 5, получим

/ 2тг \ ?

Это означает, что для почти всех х2 справедливо неравенство

2тг 2тг

о о

Так как У2п^р'0\у£2^(/)) = то, обозначив У2п^р'0)(¡) = г], будем иметь

^1iP'0Vi02a4)(/)) = У^Нг])- Для почти всех функция г?2Ы = , х2) есть функция одного переменного х2, причем У^'2п2(г]) = У2п2\г)2(х2)). Оценим \У2п2\г]2(х2))\.

Обозначим <р(х2) = У2п2\щ{х2)). Так как / € Ьр, то У^а2\т]2{х2)) = 0 = Уо(ф). Поэтому в соответствии с леммой 6, (б) имеем

Л = \У^]Ых2))\ = УоШ « Ео(<р)&1

°° - С11

Применяя лемму 7, получаем/1 <С Е 2й р Е2^.Так как <£>— тригонометрический полином

г/=0

порядка не выше 2га2+1 — 1, то = 0 для V ^ п2 + 1. В силу того, что есть

тригонометрический полином порядка не выше 2^ — 1, для 0 ^ V ^ п2 имеем

« 11^ - ^(»Й)!!« = ||4"2)Ы - ^)1](г?2)||«.

Поэтому

П2 и=0

Поскольку 4а22)(г?2) - У^Ы = Е (У^2\г]2) - то

га2

/2 ЕЕ ||4а22)ы - ^ ын« « Е и4а2)ы - ■

Применяя леммы 8, (в) и 9, получаем

П2 П2 ( 1 ( 1 /2 « - У[2,- 1](г?2)||« « _ «

"2 + 1 , 1« Е

Но тогда

[2М-

п2 1 712 + 1 1 с

^ « Е2^ Е з^2"^"^^5^)!!« «

"■2 П2 . 1 . . !.

[2М-

г/=0

« Е2" Е2"(а2"72"?)И'С5ыи^+2га2(а2-72)||42 ? Ы11« «

ц=0

ц=0

Используя лемму 6, (а), а затем учитывая , что а2 >72, будем иметь

п2 Л., , Ь , 1

г/=0

(2тт

I \У2122+*\Г12)(х2)\ЧХ2

Применяя полученные оценки, заключаем, что

2тг 1 2тг 1

2тг 2тг 1

о о

2тг 2тг 1

о о

2тг 2тг 1

О О

Таким образом,

2тг 2тг 1

о о

2тг 2тг 1

о о

Применяя лемму 1, получаем

р'■ р

« ¡¡(Ш-К^ММг = о.

о о

Теперь оценим .]2 = 2_га1а11| (/ — Уоо,2п2 (/))||оо- Обозначим / — У00;2™2 (/) = С) тогда

= Ф.ЙС/ " ^оо,2™2 (/)) =

Для почти всех х2 функция £1(^1) = С(жъж2) есть функция одного переменного Х\, при этом оо (О = (С1 (^1))• Применяя лемму 5, получаем

(2тг 1 \ ?

I

Это означает, что для почти всех х2 справедливо неравенство

2тг 1 2тг 1

о о

2тг 1

=(/1 - 5

о

(«1+—,0) , («1+^.0), , , , Обозначим Ф = 41;СОр' '{¡),я = 41;СОр' 'Ц - У(х>,2п2 (/)) = Ф - Ко;2п2(Ф).

Для почти всех х® функция Фо(ж2) = Ф(ж5,ж2) есть функция одного переменного х2, причем Уоо2п2 х2)) = У2"2 (Фо(ж2)). Тогда, применяя лемму 6, (б), имеем

= |Фо(ж2) - ^2п2(Ф0(ж2))| < ^2"2(Фо)^. 00 - ш

В силу леммы 7 получаем А% <С Е 2гУ2р_Б21-2_1(Фо)р • Так как У2»2- 1(Фо) есть тригонометри-

и2=П2

ческий полином порядка не выше, чем 21"2 — 1, то

оо

1

Аз« Е 2^||Ф0-^-1^0)11« •

Ь'2='П2

Из этих оценок следует, что для почти всех х\

оо

2тг \ £

к| « Е 2^ ( / Ч/(®Ь®2)) " Ко^-1^!,^' \1(х1,х2)))\Чх2 =

и2=П2

\0

( 2г 4 "

1>2=П2

чО

Тогда, применяя лемму 6, (б), имеем

2тг 1

1_1 / /" («1 + 1,0) («1+^,0) \ Р

|41)ооР (/)-^;2"2(41)ООР (/))№] «

0

1

2ж оо / 2ж \ Р I

"1

Х 0 \0

^ 2тг 2тг 1

« п\~' £ р Г [ (\У^°\1-У^2-Ш{хъх2)\Чх2йхУ

У2=П2 {

Таким образом,

32 = 2-П1«1||у2(«ь0)(/ _ Уоо 2П2Шоо «

оо 2ж 2ж I

£ 2^2р Г [ [ {У^'^и-У^-!Шх1,х2)\Чх^хгУ =

У2=П2 { '

оо 2ж 2ж I

»2=П2 ^ { {

Используя лемму 1, получаем

1 оо У2=П2

2п1 оо

1 I-1 „1

«ЕЕ 2г'1рг/1_^2гУ2рСс1а1+1>72+1 (/, 2_гУ1, 2~и2)р <С

15 ВМУ, математика, механика, № 3

=П1 — 1 ь>2 =»г2 — 1

о о

Теперь оценим = 2~П2™2\\У^'2"2 (I ~ 1/2п1,оо(/))||оо- Обозначим / — р2п1,оо(/) = С- Тогда

^ = <£?(/ - ^1;СО(/)) = С).

Для почти всех функция (2(х2) = ("(^5,^2) есть функция одного переменного при этом

<'й(о = 4а22)(с2ы)/

Обозначим Л(ж2) = У2п22\(2(х2)). Так как / € то ^"^((^(жг)) = 0 = Ро(А). Поэтому,

согласно лемме 6, (б), имеем В\ = (^^((г)! = — <С Ео(\)ж ■ Применяя лемму 7, получаем

00 - (1)

В\ <С 2ир -\(Х)Р . Так как Л — тригонометрический полином порядка не выше 2га2+1 — 1, то

и=0

Е2»_\(Х)(1} = 0 для V ^ П2 + 1. Ввиду того, что 1](С2) есть тригонометрический полином порядка не выше 2^ — 1, для 0 ^ V ^ п2 имеем

« ||Л - уЫ^шр = \\у^\(2) - у^ф) 11«.

Поэтому Вг < 2 2^||У2(Г2)(С2) - ^-^((г)!!^- Так как

и=0 1 1

П2

4"2)(с2) - ^(Са) = Е(42)(С2) - у^1}((2)),

ТО

п2

В2 - ||*$°(С2) " « £ И42)(С2) -

Применяя леммы 8, (б) и 9, получаем

П2 П2 ( 1 ( 1 в2« - ^-1](с2)||(1)« Е2"(а2"724)и42+? (с2) -((2)1^ «

Тогда

П2 П2+1 , 1-

« Е2^ Е 2Ма2"72")11<Др)(с2)||(1)«

П2 П2 х х

« Е2^ Е2"(а2"72"р)11 '(^и?5+2га2^-^и4722+?)(С2)||(1)«

и=0

Используя лемму 6, (а), а затем учитывая, что а2 > 72, будем иметь

и=0

и=0

1

2тг \ р

Но тогда для почти всех х\

(2тг

/-У2^,оо{Жхъх2)\ЧХ2^ = /27Г 1 1 \ р (0,72 + -) (0,72 + -)

Рассмотрим У^п, р (/) - У2Ъ1,00 (У2п2>ос р (/))(х1гх2).

(0,72+-)

Обозначим Ф(х\,х2) = У^ 2п2 р (/)(ж\,х2). Для почти всех ж2 функция Ф 1(3:1) = Ф(х\,х%) есть функция одного переменного Х\, причем Т/2"1;00(Ф) = У2п1 ($1(^1)). Тогда, применяя лемму 6, (б) и лемму 7, имеем

оо

|Ф1(Ж1> - У2"1 (Ф1)(ж 1)| < Е2т(Ф1)^ < £ 2!У1РЕ2,1_1(Ф1)^ <

!У1=П!

1

2тг \ р

=т

Следовательно, для почти всех х2

« £ 21/1р П \Ф1(х1)-У2,1-1(Ф1)(х1)\Чх1

/2. 1 \ ?

Тогда

/ 2тг 1 \ ^

« 2-П2«22П2(«2-72) |4°27П22+")(/) - У2П1^(У^Х1р\ЛЖх1,х2)\Чх2\ «

/ 2тг / 2к \р\

< 2"га272

<

г/=гг,1

чО

/

00 / 2?Г 2?Г 1 1 \ ^ < 2"га272 £ 11\У^ХР\Л(Х1,Х2) - У2^^{У^Р\Л){хъх2)\Чх^х2 = \о 0 /

= Е 2ир2~п212 / / 1С°;274+?)(/-^-1;СО(/))(Ж1,Ж2)|^1^2 =

\о о /

1

оо

2тг 2тг \ р

Л)

\о о

Применяя лемму 1, получаем

оо оо 2п2

73 « £ «ЕЕ «

и=П1 и=п\ — 1 Ц=П2 — 1

¿1 62

1 (¿¿1 (¿¿2

о о

Наконец, оценим 74. Используя леммы 2, (а) и 3, находим

оо оо

74 <Г2™1>2™2 (/)<»< Е Е 2К+гУ2)р ^1-1,2^2 _!(/)

г^1=гг,1 1>2=П2

Применяя лемму 4, свойство (е), а затем свойство (в), будем иметь

оо оо

74« Е £ «

«1+-.72 + - I 2^1 ' 2^2 /

г^1=гг,1 и2=п2 4 7 р

оо оо / 1 1 \

« Е Е «

1>\=П\ 1>2=П-2 Р

оо оо

«ЕЕ «

¿1 й2

« / ¡(Ш-'Ш^Ц^Ц и ММ о о

Итак, из оценок для 72, 7з и 74 следует, что 7 <С С, и тем самым неравенство (3) доказано. Теперь докажем точность теоремы 4. Пусть /1 (ж), /з^), и суть функции, опре-

деленные в лемме 10.

1. Рассмотрим функцию 73(^1,^2) = /1(^1) • /2(^2)-

Так как ^(Тз, 81,82) = -^(Л, ¿1) • ^(/г,^), то, применяя лемму 10, (а) и (б), получаем

^(ТзЛЛ)» ^ ¿22"72.

откуда следует, что при любом фиксированном 82 будем иметь

81,82) ->■ оо при ¿1 ->• 0.

2. Рассмотрим функцию ^(жъ^г) = /3(^1) • /2(^2)-

Так как ^2(^4, 81,82) = -Аг(/з^1) • ^(/2,82), то, применяя лемму 10, (в) и (б), получаем

1

'1 1пгт

откуда следует, что при любом фиксированном ¿2 будем иметь

^2(74, ¿1, ¿2) сю при ¿1 ->• 0.

3. Покажем теперь, что если в соотношении (3) заменить 72 на а2, то полученное соотношение не будет верным. Для этого покажем, что для любой функции / € Ь®, где 1 < р < д = оо, не существует такой положительной постоянной С, не зависящей от /,5\ и 52, что справедливо неравенство

¿1 ¿2 1_1 °° 0 0

Рассмотрим функцию Рь{х\,х2) = /гОсО'/^Жг)- Так как = и)а1>а2(Р^, ¿1, ¿2)00 = соа1 (/2 (Л, ^2)со\ то, применяя лемму 10, (б) и (г), получаем, что

^а 2 V

1-1

л »те2 (ш|)"

Так как ]2 = ша1+1^2+1 ¿2)оо = Чц-й (/2, ¿1)^ • (/4, ¿2)^, то, применяя лемму 10, (б)

и (г), получаем, что

о о

Если бы существовала положительная постоянная С, не зависящая от ¿1 и 52, такая, что ^

С ■ ]2, то для любого фиксированного ¿1 € (0,1) было бы справедливо неравенство Р «

1-

1-^

1п р ^1п1п ^^ р . Однако это неравенство не имеет места при 62 —> 0. Тем самым показано, что

в неравенстве (3) нельзя заменить 72 на а2.

Доказательство теоремы 5 аналогично доказательству теоремы 4. Дополнения. 1. Докажем, что неравенства

¿1 ¿2

1 (М\ (И2

шаъа2\^,51,62^ «у у (¿1*2) р^11+1^2+Ш,Ь,Ь)р — —=В1(/,б1,62), (5)

°° 0 0

¿1 ¿2 1_1

Шаьод^Ь^ «У! + " = В2(/,6г,62) (6)

°° 0 0

несравнимы при а\ > 71 >

Рассмотрим функцию ^(^ьЖг) = /2(,Х\) /2(х2).

Так как £>1(^8, ¿1, ¿2) = А(/2, ¿О-СЫ/г, ¿2), -62(^8,^1,^2) = ^(/2, Ь)02{12, 62), то, применяя лемму 10, (б), при 71 < 0:1 будем иметь

^(¿ЪАЛ) _ 1 ^ у г г р. ^

^ оо при V д2 и 01 —У 0. (7;

Теперь рассмотрим функцию Рд(х\,х2) = /5(,Х\)/2(х2).

Поскольку В^д, 61,62) = (/б, )(/2, ^2), Дз(-^д, ¿1, ¿2) = ^(/б, Ь)02{12, 62), то при 0:1 >

71 > ^г имеем

В2^,5ъ52) _ Л 2У"р

ш I- ) —> оо при V 02 и ¿1 —> 0. (8;

Вг (Я,Л,Й2) V

Из соотношений (7) и (8) следует, что правые части неравенств (5) и (6) несравнимы. В каждом конкретном случае более точные результаты могут быть получены иногда при применении теоремы 2, а иногда — теоремы 4.

2. Аналогично рассуждая, можно показать, что неравенства

¿1 ¿2

(/AAL« / Uhh) Ц1+1>72+1(/,*1,*2).

W \„ , - , СО

о о

несравнимы при а2 > 72 > ^2;■

dt\ dt2

'alya2\J ) «1) ^ I / V' ^7l+i)72 + i VJ J ——,

о о

¿1 ¿2 1_1 (/AAL« //(M2)-^71 + I;a2+l(/,ibi2)P(ln^)

В каждом конкретном случае более точные результаты могут быть получены иногда при применении теоремы 2, а иногда — теоремы 5.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 16-014)0350).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81 (123), № 1. 104-131.

2. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Н// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 3. 649-686.

3. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Об одном неравенстве П. Л. Ульянова // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 33-35.

4. Potapov М., Simonov В., Tikhonov S. Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < 00. A survey // Surv. Approxim. Theory 2013. 8. 1-57.

5. Потапов M.K., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости дробных порядков функций из пространств Lp, 1 < р < оо // Современные проблемы математики и механики. Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. VI. Математика, вып. 1; к 105-летию С.М. Никольского. М.: Изд-во МГУ, 2011. 90-110.

6. Потапов М.К., Симонов Б.В. Аналоги неравенства Ульянова для дробных модулей гладкости // Современные проблемы математики и механики. Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. VIII. Математика, вып. 1; к 130-летию Н.Н. Лузина и 85-летию П. Л. Ульянова. М.: Изд-во МГУ, 2013. 62-70.

7. Потлпов М.К., Симонов Б.В. Связь между модулями гладкости в метриках Lp и С // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 1. 7-16.

8. Потапов М.К., Симонов Б.В. Модули гладкости положительных порядков функций из пространств Lp, 1 ^ р ^ оо // Современные проблемы математики и механики. Тр. мех.-мат. ф-та МГУ. Т. VII. Математика, вып. 1; к 190-летию П.Л. Чебышева. М.: Изд-во МГУ, 2011. 100-104.

9. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-135.

10. Ditzian Z., Tikhonov S. UPyanov and NikoPskii-type inequalities //J. Approxim. Theory. 2005. 133. 100-133.

11. Simonov В., Tikhonov S. Sharp Ul'yanov-type inequalities using fractional smoothness //J. Approxim. Theory. 2010. 162. 1654-1684.

12. Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces // Arch. Math. 2010. 94.155-164.

13. Potapov M.K., Simonov B. V., Tikhonov S.Yu. Constructive characteristics of mixed moduli of smoothness of positive orders // Proc. 8th Congress Int. Soc. Analysis, its Appl. and Comput. (22-27 August 2011). Vol. 2. Moscow: People's Friendship University of Russia, 2012. 314-325.

14. Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Теоремы вложения в конструктивной теории приближений // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 107-148.

15. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

16. Потапов М.К. О приближении углом // Proc. Conf. Constructive Theory of Functions. Будапешт: Изд-во АН Венгрии, 1971. 371-399.

17. Потапов М.К. Вложение классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1974. 131. 199-210.

18. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости дробных порядков. М.: Изд-во Попечительского Совета мех.-мат. ф-та МГУ, 2014. 1-136.

19. Конюшков А.А. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Матем. сб. 1958. 44 (86), № 1. 53-84.

20. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. Prace Mat. 1976/77. 19, N 2. 389-400.

21. Потапов M.K., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости дробных порядков. Ч. II. М.: Изд-во Попечительского Совета мех.-мат. ф-та МГУ, 2015. 1-104.

22. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Дробные модули гладкости. М.: Макс Пресс, 2016.

Поступила в редакцию 19.10.2016

УДК 514.7, 514.8

ЛИУВИЛЛЕВА КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ НА ТОРЕ ВРАЩЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ

Д. С. Тимонина1

Получена лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе с потенциалом в случае линейного интеграла на основе вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга (меченых молекул) исследуемых систем. Описаны всевозможные виды бифуркационных кривых и получена классификация особенностей решений системы.

Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, геодезический поток, поверхность вращения, инвариант Фоменко-Цишанга, тор.

A Liouville classification of integrable Hamiltonian systems being geodesic flows on a 2-dimensional torus of revolution in an invariant potential field in the case of linear integral is obtained. This classification is obtained using the Fomenko-Zieschang invariant (marked molecules) of studied systems. All types of bifurcation curves are described. A classification of singularities of the system solutions is also obtained.

Key words: integrable Hamiltonian systems, geodesic flow, surfaces of revolution, Fomenko-Zieschang invariant, torus.

1. Введение. Теории лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем, созданной А. Т. Фоменко и его школой (см. [1]), посвящено много работ. Суть теории А. Т. Фоменко заключается в том, что интегрируемой системе с двумя степенями свободы, ограниченной на трехмерное неособое компактное изоэнергетическое многообразие, сопоставляется некоторый инвариант, имеющий структуру графа с числовыми метками. С помощью этого инварианта, называемого меченой молекулой или инвариантом Фоменко-Цишанга, можно получить полное описание (с точностью до послойной эквивалентности) слоения Лиувилля данной системы на изоэнергетических поверхностях.

Е. Н. Селивановой получена лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе (см. [1, т. 2, §3.1]), Т. 3. Нгуеном, Л. С. Поляковой и В. С. Матвеевым — на двумерной сфере (см. [1, т. 2, §3.3]). Е.О. Кантонистова (см. [2]) продолжила их работу и построила полную классификацию интегрируемых геодезических потоков на многообразиях вращения с потенциалом в случае линейного интеграла.

В настоящей работе обобщена теорема Е. Н Селивановой: получена лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе с потенциалом в случае линейного интеграла на основе вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга (меченых молекул) исследуемых систем (подробнее см. теоремы 2, 3).

Основы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, а также ее приложения к исследованию механических систем подробно изложены в работах [3-14].

2. Постановка задачи. Опишем задачу, результаты решения которой приведены в настоящей работе.

1 Тимонина Дарья Сергеевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: darik93Qyandex .ru.