О напряженном состоянии упругой полуплоскости в случае равномерно распределенной нагрузки, приложенной к штампу с закругленным основанием при учете трения по контакту «Штамп — грунт» Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК 7/2016

основания и фундаменты, подземные сооружения.

механика грунтов

удк 624.1

А.Н. Богомолов, А.Н. Ушаков

ВолгГАСУ

О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ В СЛУЧАЕ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ, ПРИЛОЖЕННОЙ К ШТАМПУ С ЗАКРУГЛЕННЫМ ОСНОВАНИЕМ ПРИ УЧЕТЕ ТРЕНИЯ ПО КОНТАКТУ «ШТАМП — ГРУНТ»

Рассмотрена задача о распределении напряжений в упругом основании штампа закругленного (параболического) очертания, находящегося под действием нормальной равномерно распределенной нагрузки, при различных значениях коэффициента трения по его подошве. Определены компоненты напряжений, зависящие от коэффициента Пуассона. Показано, что распределение напряжений в основании штампа зависит от коэффициента бокового давления грунта и коэффициента трения. Приведены формулы давления и касательного напряжения под штампом.

Ключевые слова: штамп с закругленным основанием, коэффициент трения бетона по грунту, изолинии безразмерных напряжений, компоненты напряжения, вертикальная нагрузка заданной интенсивности

хорошо известно, что для исследования напряженно-деформированного состояния в грунтовых массивах в рамках модели линейно-деформируемой среды применяются методы линейной теории упругости [1—5], среди которых важное место занимают методы, разработанные г.в. колосовым [6] и н.и. мусхелишвили [7], получившие дальнейшее развитие и обширное применение в различных прикладных вопросах механики деформируемого твердого тела [8—12]. в частности, этими методами был решен ряд актуальных задач геомеханики [13—15], связанных с расчетом напряженно-деформированного состояния и устойчивости грунтовых сооружений и массивов.

Проблемы определения напряжений по подошве сооружения приводят к решению плоских контактных задач теории упругости [16, 17], для чего в ряде случаев можно применять методы г.в. колосова и н.и. мусхелишвили. как правило, предполагается, что штамп, имитирующий основание сооружения, является прямолинейным и жестким. однако имеют место случаи, когда штамп не является жестким, а его поверхность — плоской. в связи с этим возникает необходимость рассмотрения напряженного состояния грунтового массива и контакта «штамп—основание» при условии, что жесткость штампа является конечной, а нижняя граница сечения штампа представляет собой некую кривую.

одним из наиболее распространенных видов фундаментов являются плитные фундаменты с плоской подошвой. При этом используют плитные фунда-

менты с неплоской подошвой однако использование последних сдерживается отсутствием современных методов их расчета [18].

Следовательно, решение контактной задачи для случая вдавливаемого штампа с неплоской подошвой является актуальным. Следует отметить, что такая задача для случая, когда не учитываются силы трения, была рассмотрена в работе П.И. Клубина [19]. Ю.К. Зарецкий [20], используя интегральное преобразование Гильберта и обобщив метод П.И. Клубина, решил задачу о распределении контактных давлений под штампом с неплоской подошвой при наличии сил трения между штампом и упругой полуплоскостью.

Целью настоящей работы является решение задачи о напряженном состоянии основания штампа при условии, что его поверхность не является плоской и на контакте «штамп—основание» действует конечное трение.

Для решения задачи применим метод сопряжения, предложенный Н.И. Мусхелишвили [7].

Рассмотрим штамп с закругленным (параболическим) основанием, симметрично расположенным относительно начала координат, т.е.

Ж) = (1)

где -а < t < а и h — заданное положительное действительное число (рис. 1).

Предположим, что равнодействующая всех сил, действующих на штамп, имеет вид

X = 0, У = -Р, (2)

где Р — заданная положительная постоянная величина. Определим напряженное состояние в нижней полуплоскости.

Рис. 1. Расчетная схема задачи

Рассмотрим решение задачи при различных значениях коэффициента трения k.

Конечный коэффициент трения. Выражения для компонент напряжения имеют вид:

16mh . 8mh

s =--— (kx + y ) 1

K + 1

K + 1

V^ 2 У

1

Л

Py p

V^ 2 У

( k+kll )-P p

vvptp2

t

1

r(mi + 2km2 ) + yf6

(3)

V^ 2 У

Vp1p

(sin r + 2k cos r );

8цА Х + 1

í

Pi

VP2 J

л/р1

P2

« - j/в

í

Pl

VP2 J

(( + kl1 )-

С \

Pl

VP2 J

л/plf

^sin r;

I6mhky 8mh txy = K + l K + l

A v ( Pl

V^ 2 y

f -

кщ

P2

Pl p

P2

(¡i -k¡2)■

(5)

+P [pL

PVP2

-k sin r,

где т — постоянная Ламе; К — упругая постоянная, которая выражается через коэффициент Пуассона V по формуле К = 3 — 4 V, причем коэффициент Пуассо-

V

на связан с коэффициентом бокового давления Х0 соотношением Х0 =-;

1-V

k — коэффициент трения; а — некоторая постоянная, связанная с k условием

, K-l n l

tgpa = к-, 0 <a<—.

K + l 2

Значения a = 0 и a = 1/2 соответствуют случаю отсутствия трения и бесконечно большого его значения:

f = щ + km2, f2 = -m2 + kml, f3 = -щ + km2, f4 = m2 + kml, f5 = ¡щ - ¡2m2 - к (¡m2 + ¡2щ ) -2

[y cos r + (x + aa) sin r + к((x + aa) cos r - y sin r)],

f6 = ¡m2 + ¡2щ + к(¡щ - ¡2m2) + 2

+—. [ (x + aa)cos r - y sin r - к(y cos r + (x + aa)sin r) ]; VP1P2

щ =(x2 - y2 + 2aax + (-l/2 + 2a2)a2) sin r + 2y(x + aa)cos r, m2 =( x2 - y2 + 2aax + (-l/2 + 2a2) a2) cos r - 2y (x + aa)sin r; ¡ = - (h sin 5 + h2 sin t), ¡2 = h cos 5 + h2 cos t;

= -| —+ a 2

r=

5 =

t=

—- + 2

0 + 302

2

30 + 02

a

a

P2VP1P2 ' (02-0);

(02-0);

(02-0);

= — + a

P

a

1

Pi =V(a - x)2 + y2, P2 = V(ä I y I

öi = p - arctg , ö2 = arctg

x)2

|y|

y

2

(7)

а - х а + х

Полагая в (3)—(5) h = 0, получаем выражения для компонент напряжения в случае штампа с прямолинейным горизонтальным основанием, подверженного постоянной вертикальной равномерно распределенной нагрузке [21].

В работе [22] показано, что при вертикальной нагрузке постоянной интенсивности, приложенной к абсолютно жесткому штампу с прямолинейным горизонтальным основанием, имитирующему фундамент сооружения, и конечном коэффициенте трения изолинии всех трех компонент напряжения симметричны относительно вертикальной оси, что согласуется с расчетными схемами Л. Прандтля [23] и Р. Хилла [24] и предопределяет двусторонний выпор грунта из-под штампа. Этот вывод был сделан на основании того, что соответствующие компоненты напряжения имеют симметрию относительно a и х. Однако нетрудно заметить, что компоненты напряжения (3)—(5) обладают такой же симметрией, т.е.

sx(-a - х y) ^Ca х y);

с y (-a, -х, y) =Cy (a, х, y); (8)

ty(-a -х y) = -t ху (a х yX

откуда заключаем, что при постоянной вертикальной нагрузке, приложенной к штампу с закругленным основанием, и конечном коэффициенте трения по контакту «штамп — грунт» выпор грунта из-под основания также является двусторонним, а расчетные схемы Л. Прандтля и Р. Хилла могут быть распространены на случай штампа с закругленным основанием.

На рис. 2 приведены картины изолиний безразмерных напряжений сх/m , сy/m и tm, построенные на основании формул (3)—(5) с учетом соотношений (8) при а = 3, a = 0,011 (глинистый грунт) и величине прогиба h = 0,5 в случае «приведенной» вертикальной нагрузки P/m = P* = 1. Коэффициент k трения бетона по грунту принят равным 0,25.

-!0

Xj -12

-IS

1 -- -J

а б в

Рис. 2. Изолинии горизонтального (а), вертикального (б) и касательного (в) напряжений при h = 0,5, Р* = 1, а = 0,011

Если в (3)—(5) положить k = 0, а значит, согласно (6), и а = 0, то получаем формулы для компонент напряжения при отсутствии трения, т.е.

=

8|тк

К + 1

т

л/р

^ - у/;

1Р2

+ —

Р

у12-

1

/

V

4Р

1Р2

0 +«2

16|тку 8|тк = К + 1 К + 1

_ = 8тку /. Ру/„

ху , 1 /5 11 ,

Х + 1 Р

т

л/р

^+у/;

1Р2

у/2 +

л/р

1Р2

где

Г

7* * 7* *

5 = 11 т1 - /2 т2 -

7* * , 7* *

Л = 11 т2 + 12 т1 +

л/р!

е, +е2 1 . (е. +02

у С081 ———2 | + X 81П1 1 2

Р2 V 2 (

Р2 V

0! +02 1 . ( 0! +02 X С081 —1-2 I-у 81П1 1 2

т12 = (х2 - у2 -12а2)яп | | + 2ху со8

т2 = (х2 - у2 -1/2а2)со81 01 +02 1- 2ху 81п( 01 +02

1

(

2Р1Р2л/Р1Р2 V 1

0! + 302 1 . ( 301 +02

Р1 81П | ——-2 I + Р2 81П1 1 2

Л

/2 =-

2

2Р1Р2Л/Р1Р

0! + 302 1 ( 30! +02

Р1 008 | —-2 | + Р2СО^ 1 2

(9) (10) (11)

На рис. 3 приведены изолинии безразмерных горизонтальных, вертикальных и касательных напряжений, построенные на основании формул (9)—(11) при а = 3, а = 0,011 (глинистый грунт), к = 0,5 и Р* = 1.

а б в

Рис. 3. Изолинии горизонтального (а), вертикального (б) и касательного (в) напряжений при k = 0

Полагая в (4)

y=о, х=t, Qj=p, 62=о, Pj=a -1|, p2=a+1|, (12)

получим формулу давления, действующего на границу полуплоскости, при заданной величине прогиба h и вертикальной нагрузке интенсивности P, приложенной к штампу. Имеем

4mh (1 - 4a2)a2 - 212 - 4aat P cos pa

P(t ) =

K + 1 --a !+a

(a -1)2 (a +1)2

i i

—a —+

2

(13)

р(а -1)2 (а +1)2

Решение задачи физически возможно, если Р(0 > 0 при - а < t < а, т.е. если

~ ч \2

p >-

к

(1 + 2 a) a )2.

(14)

В этом случае сила Р, прижимающая штамп, достаточно велика для того, чтобы углы А и В штампа вступили в контакт с упругим телом (см. рис. 1, а). Если Р не удовлетворяет условию (14), то значит, что интенсивность силы Р не достаточна для того, чтобы вдавить штамп до полного соприкосновения дуги АВ с упругим телом (см. рис. 1, б).

Заметим, что при отсутствии трения формулы (13) и (14) принимают вид

P(t ) =

P

4|ih a2 - 2t2

K + W a2 -12 +W a2 -12

(15)

P > ^a2

V , (16)

К + 1

и совпадают с формулами (8) и (9) [7, раздел 116а] с учетом значения для h = 1|2R, принятого в [7], где Я — радиус окружности, частью которой является дуга АВ (см. рис. 1).

Бесконечный коэффициент трения. В этом случае выражения для компонент напряжения имеют вид:

еР№ -в,) 2

-у + !-(2х(у-ра)собг, +(х - у2 + 2рау-

К + 1

л/р1

Р2

1 + 2Р2jа2)sin ri

4^hy

К + 1

3Р (в2 -6i)

1 -

-(2хcosr - 2(y + ра)sin r1 )-

ÏH2

P1P2 Vp1P2

х2 - y2 + 2рау - -+ 2р2 Iа2

ч 2

VV

+2 х (у-Ра )(Р1§1 +P28 2 ))]-

4^h

К + 1

-у + -

Vp1

(P1Y1 +P2 Y 2 ) +

( х2 - У2 -

у

-Р(02-81)

(17)

( 1 I

-2рау- — + 2р2 Iа2)sinr2 + 2х(у + Ра)cosr2

ч2 /

3Рер(в2. уР ер(в2 -81) , ч

-sin r ----+P2Y2 )

P e "Р(в2-81)

2п л/р

ÏH2

2п VPP

P1P2 л/Р1Р2

4цИ

К + 1

3Р(в2-81)

у + --(2х(у -ра)собг, +(х2 - у2 + 2рау-

л/РР

2 + 2Р2 \ а2) з!п г,

1Р 2 \

/

4цИу

К + 1

3Р(в2-81)

1 -

-(2хсобг - 2(у + ра)в1п г)-

3Р(в2 -8)

\Л

х2 - у2 + 2рау- -+ 2р2 Iа2

Р1Р2л/ртр2 +2х(у-Ра)(( +Р282))] ' 4цИ

К + 1

/

-Р(в2 -01)

-у+-

л/р1р2

(( +Р2У2 ) +

(х2 - у2 -

' 1 1

2рау- —+ 2р2 iа2)в1пг2 + 2х(у + ра)собг2

Р е Р (02-01)

2п трр!

-Б1п г -

Р еР(02-01) ур еР(02 -01)

-Бт г +1--^(р1У1 +Р2У2)

2п л/Р

1Р2

4цИу

п

Р1Р2л/Р1Р2

К + 1

3Р(02 -01)

3Р( 02-01)

л/р

1Р2

-(2хб1п г, + 2(у-ра)собг,)-

-1— (2х(У-Ра)((Р1У1 +Р2У2)-(х2 - У2) + 2Рау-

Р1Р2 \ Р1Р2

2 + 2Р2 ) а2 (р181 +Р2 82)

3Р (02 -0 )

л/рр!

4цИ

К + 1

(2х(у-ра)б1п г, -

рР( 82 -в,) 1_(( Х 2 -

-(х2 - у2 - 2рау ) 1 + 2Р2 ) а2) соб г

(1 ^

у2 - 2рау- —+ 2р2 Iа2)собг2 - 2х(у + ра)б1п г2

V2 )

Р е-Р(в2-в,) р еР(в2-в,) ур ев (82 -в,)

+--,- соб г---,-соб г ----¡^=(р181 +р2 82),

2п л/Р1Р7 1 2п ТР

где

51 = -pcos

(

52 =Pcos у1 = -р sin у2 =рsin

1Р 2

+ Р1п

2 Р1

1 .

-—sin 2

зе +е

—^+Р1п Р 2 Р1

л

/

1

-—Sin 2

(

е + зе

Р2

л

-2- + Р1п^

2 Р1 у

Л

1

—cos 2

+ Р1п Р2

2 Р1

—cos 2

П Р1Р2

Ге +зе2

V 2

зе1 +е2

2

Ге2 +зе2

V 2

зе1 +е2

л/р,

+ Р1п Р2

Р1.

л

Р1п Р Р1

+ Р1п Р2

Р1,

л

Р1п Р Р1

(18)

(19)

b =

ln K

rl =-

+ v D v + v D

2 -pln—, r2 = —-- + pln —, а p. и 9(i = 1, 2) определяют-

2л' 1 2 Р1 2 р1

ся формулами (7).

На рис. 4 приведены изолинии горизонтального, вертикального и касательного напряжений, построенные на основании формул (17)—(19) при а = 3, Р = 0,044 (глинистый грунт), И = 0,5 и Р* = 1.

а б в

Рис. 4. Изолинии горизонтального (а), вертикального (б) и касательного (в) напряжений

Используя формулы (18) и (19), имеем формулы давления и касательного напряжения для точек t под штампом. С учетом (12) получаем

P(t ) =

4|ah

T (t ) =

-2pat sin |p ln 4|ah

t г-( 2+2в )a г,

cos I P ln

a +1

a -1

(

2Wa2 -12 Vk

a +1 a -1

1+ K ( a+t cos I P ln

1 a -1

+2pat cosI p ln

12-I2+2e

2 2

2 'a

a +1 a -1

sin [ P ln ^^ | +

^ a -1

1+ K . I a+1 -SinI Pln

(20)

(21)

л/К ^ а - I,

Полагая в (20) и (21) И = 0, имеем формулы давления и касательного напряжения для штампа с прямолинейным горизонтальным основанием, подверженного вертикальной нагрузке Р заданной интенсивности. Эти формулы были получены Н.И. Мусхелишвили [7, с. 417].

Библиографический список

1. Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения / пер. с нем. Е.А. Когана ; под ред. Э.И. Григолюка. М. : Мир, 1988. 343 с.

2. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М. : Наука, 1981. 688 с.

3. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. Oxford : Clareden Press, 1968. 457 p.

4. Murnaghan F.D. Finite deformation of elastic solid. New York : Wiley, 1951. 140 p.

5. Poulos H.G., Davis E.H. Elastic solutions for soil and rock mechanics. New York : Wiley, 1974. 411 p.

6. Колосов Г.В. Применение комплексных переменных диаграмм и теории функций комплексного переменного к теории упругости. М. : ОНТИ, 1935. 224 с.

вестник 7/2G16

7. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости : Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб. 5-е изд., испр. и доп. M. : Наука, 1966. 707 с.

S. Stevenson A.C. Complex potential in two-dimensional elasticity // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1945. Vol. 184. No. 997. Pp. 129—179, 218—229.

9. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев : Наукова думка, 1968. 887 с.

10. Каландия А.И. Mатематические методы двумерной упругости. M. : Наука, 1973. 303 с.

11. ЛиньковА.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб. : Наука, 1999. 381 с.

12. Akinola A. On complex variable method in finite elasticity // Applied Math. 2009. No. 1. Pp. 1—16. Режим доступа: http://file.scirp.org/pdf/AM20090100001_10535691.pdf.

13. Тер-Мартиросян З.Г. Mеханика грунтов. M. : Изд-во АСВ, 2009. 551 с. (Библиотека научных разработок и проектов MTCy)

14. VerruijtA. Stress due to gravity in a notched elastic half-plane // Eng. Arch. 1969. Vol. 38. No. 2. Pp. 107—118.

15. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. Mетоды теории функций комплексного переменного в задачах геомеханики. Волгоград : Перемена, 2014. 226 с.

16. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. M. : Гостехиздат, 1949. 270 с.

17. Флорин В.А. Основы механики грунтов. Л. : Госстройиздат, 1959. Т. 1: Общие зависимости и напряженное состояние оснований сооружений. 357 с.

18. ГрицукМ.С. Рациональные конструкции плитных фундаментов. Брест : Брест. политехн. ин-т, 1997. 218 с.

19. Клубин П.И. Распределение контактных давлений между штампом с неплоской подошвой и упругой полуплоскостью // Основания, фундаменты и механика грун-тов.1969. № 5. С. 10—12.

20. Зарецкий Ю.К. Об обобщении метода П.И. Клубина решения плоской контактной задачи // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1974. № 2. С. 25—27.

21. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н., Богомолова О.А. О распределении напряжений в основании наклонного абсолютно жесткого штампа при учете трения по контакту «штамп-грунт» // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2014. № 4. С. 7—12.

22. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н., Богомолова О.А. О симметрии компонент напряжения в однородном и изотропном основании абсолютно жесткого штампа при конечном значении величины коэффициента трения по контакту «штамп-грунт» // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. № 3. С. 317—322.

23. Prandtl L. Über die Harte plastischer Korher // Gotinger Nachr. Math. phys. 1920. K. 1. Pp. 74—85.

24. HillR. The plastic yielding of notched bars under tersion // Q. J. Mech. Appl. Math. 1949. No. 2. Pp. 40—52.

Поступила в редакцию в апреле 2016 г.

Об авторах: Богомолов Александр Николаевич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой гидротехнических и земляных сооружений, проректор по научной работе, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет (ВолгГАСУ), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, banzaritcyn@mail.ru;

Ушаков Андрей Николаевич — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры математики и информационных технологий, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет (ВолгГАСУ), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, ushakov.andrej2012@yandex.ru.

Для цитирования: Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. О напряженном состоянии упругой полуплоскости в случае равномерно распределенной нагрузки, приложенной к штампу с закругленным основанием при учете трения по контакту «штамп — грунт» // Вестник МГСУ 2016. № 7. С. 46—56.

A.N. Bogomolov, A.N. Ushakov

ON THE STRESS STATE OF AN ELASTIC HALF-PLANE IN CASE OF EVENLY DISTRIBUTED LOAD APPLIED TO A DIE WITH ROUNDED BASE WITH ACCOUNT FOR FRICTION IN CONTACT AREA OF DIE AND SOIL

The authors considered the problem of load distribution in an elastic base of a die of rounded (parabolic) shape, which is under the impact of regular evenly distributed load at different values of frictional coefficient at its base. The components of the loads are determined, which depend on Poisson's ratio. It is proved that loads distribution in the base of a die depends on the coefficient of lateral pressure of soil and frictional coefficient. The authors offer the formulae of pressure and lateral pressure under the die.

Key words: die with rounded base, friction coefficient of concrete on soil, stress dimensionless isoline, stress components, vertical load of predetermined intensity

References

1. Hahn H.G. Elastizitätstheorie (Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik). Vieweg+Teubner Verlag, 2013, 340 p.

2. Parton V.Z., Perlin P.I. Metody matematicheskoy teorii uprugosti [Methods of Mathematical Elasticity Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 688 p. (In Russian)

3. Green A.E., Zerna W. Theoretical Elasticity. Oxford, Clareden Press, 1968, 457 p.

4. Murnaghan F.D. Finite Deformation of Elastic Solid. New York, Wiley, 1951, 140 p.

5. Poulos H.G., Davis E.H. Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics. New York, Wiley, 1974, 411 p.

6. Kolosov G.V. Primenenie kompleksnykh peremennykh diagramm i teorii funktsiy kom-pleksnogo peremennogo k teorii uprugosti [Application of Complex Variable Diagrams and Theory of Functions of Complex Variable in Elasticity Theory]. Moscow, ONTI Publ., 1935, 224 p. (In Russian)

7. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoy teorii uprugosti: Osnovnye uravneniya. Ploskaya teoriya uprugosti. Kruchenie i izgib [Some Basic Tasks of Mathematical Elasticity Theory : Main Equations. Plain Elasticity. Torsion and Flexure]. 5th edition, revised and enlarged. Moscow, Nauka Publ., 1966, 707 p. (In Russian)

8. Stevenson A.C. Complex Potential in Two-Dimensional Elasticity. Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1945, vol. 184, no. 997, pp. 129—179, 218—229.

9. Savin G.N. Raspredelenie napryazheniy okolo otverstiy [Distribution of Stresses near the Holes]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1968, 887 p. (In Russian)

10. Kalandiya A.I. Matematicheskie metody dvumernoy uprugosti [Mathematical Methods of 2-Dimensional Elastivity]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 303 p. (In Russian)

11. Lin'kov A.M. Kompleksnyy Metod Granichnykh Integral'nykh Uravneniy Teorii Uprugosti [Complex Method of Boundary Integral Equations of Elasticity Theory]. Saint Petersburg, Nauka Publ., 1999, 381 p. (In Russian)

12. Akinola A. On Complex Variable Method in Finite Elasticity. Applied Math. 2009, no. 1, pp. 1—16. Available at: http://file.scirp.org/pdf/AM20090100001_10535691.pdf.

13. Ter-Martirosyan Z.G. Mekhanika gruntov [Soil Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2009, 551 p. (Biblioteka nauchnykh razrabotok i proektov MGSU [Library of Scientific Developments and Projects of MGSU]) (In Russian)

ВЕСТНИК 7/2016

14. Verruijt A. Stress Due to Gravity in a Notched Elastic Half-Plane. Eng. Arch. 1969, vol. 38, no. 2, pp. 107—118. http://dx.doi.org/10.1007/BF00542574.

15. Bogomolov A.N., Ushakov A.N. Metody teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo v zadachakh geomekhaniki [Methods of the Theory of Functions of Complex Variable in Geo-mechanics Problems]. Volgograd, Peremena Publ., 2014, 226 p. (In Russian)

16. Shtaerman I.Ya. Kontaktnaya zadacha teorii uprugosti [Contact Problem of Elasticity Theory]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1949, 270 p. (In Russian)

17. Florin V.A. Osnovy mekhaniki gruntov [Fundamentals of Soil Mechanics]. Leningrad, Gosstroyizdat Publ., 1959, vol. 1: Obshchie zavisimosti i napryazhennoe sostoyanie osnovaniy sooruzheniy [General Dependencies and Stress State of the Bases of Constructions]. 357 p. (In Russian)

18. Gritsuk M.S. Ratsional'nye konstruktsii plitnykh fundamentov [Rational Structures of Foundation Slabs]. Brest, Brestskiy politekhnicheskiy institute Publ., 1997, 218 p. (In Russian)

19. Klubin P.I. Raspredelenie kontaktnykh davleniy mezhdu shtampom s neploskoy podoshvoy i uprugoy poluploskost'yu [Distribution of Contact Pressures Between Die with Non-Flat Base and Elastic Half-Plane]. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov [Bases, Foundations and Soil Mechanics].1969, no. 5, pp. 10—12. (In Russian)

20. Zaretskiy Yu.K. Ob obobshchenii metoda P. I. Klubina resheniya ploskoy kontaktnoy zadachi [On the Generalization of P.I. Klubin Method of Solving Plane Contact Problem]. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov [Bases, Foundations and Soil Mechanics]. 1974, no. 2, pp. 25—27. (In Russian)

21. Bogomolov A.N., Ushakov A.N., Bogomolova O.A. O raspredelenii napryazheniy v osnovanii naklonnogo absolyutno zhestkogo shtampa pri uchete treniya po kontaktu «shtamp-grunt» [On the Distribution of Stresses in the Base of Inclining Totally Rigid Die with Account for Friction in the Contact of "Die-Soil"]. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov [Bases, Foundations and Soil Mechanics]. 2014, no. 4, pp. 7—12. (In Russian)

22. Bogomolov A.N., Ushakov A.N., Bogomolova O.A. O simmetrii komponent napry-azheniya v odnorodnom i izotropnom osnovanii absolyutno zhestkogo shtampa pri konech-nom znachenii velichiny koeffitsienta treniya po kontaktu «shtamp-grunt» [On the Symmetry of the Stress Components in Homogeneous Isotropic Foundation of Totally Rigid Die in Case of Final Value of Friction Coefficient on the Contact "Die-Soil"]. Izvestiya Tul'skogo gosudarst-vennogo universiteta. Estestvennye nauki [News of the Tula state university. Natural sciences. 2013, no. 3, pp. 317—322. (In Russian)

23. Prandtl L. Über die Harte plastischer Korher. Gotinger Nachr. Math. phys. 1920, K. 1, pp. 74—85

24. Hill R. The Plastic Yielding of Notched Bars under Torsion. Q. J. Mech.Appl. Math. 1949, no. 2, pp. 40—52.

About the authors: Bogomolov Aleksandr Nikolaevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Hydraulic and Earth, Vice Rector for Research, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademiches-kaya Street, Volgograd, 400074, Russian Federation; banzaritcyn@mail.ru;

Ushakov Andrey Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, chair, Department of Mathematics and Information Technologies, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya Street, Volgograd, 400074, Russian Federation; ushakov.andrej2012@yandex.ru.

For citation: Bogomolov A.N., Ushakov A.N. O napryazhennom sostoyanii uprugoy po-luploskosti v sluchae ravnomerno raspredelennoy nagruzki, prilozhennoy k shtampu s zakru-glennym osnovaniem pri uchete treniya po kontaktu «shtamp — grunt» [On the Stress State of an Elastic Half-Plane in Case of Evenly Distributed Load Applied to a Die with Rounded Base with Account for Friction in Contact Area of Die and Soil]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 7, pp. 46—56. (In Russian)