Многомерная предельная теорема о больших уклонениях для эндоморфизмов евклидова пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 2 Физико-математические науки

2014

УДК 519.21

МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЯХ ДЛЯ ЭНДОМОРФИЗМОВ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Ф.Г. Габбасов, В.Т. Дубровин

Аннотация

Для последовательности, элементы которой составлены из значений периодической по каждому аргументу непрерывной векторной функции, отображающей траектории эндоморфизмов d-мерного эвклидова пространства в m-мерное эвклидово пространство, доказана центральная предельная теорема с большими уклонениями.

Ключевые слова: предельная теорема, эндоморфизмы, большие уклонения.

Пусть W - невырожденная целочисленная квадратная матрица d-го порядка. Рассмотрим преобразование Tx = {xW}, где {•} - дробная часть числа, вектор x принадлежит d-мерному тору Qd. Обозначим через mes(-) инвариантную меру на Qd, которую можно отождествить с мерой Лебега, определенной на единичном замкнутом гиперкубе d-мерного евклидова пространства Rd:

Kd = {x : x = (xi, X2,..., xd), 0 < xi < 1, 0 < xj < 1}.

Указанное преобразование является эндоморфизмом, сохраняющим меру. Кроме того, Tx является перемешиванием всех степеней, когда среди характеристических чисел матрицы W отсутствуют числа, равные по модулю единице. При этом

П

условии для суммы У (Tk x) справедлива центральная предельная теорема [1].

k=i

Рассмотрим на Kd векторы

f (xWk) = {fi(xWk), f2(xWk),..., fm(xWk)}, k = 1, 2, 3,...,

где fi(x) - вещественнозначные периодические по каждому аргументу xi,x2,... ,xj функции, заданные на Kd. Целью настоящей работы является исследование поведения функции

Fn(r) = mes jx : x G Kd, n i/2 f (xWk) > r|

k=i

в случае, когда r растет вместе с n, то есть доказательство предельной теоремы с большими уклонениями. Здесь и далее ||ж||

\

J2x2.

k=i

В дальнейшем предполагается выполнение следующих условий. 1) Существует такая постоянная A > 0, что

\f (x) - f (y)\< A||x - yll, x,y G Kd.

16

МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА...

17

2) Функции fi(x) интегрируемы по Лебегу на Kd и J fi(x) dx = 0 для всех

Kd

i = 1, 2, .. . ,m.

3) Матрица R с элементами

Pij = J™ n f (E fi(xWk)) (E f(xWk)) dx

Kd ^k=1 ^k=1 '

является единичной.

4. Матрица W такова, что

sup \\xW-1\| < 1, | det W j > 1.

||x||<1

При выполнении этих условий в работе [2] была доказана центральная предельная теорема для сумм

n

n-1/2J2 f (xW k) (1)

k=1

с остаточным членом вида O(n-1/2+£), где е - сколь угодно малое фиксированное положительное число. Используя этот результат, можно продвинуться дальше при исследовании больших уклонений в многомерной предельной теореме.

Теорема 1. Пусть выполняются условия 1)-4). Тогда при r > 1, r = = о(и1/&/In n), для больших уклонений имеет место соотношение

Fn(r) =

2(т-2)/2Г(ш/2)

j'-’'/2^{ 1+о^))

1

где Г„,,/2>=/ »-/2-1 .

0

Доказательство. Пусть Q и N - растущие вместе с n натуральные числа, p = [n/(Q + N)], где [•] - обозначение целой части числа. Введем следующие обозначения:

1 kQ+(k-1)N

Пк = ~TQ Е f (x Wr), 1 < к < p,

XQr=(k-1)(Q+N ) + 1 . k(Q+N) _

nk = —Q E f (xWr)’ 1 < к < P - 1

XQr=kQ+(k-1)N+1

1 П -

nP = f (*W).

V Qr=pQ+(p-1)N+1

Получим, что сумма (1) разбивается на две суммы:

n P P

J2J (xw k) = vQJ2nk + vQJ2nk

k=1

k=1 k=1

Vq(Cp + cp).

18

Ф.Г. ГАББАСОВ, В.Т. ДУБРОВИН

л р л л

Далее перейдем к изучению суммы Zp ■ Обозначим /Р = 52 Fk, где /,

к = 1

щ,... ,rjp - векторы со следующими свойствами:

A) mes{x : x G Kd, /k G M} = mes{x : x G Kd, nk G M}, где M - измеримые множества из Rm;

B) / exp j jdx = П /exp ^ j jdx■

Обозначим через Л матрицу ковариаций вектора ni ■ Так же, как в работе [2], можно показать, что элементы матрицы Л отличаются от элементов единичной матрицы R на величину O(1/Q) ■

Пусть матрица A такова, что ATA = Л-1, где AT - транспонированная к A матрица. Очевидно, что вектор A/p/^/p имеет единичную матрицу ковариаций. Пусть теперь

Sp(r) = mes{x : x G Kd, \\Zp/^/P\\ > r},

Fp(r) = mes{x : x G Kd, ||AZp/VP|| > r},

Fp(r) = mes{x : x G Kd, \\A(p/^p\\ > r},

fp(t) = j exp(i( t,AZp/^p))dx,

Kd

fp(t) = J exp(i( t,AZp/^p)) dx, f (t) = J exp(i( t,ni)) dx.

Kd Kd

Приведем необходимые в дальнейшем утверждения (через С будем обозначать положительные постоянные).

Лемма 1. В условиях теоремы 1 справедлива оценка I

/II — 2v

f (xW k) dx < (Ci)2v (ln l)v lv (2v)!,

Kd k = 1

если v < С2Цl/ ln l.

Лемма доказывается аналогично лемме 1 из [3]. Лемма 2. Справедлива оценка

J exp(h, Q Kd

Q _

1/2)^dj f (x Wk) dx < C3 < <x>,

k=1

где 0 < ||h\| < еоД/ln Q, £o - достаточно малое фиксированное положительное число.

Доказательство леммы почти ничем не отличается от доказательства леммы 2 из [3].

Лемма 3. Справедлива оценка

mes (x : x G Kd, l 1/2|| f(xWk) > ^ < exp ( — С4ш/lnA l),

k=1

где A> 1/2 - постоянная, ш < С3\ДlnAl l, X1 > 0, A — A1 > 1/2.

МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА...

19

Справедливость утверждения данной леммы следует из леммы 3 [3] сведением к одномерному случаю:

mes

x е Kd

l-1/2J2 f (xWk)

k=1

> U

x

<

x : x E Kd,

1-1/2J2 fi(xwk)

k=1

>

Лемма 4. Пусть

fiv = J ||A^i||vdx, fiv = J 1ИГdФ(x),

Kd Rm

где Ф(ж) - стандартное нормальное распределение. Тогда

fiv = fiv + о(\Г V! QE-1/2 ln(x+r)v Qj, Ac > 0.

Лемма доказывается так же, как лемма 4 из [3], с применением теоремы 1 и соотношения (15) из работы [2].

Пусть £ - произвольный случайный вектор, имеющий функцию распределения F(x) и ковариационную матрицу Д. Следуя [4], обозначим

d(v) = (h(v),v) — ln R(h(v)),

где R(h(v)) = Eexp(h(v), £), h(v) = Ди + O(||v||2).

Предположим, что функция d(v) аналитична при ||v|| < vc. Разложение ее в ряд Маклорена дает

.. ОО

d(й) = ^(й, Д«) —^2 Qk (v), (2)

k=3

где Qk(v) - однородные полиномы порядка к, коэффициенты которых выражаются через семиинварианты вектора £ порядка не выше, чем к.

Имеет место

Лемма 5. Если £ = Ац1, F(x) = Fq(x) = mes {ж : x E Kd, Ац1 < x}, то

k=3

Qk (v)

< C6 llv

-i|3

/Q1/2-

при ||v| < C7/ \nn3/'2+e0 Q, где £c - сколь угодно малое фиксированное положительное число.

Доказательство. Из теоремы 1 [2] следует, что Fq (x) = $(x) + O(QE-1/2), где _

X

$(x) = l/(2nT/2jехр( — ЦуЦ2/2) dy.

-О

Далее, пусть

R1(h)

exp(h, Ащ) dx

exp(h, x) dFQ(x),

Kd

R

20

Ф.Г. ГАББАСОВ, В.Т. ДУБРОВИН

R(h) = J exp(h,x) с1Ф(х) = exp(\\h\\2/2),

Rm

K1(h) = ln R1(h), K (h) = ln R(h) = ||h||2/2.

Функция Ri(h) будет аналитической при ||h|| < Cg/ln1/2 Q, что гарантируется леммой 2. Имеем

R1(h) — R(h) = exp(h, x) d(Fq(x) — Ф(х)) =

Rm

(h, x)k k!

d(Fq(x) — $(x)) <

E

R

\\x\\k d(FQ(x) — $(x))-

Из леммы 4 следует, что

Ri(h) = R(h) + O(\\hfQE-1/2)

при ||h|| < Cg/ln2/2+e0 Q = ho.

Далее,

K1(h) = K (h) + ln = Щ\2/2 + ln (1 + ||h||3QE-1/2)

R(h)

Кроме того,

R(h)

/2 + O(||h||3/Qe 1/2) при ||h| < ho.

x exp(h, x) dФ(x) = h.

Так же, как при доказательстве оценки для R1(h), при ||h|| < ho получаем V = v( h) = —Е f xe(hx) dFQ(x) = h + O(m2QE-1/2).

R1 ( h)

Rm

2

1

(3)

(4)

Якобиан преобразования h ^ v(h) положителен при ||h|| < ho, следовательно, преобразование обратимо, и из (4) вытекает, что

h = h(v) = v + O(\\h\\2QE-1/2), если ||v|| < C9h0. (5)

Из (2), (3) и (5) следует справедливость утверждения леммы.

□

Теперь рассмотрим сумму AQp^Jp. Свойства этой суммы позволяют применить к ней теорему о больших уклонениях для независимых и одинаково распределенных векторов. По теореме 3 [4] при 1 < r < Сю^/рД/TnQ имеет место равенство

Fp(r)

(2п) m/2 J exp (p ^ Qk (ur/^p)\ds x

uen0 ' k=3 '

СЮ

x J exp( — (u,u)y2/2)ym-1dy(1 + O(r/jp)),

(6)

МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА...

21

где ds - элемент поверхности Qo = {U : ||w|| = 1}. Сужение зоны действия этого равенства происходит за счет того, что по лемме 2 производящая функция R\(h) < < то при ||h|| < еД/ln Q.

В силу леммы 4 выражение (6) можно переписать в следующем виде:

Fp(r)

1

2(m-2)/2 r(m/2)

e

r

y2/2ym-1dy (1 + O(r/^p + r3/(^pQ1/2-£))),

(7)

где 1 < r < Си min(^p/ ln3/2+e° Q,p1/6Q1/6 e).

Сделаем переход от векторов AFp/^/p к векторам AQp^p. Имеет место неравенство

fp(t) - fp( t)| < С12

exp(-C^N),

(8)

вытекающее из леммы 3 [5]. Пусть

1 =J Н^Н 2fp( t) - fp( t)?dt, J2 = J \fp( t) - fp( t)\2dt-

t||<1 1<\\t\\<T

Воспользуемся неравенством С.М. Садиковой [6, 7], которое при

T = exp(C14N/2m), b = ln T, Д = b%/ m ln T/T

(9)

запишем в виде

Fp(r) - Fp(r) | < C15 (ln T)

(m-1)/4

J1 + 2\Fij2 + t

+

+ 3 me^{x : x e Kd, r - S1 < HAC'p/^pH < r + 51}+

+ 2mes{x : x e Kd, HAC,p/^PH> b}. (10)

Далее, выбрав C14 < 2C13, оценим интегралы J1 и J2. Обозначим а = \/p/Q exp(-C13N), тогда

J

2 = J HtH-2\fp(t) - fp(t)\2 dt + J HtH-2\fp(t) - fp(t)\2 dt <

t\</a -/a<||t||<1

< C15 j dt + j adtj < C1^JQQ exp(-C13N).

\\t\\</a /a<\\t\\< 1

Здесь использованы оценка (8) и тривиальное неравенство \fp(t) - fp(t) \ < C17HtH. Применяя оценку (8), получим

J22 < Cf2 j p/Q exp(-2C13N) dt <

1<||t||<T

< C17p/Q exp(-2C13N) Tm < C18P/Q exp(-C13N).

22

Ф.Г. ГАББАСОВ, В.Т. ДУБРОВИН

Оценим остальные слагаемые в (10). Из соотношения (7) следует

mes {x : x е Kd, \\AZ/VP\\ > b} =

и

2m-2>,lrim/2) Jе-У'2У"-'** <1 + 0(Ь/УР + b3/(JpQ'n~‘)))-

mes {x : x е Kd, r - Ji < \\A(p/y/p\\ < r + =

= e-A/2 r"-i o(rSi + r/VP + r3/(VPQi/2-£)).

С учетом полученных оценок и (9) имеем

\Fp(r) - Fp(r)\ < C\9N(m-i)/4 /P/Q exp(-Ci4N/2m)+

+ 3e-r2/2rm-i0(r/^p + r3/(VPQi/2-E)) +

+ C20N(m-i)/2 exp(-Ci4N/2m) 0(1 + VN/VP + N3/2/(VPQi/2-e)). (11)

Теперь совершим переход от векторов AZp Д/p к векторам СрД/P. Нам известно, что элементы ковариационной матрицы векторов Пк отличаются от элементов единичной матрицы на величину порядка 0(1/Q). Поэтому

Sp(r) = mes{x : x е Kd, HZp/vPI > r} = mes{x : x е Kd, AZp/y/P C Mc},

где M - множество, полученное из шара радиуса r незначительной трансформацией его границы, Mc - дополнение к M.

Очевидно, что M C 0r+s, а 0r-g C M, где 0r - шар радиуса r, S = 0(1/Q). При этом

Fp(r + S) < Sp(r) < Fp(r - S).

Воспользовавшись выражениями (11) для Fp(r) и (7) для Fp(r), имеем

Sp(r)

1

2(m-2)/2 Г(т/2)

e

r

y2/2ym-idy

1 + 0(rS + r/VP + r3/(^PQi/2-£))+

+ 0(ni"-i)/4 p/Qexp(-CuN/2m) + N(m-i)/2 exp(-CiAN/2m) x

x 01 WN/VP + N3/2/(VPQi/2-E))) . (12)

Оценим вклад Cp,/\/P в правую часть формулы (12). Нетрудно получить неравенство

Sp(r + ei) - mes {x : x е Kd, \\Z°/VP\\ > еД <

< mes {x : x е Kd, \|(Zp + Z°)/VP\ > r} <

< Sp(r - ei) + mes {x : x е Kd, WZ^/VPW > ei}. (13)

Так как

"

mes {x : x е Kd, p/VPW > еД <^2mes {x : x е Kd, \Z°p/VP\ > e/y/m),

i=i

МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА...

23

где (Р = (Zip, Zip,..., Zmp), то достаточно рассмотреть одномерный случай, который изучался в работе [3] (лемма 6).

Если £\ = тшу2N ln n/Q, ш - достаточно большое фиксированное число, то

mes [x : x е Kd, \\Zp/^P\\ > £i} = 0(е-Г/2/(тш) + /p/Q e~°2lQ)

при r > 1, r = O(min(yNyTnn, —plnnln-2 N)), N = o(Q).

Используя эту оценку и соотношение (12), из (13) имеем

mes{x : x е Kd, ||(Zp + Zp)/Jp\ > r}

1

2(m-2)/2 r(m/2)

e

r

y2/2ym-1

dy x

x ^1 + O{rei + r5 + r/^/p + r3/Z/PQ1/2 e) +

+ N(m-1)/4 /P/Qr2-m exp((r2 - CuN/m)/2) +

+ N(m-1)/2r2-m exp((r2 - Ci4N/m)/2) x x 0(1 + JN/Jp + N3/2/(JPQ1/2-E)) +

+ r1-m/n“ + /p/Q r2-m exp(r2/2 - C21Q)))

Здесь использовали то, что

e-y2/2ym-1dy > C21 rm-2 exp(-r2/2).

Для r справедливы соотношения r > 1 и

r = 0(min( Jp/ ln3/2+e° Q, p1/6Q1/6-E, / N/ ln n, /p ln n ln-2 N, /Q)). Выберем N = [n1/4], Q = [n3/4 ln2 n], а p - из условия

\n - p(Q + N)| < p.

После подстановки выбранных значений в (14) получим, что

(14)

(15)

mes < x : x е Kd,

(Cp + Cp0'1)

Zp

> r =

1

при

Далее, в силу (15) 1

2(m-2)/2 r(m/2) n1/8

1 < r <0'

СЮ

f^y-d (1+opzm))

w(n) ln n J

1 n _ 1 n _ N n —

-~rJ2f (xwk ) = -pQJ2f (xwk) + C22 f (xw

Vя k=1 'fp® k=1 Q3/2p1/2

Из леммы 3 вытекает, что

xWk).

mes

x : ж е Kd,

N

Q37v^g f 'xW k >

> n-1/ 8 <

< exp

C Q3/2p1/2

22 Nn5/8 ln2 n

< exp(-C23n1/4). (16)

24

Ф.Г. ГАББАСОВ, В.Т. ДУБРОВИН

Теперь поступая так же, как и при оценке вклада Ср/\/Р в остаток формулы (12) и используя оценку (16), получаем утверждение теоремы.

Summary

F.G. Gabbasov, V.T. Dubrovin. Multi-Dimensional Limit Theorem on Large Deviations for Endomorphisms of Euclidean Space.

We prove a central limit theorem on large deviations for a sequence with elements being formed by the values of a continuous vector function periodic in each variable, which represents the trajectories of the endomorphisms of the d-dimensional Euclidean space in the m-dimen-sional Euclidean space.

Keywords: limit theorem, endomorphisms, large deviations.

Литература

1. Леонов В.П. Некоторые приложения старших семиинвариантов в теории случайных процессов. - М.: Наука, 1964. - 69 с.

2. Габбасов Ф.Г., Дубровин В.Т. Оценка скорости сходимости в многомерной предельной теореме для эндоморфизмов евклидова пространства // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 2. - С. 55-66.

3. Дубровин В.Т. Большие уклонения в центральной предельной теореме для эндоморфизмов евклидова пространства // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2011. - Т. 153, кн. 1. - С. 195-210.

4. Bahr B.von Multi-dimensional integral limit theorems for large deviations // Ark. Mat. -1967. - Bd. 7, H. 1. - S. 89-99.

5. Дубровин В.Т., Москвин Д.А. распределении дробных долей одного класса преобразований евклидовых пространств // Вероятностные методы и кибернетика. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1971. - Вып. 9. - С. 45-46.

6. Садикова С.М. Расстояния между распределениями, связанные с их значениями на выпуклых множествах // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 176, № 4. - C. 787-789.

7. Садикова С.М. О многомерной центральной предельной теореме // Теория вероятности и её применения. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1968. - Т. XIII, № 1. - С. 164-170.

Поступила в редакцию

03.03.14

Габбасов Фарит Гаязович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: [email protected]

Дубровин Вячеслав Тимофеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.