CC BY
6Труды МАИ. Выпуск № 108 https://doi.org/10.34759/trd-2019-108-4
УДК 629.7.015.3 534-16
О применении специальных обобщенных координат для исследования совместных изгибных колебаний лопастей несущего винта, закрепленного на
упругодемпфирующей опоре
Загордан А.А.1*, Загордан Н.Л.2**
1 Московский вертолетный завод им. М.Л. Миля, ул. Большая Пионерская, 1, Москва, 115054, Россия Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, ул. Вавилова, 44, кор.2, Москва, 119333, Россия *e-mail: a.zagordan@gmail.com **e-mail: zagordann@gmail.com
Статья поступила 01.10.2019
Аннотация
Рассматриваются связанные через опору - «пилон - несущий винт» изгибные колебания лопастей несущего винта вертолета, как естественно закрученных стержней, в плоскости тяги и плоскости вращения. Представлена общая система уравнений колебаний для динамической системы «несущий винт - опора», расчетные резонансные диаграммы несущего винта с соответствующими амплитудно-частотными характеристиками в виде зависимостей изменения коэффициентов динамичности по частоте для нагрузок, проходящих на вал несущего винта.
Для преобразования системы линейных интегро - дифференциальных уравнений с частными производными и периодическими коэффициентами, описывающими совместные изгибные колебания лопастей несущего винта и втулки несущего винта на упруго-демпфирующей опоре, в систему обыкновенных дифференциальных
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
уравнений с периодическими коэффициентами использован метод Бубнова-
Галеркина. Также показано преобразование исходных обобщенных координат,
описывающих колебания каждой отдельной лопасти во вращающейся системе
координат, в специальные обобщенные координаты, описывающие совместные
колебания всех лопастей несущего винта.
Для анализа получаемых результатов расчетов на вынужденные колебания и сопоставления с экспериментальными данными записей вибраций на вращающихся частях втулки, рассматривается характер движения и колебательных процессов втулки и лопастей во вращающейся и в невращающейся системах координат. Представлены графики, показывающие изменение траектории движения точки на лопасти и характера колебательного процесса при переходе из вращающейся системы в невращающуюся систему.
Проведены расчеты резонансных диаграмм и амплитудно-частотных характеристик для вертолета Ми-38 с шести и пяти лопастным несущим винтом, имеющего гибкие пластиково-композиционные лопасти. Проведен сравнительный анализ динамической реакции системы «несущий винт-опора» с различным числом лопастей с построением соответствующих амплитудно-частотных характеристик. На основании сравнительного анализа динамической реакции системы «несущий винт-опора» для двух вариантов числа лопастей несущего винта для вертолета МИ-38, сделан вывод, о предпочтительности шестилопастного несущего винта пятилопастному по условиям вибраций.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Ключевые слова: вибрации, композиционные лопасти, совместные колебания,
несущая лопасть, метод Бубнова-Галеркина, обобщенная система координат.
Введение
На этапе проектирования вертолета, при решении проблемы вибраций вертолета, действующих с проходными гармониками несущего винта (НВ), возникает необходимость проведения анализа совместных колебаний лопастей НВ и фюзеляжа вертолета, что в свою очередь приводит к рассмотрению задачи о собственных и вынужденных колебаниях винта на упругодемпфирующей опоре.
В данной работе рассматриваются связанные через опору - «пилон - НВ» изгибные колебания лопастей НВ, как естественно закрученных стержней, в плоскости тяги (ПТ) и плоскости вращения (ПВ). Представлена общая система уравнений колебаний для динамической системы «НВ-опора» в декартовой системе координат и основные преобразования для перехода к специальным обобщенным координатам НВ, как механической системы, обладающей круговой симметрией [1, 2]. Показаны расчетные резонансные диаграммы (РД) НВ на примере вертолета Ми-38 в невращающейся системе координат и соответствующие амплитудно-частотные характеристики ^ЧХ) в виде зависимостей изменения коэффициентов динамичности по частоте для нагрузок, проходящих на вал НВ. Для основных обобщенных координат, представлены соответствующие формы колебаний НВ, а также некоторые траектории движений втулки и лопастей в ПВ.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Расчетная модель и уравнения колебаний
Рассматриваются совместные колебания 2л > 3 упругих на изгиб лопастей и
вращающейся c круговой частотой т втулки НВ, имеющей горизонтальные и
вертикальные шарниры и установленной на упруго-демпфирующей опоре.
В общем случае, положение втулки НВ т. A (рис.1), которая обладает массой М0
и моментами инерции У0 , У0у, J , в невращающейся системе координат
0ХУХ определяется вектором координат (1) = ^х,у,2.,фх,фу, а упругие и
демпфирующие свойства опоры втулки НВ - «пилона НВ», характеризуются матрицами динамической жесткости С0 (у) и демпфирования К0 (у) размерностью {6 х 6}, при этом для определенности предполагается, что матрица К0 (у) диагональная.
Положение р - го сечения к -ой лопасти во вращающейся системе координат, связанной с к-ой лопастью (к-м рукавом втулки НВ) охС,\,г1к, 11к (рис. 1),
определяется вектором-функцией \ц*к, т2к^, где т1хк= Лхк(Р, 1) - функция деформации к -ой лопасти в ПВ, г1гк= Тгк (Р, 1) - функция деформации к -ой лопасти в ПТ.
Для общего случая главные центральные оси р-го сечения лопасти V(р),и(р) повернуты на угол а(р) относительно осей охТк г1к .
Рис. 1. Расчетная модель несущего винта на упруго-демпфирующей
опоре и системы координат. Связь между координатами в невращающейся и вращающейся системах для
лопасти осуществляется через матрицу:
щк =
созщ -8тщ 0 8т щ со8 щ 0 0 0 1
где, щ = {Ш +щ) - азимутальный угол ^ой лопасти,
щ = 2<к -1)/^ •
Для указанных переменных общая система линейных интегро - дифференциальных уравнений с частными производными и периодическими коэффициентами, описывающих совместные изгибные колебания лопастей НВ и втулки НВ на упруго-демпфирующей опоре, имеет следующий вид [3 - 7]:
2 л г
(М0 + глшл )кхх х+ {сххх + сч,у ... + схф_срг) = ^соэ У* | т П,к ¿р +
к=1
X 5ШЩ I [т • {ЧХк - ШЛхк - Ро Л Л ) +т Фг { 1вш + Р) + £хк № Р
к=1
I
Я
г
вш
(М0 + хлтл)у+куу у+ (сухх + сууу... + суф(ру ) = ^sin ц/к 2 со J т rlxk dp +
к=1 i
вш
X cos Vk J [m (¡ - a2Vxk - 2®A, Vzk ) + m Pz (1вш + P) + fxk ]dP
к=1
• • • л •• • ••
(M0 + глшл ) г+ kzz г+ (с7Х ... + czz z ... + с7(р <р,) = -^{т \_r¡ zk +2со/30 r¡ xk + (<рх sin Ц/к
к=1 l
1гш
•• • •
- <ру eos у/к Л1вш +р) + 2со(<7>,.sin у/к + <рх eos (/вш + р)] + f^Wp
Ел 2
у > к' v вш * / v / _у г к ' х
• •
2
(•Л* + (Л + ZJЛоеУ^Ч>у+кфЖ (Рх+ (сфхХх... + сфхфх(рх ... + сфхф:(рг) =
v^ R •• •
Sln Vk J (¡zk + 2^Po ¡xk + fzk](1гш + p)dP к=1 i
Voy + -J Лов ) <?v - (Jo + ZJnos )C0 <PX + К v фу <Py + ■■■+ Сфуфу <PX ■■■ + СФуФ: <Рг ) = z* R •• •
X COS Vk J [m (¡¡zk + 2^^0¡xk ) + fzk ](lгш + P)d P
к=1 1____
ft
{-[(EJU - EJV) sin a • cosa]¡¡k + [(EJV cos2a + EJU sin2 a)¡"zk } - [N¡'k ]' ••••••• • •
+m¡zk + 2m ap(> ¡л - m((Py cos Vk - (Pxsin Vk)(L +P) + 2m® (Px cos Vk + Py sin Vk)
(L+p) = f*
2 x 7л - уравнений типа (1а), (1б) где к = 1...=д,
p, R -текущий и конечный радиус лопасти; m = m(p) - погонная масса лопасти;
(1)
(Л) +2л-Глов)<Р-+кФА + ■■■ + СФА(Р^ =
z R
7 л 1 •• • •• ••
-X J {m[(¡-®¡xk -2®М± +(xsinVk + ycosVk)] + fxk}(L + P)dP
к=1 l
1гш
tf
{[(EJU cos2 a + EJV sin2 ^¡¡"k ] - [(EJU - EJV ) sin a • cos a¡'k ]} - [N¡'k ]' (1а)
• • • •• •• ••
+ m¡xk -™2m¡xk - 2m^p0 ¡¡7k + m(У cos V k - X sin Vk ) + mP7 (1вш +P) = fxk
(16)
7
1ВШ
гш
*
ЕЗи = ЕЗи (р), ЕЗу = ЕЗу (р) - погонные изгибные жесткости лопастей в плоскости наибольшей и наименьшей жесткости; кхх•••к(РЧ> ~ коэффициенты матрицы демпфирования опоры;
схх • • • С<Р <Р " коэффициенты матрицы динамической жесткости опоры; \гш, /вш - выносы горизонтальных и вертикальных шарниров; Р - средний угол конусности махового движения лопастей в ПТ; /хк = /к(.Р>1), /2к = /ДлО - внешняя распределенная переменная нагрузка на лопасть во вращающейся системе координат в ПВ и в ПТ.
В представленных уравнениях (1) для простоты индексы в скобках опущены. Функции пхк (р, г (Р, *) должны также удовлетворять обычным краевым условиям, соответствующим виду закрепления лопастей на втулке.
Для решения системы уравнений (1) применяется метод Бубнова -Галеркина [6, 8, 9], при этом в качестве координатных функций разложения используются собственные формы колебаний изолированной лопасти
где, ] = \...ЫТ- число учитываемых тонов в разложении по собственным формам;
#. к - обобщенная координата у -го тона для к -ой лопасти;
Замена переменных на специальные обобщенные координаты
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Щ Др), щ Др) - собственные формы изолированной лопасти у -го тона в ПВ и ПТ
[10].
В результате исходная система уравнений (1) преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с периодическими коэффициентами размерностью:
п = (6 + гл • ) .
Преобразование исходных обобщенных координат, описывающих колебания каждой отдельной лопасти во вращающейся системе координат, на специальные обобщенные координаты, описывающие совместные колебания всех лопастей НВ, в невращающейся системе координат осуществляется подстановкой [1, 11, 12]:
^ (*)ЧД (О (3)
где, с!к . (I) = г.. ¿¡к г.. ¿¡2 . ]' - вектор исходных обобщенных координат, размерностью [1х 2л ];
UJ(*) = [щр ихрV.иху, - вектор специальных обобщенных координат НВ, для систем, обладающих круговой симметрией, размерностью [1х гл ]; 8 = 2...(гл -1)/2 -целое число, определяющее порядок обобщенной координаты, для 2л - нечетного числа лопастей;
8 = 2...( гл - 2) / 2 -порядок обобщенной координаты, для 2л - четного числа лопастей;
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
= {¿0 •" А^} ~ матрица преобразования координат, размерностью
[гл х гл ] для нечетного числа лопастей и размерностью [(гл -1) х гл ] - для четного числа (без учета координат для самоуравновешенных форм гл /2 - порядка);
и
вектор столбец размерностью [1х гл ], соответствующий нормальным
координатам 0-го порядка и0 ^) для синфазных форм колебаний лопастей НВ;
собщ этщ соэ щ этщ
прямоугольная матрица преобразования размерностью [2 х г ]
для циклических координат 1-го порядка [щ у1;]:
Т •
=
соб
соб $>щ $>Щ
- прямоугольная матрица преобразования размерностью [2 х гл ]
для циклических координат Б-го порядка [щ ^ ]
Отметим существование обратного преобразования, имеющего следующий вид:
и), у = и0 ■ Чк, у
2 т
и ] = — и ■ Ч у, (индекс (¿) опущен).
гл
Якобиан преобразования:
3 =
ди^/дд^ ... ди31/дд
]
ф 0.
Т
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
По своему физическому смыслу, обобщенные координаты
[u0j ...uSj, vSjJ определяют форму колебаний НВ - конфигурацию всего винта в целом, для формы j - го тона собственных колебаний отдельной лопасти, задавая распределение амплитуд лопастей по азимуту щ для каждой к - ой лопасти. По определению Л.Н. Гродко [1] такие координаты являются "нормальными координатами 2-го рода", так как при их использовании уравнения свободных колебаний механической системы разделяются на отдельные независимые группы. Необходимо отметить, что подобные обобщенные координаты - «координаты Колемана» (Coleman R.P.) [13] использовались для исследования самовозбуждающихся колебаний типа «Земной и воздушный резонанс» [14 - 17].
В качестве примера на Рис.2 показаны нормальные формы изгибных колебаний лопастей в ПВ для обобщенных координат 0-го и 1-го порядков для шестилопастного НВ вертолета МИ-38 для j = 4, где u0j- координате соответствует
синфазные формы колебаний и распределение нагрузки с результирующей в невращающейся системе OXYZ в виде крутящего момента Mz, uX] - координате,
соответствует распределение амплитуд колебаний с результирующей силой Py в направлении поперечной оси Y, а vly. - координате с результирующей силой (-Px)
вдоль продольной оси X.
ио-шоаа (м, г=б)
Ш-то(1а (Ру, г=б)
У1-тоаа (-Р> г=б)
2 8 г
4 И
0 и /
4 /
8 с \
- 12 - 8 - 4 0 4 8 12
хио
12 8 4
УШ 0 -4 -8 - 12
- 12 - 8 - 4 0 4 8 12
хи1
12 8 4
УУ1 0 -4 -8 - 12
- 12 - 8 - 4 0 4 8 12
XV!
Рис.2. Формы синфазных и циклических колебаний лопастей НВ в ПВ для обобщенных координат и0;- 0-го и 1-го порядков.
Полученную для "новых" координат систему дифференциальных уравнений, можно записать в обычном виде [ 6], как для линейной механической системы с
постоянными коэффициентами:
•• •
А д (1) + В д (1) + С д (1) = 0(1) , (4)
где
УО) = [ X у,...ф2, и0,1 ■■■и0,щ ■■■ , ]Т,
и (I) = [рх , Ру, , диол ...ди0_„т ■. , }
- векторы-столбцы, соответственно, обобщенных координат и обобщенных сил, имеющие размерность [1 х п], а соответствующие матрицы А, В, С - есть квадратные матрицы размерностью [п х п] с постоянными коэффициентами. Отметим, что система уравнений (4) практически в большинстве случаев разделяется на независимые группы уравнений, описывающие синфазные, циклические и самоуравновешенные формы колебаний НВ, что существенно понижает размерность задачи, и упрощает проведение анализа совместных колебаний упругих лопастей НВ.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
После преобразования внешних нагрузок и решения задачи о собственных и
вынужденных колебаниях для рассматриваемой системы ОДУ (4) в обобщенных
координатах с правой частью, для заданных значений т, можно определить, как
собственные частоты, так и амплитуды вынужденных колебаний втулки НВ в
невращающейся системе и соответствующие формы колебаний лопастей НВ [11,
18].
Преобразование нагрузок и формирование векторов обобщенных сил
В общем случае, компоненты вектора нормальных обобщенных сил для нагрузок на лопастях НВ будут иметь следующий вид:
{<2*0,1 } = 4
а,( о
(5)
]
=а,
'щк
(6)
где
¿•1 = 1... (^ -1) / 2 - для четного числа лопастей,
sl = 1...(-2)/2- для нечетного числа лопастей,
2 ■ -обобщенные силы во вращающейся системе координат.
Для определенности, рассмотрим преобразования для переменных нагрузок, действующих в ПВ на лопасть НВ во вращающейся системе, следующего вида:
/"(р,0 = 5 • ( (р) • ссв[п(тг + щ)] + 5 • рП(р) • в1и[п(тг + щ)] (7)
где, 5пс, 5П - коэффициенты амплитуд для п - ой гармонической составляющей,
<
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
( (p), ( (р) - нормированные функции формы распределения для n - ой
гармонической составляющей внешней нагрузки.
А д (О, t) = 0
Тогда, для каждой обобщенной силы во вращающейся системе можно записать: Qnk,j = РПj ■ cos[n(®t + )] + рПj ■ cos[n(rnt + yk)] ,
где
R
Pl,j • J (p) • ФПс (p) dp - обобщенная амплитуда cos - ой составляющей n - ой
l о
гармоники для j - го тона во вращающейся системе координат;
R
pnS] = 5ns •Jwj (p) •Ффп (p) dp - обобщенная амплитуда sin - ой составляющей n - ой
i о
гармоники для j - го тона во вращающейся системе координат.
Для обобщенных сил 0-го порядка в невращающейся системе, имеем
z z
Qu0j=pij • Zcos[n (®t)]+pSj • Zsin[n (cot+Vk)].
k=1 k=1
Анализ сумм тригонометрических функций, показывает, что не нулевые значения возможны только для гармоник с номерами n = р • zn, где р - целое число, для которых выражения обобщенных сил имеет следующий вид:
Qu0j = zn • ppj • cos[pz (^t + wk)] + Zz • ppZ ■ sin[Pz (at + wk)] (8)
Соответственно, для обобщенных сил s1- порядка в невращающейся системе, имеем:
у = Р",у Х{с08[51(аЯ + )] • с0§[п(а + )]> + Р",, Х{со§[¿1(а{ + )] ■
Qvsl, у = Р", у Х{§1п[ ¿1(а{ + ^ )] (а + ¥к )]} + Р", у Х{§1п[ ¿1(а{ + )] ■
Бт[п (а Г + щ )]}.
Анализ сумм произведений тригонометрических функций, обладающих свойствами ортогональности, показывает, что не нулевые значения указанных сумм возможны только для значений S1=1 и для проходных гармоник п = (р ■ 2Л ±1), гдер -целое число, поэтому все обобщенные силы, соответствующие другим возможным сочетаниям чисел ¿1 и п равны нулю. Равенство нулю обобщенных сил <ил р ОуЛ] в
невращающейся системе, при действии нагрузок <к (^) на каждой k-ой лопасти во
вращающейся системе, физически означает, что в целом на НВ, как системы обладающей круговой симметрией, действует самоуравновешенная система нагрузок, и как следствие, колебаний втулки НВ c частотами указанных непроходных гармоник не возникает. Поэтому, расчет на вынужденные колебания лопастей для всех непроходных гармоник, можно проводить во вращающейся системе координат для изолированной лопасти.
Выражения для обобщенных сил в невращающейся системе, соответствующих циклическим формам 1-го порядка ^1=1) и нагрузкам, действующим с проходными гармониками п = (^ ± 1), имеют следующий вид:
£л. I рV ■с0Б( 2ла)+рV ■81п( 2 а) 2 1 рс-1 • втс 2а) - р^ ■ 2 а
для ^-1)-ой гармоники;
'Оч, J ~ 2 _ _л_ ш
И,7 ] = 2 "
■ с°8()+р£ •81п()
-р2* ■ вт() + р^1 • СОБ()
http://trudymai.ru/ (10)
О\и
Ф
для (z+1)-ой гармоники.
В невращающейся системе координат ОХГ1, обобщенным силам
\р 1
соответствуют силы | ^ >, при этом для каждой проходной гармоники указанные
силы можно представить в виде пары векторов вращающихся по круговой траектории с лопастной частотой /г = глсо с длинами 1 = Ь....зр2' = Ь..],
с,./ 2 2 ^
сдвинутых по фазе на —. Причем, векторы для (2-1) - ой гармоники вращаются по
2
вращению НВ, а векторы для (2+1) - ой гармоники против вращения НВ. Очевидно, что во вращающейся системе ОСл^, векторы суммарных сил имеют такие же длины, как и в невращающейся системе, но вращение векторов будет происходить, соответственно, с частотами = (2л - \)а и /+1 = (2л + \)а .
Движения втулки и лопастей НВ в невращающейся и вращающейся системах
координат
Для анализа получаемых результатов расчетов на вынужденные колебания и сопоставления с экспериментальными данными записей вибраций на вращающихся частях втулки, представляет интерес рассмотреть характер движения и колебательных процессов втулки и лопастей в обеих системах координат. Т.к. для
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
координат синфазных форм [1,<р2,...и0 ;]г характер движения не изменяется при
переходе от невращающейся к вращающейся системе, рассмотрим колебания только для координат циклических форм [х.. .,д> . .щ гл\ / ]7.
В общем случае выражения для вынужденных колебаний втулки в ПВ, в невращающейся системе координат ОХГ1 имеет следующий вид:
Г хо(г) Л Г х„ 1 Г
■ соБ 2лШ + 1 * г бш гюг, где Ус ] I У* ]
| К. I с0Б 2люг ■ к. I - -а ,
хс = (ХоС + ХОс ), ^ = (ХОс + х< ),
ус = (уосс + уо;), л = (уо; + уо;),
х0[.. .у01 - координаты опоры, полученные при решении системы (4), где верхний индекс определяет составляющую внешней нагрузки, а нижний определяет составляющую отклика перемещения.
Во вращающейся системе ОСл^ для втулки НВ имеем суперпозицию двух движений:
ГС1(01 1 Г (хС + У; ) 1 , п 1 |(х; + У; )!
1 | = — -1 I-соб( 2 — 1)юг +---1 I- л -1) юг,
МО 1 2 1— (х; + У; )] (Л ) 2 1(х + У; )] (Л ) ,
Г С2(г )1 1 Г(х; - У; )1 1 Г (х, + У; ) 1
1 !> = — -1 I- с0Б(2 + 1) юг +---1 I- Sin(2 + 1)юг ,
Ь2(0 / 2 1(х, + У;)] (л ) 2 1—(хс — У,)] (л ) ,
где
С1(г), л1(г), С2(г), л2(г) - координаты втулки соответственно для (2л — 1) и (2л +1) гармоник.
Формы колебаний лопастей НВ в невращающейся системе представляются в виде
нормальных форм, для соответствующих обобщенных координат НВ:
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
{Xuc(р)} = {¥j (р)} • {uc, }, {Xus(р)} = [¥j (р)} • {us, }, {XVc(р)} = [¥j(р)} • {v, {= [¥j(р)}" • {vs,,
где {{j (р) }T - вектор - строка, размерностью [1 х NT ], состоящая из собственных форм (координатных функций) изолированной лопасти, принятых в разложении (2), векторы - столбцы обобщенных координат для невращающейся
системы, размерностью [1 х N ].
Выражение для поперечных колебаний р- го радиуса отдельной k-ой лопасти во вращающейся системеСОц в общем случае имеет следующий вид:
{г(Лt)} = [{Xuc(р)} • cos+ {Xus(р)} • sin• cos(at + ¥к) + [{Xvc (р)} •cos znwt + {XV (Р)} •sin ] • sin( wt + )-
По аналогии с движением втулки во вращающейся системе, имеем:
{г1(р,t)} = {Г(р)} • cos(^ - 1)®t + {r1(р)} • sin(^ - Г) W {r 2(р, t)} = {r 2c (р)} • cos (^ +1) w t + {r2s (р)} • sin (^ +1) w t,
{rlc (р)} = 1 • {Xuc (р) + Xvs (р)}, {г1х (р)} = 1 • {Xus (р) - Xvs (р)} {r2 c (р)} = 1 • {Xuc (р) - Xvs (р)}, {r2 s (р)} = 1 • {Xuc (р) + Xvs (р)},
где cos- ая и sin - ая составляющие, соответственно, для (zM -1) и (zM +1) гармоник.
В качестве иллюстраций указанных преобразований, на Рис.3,4 представлены графики, показывающие изменение траектории движения точки на лопасти и характера колебательного процесса при переходе из вращающейся системы в невращающуюся систему.
Ci-10"
Лг10
- 5 - 10
- 15
- 20
Rotating system (z-1)
Non-rotating system (z-1)
Trajectory- non-rotating system (z-1)
x;-106 5 0
УГ 10'
02 0.3 0.4 0.5
t;
- 5 - 10
- 15
- 20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t;
20 15 10 5
У;-106 0
- 5 - 10
- 15
- 20
20 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20
>j-106
Рис.3 Движение точки лопасти на радиусе р = 0,5 в ПВ во вращающейся и невращающейся системах для (2Л — 1)—гармоники и траектория движения в
невращающейся системе.
Rotating system (z+1)
Ci-106
ЛГ10
-5 - 10
- 15
- 20
0
0.1 02 0.3 0.4
ti
Non-rotating system (z+1)
Trajectory- non-rotating system (z+1)
УГ 10'
- 5 - 10
- 15
- 20
0.2 0.3
t;
0.4 0.5
yj -106 0
: - — л ) —
- "ч: Vf / Ч — »
: — — и — —
20 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20
>5-106
Рис.4. Движение точки лопасти на радиусе р = 0,5 в ПВ во вращающейся и невращающейся системах для (2Л +1) — гармоники
0.5
Как видно, поперечные гармонические колебания точки л(г), действующие с частотой р — ой гармоники, преобразуются в полигармонические колебания х(г), У(г), действующие с частотами (р ± 1)ю, и при этом за один оборот НВ формируется сложная траектория движения в виде "ромашки". Также следует отметить, что для НВ с четным числом лопастей количество лепестков "ромашки" равно р, в то же время для НВ с нечетным числом лопастей количество лепестков равно 2 - р.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Некоторые практические результаты
Для обеспечения приемлемых уровней (согласно требованиям ГОСТ 237182014) нормально-обусловленных вибраций (НОВ) вертолета, необходимо на этапе проектирования проводить расчетные исследования динамической реакции системы «НВ - опора» на воздействие переменных нагрузок, действующих с частотами проходных гармоник с построением РД и графиков АЧХ [18 - 20].
В качестве примера применения специальных обобщенных координат, рассмотрим некоторые результаты расчетов соответствующих РД и АЧХ для вертолета Ми-38 с шестилопастным НВ, имеющего гибкие пластиково-композиционные лопасти, с относительной частотой 1 -го изгибного шарнирного тона изолированной лопасти в ПВ р = (р / с)« 3,\.
1. Циклические формы
Рассматривается группа независимых уравнений из системы (4) размерностью {\8х\8}, описывающая совместные поперечные и угловые колебания втулки
{х,у,фх,фу}ги изгибные колебания лопастей НВ. При этом, для учета демпфера лопасти в ПВ в исходную систему (1) добавляется 2л уравнений колебаний лопастей.
Значения коэффициентов матриц динамической жесткости С0 (у) и демпфирования (у) для упругодемпфирующей опоры определены расчетно-экспериментальным способом для лопастной частоты НВ у = ^ с на номинальных частотах вращения и, для простоты анализа, принимаются постоянными в исследуемом диапазоне частот вращения НВ.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
На Рис.5 показана расчетная РД НВ в невращающейся системе координат для
циклических форм колебаний лопастей вертолета МИ-38, построенная по
результатам расчета на собственные колебания рассматриваемой системы "НВ-
опора".
На рис.6, для сравнения, показана аналогичная РД для первоначального варианта
НВ с числом лопастей 2 = 5.
2 2,25 2,5 2,75 3 3.25 3.5 3.75 4 частота вращения НВ, Гц
Рис.6. Резонансная диаграмма НВ для циклических форм колебаний лопастей в невращающейся системе координат
ил=5)
На представленных РД изображены траектории собственных частот рп (с) при изменении частоты вращения с НВ, а также прямая линия /л(с) = zлс, соответствующая лопастной частоте НВ, при пересечении которых, определяются резонансные собственные частоты (т.А, т.В,...т.Е) и степень отстройки ближайших резонансных частот от номинальной частоты вращения НВ ат = 3,25Гц в виде запасов по частоте АсВ,...Ас и относительных запасов АБ = АсБ /с ,...AF = АсР /с в процентах.
Для сравнительного анализа динамической реакции системы «НВ-опора» для
НВ вертолета МИ-38 с различным числом лопастей проводятся также расчеты на
вынужденные колебания с построением соответствующих АЧХ. На рис.7,8
показаны графики АЧХ системы «НВ-опора» для ^ = 6, в виде зависимостей
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
изменения амплитуд для cos- ой и sin -ой составляющих сил pcx(co\...psy{co) и
амплитуд суммарных сил Px (ю), Py (ю), действующих на опору, при воздействии
внешних нагрузок возбуждения Fx = Fy = 100кгс, приложенных к втулке НВ и
действующих в ПВ с частотами проходных гармоник.
При этом заданные векторы внешней нагрузки вращаются по круговым траекториям, как по вращению НВ для (2л -1) гармоники, так и против вращения для (2л +1) гармоники. Кроме того, для сравнения, здесь также показаны графики суммарных амплитуд для НВ с 2л = 5. Следует отметить, что указанные АЧХ также можно рассматривать в виде зависимостей изменения по частоте коэффициентов динамичности по силам Шр (ю) = Р(ю)/100 для системы «НВ-опора».
На рис.9,10 показаны графики перекрестных АЧХ, зависимостей изменения
моментов Ых (ю),M (ю), действующих на опору, от воздействия указанных сил, а на
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Рис.11,12 показаны аналогичные графики для сил на опоре от воздействия
переменных моментов на втулке Мх = Му = 100кгсОи.
Из сравнительного анализа представленных данных для двух рассматриваемых вариантов количества лопастей НВ следует:
а) собственные частоты исследуемой системы "НВ-опора" для НВ в шестилопастном варианте значительно дальше отстроены от лопастной частоты возбуждения, и резонансные частоты имеют запасы не менее Д = (14...19) %, что практически в ~3.. .5 раз больше, чем для пятилопастного НВ;
б) коэффициент динамичности по силам, на номинальной частоте вращения для НВ с 2л = 6 составляет К<ЛР6 = Р6 /100 = 1,15, что практически в ~3 раза меньше, чем для варианта НВ с 2л = 5, К<3Р5 = 3,4;
в) значения коэффициентов динамичности по моментам и "перекрестные" коэффициенты для обоих вариантов не превышают ~0,5.
2. Синфазные формы
Для анализа колебаний системы "НВ-опора" по синфазным формам, в качестве примера, рассматривается группа независимых уравнений из системы (4)
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
размерностью {5 х 5}, описывающая совместные вертикальные колебания втулки (г)
и изгибные колебания лопастей НВ в ПТ.
На рис. 13,14 показаны расчетные РД и АЧХ НВ для вертикальных сил в невращающейся системе координат для синфазных форм колебаний лопастей вертолета МИ-38 с шестилопастным НВ.
частота вращения НВ, Гц Рис.13. АЧХ НВ для сил на втулке НВ Рх,Ру для (гл+1) гармоники [1п=6)
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Кроме того, на Рис.14 для сравнения, показана также АЧХ для гл = 5. Из
представленных графиков следует, что в области номинальных частот вращения НВ, для обоих вариантов НВ резонансы отсутствуют, а коэффициенты динамичности незначительно отличаются друг от друга и не превышают Шр = 1,2.
Заключение
На основании представленного сравнительного анализа динамической реакции (РД и АЧХ) системы «НВ-опора» для двух вариантов числа лопастей НВ для вертолета МИ-38, можно сделать вывод, что вариант шестилопастного НВ по условиям вибраций является более предпочтительным, чем пятилопастный.
Необходимо отметить, что по результатам летных измерений вибраций на вертолете Ми-38, с штатным шестилопастным НВ, амплитуды вертикальных вибраций в кабине пилотов, действующие с лопастной частотой /л = 19,5Гц в полете на крейсерской скорости Vкр=270 км/ч, составляют не более Ау = 0,1^, что ниже требований ГОСТ 23718-2014 по допускаемым уровням вибраций для вертолетов гражданской авиации и, соответственно, подтверждает обоснованность принятого выбора числа лопастей НВ.
Библиографический список
1. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. -408 с.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
2. Баскин В.Э., Вильдгрубе JI.C., Вождаев B.C., Майкапар Г.Н. Теория несущего
винта. - М.: Машиностроение, 1973. - 364 с.
3. Миль M^. и др. Вертолеты: расчет и проектирование. - М.: Машиностроение, 1967. Т. 2. - 424 с.
4. Джонсон У. Теория вертолета. - М.: Мир, 1983. Т. 1. - 502 с, Т. 2. - 529 с.
5. Wnuk M.P. Nonlinear Fracture Mechanics, Vienna, Springer Vienna, 1990, 451 p.
6. Вибрации в технике: справочник. - М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. - 358 с.
7. Coleman R.P., Feingold A.M. Theory of self-excited mechanical oscillations of helicopter rotors with hinged blades. NACA Technical Report 1351, 1958, available at: https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc60767
8. Игнаткин Ю.М., Макеев П.В, Шомов А.И. Программный комплекс для расчета аэродинамических характеристик несущих и рулевых винтов вертолетов на базе нелинейной лопастной вихревой теории // Труды МАИ. 2010. № 38. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID= 14148
9. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. - М.: Наука, 1980. - 384 c.
10. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. - Рига: Зинатне, 1988. - 284 c.
11. Загордан А.А. О расчете колебаний несущего винта вертолета в плоскости вращения с виброгасителем маятникового типа // Техника воздушного флота. 2007. № 3 - 4. С. 686 - 687.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
12. Михеев С.В. Прикладная механика в вертолетостроении. - М.: Альтекс, 2003. -
264 с.
13. Брамвелл A.P.C. Динамика вертолетов. - М.: Машиностроение, 1982. - 368 с.
14. Бахов О.П. Аэроупругость и динамика конструкции вертолета. - М.: Машиностроение, 1985. - 172 с.
15. Chen P.C., Chopra I. Wind tunnel test of a smart rotor with individual blade twist control // Proceedings of the SPIE, 1997, vol. 3041, pp. 217 - 230.
16. Sethi V., Song G. Pole. Placement Vibration Control of a Flexible Composite beam using Piezoceramic Sensors and Actuators // Journal of Thermoplastic Composite Materials, 2006, no. 19, pp. 293 - 308.
17. Momterrubio L. and Sharfe I. Influence of landing gear on helicopter ground resonance // Canadian Aeronautics and Space Journal, vol. 48, issue 2, June 2002.
18. Elizabeth M. Lee-Rausch, Robert T. Biedron, FUN3D Airloads Predictions for the Full-Scale UH-60A Airloads Rotor in a Wind Tunnel // Journal of the American Helicopter Society, 2014, vol. 59, no. 3, pp. 133 - 144
19. Игнаткин Ю.М., Макеев П.В., Шомов А.И. Численное моделирование прикладных задач аэродинамики вертолета на базе нелинейной лопастной вихревой модели винта // Труды МАИ. 2016. № 87. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=65636
20. Головкин М.А., Кочиш С.И., Крицкий Б.С. Методика расчета аэродинамических характеристик комбинированной несущей системы летательного аппарата // Труды МАИ. 2012. № 55: URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=30023
