ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ТРЕНИЯ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЯ БЕТОННОГО ОСНОВАНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НА НЕГО ЖЁСТКОГО УГЛОВОГО ШТАМПА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Оценка влияния трения на напряженное состояния бетонного основания при воздействии на него жёсткого углового штампа

Ю.О. Заваруев, К.А. Цветков

Национальный исследовательский университет Московский государственный

строительный университет

Аннотация: В работе рассмотрен пример решения плоской задачи теории пластичности применительно к бетону, имеющей место при воздействии абсолютно жесткого штампа на бетонное основание. При этом решение искалось в виде изолиний характеристик, положение которых позволяло определить напряженное состояние основания. При этом выделялось три области, отличающихся напряженным состоянием. В работе удалось проанализировать влияние трения на поверхности штампа на границы этих областей и изолинии напряжений в них. Рассматривалось 3 условия: трение отсутствует, трение постоянно, трение пропорционально большему главному напряжению. Выявлено влияние различных граничных условий на поверхности штампа на напряженное состояние бетонного основания.

Ключевые слова: бетон, теория пластичности, плоская задача, напряженно-деформированное состояние, напряжения, трение, угловой штамп.

Состояние вопроса.

Проектирование надежных бетонных и железобетонных конструкций требует проведения фундаментальных исследований, посвящённых изучению особенностей поведения бетона в условиях различных напряжённых состояний. При этом приходится применять различные методы и подходы к моделированию материала, схем действующих нагрузок, видов НДС в различных зонах конструкций, адаптировать общие подходы механики деформируемого твёрдого тела к специфическим вопросам механики бетона.

Одним из направлений в моделировании поведения бетона под нагрузкой является попытка применить к этому материалу подходы теории пластичности.

Известно, что большой вклад в развитие теории пластичности бетона внёс Гениев Г. А. [1], который применил теорию пластичности бетона в том

числе и к методам определения предельной несущей способности бетона, находящегося в сложном напряженном состоянии [2,3].

Так же следует выделить работу [4], где авторами исследовалась механика сплошных сред и был разработан метод получения уравнений линий разрыва в сплошных средах, что позволило в дальнейшем определять границы областей с особыми напряженно-деформированными состояниями.

Оценка применимости различных моделей и подходов возможна в ходе решения тестовых теоретических задач [5-7], что позволяет проверить работоспособность предлагаемых методов, соответствие полученных результатов современным представлениям о материале и может послужить фундаментальной основой для решения практических задач проектирования строительных конструкций [8-10].

Цели исследования. Методы.

Предлагается рассмотреть плоскую задачу теории пластичности бетона -плоскую деформацию. Задача решена для воздействия углового штампа на бетонное основание с различными условиями по трению на границе штамп-основание. Используемые в работе фундаментальные зависимости теории пластичности бетона [3], определяют необходимость искать решение разрешающего уравнения в виде параметров, которые связаны с полями направлений характеристик линий системы уравнений этих параметров. При этом сами поля направлений имеют понятный физический смысл, определяя границы с различными закономерностями изменения напряжённого состояния. Ожидалось, что учет изменения представлений о трении на поверхности штампа окажет влияние на оценку таких границ. Аналитические решения, которые планировалось получить в ходе работы, позволят судить об особенностях оценки напряжённого состояния по полям направлений характеристик, продемонстрируют методические особенности

применения такого метода решения плоской задачи и будут служить повышению наглядность оценки деформированного состояния.

Постановка задачи.

Рассматривается частный случай углового штампа, ограниченного двумя прямыми линиями (рис. 1).

Границы поверхности штампа могут быть заданы в следующем виде:

Граничными условия на поверхности контакта штампа и бетонного основания в зависимости от наличия или отсутствия сил трения определяются следующими условиями:

1. Трение по поверхности контакта отсутствует:

2. Между штампом и бетонным основанием существует сила трения, величина которой постоянна и принимается равной к

3. Сила трения между штампом и бетонным основанием принимается пропорциональной нормальному давлению:

у = (|х| - а)Х%а.

(1)

(2)

(3)

Ы =

(4)

У

о

х

Рис.1 - Схема воздействия штампа на бетонное основание Механические характеристики бетона основания:

Бетон класса B20: Я С=11,5 МПа; Я р=0,9 МПа. Геометрические характеристики штампа: а = 3 0 0; а = 2 Ом. Теоретические основы исследования.

При выбранной схеме воздействия в бетонном основании имеет место плоская деформация.

Воспользуемся условием пластичности, предложенным в [ 3 ] :

Ох " °2)2 ~ 2(ЯС " ДР)(>1 + ст2) "^(Л ~ Яр)' = 0 (5)

Для удобства были приняты следующие обозначения:

р =- t =-

г 2 2

<-. _ Дс+Др ут _ Кс~Кр

¿о -—; 'о -—■ Тогда условие пластичности (5) примет следующий вид:

^- 270р-^о2 = О (8)

(6) (7)

Рис.2 - Полярная система координат. Изолинии характеристик и и 7.

Введем в соответствии с (рис. 2) полярную систему координат, обозначив через в угол между положительным направлением радиуса г и направлением большего главного нормального напряжения в рассматриваемой точке. Тогда напряжения на произвольной площадке будут определяться соотношениями

(J = — + t cos 2 В — —^

г 2Т i-

6Тп

t2 S

(Та —--t cos 26--—

н 2 To K 6T0

Tr0 = t sin 2(3

Подставляя (9) в дифференциальные уравнения равновесия

дог 1 дтге <jr—<jQ

(9)

dr

+ -

г ае

дт>8 1 да9 5r г ае г

(10)

получим основную систему двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций ? и в:

(i

+ sin2(3-^-2t

г 98

sin2P|£-^£(|f+i)] = 0

. (11)

+ cos2p)£

sin 2P ££ + (L - cos 2P) 1Ц + 2t icos 2fi |E + S^ (Ц + i)l = 0

K dr \T0 ) r 98 9r r V98 Л

Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик имеют вид

i-иа

(12)

f = tg(P±Y),

где у определится по (13):

1 т

у = -arccos-0

2 «

Таким образом, зависимость (12) показывает, что характеристики основной системы образуют с направлением г углы Р + у и (3 — у и пересекаются друг с другом под переменным углом 2у (рис. 2).

Исследование системы (11) устанавливает следующие дифференциальные зависимости между искомыми функциями ? и в: на характеристиках ъ=свт1,

t2-T¿

tTn

dt + 2 (d|3 + d0) = 0,

(14)

где

de=^tg(ß+y);

dr

(15)

И на характеристиках u=const,

dt - 2 (dß + dB) = О,

(16)

где

dd=^ tg(ß-y);

dr

(17)

Интегрируя соотношения (14) и (16) и используя соотношение (13) были получены следующие зависимости между искомыми функциями ? и в на характеристиках:

Результаты определения границ областей с особенностями напряженного состояния.

Плоское деформированное состояние бетона может быть разделено на зоны I, II, III.

В области I (COB) существует простейшее напряженное состояние

Характеристики в этой области - прямые линии, образующие с осью X углы , заданные соотношением:

tg2y - 2у + 2(ß + 0) = Cx(z) = const; tg2y - 2y - 2(ß + 0) = C2(u) = const.

(18) (19)

( ).

(20)

Вычислив для наших условий ТО и S0 по (7):

Т0 = 5 , 3 М П а; 50 = 6 , 2 М П а , получим

у = у 0 = - arc с о s-—-= 32,10.

Область I представляет собой равнобедренный треугольник (BC=OB), длина основания которого CO устанавливается после получения решения в области II.

В области II (ВОА) существует особое напряженное состояние.

Используя граничные условия на прямой OB (z=const) можно получить выражение условий на характеристиках u=const: tan 2у = 20 + (tan 2y0 + 2y0) + ^=2,10359.

Тогда для заданного значения 0 можно вычислить соответствующее значение у : у=32,29°.

В области II следующие параметры изменяются:

Y = Y(6);

t = t(0); (21) = Р(в).

Для определения границ зоны необходимо получить аналитическое выражение уравнений характеристик второго семейства u=const. Используя (12), запишем

d0 = ^tanfr - 2у) = -у tan(2y). (22)

Опуская промежуточные выкладки, запишем искомое уравнение характеристик второго семейства:

г = Го . (23)

L , 29+TT-2Y0 4 У

у] tan2Yo

Уравнение (23) будет использоваться в дальнейшем при определении границ распространения предельного состояния бетона (длина участков OC и O 'C') при заданной ширине полосы приложения нагрузки.

Для области III (OAD) необходимо рассмотреть три указанных выше условия по трению на поверхности штампа. Эти же условия будут влиять и на границы зон I и II.

1. Случай идеально-гладкого штампа.

В этом случае в области III имеет место простейшее напряженное состояние. Траектории большего главного напряжения - прямые линии, нормальные к поверхности контакта штампа и бетонного основания.

Трансцендентное уравнение для определения значения у = у на граничной линии ОА:

Га п 2у — 2 у — — 2 а + (Ъ п 2у 0 — 2 у0) + и — 3,04599. (24) Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик принимают вид:

dy г/71 \

— = tan((3 ± у) = tan I (- - а) ±

У

(25)

dx 1Л2

- со<у - а) = -6,6208 со<у + а) = 0,39212

Сетка характеристик составлена двумя семействами прямых линий,

образующих с осью X постоянные углы:

| — (У + а) ]=[24,4110] и + + (у — а) ]=[98,5890].

Рис. 3 - Схема разделения плоского деформированного состояния

бетона на зоны I, II, III, тп = 0 .

Теперь характерные размеры границ областей могут быть определены из простых геометрических соображений. Длина граничной линии ОА составляет:

OA =

=18,53м.

2 cos a siny

Длина линии OB определится по уравнению (23) при условиях:

(26)

е = е = у - а = 0,139626

(27)

г0 = г0тах = ОБ. OB=26,92 м.

Длина отрезка OC - границы области I (COB) - составляет:

О С = 2 r0m ЙХ с о s у0=45,60м. (28)

2. Теперь рассмотрим условие, согласно которому на поверхности контакта штампа и бетонного основания действует сила трения, величина которой постоянна и принимается равной к (к=8МПа). Введем вспомогательную величину 5:

к = ts i n 2 б; б = ^arcs i n^=20,1970. (29)

В области III (OAD) имеется простейшее напряженное состояние. Траектории большего главного нормального напряжения с^ представляют собой прямые линии, отклоняющиеся от нормали к линии контакта штампа и бетонного основания на угол б, и образуют с осью X угол:

Р = | - а - б=39,8030 . (30)

Граничные условия на линии OA :

;е = 0 = у - (а + б) = -12,8688°,

у = у. (31)

Не приводя промежуточных вычислений, запишем уравнение для определения угла :

tan 2 у - 2у = (tan 2 у0 - 2 у0) + и - 2 (а + б )=2,341. (32) у=0,6515=37,32820. Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик принимают вид: dy _ г /71

= tan(p ± у) = tan [(- - [а + б]) ± у

Í— cot(y — [а + б]) = 4,3772

(33)

Сетка характеристик образована двумя семействами прямых линий,

и

составляющих с осью X постоянные узлы ^ + у — ( а + б ) ]=[77,1312°]

| —(у + а + б) ]=[2,4748°] (34)

Теперь можно определить границы областей по схеме аналогичной предыдущему случаю.

В результате получаем:

ОА = 19,04м; ОВ = 25,27 м; ОС = 42,82м.

Результаты определения областей I, II, III при тп — к приведены на рис. 4.

Рис. 4 - Схема разделения плоского деформированного состояния бетона на

зоны I, II, III, тп — к.

3. В заключении рассмотрим случай, когда по поверхности контакта штампа и бетонного основания действует сила трения, величина которой пропорциональна нормальному давлению, где р -максимальный угол трения.

Найдем значение этого угла из условия равновесия тела, которое от соскальзывания с наклонной поверхности удерживает сила трения скольжения, принимая коэффициент трения ц — 0,45. Получим р =24,23°.

Для определения значения угла в на линии контакта имеем трансцендентное уравнение:

—ts i n2 ( р — ф) = С ( t)tanp — te о s2 ( р — ф^а пр , где (35)

г2 ? 2

С ( t) = ——

V У 2 Т0 6 Т0

Решение этого уравнения имеет вид: 2(Р + а) =

( 1 \ ( С (t) tan р \ п

= arete--+ arceos , — = р---Ь

6V tan pj \tVl+(tan p)2) F 2

Отсюда:

arceos

c(t) . — sinp

(36)

о V n .1 rc(t) .

p =----a +-arceos —sinp

2 4 2 t ^

Введя в рассмотрение вспомогательную величину 5 по уравнению

тп = ts i n 2 б.

получаем:

с р ТТ . 1

о =----1- - arceos

2 4 2

C(t) .

——- sin р

(37)

(38),

(39)

Распределение напряжений в области III такое же, как в задаче о штампе при постоянной силе трения.

Граничные условия на ОА определяет условие:

0 = 0 = у - (а + б),

Находим:

У — У-

о - v i 71 1

0 — у — ос---\----arceos

г 2 4 2

C(t) .

— sinp t 1

(40)

(41)

Уравнение для определения значения угла у запишется в виде:

_ _ з-п;

tan 2у — 2у = —2а — р —-— arceos

c(t) . — sinp t 1

+ (tan 2 y0 — 2y o ) (42)

у = 0,6743 = 38,63450. Для определения конфигурации областей по (37), (39) и (41) определим необходимые углы:

Р=-30,894°;

б=-0,8940; 0=9,5280;

Дифференциальные уравнения полей направлений характеристик принимают вид:

0,1359

£ = Ьт(р±у) = {°£

679

(43)

Сетка характеристик образована двумя семействами прямых линий, составляющих с осью X постоянные узлы:

и

(Е — 1 —

\2 4

iE. — - —

\2 4

а + -arccos

2

а + - arccos

2

t

C(t)

s i np ] + y)=[7,74] s i np -y)=[-69,528];

Определение характерных геометрических размеров аналогично предыдущему случаю.

04=18,49 м; 00=27,05 м; 0C=45,82 м;

Результаты определения областей I, II, III при тп = crntgp приведены на рис.5

Рис 5. - Схема разделения плоского деформированного состояния бетона на

зоны I, II, III, Анализ полученных результатов.

Обобщим результаты определения параметров, определяющие границы областей с различным напряженно-деформированном состоянием.

В таблице 1 приведены сведения об угле у наклона линий 1-й группы характеристик ^ = сош^ и изолиний наибольшего главного напряжения

Напомним, что вычисление этого угла имело определяющее значение для последующего определения длин отрезков, ограничивающих зоны.

Таблица №1

Значения у для областей с различным напряженно-деформированным состоянием.

езу льт аты опр еде лен ия

границ областей приведены в таблице 2.

Длины отрезков, ограничивающих области I, II, III, для наглядности представлены в отношении к половине длины основания треугольного штампа а.

Из представленных таблиц видно, что учет условия, при котором трение принимается пропорциональным главному напряжению, сближает положение изолиний наибольшего главного напряжения и границ областей с различным видом напряженно-деформированного состояния, с ситуацией, когда трение не учитывается. При этом предположение, что трение на границе штампа постоянно несколько уменьшает зоны влияния штампа на

Область Р Условия по трению на границе штампа Тп У , в град

I - 32,10

II - 32,29

III 0 38,59

III k 37,33

III 38,64

основания и сужает его границы по сравнению с условиям, что трение отсутствует или линейно-переменно.

Таблица №2

Границы областей с различным напряженно-деформированным состоянием с учетом особенностей постановки условий по трению на

границе штампа.

Условия по трению тп Относительные длины отрезков (а=20м)

ОА ОВ ОС СС'

0 0,93а 1,345а 2,28а 6,56а

к 0,93а 1,26а 2,14а 6,28а

0,93а 1,35а 2,29а 6,58а

Выводы по результатам исследования.

1. При воздействии жесткого штампа на бетонное основание возникает плоское деформированное состояние, при этом можно выделить три области, напряженное состояние в которых отличается.

2. Рассмотрен вопрос влияния трения на поверхности штампа на изменение напряженного состояния бетонного основания. Оценивалось изменение положения изолиний главных напряжений, размеров и формы характерных областей напряженного состояния.

3. Результаты расчетов показали, что напряженное состояние при отсутствии трения и в предположении, что трение пропорционально наибольшему главному напряжению, практически совпадает. Вместе с тем, при постоянном трении положение изолиний несколько отклоняется от своего положения при других условиях. Однако если такое изменение можно считать несущественным, то границы областей с особенным напряженным состоянием при постоянном трении заметно отличаются от полученных в

предположении, что трение отсутствует или изменяются пропорционально напряжению.

4. Полученные результаты имеют также отдельную ценность как результат тестирования предложенных подходов оценки напряженно -деформированного состояния бетона с привлечением аппарата теории пластичности и использованием для его описания сетки характеристик и изолиний напряжений.

Литература

1. Гениев Г. А., Киссюк В. Н. Вопросы прочности массивных конструкций из бетона и каменных материалов. // Сб. ст. «Строительные конструкции. Исследование прочности конструкций из неупругих материалов». - M.Изд. ЦНИИСК им. Кучеренко, вып. 4. 1969 - с.40-48.

2. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. - М.:Стройиздат, 1974 - 316 с.

3. Гениев Г. А. Обобщенная плоская задача для деформационной теории пластичности бетона. // Сб. ст. под ред. проф. А.Р. Ржаницына. Строительные конструкции. Теория и методы расчета» вып. 13. - М.: Изд. ЦНИИСК им. Кучеренко, 1970 - c. 78-87.

4. Христианович С. А., Михлин. С. Г., Девисон. Б. Б. Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. - М.: Изд. АН СССР, 1964 г. - 210 с.

5. Asai M., Terada K., Ikeda K. Meso-scopic concrete analysis with a lattice model // Fracture Mechanics of Concrete Structures, 2001. pp. 757 - 764.

6. Kickelbick G. (Editor). Hybrid Materials: Synthesis, Characterization, and Applications. 2007. Wiley, 516 p7.

7. Языев Б.М., Чепуренко А.С., Муханов А.В. Оптимизация толстостенной железобетонной оболочки на основании решения обратной задачи механики неоднородных тел // Инженерный вестник Дона, 2013, №3, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2013/1891.

8. Бандурин М.А., Бандурин В.А. Методы моделирования напряженно-деформированного состояния для определения остаточного ресурса железобетонного консольного водосброса при различных граничных условиях. // Инженерный вестник Дона, 2013, №4, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2039.

9. Торяник М.С. Расчет железобетонных конструкций при сложных деформациях. - М. Стройиздат, 1974 г. - 294 с.

10. Галаустов К.З. Нелинейная теория ползучести бетона и расчет железобетонных конструкций. - М.: Физматлит, 2006 г. - 248 с.

References

1. Geniyev G. A., Kissyuk V. N. M. Izd. TSNIISK im. Kucherenko, vyp. 4. 1969 , pp. 40-48.

2. Geniyev G.A., Kissyuk V.N., Tyupin G.A. Teoriya plastichnosti betona i zhelezobetona. [Theory of plasticity of concrete and reinforced concrete.] M.: Stroyizdat, 1974 ,316 p.

3. Geniyev G. A., Tyupin G. A. M.: Stroyizdat, 1968 ,pp. 25-39.

4. Khristianovich S. A., Mikhlin. S. G., Devison. B. B. Nekotoryye novyye voprosy mekhaniki sploshnoy sredy. [Some new questions in continuum mechanics]

- M.: Izd. AN SSSR, 1964 g., 210 p.

5. Asai M., Terada K., Ikeda K. Meso-scopic concrete analysis with a lattice model // Fracture Mechanics of Concrete Structures, 2001. pp. 757 - 764.

6. Kickelbick G. (Editor). Hybrid Materials: Synthesis, Characterization, and Applications. 2007. Wiley, 516 р

7. Yаzyyev B.M., Chepurnenko A.S., Mukhanov A.V. Inzhenernyi vestnik Dona, 2013, №3, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2013/1891.

8. Bandurin M.A., Bandurin V.A. Inzhenernyi vestnik Dona, 2013, №4, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2039.

9. Toryanik M.S. Raschet zhelezobetonnykh konstruktsiy pri slozhnykh deformatsiyakh. [Calculation of reinforced concrete structures with complex deformations]- M. Stroyizdat, 1974 g. 294 p.

10. Galaustov K.Z. Nelineynaya teoriya polzuchesti betona i raschet zhelezobetonnykh konstruktsiy. [Nonlinear theory of concrete creep and calculation of reinforced concrete structures]. M.: Fizmatlit, 2006 g. 248 p.