УДК 30.19.21
Оценка влияния смежных составляющих спектра на резонансные колебания механических систем
Ю.Я. Бетковский, А.С. Сидоренко
Рассматриваются установившиеся вынужденные колебания линейной стационарной механической системы. Определяются условия, при выполнении которых, взаимным влиянием колебаний со смежными собственными частотами можно пренебречь и система в окрестности резонанса может рассматриваться как система с одной степенью свободы. Задача решается в предположении, что элементы матрицы демпфирования пропорциональны элементам матрицы квазиупругих коэффициентов или элементам инерционной матрицы. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-08-01005).
Представление механической систем в окрестности резонанса как системы с одной степенью свободы является традиционным приемом в теории колебаний. В частности, к этому сводится метод разложения по формам собственных колебаний. Для использования этого метода обычно вводятся предположения о пропорциональности диссипативного оператора квазиупругому или инерционному операторам [1, 2, 3].
В данной работе определяется величина частотного диапазона в окрестности резонанса, в пределах которого механическая система может рассматриваться как одностепенная, при условии, что динамические характеристики системы известны.
Установившиеся вынужденные колебания линейной системы вблизи положения равновесия под действием гармонических сил с частотой Q, представленные в главных нормальных координатах описываются выражением:
Здесь Р - координаты произвольной точки системы; Qj, - компоненты вектора обобщённых сил Q
А =(а^, С = (Су), - матрицы обобщенных масс, и квазиупругих коэффициентов в произвольных обобщенных координатах; Cj - обобщенные массы в главных нормальных координатах; у1 = 8j/ п - коэффициенты демпфирования главных колебаний; Щ /О. При О = Юк имеет место резонанс на собственной частоте Шк. В этом случае соотношение (1) принимает вид:
(1)
_ (Q1, Q2,■■■ Qn)'; ty иfj (P) - собственные значения и собственные векторы матрицы (А - Ю2С);
(иЛ Qk• fk(p) ■ ^ Qy-f(P)• M^-^) ж
w(P,t) = ^ 7Sin+ L—---== n
ь-к С-и2_ 1).и>]г I (2>
где Ц =Юу/юк.
Преобразование выражения (2) с использованием равенств: 1 _ 1 _ 1 _ cos^J
VU2 -1)2у
(uj -1) +\У,-Ы,- )2 , 2
И -1
1 (rlul ^2 |uj -+ tg2Wj \uj -1
u 2 -1
V j J
cos(okr - j) cos j = cos(okr - 2\yj)+ cos a>kz приводит его к виду:
w(P, t) = ^QfP- sm«^ ±«wE Q\f/P\l + 2 E Q' f (P I • cos^k^-(3)
CkJk*
2 k ^ k s v 12 2 1 ~ x ' 12 2 1
Гк akck 2 j*k Cj A^j -а Л 2 ^ Cj-
В соотношении (3) первая сумма сдвинута относительно резонансной амплитуды на угол я/2 и потому оказывает незначительное влияние на величину перемещений при резонансе.
Гармоники, входящие во вторую сумму, сдвинуты по времени относительно основной гармо-
а _ 2 Г П
ники на интервал а т у _ —I ¥ у - ~ I и достигают своего максимума разновременно. Наибольшее
—к V 4 )
влияние на общее перемещение системы на резонансе оказывают те из них, что которые смещены относительно основной гармоники на фазовый угол ^у, близкий к величине ±я/4. Для этих гармоник выполняются условия: п \ \ п
--а<щ] <—на, (4)
4 Гу1 4 У >
где а малая величина,
I I 1 , _1"^а
или условия t < < - , где ' _ 1 + ■
Приближенное решение двойного неравенства (4) приводит к условию, которому должны удовлетворять колебания на частоте Юу, чтобы оказывать заметное влияние на общую реакцию при резонансе на частоте Юк.
У у* I л\ У у —— < \и . -1 < —
2 1 у 1 2*
Это условие необходимо дополнить выражением для частотного интервала, в котором юу=юк! у* у*
1 <и < 1 + ^. 2 у 2
На рис. 1 представлена зависимость отношения уи /(и2 - 1) от параметра и, по которой можно оценить степень взаимного влияния близких гармоник.
Рис. 1
Таю, „ У 'и ^ля того, чтобы гармоника Ш, нерезонирующего тона оказывала значимое
2 ,
u - 1
влияние
ни УУУ-/1 I I, ^ А\_/
Ш к, необходимо чтоб по формуле:
амплитуду перемещений ^ и резонансном возбуждении системы на частоте
I
ы частота Ш, находилась] в Интервале Аш, (интервале влияния), определяемом
I
(5)
г=1ы
Для преобладающего
Uo i =1-
числа практических задач-интервал влияния, определяе-
мый по формуле (5), неве^ли-к^сАи п—Дожить а = п/8, что! соответствует точкамре°онансной кри-
| I 1\ 7 I \ Г и
вой, по которым опреде --=-1+8
ограничен диапаз-11 о
I - 1 = ~1~ег
А®, < 1,2 ,
I I l\ I
^лОгарифМ^Х с кИ
и декреми _л,У
i I
у баний Sj,
u б ании Sj, интервал влияния будет
v l _ 02 2 \ 'частот"П^у , Который Удо]/ ^яет у слови 2 3]
ч ! 1 + У 1+22
(sin 2у = л/2\рри 2^= — )
Полагая, например, что параметр Д— 0.0^3, что является д
I I
механических систем [3], получим:
_
2/ga ¡еличинои для
_
1 + tga 2tga
(6)
,1 г „ 1 -т.е. значимое влияние на амплитуду вынужденных колебаний на резонансной частоте Шк оказыва-
II
ют те нерезонирующие тона, частоты которых Ш, отличаются от резонансной частоты не более чем на 4%.
Формулы (5, 6) могут использоваться для предварительной оценки частотного диапазона Ащ,, в котором должны находиться нерезонирующие тона, чтобы соответствующие им колебания оказывали заметное влияние на амплитуду перемещения, определяемую основной резонирующей гармоникой с частотой Шк Вне диапазона Аш, отношение амплитуд нерезонирующих и резонирующей гармоник Ф, равно
Q. fAP)_ ck ykv¡ <Át Qj ^у. fJ(p)
j Qk fk(p) c. b2-®2
JJ шк
где величина
x_
Qk c} 7] fk (P) 1, при a. >ak 2, при 0 <a <at
(7)
í у Л 1 + -j V 20
í у Л 1
2t
Действительно, при Uj > 1 + , выполняется неравенство:
1 1 1
<-< —
Uj +1 2 + Y 2 2t
1 2t_
Поскольку Г 1 < , то имеет место соотношение:
|Uj | Y j
К 1 t
k - <
2 2 Г2 -К
(uj + 1)uj -1 Yj •
Y ■
При 0 < Uj < 1 - 2- справедливы следующие неравенства:
1 1 2t
< 1 I-г <
Uj + 1 ' \Uj -1 YJ 2t
ii I , < -
и 2 2
К -К Yj
Из физического характера колебаний можно полагать, что отношения обобщенных масс
Ck/Cj и обобщенных сил Qj/Qk будут близки к единице. Для свободной (не закрепленной) балки единичной длины и единичной погонной массы с постоянным поперечным сечением в качестве m-ой формы колебаний можно принять функцию fm(x) = cos [(m + 1)nx]. Тогда для всех значений
. ck л
m величина Cm =1 и для любых j и k отношение = 1. Аналогичные рассуждения справедливы
j
и для обобщенных сил. Поскольку формы установившихся колебаний имеют одинаковые знаки с вызывающими их вынуждающими силами, то произведение F(p) fm(p) > 0 (также как и величина fm2 (p)). Коэффициенты демпфирования механических систем, соответствующие различным
Y к
тонам колебаний, обычно различаются несущественно [3], поэтому можно принять, что = 1.
Y j
Если принять изложенные допущения, то вне интервала влияния справедливо неравенство
f (P)
ф' (8)
Так как собственные векторы f(P) взаимно ортогональны, то они имеют различные знаки. Нерезонирующие гармоники достигают своего максимума разновременно и сдвинуты относительно главной гармоники на разные фазовые углы Щ, поэтому от сумм реакций вне интервала влияния «кумулятивный эффект» не возникает. Суммарное влияние нерезонирущих гармоник будет выражаться в общем «зашумлении». Исключение составляют узловые точки формы резонирую-
щей частоты Ш^^, поскольку в этом случае величины двух сумм будут отличаться от нуля. Именно поэтому в районе узловых точек результаты измерения перемещений, скоростей или ускорений нестабильны по величине и часто недостоверны.
Из вышеизложенного следует, что вне «интервала влияния», определяемого формулой (5), система в окрестности своих собственных частот ведет себя как одностепенная. Перемещение такой системы Р\() с достаточной степенью точности может быть определено по формуле:
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968.- 560 с.
2. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. - М.: Наука, 1964.- 437 с.
3. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. - М.: Машиностроение, 1971.- 564 с.
(9)
Ук ®к ■ С
к
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Бетковский Юрий Яковлевич, главный специалист ОАО ГосМКБ «Радуга» им. А.Я. Березняка. Сидоренко Александр Сергеевич, профессор кафедры машиноведение и детали машин Московского авиационного института (государственного технического университета), д.т.н., с.н.с.