Предельная теорема для копул преобразований независимости t-распределения Стьюдента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ КОПУЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ¿-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА

© 2011 Е.А. Савинов1

В работе изучаются копулы, полученные в результате преобразования независимости (Independence Transformation) случайных векторов с распределением Стьюдента. Для схемы серий зависимых случайных величин, связанных такими IT-копулами, доказаны варианты центральной предельной теоремы. Для двумерной IT-копулы распределения Коши показано отсутствие ассоциированности.

Ключевые слова: копулы, преобразование независимости, предельные теоремы.

Введение

Математические работы, так или иначе связанные с понятием копулы, появились еще в 40-50-х годах прошлого века. Первое упоминание термина "копула" появилось, по-видимому, в 1959 г. в работе [1] и окончательно укрепилось в научной литературе в 70-80-х годах. С одной стороны (см., например [2]), копулы рассматриваются как функции, которые связывают многомерные функции распределения с их одномерными маргиналами (Sklar's theorem), с другой стороны, это просто функции распределения, чьи маргиналы равномерно распределены на отрезке [0,1].

Как известно (см. [3]), изучение копул интересно по нескольким причинам: во-первых, это способ изучения меры зависимости между случайными величинами (см. [4]), во-вторых, как отправная точка для конструирования новых семейств многомерных распределений, в-третьих, в связи с относительно новым подходом к теории марковских процессов (см. [5]).

В настоящей работе изучаются копулы, порожденные так называемыми преобразованиями независимости. Фактически первой работой, посвященной таким преобразованиям, была статья [6]. Более подробно свойства этого преобразования для негауссовских случайных величин изучались в работах [7-15]. Отметим, что рассматриваемые преобразования в случае гауссовского случайного вектора совпадают с хорошо известным линейным преобразованием ортогонализации. Как будет видно далее, случайный вектор, полученный в результате преобразования

1 Савинов Евгений Анатольевич (henrylee@dxdy.ru), кафедра теории вероятностей и математической статистики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

независимости, состоит, вообще говоря, из зависимых компонент, что приводит к задаче изучения характера и мер зависимости между ними с помощью копул.

В работе рассматриваются IT-копулы распределений Стьюдента, и для гауссов-ских случайных величин, связанных такими копулами (и в силу этого не образующих гауссовский вектор), устанавливаются различные варианты ЦПТ. В заключение на примере двумерной копулы преобразования независимости распределения Коши показано, что IT-копулы, вообще говоря, не являются ассоциированными.

Введем используемые далее обозначения. I := [0,1], u := (ui, U2,..., un) G In. Для a, b G In будем писать a ^ b, когда ak ^ bk для всех k = 1, 2,... ,n. Для a ^ b будем обозначать через [a,b] n-прямоугольник [ai,bi] x [a2,&2] x ... x [an,bn] С In. Ф(^) — функция стандартного гауссовского распределения.

Введем необходимые определения. Определение 1. Пусть H : In ^ I, a, b G In, B = [a, b] - n-прямоугольник в In. H-объемом n-прямоугольника B будем называть разность порядка n функции H на B

Vh (B) = дЬн (t) = да-1... Kl К1! H (t), (1)

где разность первого порядка определяется как

H (t) = H (tb . . . , tk-1, bk, tk+1, . . . ,tn) — H (tb . . . , tk-1, ak ,tk+1, . . . ,tn).

Определение 2 (Copula). Функция C : In ^ I называется n-копулой, если она обладает следующими свойствами

1. Для каждого u G In

C(u) = 0, если U1U2 ••• un = 0.

2. Если все координаты u кроме Uk равны 1, то

C (u) = Uk.

3. Для всех a и b из In таких, что a ^ b

Ve ([a, b]) > 0.

Как известно, копула связывает многомерную функцию распределения с одномерными маргинальными распределениями (см., например [2]). Теорема 1 (8к1аг). Пусть Н — совместная п-мерная функция распределения с одномерными маргиналами ¥1,...,¥п. Тогда существует п-копула С : 1п ^ I такая, что Ух € М"

Н(х) = С №1), ¥2(х2),..., ¥„(х„)). (2)

Если к тому же одномерные распределения ¥1 непрерывны, то такая С единственна.

Обратно, если С п-копула, ¥1,...,¥п — одномерные функции распределения, то функция Н, заданная формулой (2), является п-мерной функцией распределения с маргиналами ¥1,. ..,

1. ХТ-копулы

Рассмотрим на вероятностном пространстве (П, В, Р} случайный вектор Хп = = (XI,..., Хп) с абсолютно непрерывной функцией распределения ^ (ж1,...,жп). Введем семейство условных функций распределения

1 ...1...п(хг |х1, . . . , хг, . . . , хп)

случайной величины Xг относительно системы случайных величин

Х1, . . . , Хг, . . . , Хп,

где " — знак пропуска элемента. Будем рассматривать "двойственные"случайные величины

Xi,n = 1...1...П (Хг |Х1, . . . , Xi, . . . , Xn).

Говорят, что случайная величина Х*п получена в результате преобразования независимости случайной величины Хг. Термин преобразование независимости объясняется тем, что случайная величина X* п оказывается стохастически независимой

относительно системы | Х1,..., Хг,..., Хп |.

Лемма 1. Функция распределения случайного вектора (X* п,.. ., ХП п) является копулой.

Доказательство. Определение 2 проверяется непосредственно.

□

Определение 3. 1Т-копулой случайного вектора Хп = (Xl,...,Xn) с абсолютно непрерывным распределением будем называть функцию

С*п (и) = Р^п < «1,..., xn , п < Ип}.

Замечание 1. Отметим, что копула случайного вектора Хп = (Xl,...,Xn) с абсолютно непрерывным распределением будет, в силу теоремы 1, иметь вид

СХ (и) = Р (Л^) < И1, . . . , К^п) < Ип} ,

где = P{Xj ^ ¿} — функции распределения компонент вектора Хп.

2. Предельная теорема для ХТ-копул Стьюдента

В этой части мы будем рассматривать последовательности 1Т-копул стьюден-товских случайных векторов. Мы покажем, что для схемы серий гауссовских случайных величин, связанных такими копулами, имеет место центральная предельная теорема.

Предположим, задано измеримое пространство (Н, В(Н)}, где Н — вещественное сепарабельное гильбертово пространство со счетным ортонормированным базисом (ег}°=1, борелевской а-алгеброй и скалярным произведением (•, •}. Будем рассматривать на нем счетно-аддитивную меру Стьюдента с г степенями свободы ц с характеристическим функционалом

сю

(у) = у"ехр|-2<Ву,у>|3г(*) у € Н, (3)

о

где В — линейный самосопряженный положительно определенный ядерный оператор с собственными векторами {е^}?^,

ГТ/2 ( г

9т (*)= /о , , ^-г/2-1 ехр<^--I, ¿> 0. (4)

УгУ > 2т/2Г(г/2) I 24 / ' ^

Выберем {/&} — произвольный ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н и будем рассматривать на вероятностном пространстве {Н, Б(Н),^,} случайные величины X^ = (• ,/¿). Заметим, что случайные векторы Хп = = {Х1,...,ХП} имеют распределения Стьюдента с характеристическими функциями

'Фl...n{Уl,...,Уn) = J exp i- - ^ ViVj (BnfiJj }gr (i) dt, (5)

t

x yiyj (BnJifj }

0 ^ i-j = 1

где Bn = nnBnn, in — ортопроектор H ^ Hn = span{fi,..., fn}.

Теорема 2. Пусть Xn = {Xi, X2,. .., Xn}, n = 1,2,... семейство стьюден-

товских случайных векторов на {H, B(H),^,}, определенное выше. Рассмотрим

|X(n)| n , n = 1,2,... — схему серий случайных величин, заданных на некотором вероятностном пространстве {По, Во, Po} и имеющих совместные функции распределения

Po{ X(n) < xi,...,Xnn) < x^ = CXn ($(xi),..., Ф(хп)) .

Тогда если

lim — УУ-1 <B-1/i,fjl >- = а2, (6)

n^oo R-1f. f. ^ f. ^U/2 ' W

"1^EXi(n) - N (0, а2), n(7)

n

i=1

Отметим, что условие (6) выполнено не всегда. В приведенном в конце статьи примере 1 рассмотрена такая мера Стьюдента с характеристическим функционалом (3), для которой! условие теоремы 2 не выполняется, но выполняется

Теорема 3. Пусть |х(п)| ^ , п = 1, 2,... — схема серий случайных величин из

теоремы 22. Тогда если

Ит— ^^_< В-1/,/з >_= а2 (о)

п2 ¿^ [< В-// >< В-1/,, /, >]1/2 , ( )

то

1 п

1 ^х(п) Л N(0, а2).

¿=1

то

3. 1Т-копула распределения Коши

Предположим теперь, что на измеримом пространстве {Н, В(Н)}, где Н — вещественное сепарабельное гильбертово пространство со счетным ортонормирован-ным базисом {е^}°=1, борелевской а-алгеброй и скалярным произведением (•, •),

задана эллиптически-контурированная а-устойчивая вероятностная мера ^а с характеристическим функционалом

Ф,

,(у)=ехр{-<Ву,у)а/2} , у € Н,

(9)

где В, как и выше, линейный самосопряженный положительно определенный ядерный оператор, с собственными векторами {е^: Ве^ = А2А2 < то.

Теперь в качестве компонент вектора Хп будем рассматривать величины Х^ = = <•, е^). Таким образом векторы Хп относительно меры ца будут а-устойчивы с характеристическими функциями

^1...п(у1, ... ,Уп) = ехр

/2

—

22

А2 у

(10)

Для схемы серий ^ , п = 1,2,..., порожденной такими устойчивыми

случайными векторами, сформулированная выше теорема 2 была доказана ранее в [14], а еще ранее (см. [13]) для распределений Коши (а = 1). Также в [14] показано, что в этом случае (когда Хп — векторы Коши с характеристическими функциями (10), где а = 1) случайные величины х( ),..., хП ) зависимы (т. е. копула ,м„) не является копулой-произведением).

Кроме того, что случайные величины в предельной теореме являются зависимыми, было бы интересно выяснить, какова природа такой зависимости. Интересно, в частности, не являются ли указанные случайные величины ассоциированными, для которых достаточно хорошо известны результаты, связанные с центральной предельной теоремой (см., например [16; 17]).

Напомним определение асоциированности, используемое в работе [17]. Определение 4. Пусть |Х4, £ € Т} — семейство действительных случайных величин, заданных на некотором вероятностном пространстве (П, В, Р) и параметрическом множестве Т. Это семейство называется ассоциированным или положительно зависимым, если для любых конечных множеств I, 7 С Т

со*(/(Х^ € I),д(Х^ € 7)) > 0

для всех покоординатно неубывающих функций / : М111 ^ М, д : М^1 ^ М, для которых ковариация определена (|11 обозначает число элементов конечного множества I).

Теорема 4. Если Х2 = (Х1,Х2) — случайный вектор Коши, заданный характеристической функцией

^12 (у1, У2) = ехр

1/2

- А?у2 + а2 у2

(11)

тогда копула Сх («,«) не является ассоциированной.

4. Доказательства теорем

Прежде чем доказывать теорему 2, введем необходимые дополнительные обозначения и сформулируем вспомогательные результаты.

В дополнение к уже введенному семейству ортопроекторов {пп}, следуя [8], будем рассматривать на Н еще одно семейство ортопроекторов {пп^}: для Н = = < Н, / > / определим

п

Пп»Н := ^ < Н, / >/ь п = 1, 2,..., 1 < г < п.

й=1,й=г

Аналогично [8] введем обозначения для следующих квадратичных форм: вП := 4(Н) = 1 ((ппВпп)-1 ПпН,Ппн

:= sn(h) = n((^nBnn) 1 nnh,nn^ , •4 i := 4 i(h) = ((nn,iBnn,i)-1 nn,ih, .

n1

n - 1

«с := sTO(h) = lim s^h), Г := {h e H : 0 < sTO(h) < .

n—

Обозначим через гауссовскую меру на {H, B(H)} с ковариационным оператором B. Также введем (не отмечая особо зависимость от r) обозначения

П := —, (12)

«С

Ci'n := Ci'n(h)= «с[< (nnBnn)-1/i,/i >] 1/2 , г =—..n, (13)

A(n) :=J " + Г -23/22 - 1, B(n) :=./ 2 n +Г ~ — /2 - 1, (14) у rn2 + nsn/sc у rn2 + (n - 1)sn,i/sco

,(n) \

Ufn) := Ci,nl ^ - 1 |.

X(

i,n

В дальнейшем нам понадобятся следующие результаты, полученные в [8]: 10.

пвП - (п - 1)вП,г = (15)

20. ^-п. н.

«П Л ^ п (16)

30. Ув > 0 -п. н.

вП л в2, п л то. (17)

Для доказательства теоремы сформулируем следующий вспомогательный результат

Лемма 2. Если ортонормированный базис {/} обладает свойством 1 < (ппВпп)-1/*,/, >

lim ^VV_< Ji,Jj >_ = а2 (18)

n—c n = — [< (nnBnn)-1/i,/i >< (nnBnn)-1/j,/j >]1/2 , ( )

i—1 j —1

то имеют место следующие результаты:

n

10 -n Е Zi,n - N(0, а2). (19)

i—1 n

20 Е Zi,nA(n) - 0. (20)

i—1

30 ^ Е - 0. (21)

=1

4

0 1

¿=1

ТП Е <^,„1{а,„^0} [в(п) - А 0. (22)

м

Доказательство. 10. Сначала покажем, что относительно меры м случайный вектор С,п = (&,„,-., С„,„) гауссовский, его компоненты, вообще говоря, зависимы и являются (0,1)-гауссовскими случайными величинами, а матрица ковариаций (корреляций) этого вектора состоит из элементов

(Л , ) = _< (ппВпп)-1/г, >__(23)

^¿'„^) = [< (П^)-1/^ >< (п„ВП„)-/,/ >]1/2 . (23)

Действительно, введем случайные величины

С .= , = < (ПпВП„)-1/,, Н > . = _ [< (П„ВП„) /¿,/ >]1/2

и рассмотрим функцию распределения случайного вектора £ „ относительно меры м

сю

М (С1,„ < М1,. .., С„,„ < «„} = J М2 В (С1,„ < М1, .. ., С„,„ < «„} 2в5г (в2) ¿е.

0

Далее ввиду (17) выполняется м2 В = в} = 1, тогда

М {С1,„ < «1,..., С„,„ < и„} =

М2 В {С1,„/в < «1,... ,с„,„/в < «„} 2в#г(в2) ¿в.

0

Заметим, что — линейные непрерывные функционалы на Н и

м2 В {С1,„/в ^ М1, .. ., С„,„/в < «„} = МВ {С1,„ ^ М1,. .., С„,„ < М„| так как равны соответствующие характеристические функции:

ехр ^ -/

\ ¿=1 ¿=1 I

= ехр | - ^В ^ ^¿¿,„, ¿^ Таким образом,

М {С1,„ ^ «1,..., С„,„ < «„} = МВ {С1,„ ^ «1,..., С„,„ < «„} .

Значит, распределение случайного вектора С,„ относительно меры м совпадает с распределением вектора С,„ относительно меры мВ. Поскольку вектор С,„ относительно меры мВ гауссовский с нулевым вектором средних (это следует из того, что его компоненты — линейные непрерывные функционалы на Н), то таковым является и вектор £-,„ относительно меры м. Кроме того,

^((¿,„, (,',„) = (Сг,„, 0,„). (24)

Как известно,

СО«2(&,п,С,>) = ^ВС4,п, С,,п) =

= < В(ПпВПп)-1/», (ПпВПп)-1/ >

= [< (ПпВПп)-1/,,/, >< (Пп ВПп)-1/,,/, >]1/2 . Рассмотрим числитель и установим тождество

< В(ПпВПп)-1/г, (ПпВПп)-1/, > = < (ПпВПп)-1/;,/, > .

Для этого обозначим

Н := (ппВпп)-1/, € Нп, 9 := (ппВпп)-1 /, € Нп

и проведем следующие вычисления:

Впп9 = В9 = Ё Л? < 9, е, > е, = Ё Л'

¿=1

пп

ппВпП9 = Ё Ё < 9, >

¿=1¿=1

Поскольку ппВпп9 = /,, то

¿=1

£ <9/ ></

>< е, >

Ё Л2 <л,е, ><е/ >

,=1

(25)

(26)

Ё < 9,/ > = ¿¡¡¡,,,

где

Ё Л2 <Л,е5 ><е,>. ¡=1

Теперь вычислим

I ?

<ВН,9>= ( £ Л

Ъ'=1

Ё < ^ / >< & е, >

¿=1

п

, - ^ ^ < 9, Ут > Ут

т=1 I

ЁЁ < Н, / >< 9, /т > а,т = Ё < Н, /

>

Ё <9,/

> а,

= Ё < Н / > =< Н, >

¿=1

что и является тождеством (26). Из (24)-(26) следует (23). Очевидно, каждая сумма

1

¿п — ,— / .

ч /п.

также гауссовская с нулевым средним. Вычислим дисперсию $п.

1 А А < (ПпВПп) 1// >

^п = ¿ЁЁ

[< (ПпВПп)-1// >< (ПпВПп)-1/,,/, >]1/2'

¿=1 ,=1

Тогда из (18) следует, что последовательность характеристических функций случайных величин £п сходится к х.ф. распределения N(0,а2), что и влечет сходимость (19).

е

20. В силу (16) м-п. н. 0 ^ 0. Выберем произвольные е > 0, С > 0.

Тогда

М

>е} = мЦ^А^ > е, |5„| > с} +

+м{|5,„А(„)| > е, |5„| < с} < м{|£„| >С} + м{|а( Тогда с учетом сходимости (19) имеем

>е

Иш м '

{ 5„А(п) >е} < 2Ф (—С)

Переходя к пределу по С — получаем сходимость (20). 30. Используя (15), получим

п + г — 1

гп2 + (п — 1) ^„.¿/вСо

1

п + г — 1 1

гп2 + .п

Е М \/1 +

с2

гп2 + (п — 1)s„,¿/sCo

— 1 + (27)

+

I п + г — 1 — Л ^ ^

гп2 + пв„/вС ) V™ ¿=1 ¿,п

В силу (16), М-п. н.

п + г -1

1, п .

у гп2 + пв„

Тогда аналогично сходимости (20) доказывается сходимость

1 у гп2 + пв„/в Рассмотрим случайную последовательность

п + г — 1 — И ^ у £„ — 0.

,2 + пе2 / с2 / + [п * ,

1

^ := 77пЕМ\/1 +

с|

2 ¿,„

гп2 + (п — 1)в„ ¿/С2

1

Следующее обозначение нам понадобится при доказательстве п.40:

-А.

1

¿„+ := .=Е Л Л +

с;

2

¿=1

гП2 + (п — 1)в„,;/вС

Используя неравенство Бернулли 1 + а ^ %/ 1 + 2а, получим

,3

3

О 1 ^ о ^ 1 ^_|С»,„|_ , 1 ^ |С

(28)

(29)

¿=1 гП2 + (п — 1)в„,г/вС — 1) в„,;/вС

<

<

lnl,¿/sC • 2.п(п — 1) ¿=1 |а,„|3 .

Рассмотрим первый множитель. Ввиду (15)

п — 1 2 2 2 2 1 2 - т.™ «„^с = в„/вс — - тах '^п.

(30)

Поскольку

и

1 { 1

м {С-п < и} =

0

п ?

м {п 1ттаХп>4 ^ Ём {с- >£п} = ТП / : е"/2^ ^

то

<

сю

[ е_4/2^ = ^2пе-£п/2 Л 0 } V П£

2П

В силу (16) из (31) и (32) следует, что

0, п .

п1

тогда

Наконец

п 1^<п 1

2 /2 М -1

т.1? ^^ л 1, п л то

т.™ «^¿ЛСо

1, п .

1 А I3 ^ I ^ пЕ |^1,п| пУ 2 п (ОЛ\

^^-ТТ Ё ^¿,п! >еГ ^ о Г( Л \ = -ГТЛ 0 (34)

2^/п(п — 1) 2е^/п(п — 1) ^Пп(п — 1)

72

. (п — 1) ¿=1 ,

при п л то. Таким образом, из (30), (33) и (34) следует, что

|5п I -м 0, п —> то.

Теперь из (27)-(35) вытекает (21). 40.

1

^п :— ,— /

ч /Г). '

¿=1

В(п) _ А(п)

7г Ё с.,п1

п + г — 1

п + г — 3/2

/п ¿-1 ' ^ . и гп2 + (п — 1)«п^/вЮ V гп2 + п«п/в

I п + г — 1

гп2 + п«п/в2о

тип Ё C¿,nl{Ci,n>оЛ \/1 +

С2

¿,п

(32)

(33)

(35)

гп2 + (п — ФПУ5?

— 1 +

+ 1 — < 1 —

2(п + г — 1)

4= Ё ^¿,п1

ч /Г). '

К| <

I п + г — 1

гп2 + п«п/вС

¿п+ + 1 ^ 1 —

2(п + г — 1) ) • 7пЕ^п1{С^0}

Заметим, что из доказательства п.30 следует

£п+ Л 0, п л то.

(36)

п

3

1

х

X

Далее, в силу неравенства Чебышева, Ve > 0

М 11 -

2(n + r - 1)1 ^ 5 >4 ^

<

2e^(n + r - 1)(1^1 - ЩП+Ь))

—^ 0, n —> oo.

Наконец, из (28), (36), (37) и (38) следует (22).

(38)

□

Доказательство теоремы 22. Без ограничения общности можно считать, что вероятностное пространство {По, Во, Ро} есть {Н, В(Н),м}, и

X(n) — Ф-1 (X*J . Разобьем сумму в формуле (7) на два слагаемых

(39)

1

=Е x(n)

. 1П Е

(n)

Ci.n

1

1

+ ^ / У Ci,n. n

v i=1

Учитывая п. 10 леммы 2, для доказательства справедливости утверждения теоремы достаточно (см. [18, с. 111]) показать сходимость по вероятности

. 1П Е Zi,n

X

(n)

Ci.

1

0,

n.

(40)

По аналогии с работой [19] можно показать, что в случае рассматриваемой меры Стьюдента, условные функция распределения, порожденные проекциями этой меры на подпространства врап{/1,...,/„}, имеют вид

Fi| 1...1...П (Xi |X1, . . . , X . . . , Xn) —

1 1 B V nsn +r

(n-1)sn,i+r . n+r-1 1

2

, 2) , ((nnBnn)-1/i,h) > 0

2В(; »+Т1, 2), ((п„ВП„)-1Л,Н> < 0,

где ; а, в) — бета-распределение.

Воспользуемся известной оценкой (см. [19]) для бета-распределений

(41)

1 - Ф

1 ^ < 1В ^ nu

и I ^ 2 V 1+ nu' 2' 2

n1 -, - < 1 - Ф

1 + nu

(42)

Из формул (39), (41) и (42) с учетом обозначений (12) и (13) получим

In + r - 3/2 Xi

rn2 + nsn/sTO ^ Ci,

(n)

<

n + r - 1

rn2 +(n - 1)sn,i/s

2

Используя обозначения (14), и оценки (43) для любого г = 1, 2, лучить неравенства

(43)

. нетрудно по-

n - 2

Складывая эти неравенства и суммируя по г, будем иметь

1

1

./пХЖ^ + 1

¿=1

<

¿=1 1

А(п) _ В(п)

<

(п)

<

В(п) _ А(п)

.. п .. п

^ ¿=1 ^ ¿=1 { , } Переходя к пределу в этом неравенстве в силу п.

20, 30, 40 леммы 2, получаем

(40).

□

Следствие 1 (из теоремы 2). Пусть ап — последовательность положительных чисел такая, что ап ^ +то. Если для некоторого распределения V

1

ап г-^

¿=1

V,

(44)

а—V х

(п) й

V.

(45)

Доказательство. Очевидно, п. 20, 30 и 40 леммы 2 для сумм, нормированных числами ап, выполняются, и, следовательно, повторяя доказательсто теоремы, можно показать выполнение сходимости

-Е ск.

п ( ^

X.(

(п)

1

0, п —> оо.

□

Доказательство теоремы 3. В обозначениях леммы 2 соотношение (8) означает, что

Я(5п/-П) ^ а2,

1 V Ск,п - N(0, а2),

п -^

¿=1

что вместе со следствием 1 и доказывает теорему.

□

Прежде чем перейти к доказательству теоремы 4, введем нужные обозначения и сделаем несколько замечаний.

Без ограничения общности можно считать, что вектор Х2 = (Х1,Х2) задан на вероятностном пространстве {Н, Б(Н),^1}, где — мера Коши, заданная функционалом (9), X¿ = (•, e¿), г = 1, 2.

Следуя работе [19], введем функционал (ж) и множество сходимости Г :

2

( ж

(ж) := Иш — У^

п

(ж, e¿)2

п^то п ^—' Л2 ¿=1 1

Г := {ж € Н : 0 < (ж) < то}.

то

п

С

п

то есть

В работе [19] установлено, что ^{Г} = 1. Будем предполагать, что все вводимые далее случайные величины заданными на множестве Г и для краткости опускать аргумент ж. Обозначим

(ж, е,Л 1

6 := лкежу ■ п = ^ ■ г = 1,2..........(46)

Как показано в работах [9; 19], введенные случайные величины обладают следующими свойствами:

1) относительно меры система случайных величин

п2,61 ,...,6п ,..., (47)

независима;

2) случайные величины 6 имеют стандартное гауссовское распределение

М1 {& < и} = Ф(и), V; € М; (48)

3) плотность распределения случайной величины (ж) имеет вид

д(и) := {вто(ж) < и} = и 2е 1/2и

аи V п

Заметим также, что из последнего соотношения следует, что случайная величина п2 = в—2(ж) является квадратом (0,1)-гауссовской случайной величины с плотностью распределения

рп2(м) = —= е_и/2, и > 0. (49)

V 2пм

Доказательство теоремы 4. Воспользуемся известным представлением условных функций распределения п-мерного распределения Коши (см. [19]) с помощью бета-распределения В(-; •, •) (см. [20, с. 47]). Именно условные функции распределения каждой компоненты вектора Х2 относительно другой имеют вид

^1|2(ж1|ж2) =

1 (ж2 |ж 1) =

1 - 2 В

2 в 1 - 2 в 2 в

1+х2А2 ; , 1

1+*2Л2+*2Л2 ;1,2

1+х2/л2 ; 1 1 1+*2Л2+*2Л2;1, 2

1+ж1/А2 ; 1 1 1+х?/Л? + х2/Л2 ;1,2

1+Х2/Л1

;1,1

ж¿ > 0, x¿ < 0.

ж¿ > 0, ж¿ < 0.

(50)

(51)

ч1+х1/Л2+Х2Д2' ^ 2,

Из определения функции В-распределения (см. [20, с. 47]) легко видеть, что

в (ж;1, ^ = 1 - —1—ж.

(52)

Из (50) и (51), с учетом (52) и обозначений (46), получим

F¿|з_¿(X¿|Xз_¿) = 1 I 1 +

6

21 ^ + 62 + 62

г = 1, 2.

В силу (47), (48) и (49) существует случайная величина 6з такая, что 6з = = 1/вто(ж), и (61,62,63) гауссовский вектор с независимыми (0,1) компонентами. Таким образом

х;,2

1+

762 + 62 + 63

1, 2.

Теперь покажем, что случайные величины Х*2, г = 1, 2 не являются ассоциированными. Рассмотрим неубывающие функции

/ (х) = £(х) = (2х — 1) 1[о,+с)(2х — 1), С(х) = (2х — 1) 1(-с,о](2х — 1).

Нетрудно видеть, что

со/Х1>) ,3(х212))

(/ (хЩ) ,С (х212))

1 1 > 0,

- — -

6п 64

1 1 < 0.

- — —

64 6п

□

Пример 1. Рассмотрим пример, приведенный в работе [8].

В пространстве Н с о.н.б. {/„}СС=1 введем бесконечное семейство конечномерных подпространств:

Н(2к-1,2к+1-2) = врап{/2ь-1, .. ., /2^+1-2}, к =1, 2, ... .

В каждом из этих подпространств рассмотрим конечномерные операторы

В(к) : Н(2к-1,2к+1-2) — Н(2к — 1,2к+1 —2),

задаваемые в базисе {/„} (п = 2к — 1,. .., 2к+1 — 2) трехдиагональными симметрическими (2к х 2к)-матрицами:

В,

(й)

22к

2 —10 -1 2 -1

000 000

000 000

-1 2 -1 0-12

к = 1, 2,....

Зададим оператор Во : Н — Н в базисе {/„}СС=1 с помощью блочно-диагональной

бесконечной симметрической матрицы

Во = ¿га3[В(1),В(2),...,В(к),...].

Оператор Во ограничен, положительно определен и является ядерным. Далее будем считать, что п = - 2, тогда

п„Воп„ = ¿га3[В(1),В(2),...,В(к)];

(п„Воп„)-1 = ^[(В^)-1, (В(2))-1,..., (В(к))-1];

(В(г))-1 = 221

ш1п(г, в) —

о

гв

21 + 1

= 1,..., 2\ 1 = 1,...,к.

Тогда

Иш ^ V V ■

„—>-пп Г)2 г ^ < ^

< (п„Воп„) 1/г,/ >

п2 ¿=1 [< (п„ВоП„)-1/г, /г >< (п„ВоП„)-1/, / >]1/2 А^с

Иш й, (53)

где

21 21

к :=

4(2к — 1)2

Е(ЕЕ

г=1 \г=18=1

21 + 1' 21 + 11 21 + 1 21 + 1

1

о

г, в

1

г

в

г

в

X

21 + 1

1 -

21 + П21 + 1

1

21 + 1

-1/2N

Обозначим двойную сумму в круглых скобках через е;. Рассматривая, аналогично [8], двойной интеграл от квадрата корреляционной функции броуновского моста как предел интегральных сумм, получим при I ^ то

1 1

Cl

(21 + 1)2 Тогда для l > Le

откуда следует, что

—> I =

min{x, y} — xy 7^(1 - x)y(1 - y)

dxdy = -(n2 — 3).

0 0

(21 + 1)2 /(1 — e) < c < (2г + 1)2 I(1 + e),

lim D k = lim ——,--7

k—œ k k—œ 4(2k — 1)

■Е(2г + 1)2.

l=1

Вычислим

I

lim D ь = lim . , .„

k—œ k k—>œ 4(2k — 1)2

_(22fc — 1) + 4 (2k — 1)+ k

= I/3=12(n2 — 3).

Таким образом в силу теоремы 3 в случае, когда мера Стьюдента задана оператором В0, выполняется

1

-^if) A N(0, a2),

i=1

где a2 = (n2 — 3)/12.

r

r

s

s

x

Литература

[1] Sklar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges // Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. 1959. V. 8. P. 229-231.

[2] Nelsen R. An Introduction to Copulas. Second Edition. New York: Springer, 2006.

[3] Fisher N.I. Copulas / S. Kotz, C.B. Read, D.L. Banks (eds) // Encyclopedia of Statistical Sciences, Update. V. 1. Wiley; New York, 1997. P. 159-163.

[4] Schweizer B., Wolff E.F. On nonparametric measures of dependence fo random variables // Ann. Statist. 1981. № 9. P. 879-885.

[5] Darsow W.F., Nguyen B., Olsen E.T. Copulas and Markov processes // Illinois J. Math. 1992. № 36. P. 600-642.

[6] Rosenblatt M. Remarks on multivariate transformation // Ann. Math. Stat. 1952. V. 23. P. 470-472.

[7] Шатских С.Я. Об одном варианте преобразования независимости // Теория вероятн. и ее примен. 1992. T. 37. Вып. 4. C. 815-816.

[8] Шатских С.Я. Усиленный закон больших чисел для схемы серий условных распределений эллиптически контурированных мер // Теория вероятн. и ее примен. 2005. T. 50. Вып. 2. C. 291-312.

[9] Шатских С.Я. Устойчивые эллиптически контурированные меры в гильбертовом пространстве: асимптотические свойства условных распределений // Изв.РАЕН. Серия МММИУ. 1999. T. 3. № 3. C. 43-81.

Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи. М.: Радио и связь, 2003. 229 с. Горячкин О.В., Шатских С.Я. Метод анализа независимых компонент на основе преобразования независимости // Доклады РАН. 2004. T. 398. № 4. Кнутова Е.М., Шатских С.Я. Асимптотические свойства условных квантилей для одного класса симметрических распределений // Теория вероятн. и ее примен. 2006. T. 51. Вып. 2. C. 374-382.

Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями а-аддитивной меры Коши // Вестник СамГУ. 2005. № 6(40). С. 51-59.

Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями проекций устойчивой меры на гильбертовом пространстве // Вестник СамГУ. 2007. № 9/1. C. 121-127.

Савинов Е.А. Асимптотические свойства конечномерных условных распределений сферически-симметричных мер на локально выпуклом пространстве // Известия вузов. Сер. Математика. 2005. № 3. С. 71-78.

Dedecker J., Doukhan P. et al. Weak Dependence: With Examples and Applications// Lecture Notes in Statistics. 2007. № 190. 318 p. Булинский А.В., Вронский М.А. Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. № 4. C. 999-1018.

Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1986. 328 c.

Shatskih S.Ya. Asymptotic properties of conditional quantiles of the Cauchy distribution on Hilbert space // Journal of Math. Sciences. 1999. V. 93. № 4. P. 574-581.

Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. 910 с.

Поступила в редакцию 22/X/2011; в окончательном варианте — 22/X/2011.

LIMIT THEOREM FOR INDEPENDENCE TRANSFORMATIONS COPULAS OF STUDENT'S t-DISTRIBUTION

© 2011 E.A. Savinov2

In the paper we study copulas obtained as a result of independence transformation of random vectors with Student's t-distribution. For the triangular scheme of dependent r.v. connected by such IT-copulas central limit theorem is proved. In addition, it is shown that two-dimensional IT-copula of Cauchy distribution is not associated.

Key words: copulas, independence transformations, limit theorems.

Paper received 22/X/2011. Paper accepted 22/X/2011.

2Savinov Evgeniy Anatolievich (henryleeSdxdy.ru), the Dept. of Probability Theory and Mathematical Statistics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.