О многомерной предельной теореме для эндоморфизмов евклидова пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 157, кн. 1 Физико-математические науки

2015

УДК 517.95

О МНОГОМЕРНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ ЭНДОМОРФИЗМОВ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Ф.Г. Габбасов, В.Т. Дубровин, В.С. Кугураков

Аннотация

Проведено близкое к оптимальному уточнение полученных ранее оценок скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме для сумм функций от траекторий эндоморфизмов s-мерного евклидова пространства. Этого удалось достичь за счет использования асимптотических разложений для сумм независимых случайных величин.

Ключевые слова: эндоморфизм, тор, предельная теорема, скорость сходимости.

Пусть Qs - s-мерный тор. Его удобно представить как единичный куб Ks -s-мерного евклидова пространства:

Ks = {x : x = (xi, x2,..., xs), 0 < xi < 1,... 0 < xs < 1}.

Преобразование T : Qs ^ Qs, определяемое по правилу Tx = {xW} задает эргоди-ческий эндоморфизм Qs. Здесь {•} - знак дробной доли, W - невырожденная квадратная матрица, не имеющая среди характеристических чисел корней из единицы. Обозначим через mes{} инвариантную меру на Qs, которую можно отождествить с мерой Лебега на Ks.

Рассмотрим на Ks векторы

f (xWk ) = (fi(xWk), f2 (xWk),..., fm(xWk)), k =1, 2,...,

где fi(x) - вещественнозначные периодические по каждому аргументу xi, x^,..., xs функции, заданные на Ks .

Предполагается выполнение следующих условий:

1) существует такая постоянная А > 0, что

\fi(x) - My)\ < А\\х - у\1 х,у е Ks, \\х\\ = x2j ;

2) fi(x) интегрируемы по Лебегу на Ks и

J fi(x) dx

ks

0 для всех i = 1, 2, ... ,m.

3) матрица R с элементами pij ется единичной;

lim —

п^ж n

Ks

Y,fi(*Wk)Ys fj(xWk) dx k=1 k=1

явля-

25

26

Ф.Г. ГАББАСОВ И ДР.

4) матрица W такова, что

sup \\xW 1у < 1, | det W | > 1.

||ж||<1

При выполнении этих условий в [1] при m =1 была доказана центральная пре-

П

дельная теорема для сумм Sn = n-1/2^^ f (xWk) без оценки остаточного члена.

k=1

В работе [2] была получена оценка остаточного члена порядка O(ln3/4 n/nl/4'), а в [3] для одномерного случая и в [4] для многомерного случая была получена оценка O(n-1/2+e). В настоящей работе указанные оценки улучшены при выполнении следующего дополнительного условия:

5)

lim sup

II t II —n

ks

exp(~in(t^2f(xWk))) d

^n k=1

< 1,

где (t,f (xWk)) = Y, tifi(xWk), t = (t1,t2,...,tm).

i=1

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1)—5). Тогда 1 n

sup

м

mes{x : x G Ks, f (x Wk) G M} — Ф(М) = O ^lnm/4+3 n/y^n^j,

k=1

где M - выпуклые измеримые множества в Rm, Ф - стандартное m -мерное нормальное распределение.

Доказательство. Приведем оценки, которые понадобятся в ходе доказательства теоремы.

Введем величины Tj = (t/||t||, f (xWj)). Обозначим через xv(п) семиинвариант

dv

v-го порядка суммы Y Tj, то есть xv (п) = -~гр In f exp z t^) dx

j = 1 Z" Ks j=1

z=0

Лемма 1. Существует такая постоянная H, не зависящая от v, что справедлива оценка

IXv(n) I < Hv(v\)2n.

Доказательство. Имеет место соотношение (см. (1.4) из [1])

где

Обозначим

Xv (n)= ]Т S(v)(l1,...,lv),

h,...,lv = 1

- dv f / \

SCl) = да1 ...a ‘V <ВД4 dx

Ks i=1

/V

expfy^ aiTi^j dx.

Ks i=1

x

0

a\ = ...a

О МНОГОМЕРНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ...

27

Функция J(а) является аналитической в окрестности и = {а, \ai\,..., \aV\ < ео}, где ео достаточно мало. Поэтому она разлагается в сходящийся v-кратный ряд Тейлора

J (а)

Е

ki,...,ku =0

• ак

ki! • ... • ки!

ks

k

а

i

п

тk d

x.

Всюду далее через C (с индексами) будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от n, p, Q, N, v.

Набор l = (li,... ,lV), 1 < lj < n натуральных чисел назовем d-набором, если в его записи в виде вариационного ряда l\ < Ц < ... < lV имеет место неравенство 2d < max(l);+1 — ljj)) < 2(d +1). Пусть числа li,... ,lv образуют d-набор и пусть

к +

lr+i — lr > 2d. Тогда из леммы 2 работы [5] следует неравенство

Ks

П

i=1

Ък dx —

Ks

п

i=1

к d X ■

Ks

П ‘i

i=r+i

d x

< СЦ 0d

где 0 < 0 < 1.

Далее, повторяя доказательство леммы 1 из [3], получим, что при любом d-наборе (li,l2,...,lv )

S (v)(li,l2,...v )< CV 0dv!.

Можно проверить, что различных d-наборов не более чем v!n(2(d + 1))V-i. Учиты-

П

вая эти оценки и разбивая в равенстве xV (n) = Е S(v)(l) суммирование по d-наборам, получим оценку

п—1

l = 1

\ Xv(n)\ < nv! CV J2(2(d +1))V-10d < HV(v!)2n.

d=0

□

Лемма 2. Если v < C^/1/ ln l, то

ks

l

J27 (xW k)

k=1

2v

dx < C22V(lnl)VlV(2v)!.

Лемма доказывается аналогично лемме 1 из [6].

Приступим к доказательству теоремы. Пусть Q и N - растущие вместе с n натуральные числа, p = [n/(Q + N)], где [•] - обозначение целой части числа. Сумму л/n Sn запишем в следующем виде:

где

п p p

^27 (xw k) = v^E^k(x) + vQj2Уk(x),

k=1 k=1 k=1

1 kQ+(k-1)N

У k (x) = —Q E f (xW), 1 < к < P,

Q r=(k-1)(Q+N)+1 . K(Q+N)_

Vk(x) = —QQ E f (xWr), 1 < к < P.

Q r=kQ+(k-i)N+i

28

Ф.Г. ГАББАСОВ И ДР.

Обозначим

1 n -

yp+i(x) = —= J2 f(xWr),

VQ r=p(Q+N) + l p p+l

zp(x) = J2 ykzp(x) = J2 yk!(x)-

k=i k=i

Основную роль в распределении суммы Sn будет играть zp(x). Поэтому займемся оценкой распределения zp(x). Введем в употребление векторы ук(x) со следующими свойствами:

1) mes{x : x G Ks, yk(x) G M} = mes{x : x G Ks, yk(x) G M}, где M -

измеримые множества из Rm ;

p p

exP^ zp(x) I —p)'j dx = ^ exp(i(t,yjk (x)/—^f'jdx, %p(x) = ^ Tjk(x).

Ks k=1Ks k=1

Обозначим через Л матрицу ковариаций вектора yiCx). В [4] (формула (3)) показано, что элементы Л отличаются от элементов единичной матрицы на величину O(1/Q). Далее, через A обозначим такую матрицу, что AT • A = Л-1. Очевидно, что вектор Azp(x)^Jp имеет единичную матрицу ковариаций.

Положим

Gp(M) = mes{x : x G Ks, zp(x)/^/p G M}, G^(M) = mes{x : x G Ks, Azp(x)| —p G M},

fp(t) = j exp(i(t,AZp(x)I—p)) dx,

Ks

fp(t) = J exp(i(t, Azp(x)I —p)) dx,

Ks

f (t) = J exp(i(t,yi(x))) dx.

Ks

Из леммы 3 работы [2] следует, что

Далее, пусть

где

\fp(t) - fp(t)\ < C^/pjQ exp(-C5 N).

9vp(t) = exP(-\\t\?I2) ^ + E pr (it) ^ —=J j

Pr (it)= Х+Ш +

(r + 2)!

r —1 r—1 jl-1 — 1 j2 1

E •••EE

l=1 jl=l jl-l=l — 1 j2=2 j'l = 1

(r - jl)(jl - jl — 1) • • • (j2 - j1) .

rjlJl — 1 • • • j2j1

Xr—ji + 2(it)Xji—ji-i+2(it) • • • Xj2—ji+2(it)Xji + 2(it)

(r - jl + 2)!(ji - ji—1 + 2)! ••• (j2 - j1 + 2)!(j1 + 2)! Здесь Xj (it) - семиинвариант j -го порядка величины (it,Ay1 (x)).

(1)

(2)

О МНОГОМЕРНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ...

29

По теореме 1 из [7] при

<

Vp

8(hv+i(Q))1/(v+r>

= T

T v

V+1

(Q) = j \\Azi(

Ks

x)||v+1 dx,

имеет место неравенство

\fp(t) - 9vp(i)\< 3v+2

РГ+2 exp( — ||t||2/4)

rpV+1 T vp

(3)

Ниже будем предполагать, что v = O(ln n).

Теперь для оценки отклонения sup |Gp(M)—Ф(М) I воспользуемся неравенством

м

С.М. Садиковой [8]:

\Gp(M) — Ф(М)\ < C\r(m-1)/2

Il + 2V2I2 +--^=Г I3 +

T

+ 3ип(о)+2Р{||п\| > r}+4p{||£\| > о}, (4)

где п - нормальный случайный вектор с распределением Ф, £ - вектор с характеристической функцией h(t) = exp(—о2 ||t||2/2) и плотностью (2по2)-к/2 х х exp( — ||x||2/2о2);

I? =/ \\tr2\fp(t) — e-^/2\2 dt; I22 = J\fp(t) — e-t2/2\2 dt;

||t||<1

I32 =f \h(t) \2 dt; C = (2n)-m^XmS(O1); Xm = (2n)m+2 f 4 /sinm ada\ ;

m>T ' 0 *

O1 - шар единичного радиуса с центром в начале координат; S(O1) - величина поверхности шара O1; un (S) - точная верхняя грань по всем выпуклым множествам М вероятности попадания случайного вектора п в S - окрестность множества М. Выберем

T = C^y/QTvp, r = t/^^VmVlnT, о = -y/m^m+lj ^ПТ , S = or.

V e T

Поскольку из леммы 2 следует, что

m(v+3)/2 < j \\Ay1(x)\\v+3 dx < a;+3(v + 3)!(lnQ)(v+3)/2,

то

Cs^r^<Tvp < Cq^P, C1o4Q<T<C11vPQ. v ln Q v ln Q

В работе [9] оценены некоторые члены неравенства [4]:

I3 = o(4) , Cmr(m-1)/2 = O((ln T)(m-1)/4), Шг1 (S) = o( 'npj.

(5)

p (iinii> r) = р шн> o} = o(T

(6)

30

Ф.Г. ГАББАСОВ И ДР.

Приступим к оценке других членов этого неравенства. По неравенству Минковского, имеем

Ii

< Ii1 +l(2)

+1(3) + J1 ,

где

111) = ( у ш-2\1р(1)- fp()?dd) 1 ,

pn<i

112) = ( У HtH-2\iP(t) - svp(t)\2dt) 1,

Ni<i

I(3) = (/ PirVp(t) - e-ra2/2|2di)1/2.

MtM<1

При оценке I(1) используем тот же прием, что ив [4]. Для этого в неравенстве (1) положим N = [ш1 ln n], тогда I(1) = O(n-^2 p/Q). Здесь и всюду ниже через ш обозначены достаточно большие положительные постоянные.

Согласно неравенству (3) и соотношениям (5)

/р>=O з+

1 KTV+1

O

31'+2РInv Q

p(v+1)/2

Далее из леммы 1 следует, что

\Xr (it) \ = O

2 ттг \ \-L\\r

(r\)2H'

r = 3,4,...

Поэтому

Q(r-2)/2

Hr+2lr2i+2r| tilr+2l

\Pr (it)\ = O^^' Q(i+r-1)/2

i- = o( / & дат=ош

м<1

Окончательно,

Далее,

r ip 3v+2vv lnv Q 1 \

1 = |n 2VQ + p(v+1)/2 + vPq).

I2 < l21) + l2l] + I2(3),

(7)

(1) (2) (3) (1) (2) (3)

где подынтегральные выражения в I2 , I2 , I2 такие же, как в I1 , I1 , I1 ,

за исключением

(1) (3) (1) (3)

Оценки для I2 и I2 получаются аналогично оценкам для I1 и I1 :

(1)

= PpT^,P, I™ = о

ишз У Q J ’

Vpq)'

и

2

2

О МНОГОМЕРНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ...

31

Для оценки I(2) запишем

I

(2)

г \ 1/2

У lip(i) - ff^p(i)|2 dij < l221) + I^222),

1<M<T

где в силу неравенства (3)

I

(21) _

J \Ш - gvM2 di _ 0(^2^ _ о^12^^ Q)-

1<\t\<Tv,

I

(22)

2 — \ J f p(i) gvp(i)\ dt ) <

TvV<\\t\\<T

1/2

<

1/2

J \fp(i)\ dij + ^ J \gup(i)\ di) _ I[ +12.

Tvp<rn\<T Tvp<m\<T

1/2

Имеем

TvV<\\t\\<T

f p( 9

2 _X 1/2

di

P

fAT i)

2p _\ 1/2

di

TvPUfp<\t\<T^/p

Согласно условию 5) существует такая положительная константа C13, что

\f (AT i)\< e-Cl3.

Поэтому

I1 _ о((pQ)m/2e-Cl3pJ.

(3)

Так же, как при оценке I(), с учетом (5) получим, что

I2

/2fi + о(]Г

v jjrr2r||i|2r N 2 \ 1/2

TvP<\\t\\<T

(pQ)r/2

di

Таким образом,

pTm \P 1 Cv+2v\ lnv Q

I2 _ 0

'P + +

пШз у Q PpQ p(v+1)/2

Из (4)-(8) получим

sup\GA(M) - Ф(М)\_ o(ln(m-1)/4(pQ) m \

_ 0(e-Tvp/4) _ o(e-Cl4AP/(vlnQ)).

+ (pQ)m/2e-Cl3p + e-Cl^P/(u ln Q) . (8)

(pQ)(m+1)/2 p(m+3)/2Q(m-1)/2

ndi

+

nd3

+

+

CK+V lnV Q + pQ)m/, e-Ci,p + e-cu^p/(v,n Q) + 11 + (9)

p Q p Q

p

(v+1)/2

e

32

Ф.Г. ГАББАСОВ И ДР.

Полученная оценка справедлива и для sup \Gp(M) — Фл(М)|, где Фл(М) - норм

мальное распределение с матрицей ковариаций Л и нулевым вектором математических ожиданий. Поскольку элементы Л отличаются от элементов единичной матрицы на величину O(1/Q), то

sup\GP(M) — Ф(М)\ = sup \GP(M) — Фл(М)\ + O(1/Q). (10)

мм

Теперь для оценки распределения вектора

Zp(x) + zp (x) —р

1

VpQ

£/(xwk)

k=1

используем прием, описанный в [6]. Имеем

mes{x : -V/(xWk) e M} = Ф(М) + 01Ф(Мо) +

vpq

k=l

+ 02 mes{x : x e Ks, \\zp(x)JVP\\ > e} + O(sup\Gp(M) — Ф^)),

м

\0i\< 1, \02\< 1,

где Mp - e -окрестность границы выпуклого множества M.

Выберем e = N ln n/Q. Тогда, используя лемму 6 из [6], получим

(11)

mes{x : x e Ks, \z{p(x)^/p \| > e} <

m

< mes {x : x e Ks,

i=1

\z0p(x)/Vp\ > еЫт} = O

CieQ

(12)

Здесь z®p(x) - компоненты вектора zp(x).

Далее, из оценки Ф(M0) = O(2me) (формула (4.8) из [9]) и оценки (12), вытекает, что

mes{x : x e Ks, —p=^^ / (x Wk) e M}

Vpq

k=1

= ФЩ)+O( ^1пn+VpJQe-Cl6Q+sup\Gp(M)—Ф^)\

Q nU4

Выберем теперь p = [w>6 ln5 n], v = [ln n], а Q из условия

\n — p(Q + N)\ < p.

Из (9), (10), (13) имеем

1 p -

mes{x : x e Ks, V/(xWk) e M} = ФШ) + O

k=1

1nm/4+3 n

(13)

(14)

(15)

При получении (15) использовали следующие соотношения: Q = O(nJ ln5 n), N = [w1 ln n], pQ = O(n),

О МНОГОМЕРНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ...

33

Cvl++2vv lnv Q _ OfC\ln ln n21n

P

(v+1)/2

/'"'In n C15

i N ln n

Q

O

(ln5 n)1n n/2 J ^\ln n1n n/2 _

^ • (PQ)‘,,e-C“" _ O (nm'2n-C‘-n) _ O

v ln(pQ)ln Q of In3 n

VPQ V Vn

Для замены 1Д/pQ на 1Д/п в соотношении (15) используем неравенство (10),

из которого следует

'PQ _1+4Q.1-

Поэтому

1 n _ 1 n _ N n _

^/n Е f(XW ‘) _ —pQ Е f(XW) + C17 Q37^P172 Е f <xw k)

k— 1 k—1 k — 1

(xW k)

k — 1 \ г "ъ k—1

Используя неравенство Маркова и лемму 2, получим

mes < x :

C17N Yf(xwk)

Q3/2p1/2 f (XW )

k—1

> N_+1 j < C?sv(lnn)v(2v)!nv

VQ

Q2v pv

n

1

где v _ [ln n].

Это позволяет аналогично использованию (11) оценить погрешность при замене

1

распределения вектора .

pQ

погрешность имеет вид

£/ (xwk)

k—1

1

на распределение —=.

n

£f(XWk). Эта

k—1

O

N +1 C&(lnn)v(2v)! nv

—Q + Q2v pv

O

ln7/2n 1 \ y/n nU7 J

(16)

Оценки (15) и (16) приводят нас к окончательному результату.

Теорема доказана.

Так как расстояние между распределениями векторов инвариантно по отношению к невырожденным линейным преобразованиям этих векторов, то наша теорема справедлива и в случае, когда матрица R не является единичной. Дальнейшие уточнения оценок скорости сходимости в нашей теореме возможны выбором в качестве выпуклых множеств M m-мерных шаров с центром в начале координат, как в работе [10].

Summary

F.G. Gabbasov, V.T. Dubrovin, V.S. Kugurakov. On the Multidimensional Limit Theorem for Endomorphisms of the Euclidean Space.

Nearly optimal refinement of the earlier estimates of the convergence rate in the multidimensional central limit theorem for sums of functions of the trajectories of endomorphisms of the s-dimensional Euclidean space was performed. This was achieved through the use of asymptotic expansions for sums of independent random variables.

Keywords: endomorphism, torus, limit theorem, convergence rate.

34

Ф.Г. ГАББАСОВ И ДР.

Литература

1. Леонов В.П. Некоторые приложения старших семиинвариантов в теории случайных процессов. - М.: Наука, 1964. - 69 с.

2. Дубровин В.Т., Москвин Д.А. О распределении дробных долей одного класса преобразований евклидовых пространств // Вероятностные методы и кибернетика. -Казань. Казан. гос. ун-т, 1971. - Вып. 9. - С. 45-56.

3. Дубровин В.Т Большие уклонения в центральной предельной теореме для эндоморфизмов евклидова пространства // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2011. - Т. 153, кн. 1. - С. 195-210.

4. Габбасов Ф.Г., Дубровин В.Т. Оценка скорости сходимости в многомерной предельной теореме для эндоморфизмов евклидова пространства // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 2. - С. 55-66.

5. Дубровин В.Т., Москвин Д.А. Центральная предельная теорема для сумм функций от последовательностей с перемешиванием // Теория вероятностей и ее применения. - 1979. - Т. XXIV, № 3. - С. 553-563.

6. Дубровин В.Т. Большие уклонения в центральной предельной теореме для эндоморфизмов евклидова пространства // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2011. - Т. 153, кн. 1. - С. 195-210.

7. Бикялис А. О многомерных характеристических функциях // Лит. матем. сб. -1968. - Т. VIII, № 1. - С. 21-40.

8. Садикова С.М. Расстояния между распределениями, связанные с их значениями на выпуклых множествах // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 176, № 4. - C. 787-789

9. Садикова С.М. О многомерной центральной предельной теореме // Теория вероятности и её применения. - Казань: Казан. гос. ун-т. - 1968. - Т. XIII, № 1. - С. 164-170.

10. Габбасов Ф.Г. О многомерной предельной теореме для сумм ^ f (t2k) // Изв. вузов. Матем. - 1987. - № 9. - С. 26-35.

Поступила в редакцию 19.01.15

Дубровин Вячеслав Тимофеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

Габбасов Фарит Гаязович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: [email protected]

Кугураков Владимир Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической кибернетики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.