О симметрии компонент напряжения в однородном и изотропном основании абсолютно жесткого штампа при конечном значении величины коэффициента трения по контакту "штамп-грунт" Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 317-322

Науки о земле

УДК 624.131.522

О симметрии компонент напряжения в однородном и изотропном основании абсолютно жесткого штампа при конечном значении величины коэффициента трения по контакту «штамп-грунт»

А. Н. Богомолов, А. Н. Ушаков, О. А. Богомолова

Аннотация. Рассмотрено напряженное состояние грунтового основания абсолютно твердого штампа при конечном значении величины коэффициента трения по контакту «штамп-основание». Установлено, что в общем случае распределение напряжений в грунтовом основании зависит как от величины коэффициента бокового давления грунта, так и от численного значения величины коэффициента трения по рассматриваемому контакту. Исключение составляет случай отсутствия трения, для которого картины изолиний соответствующих компонент напряжения в основании под абсолютно жестким штампом не зависят от коэффициента бокового давления грунта. В случае конечного значения трения по контакту картины изолиний полей напряжений симметричны относительно вертикальной оси, проходящей через середину штампа.

Ключевые слова: абсолютно жесткий штамп, изотропное

основание, напряженное состояние, коэффициент бокового давления грунта, коэффициент трения по контакту «штамп-грунт», картины изолиний.

Рассмотрим абсолютно жесткий штамп с прямолинейным горизонтальным основанием, при условии, что на границе штамп-грунт коэффициент трения принимает постоянное значение. Будем предполагать, что главный вектор внешних сил, действующих на штамп, имеет вид

где Р — заданная положительная величина, к — коэффициент трения.

Известно [1], что в случае плоской задачи теории упругости компоненты напряжения ах, &у и тху удовлетворяют следующим соотношениям

X = кР, У = -Р,

(1)

ах + ау = 2 {Ф(-г) + Ф(г)} = 4Ев Ф(г),

(2)

ay - ах + 2irXy = 2 { (z - г)Ф'(г) - Ф(г) - Ф^)} . (3)

Функция напряжения для рассматриваемого случая [1, стр.433] имеет вид ,, . P(1 + ik)enia .л.

$(z) = ---------------- ----1—, (4)

2п(а + z) 2 +а(а - z) 2-а

где k — коэффициент трения, а а — некоторая постоянная, связанная с k условием

К - 1 1

tgпа = ’ 0 ^ а< 2 ,

где ^ = 3 - 4v, v — коэффициент Пуассона, связанный с коэффициентом бокового давления £о соотношением £0 = v(1 - v)-1. Значения а = 0 и

а = 1/2 соответствуют случаю отсутствия трения (k = 0) и бесконечно

большого его значения (k ^ то).

Представляя (4) в виде

ф^) = P(1 + ik)e____e-(2 +а) ln(“+z)e-(2-а) ln(«-z), (4/)

2n

и, выбирая ветвь логарифма так, как это было сделано в [1, с. 352], получим

р / \ а

ф^) = -—; ( — ) [(- sin r - k cos r) + i(cos r - k sin r)] ,

2nVPlP2 VP2/

р / \ а

ф(z) = -----. I — ) [(sin r — k cos r) — i(cos r + k sin r)],

V ; 2n,fp1p-2\ P2J ;

а

ф/(z) = ^ -) [(ll - kl2) + i(l2 + kll)] ,

2n \P2J

6l + O2 (Q Q л —2-----+ а(#2 - 0l),

h = (1 + N 1

hl — — I ~ + а

где

2 J P^Vplp2’

h2=(-2+•

ll = -(hl sins + h2 sint),

l2 = hl cos s + h2 cos t,

0l + 302 fQ Q л s = --2-Г а(6>2 - 0l),

30l + 02 (a a л t = --2--Г а(02 - 0l).

Тогда соотношения (2) и (3) примут вид

ax + ay = - (р2) (sinr + k cos r),

2

ay - ax + 2i'Txy = 2 і ^ (/Э2 ) [(l2 + kl1) - i(l1 - kl2)] +

\ Ot

—^ +-— ^ (k cos r + ik sin r)l

n^pip2 \P2 у v ' j

откуда

ax = — — ( — ) (l2 + kli) — — ( — ) —-—(sin r + 2k cos r), (5)

- \P2 J - \P2 J ^fplp2

Gy = —y J Pi \ (l2 + kli) — — J ^ —L= sin r, (6)

п J P2 J - J P2 J \fp1p2

TXy = — —У J ^) (li — kl2) + - J ^) —^ k sin r. (7)

n \P2j n \P2j \fp1p2

На рис. 1 приведены картины изолинии нормальных и касательных напряжений при конкретных значениях параметров. Коэффициент трения бетона о грунт согласно [2] принят равным 0,25.

Полагая у = 0, х = t, в1 = п, 02 = 0, р1 = a — t, р2 = a +t, из формулы (6)

получим формулу для давления под штампом при наличии трения и

P (a — t \а cos па P cos па . .

—(t) = — ( ------- — = --------------------i---------i- (8)

п W + U Va2 — t2 п(а — t) 2-a(a +1) 2 +a

при его отсутствии

—(t) = -—Pm ■ (9)

п a2 — t2

Компоненты напряжения (5-7) обладают симметрией относительно а и x, то есть

ох(—а, —x, у) = ах(а, х, у),

ay (—а, —х, у) = ay (а, х, у), (10)

тХу(—а, —х, у) = rXy(а, х, у).

Проверим это на примере вертикальной компоненты напряжения. Обозначим f (—а, —х, у) = f. Нетрудно видеть, что

Р = J р1(—х,у)\ -а = J Р1(х,у) у = р \р2(—х,у)) \р2(х,у)) ’

р1(—х, у)р2(—х, у) = р2 (х, у)р1(х, у). (11)

Покажем, что sin r = sin r. Действительно, имеем

sin r = sin ( - — arctg a+ix + arctg afe — а Jarctg _M_ + arctg JhL _ -Л =

\ 2 V a — х a + х/

Рис. 1. Картины изолиний горизонтального нормального ах, вертикального нормального а у и касательного тху напряжений при Р = 1, а = 3, а = 0, 01 и V = 0,42 (глинистый грунт) при к = 0, 25 (а-в) соответственно и для тех же условий при V = 0, 3 (песчаный грунт) (г-е)

arctg a+x- arctg a-x 2

+ а arctg

ax

+ arctg

a+x

— 7Г

<;os , 'arctg a+ix - arctg a-; + а (^g Л- + arctg J“L _ *

2

= 8iJ п + arctg ^ - arctg jfe + arctg

\ 2 2 V a — x

sin r.

a - x a + x

|y

+ arctg

a+x

- п =

Аналогично можно показать, что

sin s = — sin t, sin t = — sin s, cos s = cos t, cos t = cos s. Тогда с учетом соотношений (11) получаем

l1 = — lb l2 = l2.

Учитывая соотношения (11)—(14), получаем равенство ay (—а, —х, у) = ay (а, х, у).

(12)

(13)

(14)

Аналогично проверяются остальные соотношения из (10).

На рис. 2 построены картины изолиний напряжения, иллюстрирующие свойство (10).

а) 6) в)

ж) з) и)

Рис. 2. Картины изолиний горизонтального нормального ах (а-в), вертикального нормального ау (г-е) и касательного тху (ж-и) напряжений при Р = 1 и а = 0, 01, V = 0, 42 (глинистый грунт) при к = 0, 25; к = -0, 25 и с учетом свойства симметрии компонент напряжения соответственно

Таким образом, картины изолиний всех тех компонент напряжения симметричны в основании штампа, находящегося под действием равномерно распределенной нормальной нагрузки, при конечном значении величины коэффициента трения по контакту «грунт-штамп».

Список литературы

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

2. Справочник проектировщика. Основания, фундаменты и подземные сооружения. М.: Стройиздат, 1985. 462 с.

Богомолов Александр Николаевич ([email protected]), д.т.н., профессор, проректор по научной работе, зав. кафедрой, кафедра

гидротехнических и земляных сооружений, Волгоградский государственный архитектурно-строительного университет.

Ушаков Андрей Николаевич ([email protected]), к.т.н., докторант, кафедра гидротехнических и земляных сооружений,

Волгоградский государственный архитектурно-строительного университет.

Богомолова Оксана Александровна ([email protected]), к.т.н., доцент, кафедра прикладной математики и вычислительной техники, Волгоградский государственный архитектурно-строительного университет.

About the symmetry of the stress components in a homogeneous isotropic basis of absolute rigid stamp at the finite values of magnitude of the coefficient of friction contacts «stamp-soil»

A.N. Bogomolov, A.N. Ushakov, O.A. Bogomolova

Abstract. The stress state of soil foundation of solid punch at a finite value of the coefficient of friction at the contact «stamp-base» was considered. It was found that in general the distribution of stresses in the soil depends on the basis of the coefficient of lateral soil pressure and on the numerical values of the friction coefficient of the subject terminal. The exception is the absence of friction, for which the pattern contour corresponding components of the stress at the base of a rigid stamp is not dependent on the coefficient of lateral earth pressure.

Keywords: absolutely rigid stamp, isotropic base, stress state, the coefficient of lateral earth pressure, the coefficient of friction at the contact «stamp-ground», picture contour.

Bogomolov Alexander ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, vice-rector for research, head of department, department of hydraulic and earth structure, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering.

Ushakov Andrey ([email protected]), candidate of technical science, doctoral, department of hydraulic and earth structure, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering.

Bogomolova Oksana ([email protected]), candidate of technical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering.

Поступила 01.10.2013