О напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при асимптотическом затухании перемещений на бесконечности Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Ушаков А.Н. О напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при асимптотическом затухании перемещений на бесконечности // Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура. -2018. - Т. 9, № 2. - С. 5-19. DOI: 10.15593/2224-9826/2018.2.01

Bogomolov A.N., Bogomolova O.A., Ushakov A.N. On the stress-strain state of an elastic half-plane with the asymptotic attenuation of the displacements at infinity. Bulletin of PNRPU. Construction and Architecture. 2018. Vol. 9. No. 2. Pp. 5-19. DOI: 10.15593/2224-9826/2018.2.01

ВЕСТНИК ПНИПУ. СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА Т. 9, № 2, 2018 PNRPU BULLETIN. CONSTRUCTION AND ARCHITECTURE http://vestnik.pstu.ru/arhit/about/inf/

Б01: 10.15593/2224-9826/2018.2.01 УДК 624.131.522

О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ЗАТУХАНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

А.Н. Богомолов, О.А. Богомолова, А.Н. Ушаков

Волгоградский государственный технический университет, Волгоград, Россия

О СТАТЬЕ

АННОТАЦИЯ

Получена: 12 декабря 2017 Принята: 21 марта 2018 Опубликована: 29 июня 2018

Ключевые слова: линейная теория упругости, методы теории функций комплексного переменного, напряжения и деформации, возникающие при асимптотическом затухании перемещений земной поверхности, коэффициент Пуассона, коэффициент бокового давления грунта, однородная изотропная полуплоскость, подрабатываемая территория.

Известно, что в результате устройства подземных выработок на земной поверхности образуется чашеобразная впадина, вызванная перемещением грунта в выработанное пространство. Поперечное сечение этой впадины, проведенное в нормальном по отношению к простиранию выработки направлении, имеет седлообразную форму. Данное обстоятельство подтверждается многочисленными результатами теоретических исследований и натурных наблюдений. В статье приведено аналитическое решение задачи о распределении напряжений в однородном изотропном грунтовом массиве при асимптотически затухающем перемещении на участке его границы. Полученное решение может быть использовано для определения напряжений, возникающих в грунтовом массиве за счет его подработки подземными выработками. Для построения аналитического решения использованы методы теории функций комплексного переменного (методы Колосова - Мусхелишвили). Выражения для компонент напряжения и деформации, зависящие от коэффициента Пуассона, определены на основе решения второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полуплоскости, что является очень важным ввиду достаточно большого отличия численных значений этой характеристики для различных видов скальных грунтов. Приведены графические изображения изолиний напряжений. Для построения картин изолиний напряжений использована математическая оболочка Maple. Частными случаями приведенных решений являются решения задач о напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при равномерном и линейном перемещениях участка границы полуплоскости. Суммированием приведенных в статье компонент напряжения и деформации можно получить решение аналогичной задачи при асимптотическом стремлении перемещения к некоторому постоянному значению (равномерному перемещению).

©ПНИПУ

© Богомолов Александр Николаевич - доктор технических наук, профессор, e-mail: [email protected]. Богомолова Оксана Александровна - кандидат технических наук, доцент, e-mail: [email protected]. Ушаков Андрей Николаевич - кандидат технических наук, профессор, e-mail: [email protected].

Alexander N. Bogomolov - Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: [email protected]. Oksana A. Bogomolova - Ph.D. in Technical Sciences, Associate Professor, e-mail: [email protected]. Andrei N. Ushakov - Ph.D. in Technical Sciences, Professor, e-mail: [email protected].

ON THE STRESS-STRAIN STATE OF AN ELASTIC HALF-PLANE WITH THE ASYMPTOTIC ATTENUATION OF THE DISPLACEMENTS AT INFINITY

A.N. Bogomolov, O.A. Bogomolova, A.N. Ushakov

Volgograd State Technical University, Volgograd, Russian Federation

ARTICLE INFO

ABSTRACT

Received: 12 December 2017 Accepted: 21 March 2018 Published: 29 June 2018

Keywords:

linear elasticity theory, methods of the theory of functions of complex variable, stresses and deformations arising from asymptotic attenuation of the earth's surface displacements, Poisson's ratio, lateral pressure coefficient of soil, homogeneous isotropic half-plane, undermine area.

It is known that as a result of the device of underground workings on the earth's surface the bowl-shaped hollow caused by movement of soil in the developed country is formed. The cross section of this hollow, carried out in the normal direction with respect to the extension of the production, has a saddle shape. This fact is confirmed by numerous results of theoretical researches and field observations. The article presents an analytical solution to the problem of stress distribution in a homogeneous isotropic soil mass with asymptotically damped movement on the part of its boundary. The resulting solution can be used to determine the stresses arising in the soil mass due to its subsurface mining. Methods of the theory of functions of complex variable (Kolosov-Muskhelishvili methods) were used to construct the analytical solution. Expressions for stress and strain components, depending on the Poisson ratio, are determined based on the solution of the second basic boundary value problem of the plane theory of half-plane, which is very important, because of the sufficiently large difference in the numerical values of this characteristic for different types of rock soils. Graphic images of stress contours are presented. To build the painting from lines of voltages used mathematical shell Maple. Particular cases of the above solutions are the solutions of the problems of the stress-strain state of elastic half-plane with uniform and linear displacements of the boundary of the half-plane. By summing up the stress and strain components given in the article, it is possible to obtain a solution of a similar problem in the asymptotic tendency of displacement to a certain constant value (equal-dimensional displacement).

©PNRPU

Хорошо известно, что в результате проведения подземных выработок на земной поверхности образуется чашеобразная впадина, вызванная перемещением грунта в выработанное пространство. Поперечное сечение этой впадины, проведенное в нормальном по отношению к простиранию выработки направлении, имеет седлообразную форму. Это подтверждается многочисленными результатами теоретических исследований и натурных наблюдений [1-7] (рис. 1).

Поэтому здания и сооружения, построенные на подрабатываемых территориях, испытывают дополнительные вертикальные и горизонтальные перемещения, учет которых необходим при проведении расчетов, связанных с оценкой исходного (существующего на момент начала проектирования) напряженно-деформированного состояния грунтовых оснований. Таким образом, расчет оснований сооружений по деформациям (по второй группе предельных состояний) является в этих условиях обязательным в соотвтетствии со СНиП 2.01.09-2010 «Здания и сооружения на подрабатываемых территориях и проса-дочных грунтах».

Экспериментально установлено [8], что деформации грунтов под фундаментами развиваются преимущественно в верхней зоне основания, поэтому для анализа напряженно-деформированного состояния оснований сооружений могут быть применены расчетные модели, основанные на решениях задач теории упругости [9-13]. Широкое распространение в механике грунтов получила модель линейно-деформируемой среды, в рамках которой проводится анализ напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов методами линейной теории упругости [14-16].

в г

Рис. 1. Ширина зоны влияния строительства коммуникационного тоннеля (а) [3]; мульды оседания земной поверхности поперек простирания пласта (б) [4]; результаты прогноза оседания земной поверхности (в) [6]; графики оседания земной поверхности над квадратной выработкой размером

8x8 м, отработанной на глубине 20 м (г) [7] Fig. 1. The width of the zone of influence of construction of the communication tunnel (a) [3]; of the mould subsidence of the earth's surface across the strike of the reservoir (b) [4]; the results of prediction of subsidence of the earth's surface (c) [6]; the plots of subsidence of a terrestrial surface over a square

production 8x8 m of waste at a depth of 20 m (d) [7]

Если известна форма поперечника мульды оседания и представляется возможным аппроксимировать граничную линию некоторой функцией, то для отыскания напряженно-деформированного состояния грунтового массива можно воспользоваться одним из наиболее эффективных методов решения задач двумерной теории упругости, которым является метод комплексных потенциалов Г.В. Колосова - Н.И. Мусхелишвили [17, 18], основанный на применении аппарата теории функций комплексного переменного.

Как отмечено выше [1-7], деформации земной поверхности, вызываемые горными выработками, представляют собой кривые, концы которых лежат на границе полуплоскости. Это означает, что перемещения на концах участков деформирования отсутствуют. В данной работе полагаем, что перемещения носят асимптотически затухающий характер, что, по нашему мнению, позволит провести более детальный анализ напряженно-деформированного состояния полуплоскости для ряда прикладных задач механики грунтов, связанных с учетом перемещений участков границы полуплоскости. Примеры решения таких задач рассмотрены в наших работах [ 19-22].

В данной статье в рамках модели линейно-деформируемой среды рассмотрена задача о распределении напряжений в грунтовом массиве при асимптотически затухающем перемещении участка границы на основе решения второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полуплоскости, полученного Н.И. Мусхелишвили.

Согласно работе [18, с. 353] граничное условие для второй основной задачи плоской теории упругости в случае полуплоскости имеет вид

) - (t)-у(0 = 2|(gl(t) + ig2(t) )

или

Кф(г) - щ' (г)—у(г) = 2ц(- ,

где ф(г), у (г), ф'(г), у'(0 - граничные значения функций ф(г), ф'(2), голо-

морфных в нижней полуплоскости; ц и К - упругие постоянные, причем К = 3...4у, где V — коэффициент Пуассона, связанный с коэффициентом бокового давления соотношением = v(1—V)-1.

Решение задачи дают формулы для функций напряжения ф(г) и г), полученные Н.И. Мусхелишвили [18, с. 354, 355], при этом

ф'(2) = —"У <*, (1)

яК/ —1 (г—г)2

У(^) = Ц1 ^} — ^) Л — ф'(7) — 2ф"(7). (2)

я/ —I (г — 2 )2

Пусть отрезок —а < г < а оси Ох подвержен асимптотически затухающему перемещению

¿а

^(г) = g1(t)+ig2(t) = (р —/у)7т-^т, а = о, 1,2, (3)

к +1 г

где Р и у - заданные положительные действительные числа; h и l - действительные числа, причем к ^ 0; при остальных значениях t будем полагать g(г) = 0. Определим напряженное состояние упругой полуплоскости при перемещениях, описываемых законом (3) при всех указанных значениях параметра а. Случай а = 0. Формула (3) принимает вид

Р — 'У к + ¡2г2

g(t) = a(t)+ig2 (t) = т2—к • (4)

Заметим, что функция /(х) = —-—1 имеет максимум в точке с координатами

к +12 х

(0,1/к2) и, следовательно, значение функции /(х) в точке максимума зависит лишь от величины параметра к.

На рис. 2 приведены графики функции —f (х), описывающие перемещения участка —10 < х < 10 оси Ох при различных значениях параметров, входящих в эти функции. Определим напряженное состояние в нижней полуплоскости. Формулы (1) и (2) с учетом (4) дают

l(ß-il) Г dt |д(у + iß)

Ф (z) = -- 1 -

nKi {(И2 +l2t2)(t - z)2 лК(И2 +12z2)

2l2 z . z - a 2a

-ln-+ -

2l (la \ l2 z2 - И — arctg I —

И Ч И ) И2 +12z2

И2 +12z2 z + a z2 - a2

2

а б в

Рис. 2. Графики функции -f (x): а - при h = 1, l = 0,5 ; б - h = 1, l = 1; в - h = 1, l = 5 Fig. 2. Function graphs -f (x) : а - at h = 1, l = 0,5 ; b - h = 1, l = 1; c - h = 1, l = 5

Ф" ( г ) =

^(Г + iß)

mK( h2 +12 г2)2

4/3 z

h

arctg I —

7а Л 3h2 - /2z2

2

h J h + /2 z2

- 2/2

h2 - 3/ z% z - a ln-

2az

h2 +/2z2

z + a z2 - a2

4az(/2 (2z2 - a2) + h2)

/2 2\2 (z - a )

V( z ) =

^Y(ß + if)

dt

mi

K-i /к+Г

(h2 + / 2t 2)(t - z )2

-Ф' (z ) - zф" (z ) =

m(h2 + /2 z2)

К

-y-* I

К

"2/ (/a\ /2z2 -h2

h arCtg I h J h2 + /2 z2 h2 + /V" z + a ' z2 - a2

2/2 z , z - a 2a

-ln-+ -

Mz(y +iß)

mK(h2 + /2 z2)2

4/3 z

h

arctg I —

/a Л 3h2 - /2z2

h J h2 + /2 z2

- 2/2

^h2 - 3/2z2, z - a 2az Л

h2 + /2 z2

ln

z + a z2 - a2

4az(/2 (2z2 - a2) + h2)

(z2 - a2)2

Следуя [18, с. 352], под выражением ln

z - a z + a

на отрезке -a < t < a будем понимать

ln — = ln p -/(e-e2), z + a p2

(5)

где

Pi = д/^!-a^T/, P2 = (л + a)2 + y2,

e -e2=arctg

a ^ a - x

+ arctg

f , Л a + x

N

(6) (7)

4u

Тогда, согласно [19, с. 111], имеем ст = 4Re ф'^) = — (уД4-ß-ß14),

N mK

х

V

ау -ах + ЪТу = 2[гФ"(г) + г)] = 2

Ж ((х-1) + 2 уВп)

откуда

где

+ ((X +1)Вы + 2у4) + iГ((X -1)Вм -2уАп) ((X +1)Ам -2уВп) лХ IлХ лХ

ах = ((3 -X)Д4 - 2УВВ) -^((3 + X)В14 + 2), лХ лX

МУ

а у = ^г ((1 + X) 44 + 2уВп) + ((X -1) В1Л + 2 у43)

лX МУ

лX 1Р

^ = ^ТГ ((X -1)В,4 - ) - ^ ((X +1)А.4 - 2уВ1Ъ),

лX

А =

/2(х2 - у2) + к2

лX

В =--

212 ху

(/2 (х2 - у2) + к2)2 + 4х2у2/4' 1 (/2(х2 - у2) + к2)2 + 4х2у2!4'

А = А2 - В2; В = 2 АВ; А = А3 - 3 АВ2; В = 3 А2В - В3;

С =

2 2 2 х - у - а

(х + у2 - а )2 + 4а у

2,,2 ' 1

д =--

2ху

(х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2'

А = (/2(х2 - у2) - к2) А - 2ху!2В; В = (!2(х2 - у2) - к2)В2 + 2ху/2А;

А = х(АС - ВД) - у(АД + В1С1); В5 = у(АС - ВД) + х(АД + ВС);

/(х - а)2 + у2 '

А6 = (хА -у^Ж 7-~2—^ + (уА + хВ2) arctg

х + а)2 + у2

а-х

В = (уАг + хВ2)1П(

(х - а)2 + у2

V (

))(х + а)2 + у2

- (хА - уВ)

|у|

+ arctg

^ а + х^

arctg

а-х

|у|

у

+ arctg

а + х

JJ

Х\

JJ

А = (к2 - 3/2(х2 - у2)) А - бху/2В; В = (к2 - 3!2(х2 - у2))В3 - бху/2 А; Д, = 3к2х - / 2(х3 - 3ху2); В8 = 3к2у -/2(3х2у - у3); А = 4/2(х3 - 3ху2) + 2х(к2 - а2/2); В = 4/2(3х2у - у3) + 2у(к2 - а2/2); С = С2 - Д2; Д = 2СД; А10 = (А А - В9 в )С2 - (А, В + А в ) д; В10 = (А а - В В ) д + (А, В + А В, )С; А1 = (хА2 - уВ2 )С - (уА2 + хВ2) Д; В = (х^2 - у^2)Д + (уА2 + х^2 )СХ;

А12 = а1П.

(х - а)2 + у2

Щх + а)2 + у

2 + В

arctg

( \ а-х

+ агС£

( , ^ а + х

|у|

JУ

(8)

<

B12 = Vn

(x - a) + y

2, ,2 С fa - x^

? ? (x + a)2 + y2

arctg

V V J

+ arctg

^ a + x^

|y| J 1 W

V JJ

413 Г al Л

A13 = —arctg - I(AA3 -ЗД) -2lA -2a(Aw + 2l2An); h \ h J

-l3 ( al Л

B13 = —arctgГ-J(АзB + АзВ8) -2l2Bn -2a(Bw + 2l2Bn);

Ai- = 2 arctg ^al] A- - 2/24 + 2a(A1C1 - ^Д );

Bi- = 2 arctg | <a- | B- - 2l2B6 + 2a(A,D, + B1C1). h ^ h J

На рис. 3-5 приведены изолинии компонент напряжения, построенные на основании формул (8) при a = 10, h = l = 1 и v = 0,42 (глинистый грунт).

б в Рис. 3. Изолинии горизонтального напряжения: а - при у = 1, p = 0; б - у = 0, p = 1; в - у = 1, p = 1 Fig. 3. Horizontal stress contours: a - at у = 1, p = 0; b - у = 0, p = 1; c - у = 1, p = 1

а б в

Рис. 4. Изолинии вертикального напряжения: а - при у = 1, p = 0; б - у = 0, p = 1; в - у = 1, p = 1 Fig. 4. Vertical stress contours at: a - у = 1, p = 0; b - у = 0, p = 1; c - у = 1, p = 1

Полагая в формулах (8) И = 1, I = 0, получаем при Р = 0, а потом при у = 0 компоненты напряжения для равномерного вертикального, а затем и горизонтального перемещения рассматриваемого в задаче симметричного участка границы, т.е.

Рис. 5. Изолинии касательного напряжения: а - при у = 1, p = 0; б - у = 0, p = 1; в - у = 1, p = 1 Fig. 5. Shear stress contours: a - at у = 1, p = 0; b - у = 0, p = 1; c - у = 1, p = 1

2цуа(3 -K)(x2 - y2 - a2) 4цуа f 8x2y2(x2 - y2 - a2) - 2y2((x2 - y2 - a2)2 - 4x2y2)

лК((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2) iK

,2,,2чЛ

((x^ + y2 - a2)2 + 4a2y2)2

2|/a(K +1)(x2 - y2 - a2) 4|^a f8x2y2(x2 - y2 - a2) - 2y2((x2 - y2 - a2)2 - 4x2y2)

°y iK((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2) iK

+

22

((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)2

, (9)

4|уa f 2xy((x2 - y2 - a2)2 - 4x2y2) + 8xy'(x2 - y2 - a2)

22

Txy iK

3/2 2 2\Л

((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)

2 2\2

4|ya(K -1) xy

iK((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)

22

4|ap xy(3 + K)

8|apxy f 4y2(x2 - y2 - a2) + ((x2 - y2 - a2)2 - 4x2y2)

x iK((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)

_ 4|iapxy(1 -K) °y = iK((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)

+

22

iK ^ ((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)2 j

8|iapxy f 4y2(x2 - y2 - a2) + ((x2 - y2 - a2)2 - 4x2y

iK

((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)2

V vv- ■ s - / ■ s / j

_ 4|ap f 8x2 y 2((x2 - y2 - a2) - 2y 2((x2 - y2 - a2)2 - 4 x2y2) ^ 2|ap(K +1)( x2 - y2 - a2)

Txy = ((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)2 j '

(10)

iK((x2 + y2 - a2)2 + 4a2y2)

Формула (9) приведена в нашей работе [19] и в монографии [20], где использована при решении задачи о вычислении полной осадки основания незаглубленного ленточного фундамента с учетом напряжений, возникающих в грунтовом массиве вследствие смещения нагруженного участка границы.

Для определения компонент деформации воспользуемся известными формулами [18, с. 95]:

е x =^(a x х y X 2| y

е y = 2| y "v(o - •)'

у xy

1

которые после подстановки в них соотношений для компонент напряжений (8) дают

x =

вx = я* -4: К14 + Мз), лК лК

в y = (2(1 - 2v) A14 + уВи) + -1- (B14 + уА1з), y лК лК

У xy

У

((К -1)Bi4 - 2уДз) - -4т ((1 + К)A14 - 2yBi3).

* 2 лК44 ' 14 " 13' 2 лК

Случай а = 1.

Формула (3) принимает вид

g (t) = gi(t) + ig2(t) = 0- iy)

t

h2 +12t2'

(13)

Функция f (x) = ■

x

имеет максимум в точке с координатами (к// ,1/2к/) при х > 0 .

к ^ / х

Таким образом, значение функции /(х) в точке максимума зависит от параметров к и /.

На рис. 6 приведены графики функции -/(х), описывающие перемещения участка -10 < х < 10 оси Ох при различных значениях параметров, входящих в -/(х) .

Рис. 6. Графики функции -f (x): а - при h = 1, l = 1; б - h = 1, l = 2; в - h = 0,5, I = 1 Fig. 6. Function graphs -f (x) : a - at h = 1, l = 1; б - h = 1, l = 2 ; в - h = 0,5, I = 1

Перейдем к вычислению компонент напряжения. Согласно [19, с. 111], имеем

ax + ау = 4 Re ф'(z) = ^ (y£9 -$EW), лК

а у - ax + 2iTxy = 2 [ z Ф" (z) + V( z)] = 2 ""

-УУ ((К - 1)E + 2yE8) + ((К + 1)E1o + 2yE7) I + лК лК )

откуда

+ i [ ((К- 1)E10 - 2yE7) - ^ ((К +1)E9 - 2yEs)

ax =((3 -КЩ - 2yE8) ((К + 3)EV) + 2yEn\ лК лК

УУ

Ур

а у = ^г ((К +1)E9 + 2yEg) - ^ ((1 - К)Ew - 2yE7),

лК

УУ

лК Ур

(14)

^ = ((К - 1)E1o - 2yE7) - ^ ((К +1)E9 - 2yE,)

лК

лК

где

Ei = (A A3 - B,, B3)ln

w

(x - ^ + N 2 + (A, B3 + A3 B,) (x + a) + y

arctg

E2 = (A,B3 - A3B8)ln (X a)2 + У2 - (A,A3 - B8B3) \(x + a) + y

^a -x^

+ arctg

^ a + x^

IN J 4 IN

a - x

arctg

V V к I J

IN

+ arctg

V f

V iy jj

a + x

JJ

E =-h2(x2 -y2 + a2) -12(3(x4 -6x2y2)-a2(x2 -y2)); E4 = -2h2xy -12(3(4x3y -4xy3) -2a2xy); E5 = (AC2 -B2D2)E, -(^ + AD2)E,; E6 = (B2C2 + A D2 E + (4C2 - B D2 )Ea ;

E = -4hl arctg f^ j A7 - 2l2E - 2a(AC - BD ) + 2aE5; E = -4hl arctg f ^ j B - 2l2E - 2a(BC + AD ) + 2aE;

E9 = -4h/ arctgf — J (xA - yB2) - A ln.

V h J )

(x - a)2 + y2

(x + a)2 + y2

- B„

С f a - x^ arctg . .

v V |y| j

+ arctg

^a + x^

V 1у1 JJ

+ 2aA

-5'

Eo = -4h/ arctg I—J (yA + xB2) - B4 ln / (x a) + y

+ A,

h

f i \ a - x

1 (x + a)2 + y

arctg

arctg

a + x

V Kl J

n

-2aB5.

V Kl JJ

На рис. 7-9 приведены изолинии компонент напряжения, построенные на основании формул (14) при а = 10, И = I = 1 и у = 0,42 (глинистый грунт).

Рис. 7. Изолинии горизонтального напряжения: а - при у = 1, p = 0; б - у = 0, p = 1; в - у = 1, p = 1 Fig. 7. Horizontal stress contours: a - at у = 1, p = 0; b - у = 0, p = 1; c - у = 1, p = 1

а б в

Рис. 8. Изолинии вертикального напряжения: а - при у = 1, ß = 0; б - у = 0, ß = 1; в - у = 1, ß = 1 Fig. 8. Vertical stress contours: a - at у = 1, ß = 0; b - у = 0, ß = 1; c - у = 1, ß = 1

Рис. 9. Изолинии касательного напряжения: а - при у = 1, ß = 0; б - у = 0, ß = 1; в - у = 1, ß = 1 Fig. 9. Shear stress contours: a - at у = 1, ß = 0; b - у = 0, ß = 1; c - у = 1, ß = 1

Пусть h = «Jä, l = 0. Тогда, аналогично предыдущему случаю, на основании формул (14) при условии, что ß = 0, а потом при условии, что у = 0, получаем

ру (3-К)

(

па К

ру 1+ К

Кх - а)2 + у2

'(х + а)2 + y2 (х2 + y2 - а2)2 + 4а2y

°y па К

ln.

ln.

^/2,2 2\ ^ л» 2 2 / 2 2 2>

2ах(х + y - а ) "----------- ~ Л

22

1(х - а)2 + y2 2ах(х2 + y2 - а2) ^ '(х + а)2 + y2 + (х2 + y2 - а2)2 + 4а2y2

ру К-1

Тху п а К

arctg а - х + arctg а + х

V V lyl j V lyl j

32руа ху (х - y - а ) - пК((х2 + y2 - а2)2 + 4аУ )2 5

32руа2ху2 (х2 - у2 - а2) пК((х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2)2'

222

2ау(х + у + а )

(х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2

(15)

4руу

2 2 2 х - у - а

пК I (х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2

(у2 - х2 - а2)((х2 - у2 - а2)2 - 4х2у2) - 8х2у2(х2 - у2 - а2)

22

2 2 2 2 2

((х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2)2

ах =

а х =

1^ + 3

с

ла X

аг^

( \ а - х

у

+ агС£

( , > х + а

у

2ау( х + у + а )

(х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2

4|Ру

лX

222 х2 - у2 - а2

(х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2

(у2 - х2 - а )((х - у2 - а2)2 - 4х2у2) -((х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2)2

-8х2у 2(х2 - у2 - а2) ^ ((х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2)2 ,!

|р 1 -X

(

у ла X

аг^

а- х

\У\

+ агС£

^ х + 0х

\У\

2ау( х + у2 + а )

(х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2

4|Ру

лX

2 2 2 х - у - а

(16)

(х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2

(у2 - х2 - а2)((х2 - у2 - а2 )2 - 4х2у2) -((х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2)2

-8х2у 2(х2 - у2 - а2) ^

1^ +1

^ ла X

((х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2)2 J 1п

^ '(х - а)2 + у2 2ах(х2 + у2 - а2) ^

|(х + а)2 + у2 (х + у2 - а )2 + 4а у

+ -

32|ра2ху2(х2 - у2 - а2)

лX((х2 + у2 - а2)2 + 4а2у2)2'

Формулы (15) и (16) - компоненты напряжения для линейного вертикального и, соответственно, горизонтального перемещения участка границы -а < г < а оси Ох. Они приведены в работах [21, 22].

Используя формулы (11) и компоненты напряжения (14), вычислим компоненты деформации. Имеем

уу

Р

£х =~Е ~+ уЕ7)

лX лX

у

Р

в у = (2(1 - 2 V) Е, + уЕ,) + (Ею + уЕ7)

лX

лX

(17)

У ху = Т^ ((X -1) Е10 - 2уЕ,) - ((1 + X) Е, - 2уЕ,). у 2лX 2лX

Случай а = 2.

Формула (3) принимает вид

£ (г) = g1(t)+Щ2(*) = (Р-¿У)

г2

к2 + / 2г2'

(18)

Нетрудно видеть, что перемещение (18) можно представить в виде суммы перемещений вида (4), т.е.

£ (г) = ) + 1£2(г) = (р- ¿у)

_1_

7

'к Л2

1

/ I к2 + /2г2

(19)

Решение задачи для перемещения, заданного формулой (19), можно получить путем сложения компонент напряжения, заданных формулами (8) с формулами (9) и (10), предварительно умножив компоненты напряжения на множители из правой части формулы (19).

Кроме того, аналогично можно получить решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при перемещении вида

2 tn

g (t) = gl (t) + ig 2 (t) = (ß- iy)£ . (20)

n=0 h +l t

В этом случае компоненты напряжения могут быть получены сложением выражений (8)-(10) с формулами (14) после их умножения на соответствующие множители.

Заметим, что величины перемещений, вычисленные по формулам (19) и (20), в пределе совпадают с равномерным перемещением вида g* (t) = (ß - iy)/12.

Выводы

1. Получены в замкнутом виде выражения для компонент напряжения и компонент деформации второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полуплоскости при асимптотическом затухании перемещения на участке ее границы.

2. Частными случаями приведенных решений являются решения задач о напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при равномерном и линейном перемещениях участка границы полуплоскости.

3. Суммированием приведенных в статье компонент напряжения и деформации можно получить решение аналогичной задачи при асимптотическом стремлении перемещения к некоторому постоянному значению (равномерному перемещению).

Библиографический список

1. Осадки грунта, вызванные проходкой тоннелей (на примере Тегеранского метро) / Х. Чакери, А. Талибинежад, М. Мусави, Б. Юнвер // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 2012. - № 4. - С. 12-15.

2. Лапидус Л.С. К вопросу расчета перемещений земной поверхности, вызванных подземными работами // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1961. - № 1. - С. 20-22.

3. Петрухин В.П., Исаев О.Н., Шарафутдинов Р.Ф. Определение зоны влияния строительства коммуникационных тоннелей // Основания, фундаменты и механика грунтов. -2013. - № 4. - С. 24-27.

4. Спутниковый радарный интерферометрический мониторинг подработанных территорий Карагандинского угольного бассейна / Ф.К. Низаметдинов, Д.В. Мозер, Н.И. Гей, А С. Туякбай, А Д. Каранеева // Геоматика. - 2014. - № 4. - С. 70-77.

5. Писаренко М.В., Борисов И.Л. Использование гистехнологий для определения ожидаемых сдвижений и деформаций земной поверхности // Маркшейдерия и недропользование. - 2009. - № 1 (39). - С. 69-71.

6. Карасев М.А. Прогноз оседания земной поверхности при строительстве подземных сооружений глубокого заложения в условиях Санкт-Петербурга // Записки Горного института. - 2013. - Т. 204. - С. 248-254.

7. Численный анализ оседания земной поверхности над горизонтальными выработками / А.Н. Богомолов, Е.А. Степанова, О.А. Богомолова, Е.В. Цветкова, Е.М. Либурацков // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2016. - Вып. 45(64). - С. 12-26.

8. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. - Л.: Стройиздат, 1988. -415 с.

9. Цытович Н.А. Механика грунтов. - М.: Госстройиздат, 1963. - 636 с.

10. Кушнер С.Г. Расчет деформаций оснований зданий и сооружений. - Запорожье: ООО «ИПО Запорожье», 2008. - 496 с.

11. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. - М.: Высшая школа, 1985. - 447 с.

12. Флорин В.А. Основы механики грунтов. Т. 1. - Л.: Госстройиздат, 1959. - 360 с.

13. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов. - М.: Изд-во АСВ, 2009. - 551 с.

14. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Наука, 1981. - 688 с.

15. Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения. - М.: Мир, 1988. - 344 с.

16. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. - Oxford: Clareden Press, 1968. - 457 р.

17. Колосов Г.В. Применение комплексных переменных диаграмм и теории функций комплексного переменного к теории упругости. - М.: ОНТИ, 1935. - 224 с.

18. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

19. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. Задача о вычислении осадок ленточного фундамента // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 2011. - № 6. - С. 2-7.

20. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. Методы теории функций комплексного переменного в задачах геомеханики. - Волгоград: Перемена, 2014. - 227 с.

21. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Ушаков А.Н. О напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при линейном сдвиге участка ее границы // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2016. - Вып. 46(65). - С. 17-26.

22. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. Напряженно-деформированное состояние упругой полуплоскости при линейном смещении участка ее границы // Вестник МГСУ. - 2017. -Т. 12, Вып. 2 (101). - С. 184-192.

References

1. Chakeri Khamid, Talibinezhad Alizera, Musavi Magdi, Iunver Bakhtiiar. Osadki grunta, vyzvannye prokhodkoi tonnelei (na primere Tegeranskogo metro) [Soil settlments caused by tunneling (by the example of the Tehran metro)]. Osnovaniia, fundamenty i mekhanika gruntov, 2012, no. 4, pp. 12-15.

2. Lapidus L.S. K voprosu rascheta peremeshchenii zemnoi poverkhnosti, vyzvannykh pod-zemnymi rabotami [To the question of calculation of movements of the earth's surface caused by underground works]. Osnovaniia, fundamenty i mekhanika gruntov, 1961, no. 1, pp. 20-22.

3. Petrukhin V.P., Isaev O.N., Sharafutdinov R.F. Opredelenie zony vliianiia stroi-tel'stva kommunikatsionnykh tonnelei [Determination of the zone of influence of construction of communication tunnels]. Osnovaniia, fundamenty i mekhanika gruntov, 2013, no. 4, pp. 24-27.

4. Nizametdinov F.K, Mozer D.V., Gei N.I., Tuiakbai A.S., Karaneeva A.D. Sputnikovyi radarnyi interferometricheskii monitoring podrabotannykh territorii Karagandinskogo ugol'nogo basseina [Satellite radar interferometric monitoring of the worked territories of the Karaganda coal basin]. Geomatika, 2014, no. 4, pp.70-77.

5. Pisarenko M.V., Borisov I.L. Ispol'zovanie gistekhnologii dlia opredeleniia ozhi-daemykh sdvizhenii i deformatsii zemnoi poverkhnosti [Use of histotechnology to determine the expected displacements and deformations of the earth's surface]. Marksheideriia i nedropol'zovanie, 2009, no. 1(39), pp. 69-71.

6. Karasev M.A. Prognoz osedaniia zemnoi poverkhnosti pri stroitel'stve podzemnykh sooruzhenii glubokogo zalozheniia v usloviiakh Sankt-Peterburga [Forecast of settling the earth's surface during the construction of underground structures deep in St. Petersburg]. Zapiski Gornogo instituía, 2013, vol. 204, pp. 248-254.

7. Bogomolov A.N., Stepanova E.A., Bogomolova O.A., Tsvetkova E.V., Liburatskov E.M. Chislennyi analiz osedaniia zemnoi poverkhnosti nad gorizontal'nymi vyrabotkami [Numerical analysis of subsidence of the earth's surface above the horizontal workings]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta. Stroitel'sívo i arkhitektura, 2016, iss. 45(64), pp. 12-26.

8. Dalmatov B.I. Mekhanika gruntov, osnovaniia i fundamenty [Soil mechanics, bases and foundations]. Leningrad, Stroiizdat, 1988, 415 p.

9. Tsytovich N.A. Mekhanika gruntov [Soil mechanics]. Moscow, Gosstroiizdat, 1963, 636 p.

10. Kushner S.G. Raschet deformatsii osnovanii zdanii i sooruzhenii [Calculation of deformation of buildings and structures]. Zaporozh'e, IPO Zaporozh'e, 2008, 496 p.

11. Ivanov P.L. Grunty i osnovaniia gidrotekhnicheskikh sooruzhenii [Soils and foundations of hydraulic structures]. Moscow, Vysshaia Shkola, 1985, 447 p.

12. Florin V.A. Osnovy mekhaniki gruntov [Basis of soil mechanics]. Vol. 1. Leningrad, Gosstroiizdat, 1959, 360 p.

13. Ter-Martirosian Z.G. Mekhanika gruntov [Soil mechanics]. Moscow, ASV, 2009, 551 p.

14. Parton V.Z., Perlin P.I. Metody matematicheskoi teorii uprugosti [Methods of mathematical theory of elasticity]. Moscow, Nauka, 1981, 688 p.

15. Khan Kh. Teoriia uprugosti. Osnovy lineinoi teorii i ee primeneniia [Theory of elasticity. Fundamentals of linear theory and its application]. Moscow, Mir, 1988, 344 p.

16. Green A. E., Zerna W. Theoretical elasticity. Oxford, Clareden Press, 1968, 457 p.

17. Kolosov G.V. Primenenie kompleksnykh peremennykh diagramm i teorii funktsii kompleksnogo peremennogo k teorii uprugosti [Application of complex variable diagrams and the theory of functions of complex variable to the theory of elasticity]. Moscow, ONTI, 1935, 224 p.

18. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii uprugosti [Some basic problems of mathematical theory of elasticity]. Moscow, Nauka, 1966, 708 p.

19. Bogomolov A.N, Ushakov A. N. Zadacha o vychislenii osadok lentochnogo fundamenta [The problem of calculating the sediment of a strip foundation]. Osnovaniia, fundamenty i mekhanika gruntov, 2011, no. 6, pp. 2-7.

20. Bogomolov A.N., Ushakov A.N. Metody teorii funktsii kompleksnogo peremennogo v zadachakh geomekhaniki [Methods of the theory of functions of complex variable in geomechanics problems]. Volgograd, Peremena, 2014, 227 p.

21. Bogomolov A.N., Bogomolova O.A., Ushakov A.N. O napriazhenno-deformirovannom sostoianii uprugoi poluploskosti pri lineinom sdvige uchastka ee granitsy [On the stress-strain state of elastic half-plane with a linear shift of the section of its boundary]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta. Stroitel'stvo i arkhitektura, 2016, iss. 46(65), pp. 17-26.

22. Bogomolov A.N. Ushakov A.N. Napriazhenno-deformirovannoe sostoianie uprugoi poluploskosti pri lineinom smeshchenii uchastka ee granitsy [Stress-strain state of elastic half-plane with linear displacement of its boundary]. VestnikMGSU, 2017, vol.12, iss. 2(101), pp. 184-192.