Оценка сверху функционала погрешности квадратурных формул с симметричным пограничным слоем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2015. Том 22, №2

УДК 517.518.87

ОЦЕНКА СВЕРХУ ФУНКЦИОНАЛА ПОГРЕШНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ С СИММЕТРИЧНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ Е. Г. Васильева, Н. Б. Цыренжапов

Аннотация. Получена оценка сверху функционала погрешности квадратурных формул с симметричным пограничным слоем. В явном виде выделена константа, входящая в эту оценку.

Ключевые слова: оценка, функционал погрешности, квадратурная формула.

E. G. Vasilyeva, N. B. Tsyrenzhapov. An upper estimate of error functional of the quadrature formulas with a symmetric boundary layer. Abstract: In the article we obtain an upper estimate of error functional of the quadrature formulas with a symmetric boundary layer. We singled the constant in this estimate in an explicit form.

Keywords: estimate, error functional, quadrature formula.

В [1] определены кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для области О и соответствующие им функционалы погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем.

Сначала выделим из множеств функционалов погрешности с регулярным пограничным слоем конкретный функционал погрешности квадратурной формулы для области (0,1) и оценим сверху норму этого функционала в пространстве Ь^ (£1).

Пусть

т

1(х) = £(од) (х) — ^^ С75(х — 7), (I, ха) =0, а = 0,1,..., т,

7=о

1 + Z С |

< 00,

7=0

m

li(x) = £(o,m)(x) — ^^ Fy S(x — y), (¡i,xa) = 0, a = 0, 1,...,m,

7=0

1

N

h\\c* = m + ^ |F7| < 00, (a, b) = [0,1), — = h.

7=0

Суммируя элементарные функционалы ¿(^ — /3), /3 = 0,1,..., N — то — 1, и — N + то), построим конкретный функционал погрешности квадратурной формулы с регулярным пограничным слоем для полуинтервала [0,1):

в=о ^ ' ^ '

© 2015 Васильева Е. Г., Цыренжапов Н. Б.

C

По построению ^ ^(ж) € Ь""*.

Теорема. Пусть (ж) — функционал погрешности квадратурной формулы с регулярным пограничным слоем для интервала (0,1), supp 1 (0 -^(ж) С [0,1] и 1 ( !)(ж) € Ь""*. Тогда при к ^ 0 норма функционала погрешности

1 (о 1)(ж) удовлетворяет оценке

|г(0,1)(ж)|ьт. < кт

о

Е

в=о

¿ж

г(ш + 2)+ 1 + 2|С7

+ к"

7=0

2(т - 1)!

т+1— — ^ 1 — —

г р к р.

Доказательство. Преобразуем периодический функционал погрешности

ШУ-

-1

\ N—т — 1/\ оо /

£ <(!-<3) + Е ' Ь' + Е '

в=-о

в=о

ф=N—т N—т—1

—т-1 /ж \

Е (1)

в=о ^ '

где

'со,!)•(*)= Е Е

в = — о 4 У в=N—т 4 У

Из (1) следует, что функционал погрешности с регулярным пограничным слоем имеет представление

1(о,1)

(

(о,1)*

(ж).

(2)

По построению носитель функционала погрешности с регулярным пограничным слоем 1 (0 1) (ж) равен supp 1 ( 1)(ж) = [0,1]. Норма функционала погрешности в явном виде выражается формулой [2]:

I1 (0 ,1) (ж) Ц^т*

|в2"") (ж) *1

(

о,1)

(ж)|р ¿ж

Если ж € (—то, 0) и (1, то) и у € supp 1 ( 1) (ж), то (ж — у) сохраняет знак. Следо-

вательно, е^т (ж) * Кж — /5) = 0 для всех 1г,/3 € [0,1). Отсюда

I1 (0,1)(ж)||ьт*

|е2т)(ж) *1 (о,1)(ж)|Р ¿ж

1

р

ж

к

о

Учитывая представление функционала 1)(ж) в виде (2) и то, что зирр?х(^ — N + т) С [кЖ — кт, кЖ], а также применяя неравенство Минковского, имеем

|1(0,1)(х)||

1

1 I 1 V Г hN

<

( т) / \ 7 I х

Чт (Х) *Ц ^

¿х

+

+

НЫ— Нт 1

к

/ Е ^ + / Е

0 — ^ 0 в=Ы—т ^ '

¿х

¿х

Оценим /1:

Е Е

е2пък'

(2тк- 1/3)т

¿х

' х ^ к7 + х' к ¿х —^ к^х а

= кт

где Ан7 = {х € £1, к7 < х < к7 + к}. Преобразуем свертку:

Е

в=0

е'

¿х

(х — ку)т 1 sgn(x — ку) 2(то - 1)!

11 (у — N + т)к ¿у = (у — N + т ^ у)

/1 + /2 + /3 + 14. (3)

(4)

(х — ку + кЖ — кт)т 2(то - 1)!

■ sgn(ж — ку + кМ — кт)к1\(у) ¿у. (5)

Воспользовавшись равенством (5), оценим /2 в (3):

НЫ

НЫ—Нт

(х — ку + кЖ — кт)

т-1

2(т — 1)!

■ sgn(x—ку+кЖ—кт)11(у)к ¿у

¿х

= (х ^ кх + кЖ — кт) = к

< кт+1^

I. 0

(х — у)т 1 sgn(x — у) 2(то — 1)!

11(у) ¿у

¿х

1

тах — у|т_1Цс* ж,у£[0,т] 2(т — 1)!

< к р т р

¿х

т + Е |

7=0

2 (то- 1)!

. (6)

1

р

р

1

Н^е[0,1)д;, в=0

1

р

= кт Л

т

— ОО

т

Р

2

Р

т

т

Р

Используя равенство

Е

в= — о

преобразуем свертку:

0 для ж € [0, к(то — 1)),

Е

в=—т+1 '

(ж — у)т 1 sgn(ж — у) I ж

л

-1 Е

в=—т+1 •

1(у)к ¿у. (7)

2(т — 1)! \к ' ^ \ к

[ (ж — ку + кв)т—1 sgn(ж — ку + кв)

2(т — 1)!

Для оценки выражения /3 на основании равенства (7) находим

((т—1)

Е

в=—т+1

(ж — ку + кв)т—1

Н/3

ит+ -Ь

= к р'

((т—1)

2(т — 1)!

= (ж ^ кж, ж — в ^ ж) -1

sgn(ж—ку+кв)1(у)к ¿у

¿ж

-т У

в =—т+1 0

(ж — у)т 1 sgn(ж — у) 2 (то — 1)!

1(у) ¿у

¿ж

< кт+1~р

о

Е тах ,|ж — у1

т» 1 / II -т

в=—т+1

,уе[о,т] 2(то — 1)!

¿ж

1+ £ С1

<м . (8)

2(то — 1)!

Учитывая, что ж (Е [0,1+к(то —1)] и е2™' = 0 Для всех Р > N+171 — 1,

и проводя аналогичные рассуждения, получим

/4 < к

1 + £ СI

2(то - 1)!

(9)

Собирая оценки (3), (4), (6), (8) и (9), имеем

(то + 2)+ | +2|СТ|

\1П || <Г кт Т + Г(0,1) Лт* < к ^т +

\ ! /

7=0

2(то — 1)!

т+1 — — т. т т. 1 — —

г р к к р.

Теорема доказана.

р

3

р

р

т-1

р

с

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

2. Шойнжуров Ц. Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005.

Статья поступила 25 августа 2015 г. Васильева Евгения Геннадьевна

Восточно-Сибирский гос. университет технологий и управления, ул. Ключевская, 40в, строение 1, Улан-Удэ 670013 vas il_eg@mail. ru

Цыренжапов Нима Булатович Восточно-Сибирский гос. институт культуры, ул. Терешковой, 1, Улан-Удэ 670031 nimac@mail. ru