Оценка скорости сходимости в многомерной предельной теореме для эндоморфизмов евклидова пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 155, кн. 2

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2013

УДК 519.21

ОЦЕНКА СКОРОСТИ сходимости В МНОГОМЕРНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ ЭНДОМОРФИЗМОВ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Ф.Г. Габбасов, В. Т. Дубровин

Аннотация

Пусть Ш - невырожденная целочисленная квадратная матрица (¿-го порядка такая, что |detШ| > 1 /г(х) ~ заданные на единичном гиперкубе в К вещественнознач-пые периодические по каждому аргументу липшиц-пепрерывпые функции. Рассматриваются т-мерные векторы (Ь(хШ к),...,и,(хШк)), к =1, 2,... Получена оценка порядка 0(и£-1/2), е - сколь угодно малое число, для расстояния между распределением нормированной суммы этих векторов и нормальным распределением па всех измеримых выпуклых множествах из Кт.

Ключевые слова: эндоморфизмы, предельная теорема, скорость сходимости.

Рассмотрим преобразование Тх = { х Ж} (здесь х принадлежит - ¿-мерному тору, {•} - дробная часть числа), задаваемое с помощью невырожденной целочисленной матрицы Ж. Пусть тев(-) — инвариантная мера на Оа, которую можно отождествить с мерой Лебега, определенной на единичном замкнутом гиперкубе ¿-мерного евклидова пространства:

К = {х : х = (хх, Х2,..., ха), 0 < Х1 < 1,..., 0 < ха < 1} .

Указанное преобразование является эндоморфизмом, сохраняющим меру. Оно эргодично тогда и только тогда, когда среди корней характеристического многочлена матрицы Ж нет корней из единицы. При этом условии для Ткх, к = 0,1, 2,..., справедлива центральная предельная теорема (см. [1, 2]). Исследования скорости сходимости в этой теореме были проведены в работах [3 о].

Рассмотрим т-мерные вектора

7(хжк) = шхЖк),..., /т(хЖк)}, к =1, 2,...,

где 7г(х ), г = 1, 2,..., т - вещественнозначные периодические с периодом 1 по каждому аргументу функции, заданные на Ка. Предполагаем выполнение следующих условий.

1. Для некоторой постоянной А

( а \ 1/2

|7г(х) - 7»(х')|< А ух - х'||, Vх, х' е Ка, ||х || = (^хг21 .

2. Матрица Ж такова, что

вир ||хЖ-1|| = 1, |det= р> 1.

\\Х \\<1

3. Функции fi(x) интегрируемы по Лебегу на Kd и j fi(x) dx =0 для всех

Kd

i = 1, 2,. .., m.

4. det R = 0, где R - матрица с элементами

Pij = lim - / fi(XWk)) fj(XWk))dX.

- Kd k=1 k=1

Пусть

Gn(M) = mes fx : X G Kd, — ^f(XWk) G м\

^ V- k=i J

где M — измеримые множества из Rm.

Целыо настоящей работы является исследование выражения

p(Gn, Фя)= sup |Gn(M) - ФД(М)| щ n

MeRm

Здесь М - выпуклые измеримые множества, ФR — нормальное распределение

R

В работе [4] было доказано, что p(Gn, ФR) = O(n-1/4). В перечисленных выше условиях будет иметь место следующая теорема.

Теорема. Для каждого, сколь угодно малого е справедлива оценка

1

p(Gn, ФR) = O

i1/2-

Доказательство. При доказательстве теоремы используется метод «последовательных приближений», разработанный в [6. 7]. Прежде всего приведем оценки, которые нам понадобятся в ходе доказательства теоремы. Обозначим

т

(7 (ХШ3 ),г) =53 )и, г = (гь...,гт).

г=1

Введем величину

1 = (7 (х,^1 й/\\ 11|).

п

Обозначим через (п) семиинвариант и-го порядка суммы > г, то есть

Л 3

3 = 1

х„ (п) = —— 1п Е ех^ х У^ т ^ \ 1=1 1

Лемма 1. При фиксированном и £ [2, и] (здесь и далее и - достаточно большое вещественное число) справедлива оценка

хи (п) = О(п).

Лемма 1 доказывается так же. как и в работе [5].

Пусть

Г - 1 ® -

/ (г) = ехр( — ]Т / (ХШз})), в(М) = _ УХ ||,

V ^ 3=1 Х )

К -1

где ст(М) - граница выпуклого множества М. Тогда справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Если при некотором а е (0,1/2] и некотором 7 > 1 имеет место асимптотическое равенство

1 1

|Сд(М) - Ф(М)| = О

1 + в7 (м) да у

то для всяких С0 и е1 < а/2 найдутся такие постоянные С1 и С2, что для достаточно больших д

тах

/(г) < 1 - С2/д2е1.

(1)

Лемма 2 доказывается так же, как и в работе [7].

Лемма 3. При фиксированном V е [1,^] для всех г = 1,2,...,т справедлива

оценка

( /¿(ХШк))2"¿г = о (г

К к=

(2)

Лемма 3 доказана в работе [5].

Приступим к доказательству теоремы. Так как расстояние р(Оп, Фд) между распределениями иивариаитио по отношению к невырожденным линейным преобразованиям векторов, не ограничивая общности, мы будет считать матрицу Е единичной. Сумма, распределение которой мы собираемся изучать, есть Бп =

УЗ /(хШк). Эту сумму мы разобьем следующим образом.

к=1

Пусть д и N - растущие вместе с п натуральные числа, р

[ • ] - целая часть числа. Обозначим

д + N

где

Пз = £ /(ХШ(з-1т+м)+г), 1 < з < р,

Уд г=1

■ 0

1

N

Пз = ^ £/(ХШ^3-1^+г), 1 < з < р, Уд г=1

п р+1

у/д

Е /(ХШГ).

r=p(Q+N ) + 1

Считаем, что пр+1 = 0, если п = р(д + N). Получим

р р+1

5П = г + 0 = ^(Ср + С

Г = 1

Г = 1

п

1

0

Вклад суммы £ р в сумму £п будет достаточно мал, если Q и N выбрать подходящим образом.

Теперь перейдем к изучению распределения значений суммы £ р. Обозначим

~ р ~ ^ ^

С р = ^^ П г, где п п р - вектора со следующими свойствами:

г= 1

1) шв8(ж : х £ Ка, п г £ М) = шв8(ж : х £ Ка, п г £ М), М - измеримые множества из Кт;

2) I ехр (* ^ ^ ^ ¿х = Д I ехр (< ))¿^

К 4 7 ' -1 К

Обозначим через Л матрицу ковариаций вектора п 1 • Учитывая, что матрица К является единичной, покажем, что

/1 + O(l/Q) O(1/Q)

Л

O(1/Q) \ O(1/Q)

O(1/Q) 1 + O(1/Q) •• V O(1/Q) O(1/Q) ••• 1 + O(1/Q)J

(3)

Из леммы 1 работы [3] следует, что

У /¿(X)/ (ХШГ) ¿X =1 /¿(X) ¿X у(X) ¿X + O(0Í),

Кл

где 0 <в1 < 1.

Л

ац = ! /i(XW )/ ) ¿X +

кл

+ ^ - ^ У /¿^Ш)/ ^Ш^1) ¿X + У / /¿^Ш^1) ¿X

а элементы матрицы К ъ виде

Рц = I /¿^Ш)/) ¿X +

/¿^Ш)/^Ш^1) ¿X ^у /(XW)/¿(XWr+1) ¿X

'-К к

Поэтому-

то „

^ - Ру I = Е / /¿(XШ)/(XШг+1) ¿X +

то „

+ ]С у/ ^ /¿^Ш^1) ¿X -

+

г=Ч+1

г=?+1 К

- ^ ГС г/ /¿^Ш)/г+1) ¿X = + 1 ГС = •

Далее, пусть матрица А такова, что А'А = Л 1, где А' - транспонированная

матрица к А. Очевидно, что вектор —= А £ р имеет единичную матрицу ковариа-

у/Р

ций.

Пусть теперь

Рр(1)(М) = шеЛ X : X £ Ка, — £ М

р V ^р

р(2)(М) =ше^ X : X £ Ка, £ М ),

/р(г) = У ехр ^г^, А^Р^уу ¿X' /р^) = / ех^ ^А/// ¿X'

К /¡^/ехр^т,;;, '

К

Ниже будем считать, что /(£) удовлетворяет условию (1) леммы 2 при £1 = (V + 3)/Ш.

Из леммы 3 работы [3] следует, что

Ш - /рй| < С3 ехр(-С^). (4)

Далее, положим

Хг+2(«^ ,

Рг (Й) =

(г + 2)! „ 1 „ 1 1 1 1

(г - 3г)(3г - 31-1) • • • (32 -

(г + 2)!

Г—1 Г —1 3 —1 Д3 —1 Д2 —1

ЕЕ Е ••• ЕЕ

X

г=1 31 =г 3г-1=г—1 32=2 31 = 1 Г3г3г 1 •••3231

Хг — зг+2(^)Хзг— 3;-1+2(»^) • • • Х32— 31+2(^)Хл (г - 3 г + 2)!(3 г - 3 г—1 + 2)! ••• (32 - 31 + 2)3 + 2)! 1 ]

Здесь Хз (¿¿) _ семиинвари ант 3-го порядка вели чины (й, Ап 1). По теореме 1 из [8] при

Ур

Й < __= Т

где ^+1^) = У УАп1У^+1 ¿X, имеет место неравенство К

1^+2 ехр (-|Й|2/4)

1/р(£) - < з^+2--¿• (6)

ТИ->

ир

Теперь воспользуемся следующим неравенством, полученным С.М. Садиковой

[9, Ю]:

(1п т )(т-1)/4(Л + 2^272)+1П Т

р(Рр(2), Ф) < С5

т

где

Т2

2

/р(г) - ехр (-

Т 2 Т9

Ы< 1

1<р||<т

/р(г) - ехр (-

2

12 ,, 2

¿г,

¿г.

Выберем

т = Седа-2(^+3)/ш т^р

н перейдем к нахождению необходимых нам оценок. По неравенству Минковского имеем

(7)

Т <

2

/р(г) - /р(г)

г Л 1/2 ¿г +

2

н«н<1

1ик 1

_ 2 Ч 1/2 /р(г) - дир(г) ¿г +

+

11«Н<1

д^р(г) - ехр (-

2 X 1/2

¿г I

Т(1) + т(2) + Т2(3).

Для оценки интеграла Т(1) щи ||г|| < п ш ' используем очевидную оценку

|/р(г) - /р(г)| < —1р у |(МСр -¿Ср)^Х < С7|гН,

/4

а при п-"3/4 < ||г|| < 1 - оценку (4), преобразованную следующим образом. Положим в (4) N = 2 [пш / ] , после чего оценка (4) примет вид

Гр 1

|/р(г) - /р(г)| < С8

д

Таким образом.

1/2

Т(1) <

С ¿г

3/4

С8 1й11-2 ¿г

1/2

р||<п-

Согласно неравенству (6)

дп2-3/4

п—3/4<| |?||< 1

О

.-шз/4 р

Т = о(т-+1).

С помощью леммы 1 (используя тот факт, что семиинварианты г-го порядка Хг и х0 соответственно величин £ и а£связаны между собой соотношением хГ = а0 Хг) найдем оценки семиинвариантов в (5):

|Хг (гг)| = О ^Г-)^ Ь г =

= 3, 4,...

2

2

2

г

Теперь мы легко получим, что

Г—1

|Рг(й)| = o ]Г|

г+2гQ—(г+г)/2

Поэтому

л1

(3)

Н«Н< 1

ехр

. г=1

2 ) и

Ерг м

Г=1

1 \Г

у/Р

2 \ 1/2 ¿Л = o |

Из полученных оценок заключаем, что

(8)

Л1 = № + т^1' + М

Применяя неравенство Минковского, оценим ¿2:

2=

/р(4) - ехр (-

'1<р||<т

1/2

¿4

< л21) + Л22) + Л23).

Подынтегральные выражения в «/^¿) > исключая ||£|| 2, такие же, как в Л Оценки для ¿21) и л^3 получаются аналогично оценкам для л11) и ¿13):

(9)

(¿)

л2(1) = oL/gn-3/4 т т

^ = 1 ^ •

Далее,

т(2) _ Л —

' \ 1/2 / I /рЙ-^рЙ!^] < [ I

"кркт 1<||4||<т^

1/2

1/2

+

л 1+л 2.

Т™<||4||<Т

Согласно неравенству (6)

л1 = O(T¡7(v+1))

^р

л 2 <

/ /р(А1 )

2 Х1/2 ¿4 I

\ 1/2

кр^2^) = л 1' + л 2'.

т™<р||<т

Т™<р||<Т

В интеграле л 1' сделаем замену переменных и = А' и применим к полу-

чающемуся выражению оценку (1) леммы 2 и неравенство

( г _ \("+3)/2 ,

|Ап ^^ < |Ап ^^ < C9Q(v+3^/ш,

^ ' К

>+3)/2

легко выводимое из (3) и леммы 3.

1

Имеем

1/2

Т1' <

С1^ рт|/(и)|2^и

■ (1 - о (1/<э)) т^р/Vр < < ||ип < (1 + о (1/<)) т/^Р

(Г1 \ / лта+(г+3)2/ь

рт/2дат(1__С_= О д_^_>_

р д (1 д2(^+3)/ш ) О| р(^+3-т)/2

Здесь Сб в выражении (7) для Т выбрана таким образом, чтобы

^1 + О(^)) 8т-("+3)/(2("+1)) Сб < С1,

С1

В силу оценки (8)

Т''

Т 2

Таким образом,

ехР 1 + ОЕ

и и7и3г

(рд)г/2

2 X 1/2

¿Л = О(Т

¿/р )

(Гп 3/4 1 / -ч дта+(^+3) /и \

+ —рд + Т-^11 ^р(^+3-т,/2 ) . (Ю)

Окончательно получим из (9) и (10), что

р(Р(2) Ф) = О ( 1П™ Т (Д п"^Т» + -±- + ^"(^+1) + д-+(-+3)2/" + 1ПТ) )

р(Рр ,Ф) 1п д\/дп Т + р + р(^+3-™)/2 + т )у

Эта оценка справедлива и для р(Рр(1), Фл). Так как Фл(М) = Ф(М) + О(1/д),

то

р(Рр(1), Ф) = о(р(Рр(2), Ф) + ^ . (И)

- о

Далее займемся оценкой вклада С р в распределепне £п. Величины Р и д выберем так, что

| п - р(д + N) |< р. (12)

Поэтому количество слагаемых в п р+1. не превзойдет р и согласно неравенству Маркова и лемме 3 будем иметь

те> (Х:^ > ^) < £ "е* (х : > ^) = О( )

Л0 7 0

где СрЗ _ компоненты вектора С р •

Полученная оценка необходима для того, чтобы оценить погрешность, возникающую при замене в (11) распределения Рг(1) вектора С р р-1/2 на распределение

вектора (С р + С Г) р-1/2.

Так же, как в работе [7], получим

о

X с р + С р £ .Л =Ф(М) + + + РС^ *>)■

шеБ X : -£ М =Ф(М) + Ю\—+ ,

V -Р ( ) V л/р (N +1)"

Из условия (12) следует, что

П. = 1 + ofN

pQ ^

Поэтому мы можем записать

1 Е^ ^ /....... 2

Неравенство Маркова и лемма 3 дают оценку

1 — 1 — N —

Тп Е/ ^ = ^ ¿=1/ ^¿^ Си ^^ Е/ ^

ше^ X :

С11 N У/^Ш^

Q3/2p1/2 ¿=1 Г-

N + 1\ п-+-2/ш

> -< ^12

у/Я ~ Q2vp

V '

Это позволяет (см. [7]) оценить погрешность при замене распределения вектора

- - о

С р + С р 1

—-— на

. распределение У^ / (X Ш¿).

/Р V- • ,

¿ 1

Окончательно получим

I / ГР 4,--1 1п Т Qma+(v+1) /ш \

Р(С- ф) = ^1пт Тт + ^+Т'^("+1) + ТТ +

(р^ + 1))- /ш + N±1 + П^+^М

(N + 1) - + ^ + Q 2-р И • 1

Далее, выберем V = уй, р

' ,1/ш3/4 "

вая, что N = 2

^(1 —2а)/(2(1 —а))

. Так как

а д - из условия (12), учиты-

Т = ад^22(-+3)/шТ-р >

Q3(v+3)/ш

мы перепишем (13) следующим образом:

р(С„, Ф) = O(n—1/(4(1—а))+1/ 4ш). (14)

Отсюда вытекает оценка

Р(СП, Ф) = ^-^ п—1/(4(1—а))+2/ ^'

\1 + в ^ у

(15)

Доказательство этого перехода аналогично доказательству леммы 5 из [7]. Мы получили (14) при выполнении условия (1) из леммы 2. При а = 0 необходимость этого условия отпадает. Т будет меньше Т-р и исчезнет интеграл л 2,

а=0

Р(СП, Ф) = O(n—1/4+1/4Ш).

Получив соотношение (15). мы тем самым доказали, что оценка (1) леммы 2 1 2

верна при а =---— и 7 = ^^. Из леммы 2 следует справедливость оценки (1),

12 12

а из условия (1) следует равенство (14) при а = 4 ——= . Подставив а = 4 ——=

в (14). имеем

p(Gn, Ф) = О ^

1/3-3/

Этот процесс последовательных приближений можно продолжить (см. [7]). Окончательно получим

Р(СП> ф) = of^-l) >

где £ = 3/-8= = > (2m)5. Теорема доказана.

□

Summary

F.G. Gabbasuv, V.T. Dubrovin. Estimation of the Rate of Convergence in the Multidimensional Central Limit Theorem for Endomorpliisms of Euclidean Space.

Let W be such a nonsingular integer square matrix of order d that | det W| > 1; fi(x) are real-valued periodic in each argument Lipschit.z-cont.inuous functions defined 011 the unit hypercube in RWe consider m-dimensional vectors (f1(xWk),..., fm(xWk)), к =1, 2,... and obtain the estimate of order O(n£-1/2) (where e is an arbitrarily small number) for the distance between the distribution of the normalized sum of these vectors and the normal distribution at all measurable convex sets from Rm.

Keywords: endomorpliisms, limit theorem, rate of convergence.

Литература

1. Леонов В.П. Некоторые применения старших семиинвариантов к теории стационарных случайных процессов. М.: Наука, 1964. 69 с.

2. Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофаптовых приближений // Труды Матем. ип-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1966. Т. 82. С. 3 112.

3. Дубровин В.Т., Москвин Д.А. О распределении дробных долей одного класса преобразований евклидовых пространств // Вероятностные методы и кибернетика. Казань: Казан, гос. уп-т, 1971. Вып. 9. С. 45 56.

4. Дубровин В.Т. Многомерная центральная предельная теорема для теоретико-числовых эндоморфизмов // Вероятностные методы и кибернетика. Казань: Казан, гос. уп-т, 1972. Вып. 10. С. 17 29.

5. Дубровин В.Т. Центральная предельная теорема для эндоморфизмов евклидовых пространств // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 2. С. 54 64.

6. Дубровин В.Т., Москвин Д.А. Центральная предельная теорема для сумм функций от слабозависимых случайных величин // Теория вероятности и её применение. Казань: Казап. гос. уп-т, 1979. Т. XXIV, Вып. 3. С. 553 563.

7. Габбасоо Ф.Г. Многомерная центральная предельная теорема для сумм функций от последовательностей с перемешиванием // Литов. матем. сб. 1977. Т. XVII, Л*' 4. С. 83 98.

8. Бикялис А. О многомерных характеристических функциях // Литов. матем. сб. 1968. Т. VIII, Л» 1. С. 21 40.

9. Садикоаа С.М. Расстояния между распределениями, связанные с их значениями па выпуклых множествах // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176, 4. С. 787 789.

10. Садикоаа С.М. О многомерной центральной предельной теореме // Теория вероятности и её применения. Казань: Казан, гос. уп-т, 1968. Т. XIII, Л' 1. С. 164 170.

Поступила в редакцию 24.03.13

Дубровин Вячеслав Тимофеевич кандидат физико-математических паук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

Габбасов Фарит Гаязович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, г. Казань, Россия.

Е-шаП: gabbasovQkgasu.ru