Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 11, Специальный выпуск, 2006

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И НОРМА ОПТИМАЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО

ФУНКЦИОНАЛА

Л. И. Санеева, Е. Н. Булгатова Восточно-Сибирский государственный технологический университет,

Улан-Удэ, Россия e-mail: [email protected], [email protected]

Cubature formulas containing values of function and its derivatives are considered in this work. General form of the periodic functional which accounts for coefficients of the sum of derivatives is given. Coefficients of the best periodic error functional are calculated.

В настоящей работе рассматриваются квадратурные формулы общего вида в периодическом случае, в которые входят значения функции и ее производных до некоторого порядка. Пусть ^(x) — заданная на всей числовой оси периода единицы функция, имеющая абсолютно непрерывную па всей оси производную (m- 1)-го порядка и интегрируемую

на (0; 1) по Лебегу производную (рт(х), — = h, X = {x1 = /i7, у = 0,1,..., N} — совокуп-

0,1,..., N k = 0,1,..., pY} — совокупность коэффициентов = [0; 1). Введем пространство классов периодических функций

ность узлов, P = {C7;k, Y = квадратурных формул и А Lm(A) с конечной нормой

|^(m)(x)| pdx

i /р

Элементами пространства Ьт(А) служат классы периодических функций, отличающихся друг от друга на постоянную.

Квадратурная формула общего вида выглядит так:

1 N Py

/ ^(x)dx « J2Cj,kP(k)(hj). 0 7=0 k=0

(1)

Квадратурная формула (1) содержит в себе при р0,..., рм как частный случай формулу [1]

1 N р

0 7=0 к=0

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

ИЗ

1

Lm(A)

Для построения периодического функционала рассмотрим простейшую формулу

1 N

Ых)^ С7)к^(7) (2)

0 7=0 к=0

с функционалом погрешности

</,¥>) =

N р7

С(0;1) (X) ]>>1)к ^(к)(х - 7) 7=0 к=0

Пусть т — гладкость пространства и функционал погрешности /(ж) ортогонален многочленам степени т, т. е.

(/,жа) = 0, а = 0,1, ...,т.

Коэффициенты С7;к формулы (2) определяются из следующей линейной системы уравнений:

7=0 к=0

где

[а-к] = Г 71а—к], если а > к

71 ] = 1 п ' и а = 0,1,..., т = р0 + р0 + ... + рз + я.

[ 0, если а < к,

Будем считать, что числа я, р0, р0,..., рз выбраны так, чтобы система (3) имела решение при условии т = р0 + р0 + ... + рз + я. Рассмотрим квадратурную формулу

1 з з—7

0 7=0 к=0

Продолжим функционал погрешности

з з—7

/(X) = С(0;1) (ж) - £ ]>>1)кС7,к^(к) (X - 7) 7=0 к=0

на всю числовую ось путем суммирования по в- Следовательно, периодический функционал погрешности общего вида записывается как

з К „(к)

/(ж) = 1 А(-1)к ^ к=0

з—7

где ^к = ^ С7)к-

7=0

1 < р < то имеем

Пусть ^ € Ь""(Д) и / € Ь"" (А) Из условия рефлексивности прострапства ¿"(А) при

^0) = Ц1^* (А) ' Н^Н^А) = 1. №

те

Решая вариационную задачу (4) по методу Эйлера, находим

</^0> = ||/||£т*(А) / |^"(ж)|Р—^п^"(ж)^т(ж)^ж ^ € 1%(А)

(5)

Положим 0"г(ж)

1

I £-1

'¿Г* (А)

(ж). Тогда

0| ¿Г (А)

I р-1

В этом случае уравнение (5) принимает вид

|0"(ж)ГЧп0"(ж)^"(ж)^ж = (/, ^ € ¿"(А).

По определению производной функции получаем

|^0™(ж)|Р—1^п00т(ж) = (-1)"/(ж).

(6)

Находим решение уравнения (6) с помощью преобразования Фурье, В результате имеем

(ж)

Ё Вк(-2пгв)ке—2™вх

Е-

в=0

(-2пгв )г

1

р-1

Ё А(-2пгв)ке—2™вх к=0

в=0

(-2пгв )

Правую часть равенства (5) разложим в ряд Фурье

•0" (ж) = £

—2п«7ж

7=0

где

Е ^к(-2пгв)ке—2™ву

Е-

в=0

(-2пгв )г

1

р-1

Е ^к(-2пгв)ке—2™ву

^ Е , 0_..д,т-е2—

в=0

(-2пгв У

Решение уравнения (7) определяется равенством

00 (ж) = ^

7=0

С е—2пг7ж

(~2тгг^)т

где е7 выражается формулой (8),

Вернемся к решению вариационной задачи, В силу (/, 1) =0 находим

/

Е ^к(-2пгв)ке—2™вж

\

(-1Г+1Е

в=0

к=0

(-2пгв )

+ с

(7)

(8)

(9)

(10)

1

¿Г* (А)

р

Равенство (10) определяет общее представление периодического функционала в общем виде.

Применим неравенство Гёльдера

(Ы <

Введем обозначение

Е О(-2пгв)ке-2Пвх

Е-

в=о

(—2пг,$ )

+ Со

¿х

1/р'

вт (х) = ]>]

Е Ок(-2пгв)ке-2Пвх к=0

в=о

(-2пгв )

С

3(с) = у |вт(х) + с|р'¿х.

А

Из решения вариационной задачи 3(с) > 3(с0) вытекает, что параметр с0 определяется из уравнения

J \В3т{х) + + с0]бЬ = 0.

А

Система (9) имеет единственное решение [2].^

Теорема. Если 1 < р < то У^ € Ьт(А) 1 € Ь™* (А) и 0о (х) — экстремальная задача, для периодического функционала /0(х); то общее представление оптимального периодического функционала /0(х) имеет вид

(Ы =/[Вт(х) + Оо]^х У^ € Ь™(А),

экстремальная функция 0о(х) для периодического функционала /0(х) е явном виде выражается формулой

■00 (х) =

1 g—27гг7Ж+27гг7у

+ + Со) + °о )

нормы периодического функционала 10 (х) и экстремальной функции 0о (х) соответственно определяются равенствам,и

1о11ь™(А)

10о(х)ИгГ(А)

|вт (х) + с|р' ¿х

1/р'

|вт (х)+с|р' ¿х

1/р

р

Ь-(А)

1

1

0

Список литературы

[1] Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Физ.-мат. науки: Сб. науч. тр. Улан-Удэ, 1999. С. 70-74.

[2] Шойнжуров Ц.Б., Цыренжапов Н.Б. Норма общего вида периодического функционала в пространстве С.Л. Соболева Ь""(А), 1 < р < ж // Математика в восточных регионах Сибири: Матер, междунар. конф. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2000. С. 112-113.

Поступила в редакцию 15 сентября 2006 г.