Усиленные неравенства Ульянова для частных модулей гладкости функций из пространств с различными смешанными метриками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

УСИЛЕННЫЕ НЕРАВЕНСТВА УЛЬЯНОВА ДЛЯ ЧАСТНЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ С РАЗЛИЧНЫМИ СМЕШАННЫМИ МЕТРИКАМИ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

Для функций одной переменной известно неравенство Ульянова о связи между модулями непрерывности в разных метриках. В работе рассматриваются функции двух переменных. Доказаны усиленные неравенства Ульянова о связи между частными модулями гладкости положительного порядка в разных смешанных метриках.

Ключевые слова: неравенство, частный модуль гладкости, смешанная метрика.

UPyanovs inequality connecting moduli of continuity in different metrics is well known for functions of one variable. In this paper functions of two variables are considered. Sharp UPyanov's inequalities connecting partial moduli of smoothness of positive order are proved in different mixed metrics.

Key words: inequality, partial modulus of smoothness, mixed metric.

Введение. Хорошо известно неравенство Ульянова [1] о взаимосвязи модулей непрерывности функции одного переменного, рассматриваемой в различных интегральных метриках:

/ г х ±

q

4 о 7

где 5)р — модуль непрерывности функции /(х) € Ьр, 1 ^ р < д < оо, постоянная С не зависит от / и 5.

Применение дробных модулей гладкости позволило получить усиленное неравенство Ульянова как для функций одного переменного [2], так и для функций двух переменных в случае смешанных [3] и полных [4] модулей гладкости.

В настоящей работе приводятся усиленные неравенства Ульянова для частных модулей гладкости функции двух переменных.

1. Определения и обозначения. Введем следующие обозначения:

ЬР1Р2, 1 ^ рг ^ с 2 = 1,2, — множество измеримых функций двух переменных /(х1,х2), 2-^-периодических то каждому переменном у, таких, что ||/ ||Р1,Р2 = || (||/ ||Р1 }||Р2 < с, где ||Р =

2ж \ Vi

f |F|pidxi) , если 1 ^ pi < го; ||F||pi = sup vrai |F|, если pi = oo; 0 /

2n

L0ip2 — множество функций f € Lpip2, таких, что J f (xi,x2)dxi = 0 для почти вcex X2

и

2п

J f (xi,x2 )dx2 = 0 для почти в cex xi; 0

Vm1t&)(f),V<x,m2(f) _ суммы Валле-Пуссепа ряда Фурье функции f(x1,x2), т.е.

2п 2п

Vmi,oo(f) = I f f{xi+tl,x2)V^{tl)dtl, Voo^U) = ^ f f{xi,x2 + t2)V^{t2)dt2,

где V0 (t) = Do(t),

n = l,2,..., = m = 0,1,2,... :

n 2 sin |

f(«ъ«2) — производная в смысле Вейля функции f(xi,x2) € L^lP2 порядка ai(ai ^ 0) по переменной xi и порядка a2(a2 ^ 0) по переменной x2 (см. [5, с. 238]);

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-

b2002Qyandex.ru.

— частное наилучшее приближение функции / € Lpip2 по переменной xi, т.е. EmiTO(/)PiP2 = inf llf Тт,1^Ур1Р2, Где фуНКЦИИ Tmi^ (Ж1,Ж2) € LP1P2 и являются тригонометрическими полиномами порядка не выше mi по перемен ной xi;

Етет2 (/)pip2 — частное наилучшее приближени е функции / € Lpip2 по перемен ной Х2, т.е. (/)pip2 = inf llf - llpip2, гДе функции T^m2(xi,X2) € Lp^ и являются тригоно-

m2 x2

Для функции / € Lpip2 определим разности с шагами hi и h-2 положительных порядков ai и a 2 соответственно по переменным xi и Х2 следующим образом:

те

да (/) = Е (—i)vi (ai) / (xi+(ai - vi)hi, x2),

vi=0 те

Д02 (/) = £ (-1)V2 (022) /(xi, x2 + (a2 - V2)h2),

V2=0

где (") = 1 для v = 0, (") = а для v = 1, (") = a(a~1)---(a~ty+1) дЛЯ у Введем также следующие обозначения:

wai,o(/, ^i)pip2 — частный модуль гладкости положительного порядка ai по переменной xi, т.е.

Wai,0(/,¿i)pip2 = sup НД^ (/)|pip2 ; |hiK¿i

wo,«2 (/, ^2)pip2 — частный модуль гладкости положитель ного порядка a2 по перемен ной x2, т.е.

Wo,«2 (/,¿2)pip2 = suP ||Да (/)Hpip2 ;

Lp^, 1 ^ p ^ те, — множество измеримых 2-^-периодических функций одного переменного / (x),

i

для которых Н/hp1) < те, где Ц/l^ = I f |/|pdx ) , если 1 ^ p < те; Ц/Hp^ = sup vrai |/1, если p = те;

\0 /

2П

¿p(1) — множество функций / € Lp1^, таких, что J /(x)dx = 0;

0

(/)— суммы Валле-Пуссена ряда Фурье функции /(x), т.е.

2п

Уш(Л = 1 j f{x + t)VZr(t)dt, т = 0,1,2,...; 0

/ (a)(x)

— производная в смысле Вейля функции /(x) порядка a > 0 (см. [6, с. 201]); а(/) — ряд Фурье функции /(x), т.е.

те те

= = — + £(afccosb; + 6fcsinb;) = £ Ак{х),

fc=1 fc=0

где через и bk обозначены коэффициенты Фурье функции / (x); /(x) — функция, сопряженная с /(x);

Tn({An}; x) — преобразованный с помощью последовательности {An} тригонометрический йога

лином Tn(x) = (cv c°s vx + dv sin vx), т.е.

v=0

T„({A„}; x) = £ Av(cv c°s vx + dv sin vx);

v=0

^а(/, t)!1 — модуль гладкости положительно го порядка а функции / (ж) в метри ке Lp^ , т.е. Wa(/,t)P1) = sup II Да/(ж) ||P1), где

дг/и = +(«" ")*)

v=0

— разность порядка а > 0 функцпи f (x) (при целых а это будет а-я разность, например при а = 1 имеем Д! f(ж) = f (x + h) — f(x)).

Для неотрицательных функционалов F(f, ¿^¿2) и G(f, ¿^¿2) пишем F(f, ¿^¿2) ^ G(f, ¿1^2), если существует положительная постоянная C, не зависящая от f, ¿1 и ¿2, такая, что F(f, ¿1, ¿2) ^ CG(f, ¿1, ¿2). Если одновременно F(f, ¿1,¿2) ^ G(f, ¿1, ¿2) и G(f, ¿^¿2) <С F(f, ¿1,¿2), то будем писать F(f, ¿1, ¿2) х G(f, ¿1, ¿2).

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [7]. Пусть f € L01P2, g € LP1P2, 1 ^ p ^ те, вг > а» > 0, i = 1, 2. Тогда

1) Ш«1,0(f, 0)P1P2 = 0, W0,«2 (f, 0)P1 P2 = 0;

2) ш«1 ,o(f + g ¿1 )P1P2 ^ ша1,0(Л ¿1)P1P2 + w«l,0(g^1 )P1P2 5

(f + g ¿2)P1P2 ^ w0,«2 (f, ¿2)P1P2 + w0,«2 (g ¿2)P1P2 5

3) w«1,0(f, ¿1)P1P2 < Wa1,0(f,i1)P1P2, еслu 0 ^ ¿1 ^ 11; W0,«2 (f, ¿2)P1P2 < w0,«2 (f,t2)P1P2, есл и 0 ^ ¿2 ^ ¿2 5

4) ,о(/Л)р1Р2 < еа/ш о < ix ^ < тг;

"1 %

""■°2(ff)pip2 ^ ^,а2(^2)р1р2) еслм 0 < i2 ¿2 < тг; "2

5) ,0 ( f, ¿1)P1P2 ^ W«1,0(f, ¿1 )P1P2 , ^0,ß2 (f,¿2)PlP2 < ^0,«2 (f,¿2)PlP2 •

Лемма 2 [7]. Пусть f € L01P2, 1 ^ p ^ те, аг > 0 П € N i = 1, 2. Тогда

6) (/> ~)pip2 l|/-^2(/)||pip2+n2-a1^2)(/)||pip2-

Лемма 3. Пусть f € LP , 1 ^ рг ^ те, пг = 0,1, 2,..i = 1, 2. Тогда

те

(а) ||f — V2n1 «f )||P1P2 « || E (V2V1 те(f) — V2V1+1^(f)) Hp!P2 ,

V1 =П1

те

(б) ||f — Уте2"2 (f )|p1p2 « || E (W2 (f) — V«,2"2 + l (f ))||plp2 .

Доказательство. Докажем п. (а). Так как для любого натурального числа M1 ^ n1 верно равенство

M1

f — V-1 те(f) = £ (^1+1те(f) — V2V1 те(f)) + f — V^l^f),

V1=n1

ТО

M1

||f — Vpiте(f)|plp2 < || E

1 + 1те(f) — V2vlте(f ))|piP2 + ||f — V2Ml + ^(f )|plp2 .

V1 =П1

В силу [7, лемма 2.1] ||f — V2Ml+l<re(f)|PiP2 < E2Ml+l<re(fW2 и E2Ml+l<re(f)PlP2 ^ 0 ПРИ M1 ^ ^ ПОЭТОМУ

II/ - Vpiте(/)|pip2 « Ц £ (V2v1+1^(/) - V2 V1 те (/))|p

IIP1P2 !

Vi=ni

что и требовалось доказать.

Доказательство п. (б) аналогично доказательству п. (а) и поэтому опускается. Лемма 4 [8]. (а) Пусть функция Т2

П1 ,те> € ^Р1Р2, 1 ^ Рг ^ те (2 — 1, 2); и является тригонометрическим полиномом порядка 2П1 по перемен ной Ж1, 1 ^ р <51 ^ те, ^ — 51, если 51 < те, и ^ — 1, если 51 — те, N ^ Ж2, N. € N,2 — 1, 2. Тогда

N2

У Т2П1

91Р2

N2

« С I £ 2

1/9!

где постоянная С не зависит, от, и Т2П1 €

(б) Пусть функция Тте,2п2 € ¿Р1Р2, 1 ^ рг ^ оо(г = 1,2) и является тригонометрическим полиномом порядка, 2П2 по перемен ной х2, 1 ^ р2 < д2 ^ о, д| = д2, если д2 < с и д2 = 1, если д2 = с М1 < Мг € N 2 = 1, 2. Тогда

М2

У Т1Х,2"2

п2=М1

М2

< С I £ 2

Р192 \п2=М1

1/9!

'"2 92* (¿7-¿г)

Р2 та1Г00>2™2||р1Р2

где постоянная С не зависит, от, М1;М2 и Тте;2"2 , п2 € [М1;М2].

Лемма 5 (неравенство Никольского) [9]. (а) Пусть функция Тп1те(х1;х2) есть тригонометрический полином порядка, не выше п1(п1 € N по переменной х1 и Тп1те(х1;х2) € ТР1Р2, 1 ^ рг ^ о, 2 = 1, 2, а1 > 0. Тогда,

)||Р1Р2 ^ п11 ||ТП1теУр1Р2 •

(б) Пусть функция Ттеп2 (х1;х2) есть тригонометрический полином поря,дка не выше п2 (п2 € М) по переменной х2 и Ттеп2 (х1;х2) € £Р1Р2, 1 ^ рг ^ с 2 = 1, 2, а2 > 0. Тогда,

||Т00,'п2) ||Р1Р2 ^ П22 ||ТС»,п2 ||Р1Р2 .

Лемма 6 [5, с. 31] (неравенство Харди-Литлвуца). Пусть 1 < р < д < оо, ц = 1 — ^ +

/ г^еМ! = (—оо,Ч-оо), т.е. ||/||ь(1)(К1) = ( / < оо,

3(х) = / /(У)1У -

Тогда, справедливо неравенство

41' («1)

< К (р,д)|/ ||ьр1) (^

где постоянная К(р, д) зависит, лишь от р м д.

Лемма 7. Пусть 0 < а < 1, п € М, 0 < |х| ^ п. Тогда

Е

^=1

СОИ ^х

< С (а) ■ |х

а— 1

Е

^=1

И1П ^х

< С (а) ■ |х

а—1

где положительная постоянная С (а) не зависит, от, п и х, а, зависит, лишь от а. Доказательство. Достаточно доказать неравенство для 0 < х ^ п. I. Пусть 0 < х ^ Тогда п ^ ^ и

Е

^=1

СОИ ^х

<

1

V — < Сп1~а < Сж""1, У

/ ^ ц а ' /

V=1

И1П ^х

V=1

<

1

V — < Сп1~а < Сжа_1. / ^ ц«

V=1

II. Пусть ^ ^ ж ^ 7Г. Для данного п найдется натуральное число М, такое, что 2м 1 ^ п < 2 Тогда

М

ЕСОИ их ут-^ СОИ ^х \

/ у / у

СОИ ^х

СОИ ^х

V=1

Тогда

п 2м-1 2

^ сон г/ж / ра V =1 V =1

V=1

СОИ ^х

V=2м-1+1

+

Е

СОИ ^х

V=2м-1+1

= 51 + 5*2.

V

а

а

V

V

Используя п. I, получаем $1 ^ С ■ жа 1. Оценим £2:

=

т п

п Е =2М-1 + 1 СОИ VЖ п Е V=2M -

V а

п Е =2М-1+1 м 1

та (т + 1)"

СОИ

Е

1

та

+

1

У СОИ +

(т + 1)а/ (п + 1)'

Е

(п + 1)"

^=2м"1+1 1 ' V=2М-1+1

СОИ

Е

т=2м-1 + 1

1 1

та (т + 1)с

') (Ап(ж) - Д2м-1 (Ж)) + ^ (Дп(ж) - Д2м-1 (ж))

Е —-

1=2М-1+1

1

1

та (т + 1)а

п 1

- Е Ь;

г=2м-1 + 1

\та (т + 1)с

02ы-1 (Ж) +

+ 7—- 7—ггг—02м-1(х)

(п + 1)с

(п + 1)а

Е

1

1

г=2М-1+1

\та (т + 1)'

-)^т(ж) - (

(2М-1 + 1)а (п +1)с

£2м-1 (Ж) +

+ 7-Г-ГТ^Аг(ж) - 7-пр—-02М-1(ж)

п

Е (—

(п + 1) 1

(п + 1) 1

г=2М-1+1

\та (т + 1)а

- (2М- 1 + 1)аД2М-1(ж) +

1

Е —

/ 1 1 \ нт(т +

<

т=2м-1 + 1 п

2М-1+ Ь

Чт" (т + 1)а/ 2нт±ж (2м"1 + 1)" 2нт±ж

(п + 1)

+

Г^п(ж)

Е (-

т=2м-1+1

п

< Е

та (т + 1)а) 2нт±ж

ит(т + А)ж

+

1 ит(2м"1 + ±)ж

г=2м-1+1

(2м-1+ 1)" 2ит±ж 1

+

1 ит(п + \)х

(п + 1)" 2 ит

1 ит(п + |)ж

(п + 1)а 2 ит ^ж

<

<

+

11

+

та (т + 1)а/2ит±ж (2м"1 + 1)" 2 ит \х (п + 1)"2ит±ж

<

« Е

т=2м-1+1 1

1

П

+

1

1

та (т + 1)аУж ' (2м"1+ 1)" ж ' (п + 1)" ж

п 1 П

+

= С

1

П - +

1

П 1 П

- +

1 + !)« {п + 1)а) х (2м-1 + 1)" ж {п + 1)" ж

П

)Ма

1 2п 1 2а+1 п па 2а+1 п1-а а 2а+1 п1-а

<

(2М-1 + 1)а Ж (2М-1 + 1)а 2М« Ж 2М« Ж

<

^ ж0

^ С • жа-1.

п" Ж

Аналогично проверяется, что

V =1

Е ^ < С {а) • ж'

а— 1

Пусть ^ ^ ж ^ = 1,..., М — 1). Тогда

Есои их ^

V=1

СОИ ^Ж

V=1

+

Е

СОИ ^Ж

,=2к-1 + 1

— + £4.

Используя п. I, получаем £3 ^ С ■ ж

а—1

m=v

1

1

1

1

1

1

1

Ж

к-1

2

а

V

V

Оценим £4:

$4 —

Е

сов ^Ж

у=2к-1 + 1

^=2к-1+1

СОВ ^Ж

п

Е

та

+

(т + 1)а/ (п + 1)

1

1

1

а

а

V

п -1

Е (—

Чта (т + 1)а

т=2к-1 + 1 ^=2к-1+1

У^ СОВ VЖ +

(п + 1)а

Е

СОВ VЖ

у=2к-1+1

г=2к-1+1

Е —-

та (т + 1)а

»(ж) - ^-1 (ж)) +

(п + 1)'

;(^п(Ж) - ^к-1 (Ж))

Е

/ 1

1

г=2к-1+1

Чта (т + 1)а

^т(ж) - £

/ 1

1

г=2к-1+1

Чта (т + 1)а

в2к-1 (ж) +

+ 7—гтттА»(ж) - У В2к-1(х)

п -1

Е (—

(п + 1)а 1

(п + 1)а

г=2к-1+1

Чта (т + 1)'

-)^т(ж) - (

(2к-1 + 1)а (п + 1)с

в2к-1 (ж)+

+ 7—- ] лЛпВ2к- 1{х)

Е

/ 1

(п + 1) 1

(п + 1)а

г=2к-1+1

Чта (т + 1)а

)Вш{х) - {2к_^+1)аВ2к- х(ж) +

1

(п + 1)

(ж)

/1 1 ^ вт(т + |)ж

1 ЭШ^ 1 + |)ж 1 1 вт(п + |)ж

Е/ ± ± \ 2' ош^/б 2,

, , \т°~(т + 1)а/ 2вт±ж (2*-1 +1)" 2вт±ж + (п +1)" 2вт±ж

<

г=2к-1+1

Ега / 1 1 \ вт(т +

^ 1т°~(т + 1)а/ 2 вш А

т=2к-1+1 2

<

2 ;

+

1 ЭШ^ 1 + 1 вт(п +

(2^-1+ 1)а 2 эт А:

+

(п + 1)а 2вт±ж

<

<

г=2к-1+1

^ / 1 1 \ 1 1 1 1 1

1т" ~ (т + 1)" У 2 вт \х + {2к~1 + 1)" 2 вт \х + {п + 1)" 2 вт

1 \ 1

<

п

<

Е

/ 1

1

т=2к-1 + 1 1

\тс

п

+

1

п

+

1п

(т + 1)а У ж (2к-1 + 1)а ж (п + 1)а ж 1 \ п 1 п 1 п

+

+

(2к-1 + 1)а (п + 1)а У ж (2к-1 + 1)а ж (п + 1)а ж

п

(2к-1 + 1)а ж (2к-1 + 1)а 2ка ж ^ 2ка ж

1 2п 1 2а+1п па 2а+1п1-а а 2а+1 п1-а ^ „_ ^ —;--^ —;--< Ж - ¡С С ■ X .

Аналогично проверяется, что

V =1

< С (а) ■ ж

2ка

а— 1

ж

Лемма 8 [6, с. 213]. Пусть /(ж) € Ь°р{1), 1 < р < д < оо; 6> = ± - а ^ 0. Тогда

II /(а) 11^1)<У /(а+0) УР1)

1

1

1

1

1

1

а

V

Лемма 9 [10, с. 88]. Пустл, /(ж) = £ сои 2их, /? > 1 ^ р < д < оо; в = ± - а > 0, п € N и{0}. Тогда

(1) _ (1) ^ (п + 1)!3

^«(/,2 )у ~-—-, ша+в{1,2

Лемма 10 [10, с. 16]. Пусть последовательность чисел {сп} такова, что сп > 0 для любого п € N и сп — 0 при п — го. Тогда, существует последовательность чисел {ап} такая, что ап ^ сп; ап — 2ап+1 + ап+2 ^ 0 для п € N и ап — 0 щи п — го.

Лемма 11 [10, с. 101, 102]. Пусть а > 0,1 < д < го, функция /(ж) такова, что ч\х) =

Е ak cos kx, где последовательность чисел (a^} удовлетворяет условиям леммы 10 для Ck = k=i

-^—г. Тогда

(ln(fc+l))«

ua+4(f,5)[l) «S^-'Wf^-^W?, coa(f,S){ql) »Пlnln|)Í

Лемма 12 [10, с. 13]. Пусть a > 0 f (x) € CT(f) = E Afc(x), где Afc(x) = afc cos kx +

k=i

oo

bk sin kx. Пусть функция <^(x) такова, что ст(^) = Е kaAk(x). Тогда,

k=i

3. Основные результаты. Сформулируем основные результаты работы. Теорема 1. Пусть /(Ж1,Ж2) € Т°1Р2, 1 < Pi < (?i < оо; 1 ^ р2 ^ го, 01 = — ai > 0, 5 € (0,1). Тогда 1 '

, 5 ч J,

tí' r i q1 df \ qi

^аьо(/, ¿)gip2 < ( / t~eiuJa1+e1,o{f,t)pip2 у I . (1)

^ 0 '

Теорема 1 точна в том смысле, что существует функция fo(xi,x2), такая, что для нее в соотношении (1) знак ^ может быть заменен знаком х .

В неравенстве (1), вообще говоря, знак ^ нельзя заменить на х . При p1 = 1 теорема 1 неверна.

Теорема 2. Пусть /(Ж1,Ж2) € Lpip2, 1 = Pi < gi < oo, 1 ^ р2 ^ го, в\ = 1 — /3\ > а\ > 0, 5 € (0,1). Тогда,

/ 6 \ — / 1 \ -í' r i ?1 df \ qi í'y i df \ qi

w„bo(/,¿W2« í I [гв^а1+в1,ои,1)1р2\ jj +óa4 I jj .(2)

^ 0 ' ^ ¿ '

Теорема 2 точна в том смысле, что существует функция fo(xi,x2), такая, что для нее в соотношении (2) знак ^ может быть заменен на х .

Теорема 3. Пустл, /(жьж2) € L°ip2, 1 ^ pl ^ го, 1 < р2 < д2 < оо, в2 = ^ - а2 > 0, 5 € (0,1). Тогда

/ S ч J,

í í r 1 92 df \ q2

Wo,a2 (Л 5)pi 92 < /

f

0

Теорема 3 точна в том смысле, что существует функция /о(ж1,Ж2), такая, что для нее в соотношении (3) знак ^ может быть заменен на х .

В неравенстве (3), вообще говоря, знак ^ нельзя заменить знаком х . При р2 — 1 теорема 3 неверна.

Теорема 4. Пусть /(ж!,ж2) € ¿Р1Р2, 1 ^ Р\ ^ оо; 1 = < <72 < оо; 6>2 = 1 - /?2 > а2 > 0, 5 € (0,1). Тогда

,6 . х , 1 . А.

Г г 1 ?2 Л \ д2 Г г 1?2 Л/ \ д2

ио,М6)Р1Я2<& ( / ¿-^0)«2+(?2(/,;)Р11 т) / ¿-(а2+02)^2+(?2(/^)Р11 у) . (4)

о 7 4 г

Теорема 4 точна в том смысле, что существует функция /о(ж1,Ж2) такая, что для нее в соотношении (4) знак « может быть заменен на х .

4. Доказательство теоремы 1. Для любого 5 € (0,1) существует целое неотрицательное число п, такое, что 2-п-1 < 5 < 2-п. Поэтому, применяя свойство 3 частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, получаем

3 — ,о(/,5),1р2 « ^1,о(/, 2-п)91 Р2 « II/ - ^2П>те(/)У,1Р2 +2-па1 ||^2(пате0)(/)Н*1 Р2 — Л + ^2.

Используя сначала лемму 3, а затем лемму 4 и, наконец, лемму 2, имеем

(/) - ^2^+1, те(/)) « ( £ 2^ |№*,«,(/) - (ЛНР^Г «

^=п 91Р2 ^ V=п У

(оо оо \

1/ - ,те(/)1Р1Р2 + ||/ - ^+1,те(/)11£И) 91 «

^=п ^=п '

«(¿2^<+(?ь0(/,^)Р1Р2)д1. ^ 1/—п '

Оценим 32. Обозначим ф(Ж1,Ж2) — ^"оо^/(ж1, Ж2))- Для почти всех фиксированных ж0 функция

Ф1(ж1) — Ф(жьж2) есть функция одного переменного ж1, причем К^П*^/(ж1,ж^)) — ^"^(Ф^ж^). Применяя лемму 8, получаем

¡^(ф^жода « УФ+^ф^))^.

ж2

2тг ± 2тг ^

«1 / [ .--/п-.+в-, (Т| , _____ . \ Р1

оо V.* У^1, л

У 1^>(па1Сте0)(/(Ж1 ,Ж2 ))Р ЛЖ^1 «(/^Г^' 0)(/(Ж1,Ж2))|Р1 ¿Ж оо

Но тогда для Р2 < те справедливо неравенство

27Г 2п Р2 2п 2п р2

0 0 0 0 а для р2 — те — неравенство

2тг ^ _ 2тг ^

Р1

0<ж2<2п \ / 0<ж2 <2п \ ^ ' те

00

Из этих неравенств следует, что выполняется неравенство

2-па1 |^те0)(/)|^1Р2 « 2-па1 |К2(„а1с+01'0)(/)I|р1р2.

Применяя лемму 2, получаем

,]2 < 2га6>1(х;а1+61ьо(/, — )рхр2-

Объединяя оценки для 31 и 32 и используя свойства частного модуля гладкости (лемма 1), имеем

J < ( 2vq101

ш

91

a1+e1,0\J ' 2VJP1P2

<

í 01 ш«1+01, 0(/,t)

Р1Р2

91 dt \ n

7

тем самым неравенство (1) доказано.

Теперь рассмотрим функцию /о(жьЖ2) = sin xi sinж2- Для каждого á € (0,1) существует натуральное число т, такое, что ^pj < S ^ Используя свойства частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, для любого числа y > 0 и любых р € [1, те], i = 1, 2, имеем

w7;o(/o,¿)pbp2 - w7;0(/o, —)V!,V2 - ^- í7'

Поэтому

ш«1, 0^ á)91 Р2 — ^

t 01 ш«1+6>1, 0(/0,t)

Р1 Р2

91 dí\ «

7

áa1.

Из справедливости последних соотношений следует, что для функции /0(Ж1,Ж2) в соотношении (1) знак « может быть заменен знаком х .

Теперь покажем, что, вообще говоря, в неравенстве (1) знак « нельзя заменить на х . Рассмотрим функцию

/1(жьж2) = £ этжг = Л(1)(ж1) • апж2,

V1=0

где В\ > — А, а\ > 9\, 9\ = -7— -f. В лемме 9 показано, что 2 p1 q1

, (1) га.(1) _ (jl+Vf^l ,, rf(l) о-пл(1) ^ (п+1)^1

2«1га

Так как ша1, 0(/i,á)91 Р2 = ша1 (/l^á)^ ■ || sinж^Р^, то, используя эти оценки, получим

ш«1, 0 (/i, á)q1 p2 — áa1 ln

h+h. &

t 01 ш«1+01, 0(/i,t)

Р1 Р2

91 dí\ n

7

á«1

-01

ln-

в1

Таким образом, для функции Д(ж1, Ж2) правая и левая части соотношения (1) имеют разные порядки 5, « х .

Покажем теперь, что неравенство (1) при Р1 — 1 неверно, т.е. не для всех функций / € ¿Р1Р2 справедливо утверждение

w«b0(/,á)giP2 < ( I t 1+nuJai+1_±í0(f,t)iP2

9i dt \ n

7

(5)

(«1+1—М оо

Рассмотрим функцию /2(жьж2) = /1^1) • япи, такую, что Д 91 (ж 1) = £ аксо8кх1} где

к=1

последовательность чисел удовлетворяет условиям леммы 10 для ск = 1

В лемме 11 показано, что

ln«l (fc+i)

Так как ша1, 0(/2,á)91 Р2 = ша1 (/i,á)91) ■ || sinж2, то в силу этих оценок

91 '

Р2

91 dt \ п

7

q

UJai,o(f2,S)qi,P2 >>¿ai(lnln-)gi.

< áa1,

(6) (7)

ó

1

ó

1

Поскольку правые части соотношений (6) и (7) имеют разные порядки как функции ö, то из справедливости соотношений (6) и (7) следует, что для функции /2(^1,^2) соотношение (5) неверно, а это и означает, что в соотношении (1) нельзя заменить pi на 1, т.е. при p = 1 теорема 1 неверна.

5. Доказательство теоремы 2. Для любого ö € (0,1) существует целое неотрицательное число и, такое, что 2-n-1 ^ ö < 2-n. Поэтому, используя свойство (3) частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, получаем

J = Wai ,о(/, Ö)qip2 « Wai>o(/, 2-n)qlP2 « ||/ - ^(/)||д1р2 + 2^ || V^ (/) ||qlP2 = Jl + J2.

Применяя сначала лемму 3, а затем лемму 4, имеем

J1 «

qiP2

) ^v p 01 у

V / МР1Р2

В силу леммы 2

J1 « 2

^w-«^91 (f —)

E(vfe0)(/) - V

(ai, 0)

[2 v 1],те

Так как / € ¿Р1Р2 , то V0 ,(/) = 0, поэтому

J2 =2-na1 ||V2Sa>^0)(/)|q1P2 =2-na1

Используя лемму 4, приходим к оценке

/ n

J2 « ( ^2^(iT-i)||(^;oo(/) " ^-1];оо(/))(аь0)11^

(/))

v=0

Р1 Р2

v=0

q1P2

С учетом леммы 5 имеем

J2« ^2гУ<г1(а1+и"«)||(У2-)оо(/) - ^2-l],oo(/))llPiP2 ) 41 «

v=0

<<; / £ ||/-F2,)Co(/)||^ V1 +2—1 ( £ 2^(ai+iT-iT)||/-^-i];oo(/)ll^iP2

v=0

v=0

В силу леммы 2 заключаем, что

J2 « 2-na1 2

v=0

UJßi+ei,o\J' 2vJPiP2

Объединяя оценки для Ji и J2, получаем

1

J « 2

ОО \ -i- / п

V9l^~n\.,91 (f —) I 1 +2"raai

Ша1+в1,0\1' 2v'pip2 j v=n ' v v=0

pi 91'w^i+öb0(/, )P1P2

Учитывая свойства частного модуля гладкости (лемма 1), имеем

J«

t 01 W«1+01, 0(/,t)

Р1 Р2

91 СЙ\ <?i 1

+ öa1

t-(a1 +01)Wß1+01;0(/, t)p1 p2

91 <?i 1

v=n

v=n

1

тем самым соотношение (2) доказано. 18 ВМУ, математика, механика, № 3

Рассмотрим функцию /o(xi,X2) = sinxi sinЖ2- Для каждого ö € (0,1) существует натуральное число т, такое, что < 6 ^ Используя свойства частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, для любого числа y > 0 и любых р € [1, го], i = 1, 2, имеем

w7)o(/o, S)viJ>2 ~ w7,o(/o, —)vi,v2 ~ ~7 ~

m mY

Поэтому wai>o(/o,ö)giР2 X öai, 6

t 01 Wa1+01,o(/o,í)p1p2

91 dt \ 11

7

, á"1

t (a1+01) Wß1+01,o(/o,t)P1 P2

91 «

7

Г1.

Из справедливости последних соотношений следует, что для функции /о(ж1,Ж2) в соотношении (2) знак ^ может быть заменен знаком х .

Отметим, что при замене Д на ®1 в теореме 2 для функции /о(ж1,Ж2) в соотношении (2) знак ^ нельзя заменить на х .

6. Доказательство теоремы 3. Для любого £ € (0,1) существует целое неотрицательное число п, такое, что 2-п-1 ^ 5 < 2-п. Поэтому, учитывая свойство (3) частного модуля гладкости (лемма 1), а затем лемму 2, получаем

■ = (/ 5)Р192 < ш0,«2 (/ 2-п )Р192 < ||/ — (/)УР192 +2-па2 ||^(0)'2П2)(/)УР192 — ■ + ^2-

Применяя сначала лемму 3, а затем лемму 4 и, наконец, лемму 2, имеем

Ji «

Р192 N v=n

53(W(/) - (/)) « J; 2V9202(/) - V^2v+1 (/)yp21pj «

1

^ ( УЗ 2"g26>2(x;02a9+6>9 (/' 2^PlP2

Оценим J2. Обозначим p(xi, X2) = V^'^l2(xi, X2)). Для почти всех фиксированных x0 функция

p2(x2) = p(xi,x2) есть функция одного переменного x2, причем ^С(0'2П2)(/(x0,x2)) = V2(a2)(p2(x2)). Тогда

2n+1-1

V^W2 ^(Р2 (Х2)) = (Cv COS VX2 + dv Sin VX2) = T2n+l-1(x2).

v=1

Пусть 92 = ^ — Применяя лемму 12, имеем

2n+1 — 1

2n+1- 1

Т2п+1_1(ж2) = cos г/ж2 + sinz/a;2) = 53 ~^ve2(cvex)svx2 +dvsmvx2)

V =1

V=1

2n+1- 1

53 —fa (cos cos VX2 + dv sinra2)^2' + sin cos VX2 + dv sinra2) j

02П,

(02 Ь

V=1

2n+1- 1

= cos ■

02 П 1 / / . Л (02) 2 v^1 1

— - J [T2"+l-l (h)) ^COSV{t2-X2)dt2-

— sin ■

Í (T2n+l_1(i2))(Ö2r53^SinKi2-X2)di2.

v=1 v

V=1 2n+1- 1

V=n

П

П

Согласно лемме 7 для почти всех Ж2

-7Т ^=1

2"+ — 1

Л/2 +

2"+^ 1

Л/2 <

1 С 1

+ - / (Т2п+1_1(^))№) £ ип^з-жз)

п-П ^=1 V

П П

I\{т2П+1_1(ь)){в2)\\ь-х2\в2-1(И2 + с(в2)^ I\(т2п+1_1$2)){в2)\\г2-х2\в2-1<и2^

-П -П

П

< С1 (02) / |(Т2"+1-1(/2))(02)||/2 - Ж2|02-1

-П

Таким образом, для почти всех Ж2 справедливо неравенство

П

IV?2)(Р2(Ж2))| < С(Р2,92) / И"*2 +'2)(р2(/2))||*2 - Ж2|в2-1^.

Следовательно, для почти всех Ж1 и Ж2 выполнена оценка

П

1К(0оС"2)(/)(Ж1,Ж2)| < С (р2,Ы / (/)(Ж1,/2 )||*2 - Ж2^2-1Л/2

(8)

где постоянная С (р2, 92) зависит лишь от р2 и 92-Если р1 < те, то с учетом (8) получаем

П П

32 — 2-па2 ||^2)(/)||р1 ^2 — 2-па2 (|({ I |<&2)(/)(Ж1 ,Ж2)|Р1 ЛЖ1

^Ж2 <

ПП

П П П

< С(Р2,92)2

-п«2

Р1 — \ 92 \ —

1 Р1 \ \ 92

^Ж1

I |^(0;20:2 +^2)(/)(Ж1,/2)||/2 - Ж2 |02 -1Л/2

-П -П -П

Применяя к двум внутренним интегралам неравенство Минковского, будем иметь

П П П

32 < С(Р2,92)2

-п«2

92

ППП

Введем функцию З1(¿2), которая равна I /

-П

нулю, если ¿2 € К1 \ [-п,п]. Тогда получим

Р1

У^п2+02)(/)(х1,Ъ)"г1х11Р1, если ¿2 е [-7Г,7Г], и

32 < С(Р2,92)2"

^(¿2) |/2 - Ж2|02 ^¿2 ) ¿Ж2

92

Используя лемму 6, а затем лемму 2, приходим к оценке

32 < С1(р2,92)2-га"211^11^)(К1) = С1(р2,92)2-га"2||<2"2+'2)(/)1и2 ^^^^(Лт^)

1

п Р 1 Р 2

П

1

1

2

1

Если pi = те, то, применяя неравенство (8), имеем

J2 = 2—na2yvi02a2)(/)ypiq2 = 2—na2( / [sup vrai |<&2)(/(xi,x2))|

0<ж1<2п

92 \ 92

dx2 ) <

п

2

2-

—га«2

sup vrai / |vi0,a2+e2)(/(xi,Î2))||Î2 - Х2Г2-1idt2

92 \ 92

dx2 <

—п —п

п п

sup vrai |viO2a2+02)(/(Xi,Î2))||Î2 - X2|02-1dt2

0<ж1<2п

92

dx2

пп

Рассмотрим функцию F1(t2), которая равна sup vrai IV^^2 +^2)(/(x1,t2)), если t2 € [—п,п], и нулю, если t2 € R1 \ [—п,п]. Тогда получаем

J < C(P2,q2)2

—ra«2

F1(Î2)|Î2 - X2102 —1diH dX2

92

Применяя лемму 6, а затем лемму 2, будем иметь

J2 < ^(ра.^г-^Ц^Ц^)^ < С1(р2,92)2-га"2||<2?+02)(/)|иР2 < C2^u0>a2+e2{f,-)

1

Объединяя оценки для 31 и 32, получим справедливость соотношения (3).

Остальные утверждения теоремы 3 доказываются так же, как аналогичные утверждения теоремы 1, и поэтому эти доказательства опускаются.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2 и поэтому опускается.

1

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81 (123), № 1. 104-131.

2. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. О соотношениях между модулями гладкости в разных метриках // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 17-25.

3. Potapov М.К., Stmonov B. V., Ttkhonov S.Yu. Mixed moduli of smoothness in Lp 1 < p < то: A Survey // Surveys in Approximation Theory. 2013. 8. 1-57.

4. Потапов M.K., Симонов Б.В. Полные модули гладкости положительных порядков функций из пространств Lp, 1 < p < то // Современные проблемы математики и механики. Т. X. Математика. Вып. 2. К 100-летию Лузинского семинара по теории функций. М.: Изд-во Попечительского совета при мех.-мат. ф-те МГУ им. М.В. Ломоносова, 2015. 101-133.

5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.

7. Потапов М.К., Симонов Б.В. Свойства частного модуля гладкости положительного порядка в смешанной метрике // Современные проблемы математики и механики: Тр. мех-мат. ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова. Т. X. Математика, Вып. 1. К 60-летию семинара'Тригонометрические и ортогональные ряды". М.: Изд-во Попечительского совета при мех.-мат. ф-те МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014. 58-71.

8. Потапов М.К., Симонов Б.В. Неравенства разных метрик для тригонометрических полиномов // Изв. вузов. Математика. 2019. № 1. 49-62.

9. Унинский А.П. Неравенства в смешанной метрике для тригонометрических полиномов и целых функций конечной степени // Мат-лы Всесоюз. симп. по теоремам вложения. Баку, 1966. 212-213.

10. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Дробные модули гладкости. М.: МАКС Пресс, 2016.

Поступила в редакцию 18.07.2018