CC BY
5ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№1 (74) / 2021.
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 519.688:539.37:624.046
©2021. В.М. Левин
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АРМИРОВАННОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ В ОКРЕСТНОСТИ ИСТОЧНИКОВ ЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ
В работе рассматривается анализ напряженного состояния пластины из армированного упру-гопластического материала (подобного бетону) с тремя источниками его возмущения: проемом, жестким включением и приложенной к нему местной нагрузкой. Применен метод неполной дискретизации, аппроксимация выполнена методом Бубнова - Галеркина, линеаризация осуществлена дискретным методом продолжения по параметру нагрузки с итерационным уточнением на каждом шаге модифицированным методом Ньютона, преобразованным применительно к потребностям данного вычислительного процесса. Условия прочности и деформационные зависимости соответствуют деформационной теории пластичности бетона Круглова - Козачевского, арматуры - в виде укороченной диаграммы Прандтля.
Ключевые слова: армированная упругопластическая пластина, напряженно-деформированное состояние, неполная дискретизация, метод Бубнова-Галеркина, метод Ньютона, деформационная теория пластичности бетона.
Введение. Задача анализа напряженно-деформированного состояния упругих пластин на определенном этапе развития механики деформируемого твердого тела была достаточно актуальна как с точки зрения развития математического аппарата теории упругости, так и благодаря распространенности пластин и пластинчатых систем в строительстве, кораблестроении, тяжелом машиностроении. В это время были получены многие частные решения теории пластин для канонических областей (прямоугольник, круг, кольцо, сектор) - например, полиномиальные решения; решения, основанные на разделении переменных и разложении функций распределения решения вдоль одной из координат в ряд по тригонометрической либо другой ортогональной системе (для нас важно, что при этом требуется однородность пластины хотя бы в направлении этой координаты), однородные решения. Однако, при достаточно широком распространении пластин в различных зданиях и сооружениях потребности практики выдвинули ряд задач, которые не могли быть решены на базе этих решений (наличие проемов, различные случаи местного нагружения). Одновременно с этим потребность разработки более экономичных конструкций требовала учета реальных деформативных и прочностных свойств материалов. Так, известно, что адекватный учет пластических деформаций позволяет уточнить оценку несущей
способности конструкции в сторону ее увеличения. Выполнить указанный учет с применением «точных» (в рамках принимаемых теорий) решений невозможно. Для решения соответствующих задач приходится прибегать к различным численным методам. Это обусловлено двумя проблемами: во-первых, форма области в ряде случаев отличается от канонической, в реальных объектах пластина неоднородна, в ней имеются проемы, ослабленные области, жесткие включения; во-вторых, определяющие соотношения реальных материалов (например, бетона, высокоуглеродистой арматуры, древесины) достаточно сложны, нелинейны и характеризуются существенной асимметрией относительно естественного состояния. Важно, что полученные по экспериментальным данным модели поведения бетона при нагружении либо не могут быть увязаны с хрестоматийными моделями классической теории пластичности, либо требуют существенной модификации последних.
Таким образом, для численного анализа напряженно-деформированного состояния пластин в реальных случаях необходимо преодолеть две трудности: построить решение системы уравнений МДТТ (линейных дифференциальных уравнений в частных производных для статической и геометрической подсистем и нелинейных функциональных для физической подсистемы) на континуальной расчетной схеме с усложненной геометрией и с учетом неоднородности материала.
Это предопределяет необходимость прибегнуть к дискретизации области, на которой задана задача, и к линеаризации полученной нелинейной модели.
1. Исходные положения. Известно, что возможны два уровня дискретизации всей области, на которой задана задача: 1) полная дискретизация - методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ); 2) неполная (или в ряде источников - частичная) дискретизация (метод неполной дискретизации - МНД). Иногда метод неполной дискретизации называется полудискретным методом. Кроме этого, с дискретизацией связан известный метод граничных элементов (МГЭ), предусматривающий дискретизацию не всей области, а лишь ее границы. Промежуточное положение между МКЭ и МНД занимает метод конечных полос (МКП), в основу которого положены конечные элементы, простирающиеся на всю длину области, что характерно также и для МНД. Однако, МКП предполагает однородность конструкции вдоль длины и допускает только определенные варианты граничных условий и нагрузок (количество публикаций по МКП достаточно велико, укажем, например, на источники [1, 2, 3]). Мы остановимся на МНД, как на методе, позволяющем достигнуть той же точности, что и МКЭ, при одинаковой сетке узлов на начальной линии.
Алгоритмы преобладающего количества программных комплексов, реализующих МКЭ, МКП и МНД, сформулированы в пространстве перемещений.
Широко известны и повсеместно используются методы полной дискретизации, в том числе практически во всех коммерческих программах расчета объектов строительства, машиностроения, реакторо-, корабле-, авиастроения и т. п. Менее известны и практически не используются в широкой проектной и кон-
структорской практике методы неполной дискретизации.
Строго говоря, схема неполной дискретизации всегда предполагает разделение переменных; она используется и в методе прямых, и при разложении решения в ряд по системе ортогональных функций одной из координат. Однако, в последнем случае дискретизации подвергается не область, а пространство функций, описывающих возможные перемещения системы.
Применение методов дискретизации включает на самом деле два этапа -собственно дискретизацию (области либо функционального пространства) и аппроксимацию искомых полей на дискретной схеме.
Дискретизация пространства функций, описывающих возможные перемещения системы, рассматривается в ряде работ, начиная с классических решений Рибера и Файлона. Затем этот метод был обобщен на оболочки вращения, преимущественно цилиндрические [4 - 7]. В этом случае обычно решения получаются из уравнений теории упругости трехмерного состояния обнулением напряжений на гранях для плосконапряженного состояния или линейных деформаций и поворотов нормали для плоской деформации. Аппроксимация решения осуществляется разложением решения по системе ортогональных функций одной координаты с обычным определением коэффициентов такого ряда. Континуальность области вдоль второй координаты в расчетной схеме сохраняется, система дифференциальных уравнений в частных производных преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод прямых в приложении к задачам расчета пластин также применяется достаточно давно, его идея и история использования показаны, например, в [8 - 10]. В случае прямоугольной области ее дискретизация осуществляется следующим образом: на границе, параллельной одной из координатных осей прямоугольной декартовой системы координат, вводится сетка узлов с малым конечным шагом, после чего через эти узлы, проводятся прямые, параллельные смежной границе, то - есть, второй координатной оси; эти прямые (они и дали название методу) выделяют на заданной области полосы малой конечной ширины. В системе уравнений МДТТ для плоской задачи аппроксимация производных в первом направлении выполняется обычным методом конечных разностей. В результате континуальность области во втором направлении сохраняется, и система дифференциальных уравнений в частных производных преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой завершает этап аппроксимации.
Другой подход к аппроксимации решения на полудискретной расчетной схеме был предложен Л.В. Канторовичем [11, 12] и основан на использовании того или иного вариационного принципа, например минимума полной потенциальной энергии системы Ритца, минимума невязки приближенного решения Бубнова-Галеркина. Использование принципа Ритца требует, чтобы оператор задачи был положительно определенным, при определенных правых частях - положительным; применение принципа Бубнова-Галеркина таких требований не предъявляет. Так как настоящая работа ориентирована на широкий спектр деформатив-
ных свойств материала, остановимся на втором принципе. Следует отметить, что и в [7] также использован вариационный принцип.
Идея метода, основанного на этом принципе, была предложена еще в 1913 году И.Г. Бубновым [13] и развита Б.Г. Галеркиным [14]. Отметим, что он полностью соответствует началу возможных перемещений; при этом множество рассматриваемых возможных перемещений в теоретических исследованиях может быть счетным, а в практических задачах, предполагающих получение численных результатов, оно всегда конечно, то-есть, оно всегда дискретно. Координатные функции, аналогично МКЭ, для тангенциальных перемещений приняты в виде линейных биномов.
Метод неполной дискретизации позднее был применен В.З. Власовым [15] и развит И.Е Милейковским [16] применительно к расчету пластин и складчатых пластинчатых систем, а позднее - и оболочек и их систем. Модификация метода В.З. Власова, предложенная И.Е. Милейковским в форме «метода исходных уравнений», позволила получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме; решение краевой задачи для таких систем может быть выполнено достаточно универсальным методом С.К. Годунова [17].
И.Е. Милейковскому также принадлежит идея применения теории плит средней толщины при любой заданной их толщине; благодаря появлению новой степени свободы (вместо суммарного угла сдвига, равного нулю, рассматриваются раздельно повороты нормали и элемента тангенциальной координатной оси) математический аппарат метода значительно упрощается и избавляется от противоречия между гипотезой о нулевом сдвиге и использованием поперечной силы для определения одного из этих узлов.
Затем метод исходных уравнений был преобразован автором для распространения на расчет несущих стен башенных сооружений промышленного назначения [18].
Построение определяющих зависимостей для бетона, арматуры и их композиции - железобетона - достаточно сложная задача. Это обусловлено наличием определенных несоответствий в эмпирических данных различных исследователей, что, в свою очередь, вызвано различием в методике экспериментов и, не в последнюю очередь, неоднородностью прочностных и деформативных свойств материала, а также общей для всех материалов сложностью фиксации моментов выхода из упругой области и разрушения материала.
Для плоского напряженного состояния бетона В.М. Кругловым и А.И. Ко-зачевским [19] был предложен специальный вариант деформационной теории пластичности, ориентированный на учет особенностей деформирования и разрушения бетона. Одна из основных из этих особенностей - неупругий и сложный характер зависимости ао ~ ео и влияние на нее вида напряженного состояния.
Для арматуры, учитывая, что в стенах рассматриваемых сооружений применяется сравнительно низкопрочная арматура, принимается укороченная диаграмма Прандтля с контролем достигнутых деформаций.
Для железобетона рассматривается две стадии нагружения - до и после об-
разования трещин. До образования трещин усилия в сечении железобетонной конструкции определяются суммированием усилий в бетоне и арматуре; постулируется поточечная совместность деформаций бетона и арматуры. После образования трещин такая совместность уже не имеет места. Выдвигаясь из бетона в трещину, арматура частично разрыхляет тонкий цилиндрический слой окружающего ее бетона вплоть до образования системы конических трещин, и если условно принять толщину этого слоя бесконечно малой, то возникает модельное представление о проскальзывании арматуры в бетоне по цилиндрической поверхности их контакта (подобно модели погранслоя в гидродинамике). Согласно этой модели, между трещинами наблюдается взаимный сдвиг бетона и арматуры, предопределяющий, согласно распространенным моделям контакта, величину касательных напряжений на контакте бетона и арматурного стержня. В результате возникает различие между деформациями и напряжениями арматуры в трещине, наибольшими по длине арматурного стержня, и поэтому используемыми в условиях прочности железобетона, и средними на шаге трещин, используемыми в деформационных соотношениях. Поэтому известны две модели работы железобетона - дискретных трещин и дисперсных трещин. Здесь использована наиболее разработанная и обоснованная экспериментально (в основном - Н.И. Карпенко [20]) вторая модель, использующая идею В.И. Му-рашева о закономерной связи введенного им коэффициента, равного отношению средних на шаге трещин деформаций арматурного стержня к его деформации в сечении с трещиной, с уровнем деформаций арматурного стержня. Эта модель учитывает приобретенную анизотропию свойств железобетона, схему трещин, разрыхляющее влияние деформирующейся арматуры на бетон в пределах его полосы между трещинами и некоторые другие эффекты.
Линеаризацию в нашем случае целесообразно выполнять шагово-итерацион-ным методом, по [21] - методом дискретного продолжения по параметру нагрузки с итерационным уточнением на каждом шаге путем применения модифицированного метода Ньютона (несколько видоизмененным нами применительно к особенностям предлагаемого вычислительного процесса).
2. Постановка задачи. Общее напряженно-деформированное состояние пластины и системы пластин, а также местные состояния в окрестности источников возмущения (концентраторы напряжений, местные нагрузки) исследовались ранее при помощи программы КРЕПР (длительное нагружение армированных упруговязких пластин и складок) и ПРОРАБ (кратковременное нагружение армированных упругопластических пластин и складок, а также кратковременное догружение армированных упруговязкопластических пластин и складок, ранее подвергнутых длительному нагружению). В частности, в [22, 23] численно изучалось напряженно-деформированное состояние армированной упругопласти-ческой пластины и складки из такого же материала; здесь же прослеживалось последовательное развитие области разрушения материала. В докладе [24] аналогичная задача решалась для складки с жестким включением. В этих работах единственным источником возмущения полей напряжений и деформаций был
проем.
В работе [25] показано, что концентрация напряжений в окрестности угла прямоугольного проема не приводит к появлению сингулярности, характерной для упругой пластины с идеальными углами: это обусловлено неидеальностью геометрии угла проема и упругопластическим характером деформирования материала; там же даны рекомендации по учету указанной неидеальности.
На практике встречаются случаи, когда достаточно близко друг к другу располагается несколько разнообразных источников возмущения, и зоны их влияния пересекаются.
3. Результаты исследований. В настоящей работе численно исследуется напряженно-деформированное состояние армированной упругопластической стены в зоне совместного влияния трех источников его возмущения - проема, жесткого включения и приложенной к нему местной нагрузки (рис. 1). Принятые
с
£1_ _А.
I Г
Рис. 1. Железобетонная пластина (к примеру расчета).
прочностные и деформативные свойства материала соответствуют аналогичным свойствам бетона и арматуры до образования трещин, а железобетона - после их образования. Для исследования принята железобетонная пластина шириной L=6 м и высотой Н=4 м, толщиной 300 мм, армирование: вертикальное Л8у = 10020400 на 1м сечения, по 5 стержней на метр у каждой грани (интенсивность армирования 31,4 см2/м), горизонтальное Азх = 10016400 на 1 м сечения, по 5 стержней у каждой грани (интенсивность армирования 20,11 см2/м). Бетон класса В30, средняя кубиковая прочность 38,5 МПа (так как задача не
проектная, а исследовательская, то вместо кубиковой прочности с обеспеченностью 0,95, равной 30 МПа, в соответствии с принятым классом бетона, была использована средняя кубиковая прочность); предел текучести арматуры принят, в соответствии с ее классом, равным 400 МПа. Пластина ослаблена проемом шириной L2 = 2 и высотой H3 = 2 м. Над проемом на расстоянии H2 = 1,4 м от верха проема расположена жесткая вставка высотой H\ = 0,6 м и шириной b =0,3 м, нагруженная поверху вертикальной силой Q, которая в процессе реализации шагово-итерационного метода пошагового наращивалась до разрушения пластины. Принималось, что разрушение происходит на том шаге наращивания нагрузки, на котором процесс итерационного уточнения расходится. Разрушающая нагрузка оказалась равной 1,075 МН. Использовалась симметрия пластины и нагрузки.
Расчет выполнялся при помощи программы ПРОРАБ. На рисунке 2 приведены некоторые результаты расчета в виде эпюр: нормальных напряжений в бетоне аьу и арматуре asy в горизонтальном сечении I-I по верху простенка (рис. 2, а, б), нормальных напряжений в бетоне аьх и арматуре asx в вертикальных сечениях в зависимости от его абсциссы вдоль координатной линии над проемом (сечение II-II, рис. 2, в, г).
Рис. 2. Эпюры напряжений: а - в бетоне в сечении I-I; б - в арматуре в сечении I-I; в - в бетоне в сечении II-II; г - в арматуре в сечении II-II.
Как показал численный анализ, в простенке на уровне его верха, совпадающего с верхом проема (где в упругом решении имеет место сингулярность) в исследуемой пластине происходит концентрация нормальных напряжений, смяг-
ченная упругопластическим характером деформирования материала и неидеальностью входящего угла.
В горизонтальном волокне, расположенном непосредственно над проемом, в пределах простенка, в бетоне и арматуре действуют сжимающие нормальные напряжения, которые над проемом переходят в растягивающие; на эпюре напряжений в горизонтальной арматуре в сечении, где в растянутом бетоне возникла трещина и установились напряжения остаточного зацепления ее берегов, имеет место скачок напряжений.
Выводы. Дискретизация методом неполной дискретизации в сочетании с методом Бубнова - Галеркина и линеаризация модифицированным методом Ньютона позволяют выполнять анализ напряженно - деформированного состояния пластин, выполненных из армированного упругопластического материала, в области совместного влияния различных источников возмущения этого состояния.
1. Cheung Y.K. The Finite Strip Method / Y.K. Cheung, L.G. Tham.- Boca Raton.: CRC Press, 1997. - 416 p.
2. Friedrich R. Finite strip method: 30 years A bibliography (1968-1998) / R. Friedrich // Int. J. for computer Aided Engineering. - 2000. - № 17.1. - P. 92-111.
3. Milasinovic D. Quasi static and dynamic inelastic buckling and failure of folded-plate structures by a full-energy finite strip method / D. Milasinovic , D. Majstorovic, R. Vukomanovic // Advances in Engineering Software. - 2018. - Vol. 117. - P. 136-152.
4. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек / А.И. Лурье. - М.: Гостехтеориздат, 1947. - 252 с.
5. Новожилов В.В. Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский. - Л.: Политехника, 1991. - 656 c.
6. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. - Киев: Вища школа, 1979. - 280 с.
7. Трач В.М. Об одном вариационном принципе теории упругости / В.М. Трач // Вестник Донецкого университета. - Серия А. Естественные науки. - 2006. - № 1. - С. 126-130.
8. Василенко А.Т. Исследование напряженного состояния неоднородных цилиндрических оболочек / А.Т. Василенко, Н.Д. Панкратова // Прикл. механика - 1982. - Т. 18. - № 9. - С. 23-29.
9. Слободянский М.Г. О построении приближенного решения в линейных задачах / М.Г. Сло-бодянский // Прикл. математика и механика. - 1955. - Т. 19. - Вып. 5. - С. 623-626.
10. Станкевич А.Н. История и перспективы развития одного из методов решения многомерных задач строительной механики / А.Н. Станкевич // Вестник МГСУ. - 2015. - № 12. -С. 76-91.
11. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла / Л.В. Канторович // Изв. АН СССР: ОМЕН. - 1933. - № 5. - С. 647-652.
12. Канторович Л.В. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям / Л.В. Канторович // Прикл. математика и механика. - 1942. - Т. 6, № 1. - C. 31-40.
13. Бубнов И.Г. Отзыв о сочинениях проф. Тимошенко, удостоенных премии им. Журавско-го / И.Г. Бубнов // Сб. Ин-та инж. путей сообщения. - 1913. - Вып. 81. - С. 33-36.
14. Галеркин Б.Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых задачах упругого равновесия стержней и пластин / Б.Г. Галеркин // Вестник инженеров. - 1915. - № 19. - С. 897908.
15. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее применения в технике / В.З. Власов. - М.: ГИТТЛ, 1949. - 784 с
16. Милейковский И.Е. Метод исходных уравнений при расчете пологих оболочек на ЭЦВМ / И.Е. Милейковский // Новые методы расчета строительных конструкций: Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1968. - С. 20-31.
17. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенны дифференциальных уравнений / С.К. Годунов // Успехи математических наук. - 1962. -Т. 16, № 6. - С. 171-174.
18. Кущенко В.Н. Научные основы обеспечения надежности и экономичности шахтных копров / В.Н. Кущенко, В.М. Левин, В.Ф. Мущанов и др. - Макеевка: ДонНАСА, 2012. -461 с.
19. Круглов В.М. Основные физические соотношения для бетона в плоском напряженном состоянии / В.М. Круглов, В.И. Козачевский // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1989.- Вып. 55. - С. 71-77.
20. Карпенко В.И. Общие модели механики железобетона / А.И. Карпенко. - М.: Стройиздат, 1986. - 416 с.
21. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела / Э.И. Григо-люк, В.И. Шалашилин. - М.: Наука, 1988. - 232 с.
22. Левин В.М. Численный анализ напряженного состояния неупругих складок в окрестности отверстий / В.М. Левин // В1сн. Дншр. ун-ту. Сер1я «Механжа». - 2006. - Вип.10, т.2. -С. 103-109.
23. Левин В.М. Напряжённо-деформированное состояние и разрушение неупругих складчатых систем с проёмами / В.М. Левин, В.А. Митраков // Вестник НИЦ «Строительство». Исследования по теории сооружений. - 2011. - Вып. 3-4. - С.146-156.
24. Левин В.М. Численное моделирование процессов деформирования и разрушения пластин и складок из армированного упругопластического материала при наличии жесткого включения / В.М. Левин, В.А. Митраков // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Тр. VII Междунар. науч. конф. - Т. 2. - Донецк: ДонНУ, 2013. - С. 20-24.
25. Левин В.М. Исследование напряженного состояния несущих стен железобетонных башенных сооружений в зоне проемов / В.М. Левин, В.Е. Райгородецкий // Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей - ЦНИИСК им. Кучеренко, НИИЖБ. -1991. - Вып. 7. - С. 37-39.
V.M. Levin
Analysis of stress-strain state of a reinforced elastoplastic plate in the vicinity of sources of its disturbance.
The paper considers the analysis of the stress state of a plate made of a reinforced elastoplastic material (like concrete) with three sources of its disturbance: an opening, a rigid inclusion, and a local load applied to it. The method of incomplete discretization was applied, the approximation was performed by the Bubnov - Galerkin method, the linearization was carried out by the discrete method of continuation in the load parameter with iterative refinement at each step by the modified Newton's method, transformed in relation to the needs of this computational process. Strength conditions and deformation dependences correspond to the deformation theory of plasticity of concrete by Kruglov - Kozachevsky, reinforcement - in the form of a shortened Prandtl diagram.
Keywords: reinforced elastoplastic plate, stress - strain state, incomplete discretization, Bubnov - Galerkin method, Newton's method, deformation theory of concrete plasticity.
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 22.04.2021
и архитектуры", Макеевка
v.m.levin@donnasa.ru
