Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для совместных распределений части характеристик случайных двоичных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(18)

УДК 519.214

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЧАСТИ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ДВОИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

К. Н. Панков

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники

и автоматики, г. Москва, Россия

E-mail: k.n.pankov@gmail.com

Исследуется предельное распределение векторов, состоящих из части спектральных и автокорреляционных коэффициентов и весов подфункций линейных комбинаций координатных функций случайной двоичной вектор-функции. Получены теоремы об асимптотической нормальности этих векторов с оценкой скорости сходимости. Получены сравнения, которым должны удовлетворять координаты этих векторов.

Ключевые слова: случайное двоичное отображение, локальная предельная теорема, закон больших чисел, автокорреляционные коэффициенты, спектральные коэффициенты, веса подфункций.

Введение

Согласно [1], в устойчивости современных блочных и поточных шифрсистем к различным методам анализа значительную роль играют свойства используемых в них двоичных вектор-функций или S-Ьох’ов. В работе [2] доказано, что многие важные свойства двоичного отображения f, такие, как максимальная нелинейность, корреляционная иммунность, устойчивость, сводятся к обладанию этими свойствами всеми ненулевыми линейными комбинациями координатных функций f, называемых в [3] компонентными функциями или компонентами. Свойства же компонент могут быть выражены в терминах их коэффициентов Фурье — Уолша — Адамара (спектральных коэффициентов), весов подфункций и автокорреляций.

Для произвольных подмножества I = {ii,... , i|i|} множества {1,..., n} и непустого подмножества J = {ji,... , jj|} множества {1,... , m} через wJ (f) обозначим вес

(f^i’"',1j подфункции f J)1’"'’1i компоненты fJ = fj1 ф ... ф fj|J| отображения

/ = (/і,... ,/т) Є Вт, получаемой, если у аргумента функции /J значения координат с номерами іі,... , і|і| положить равными единице. Под |11 понимается мощность множества I.

В таких же условиях для компоненты /J можно определить спектральный коэффициент Фурье — Уолша — Адамара

Р J (/) = 1 ^ (— ]_)^ (х)фХг! ® . . . ©Хгц

2 хЄУп

и автокорреляционный коэффициент (автокорреляционную функцию, автокорреляцию)

^ (/)= ^ ( — 1)^(х)Ф^(х®е1) хЄУп

где в/ Е УП — двоичный вектор веса |11, в котором единицы стоят на *1,... , *|/| местах,

1 = 0.

Многие свойства двоичных отображений зависят от того, чему равен вектор, состоящий из части определённых выше характеристик всех компонент или их части. В частности, двоичное отображение является корреляционно-иммунным порядка к, если вектор

(т/ (/) - 2п-|/1-1 : 3 С {1,... , т}, 3 = 0,1 С {1,... , п}, 1 ^ |11 ^ к) или вектор

(Г/ (/) : 3 С {1,...,т}, 3 = 0,1 С {1,...,п}, 1 ^ |11 ^ к)

состоят из одних нулей [4]. Кроме того, отображение подчиняется строгому лавинному критерию или критерию распространения степени 1, если состоит из нулей вектор

(гИ (/) : 3 Е {1,... , т}, * Е {1,...,п}) [1].

Изучению подобных векторов в случае одной компоненты или булевой функции посвящены работы [4-6]. Подробный обзор публикаций, в том числе и по этой тематике, содержится в [1].

Пусть функция / выбирается случайно и равновероятно из множества Вт всех т-мерных двоичных функций от п переменных. Это эквивалентно независимому равновероятному выбору её значений / (а) из множества Ут двоичных векторов размерности т для всех а из множества УП. Можно рассматривать значение функции / как вектор длины т, состоящий из значений её координатных двоичных функций от п переменных:

/ (а) = (/1 (а) , Л (а) , . . . , /т (а)) : УП ^ Уm,

где / (а) : УП ^ {0,1} для всех * Е {1,... ,т}.

Тогда значения / (а) выбираются независимо и равновероятно из множества {0,1} для всех а из множества УП и для всех * Е {1,... , т}.

В случае случайного выбора / векторы, состоящие из части характеристик компонент отображения, также являются случайными, и возникает вопрос об их распределении, в том числе и предельном.

В п. 1 данной работы доказаны отношения сравнимости, которым должны удовлетворять координаты векторов части характеристик. В п. 2 получены результаты

о характере и скорости сходимости к нулю нормы вектора части спектральных коэффициентов компонент случайного двоичного отображения, а также показана асимптотическая нормальность этого вектора с оценкой скорости сходимости. В п. 3 и 4 при введении дополнительных условий аналогичные результаты получены для векторов части весов подфункций компонент и автокорреляционных коэффициентов.

Везде далее Е£ обозначает математическое ожидание случайной величины £.

1. Сравнения для характеристик компонент двоичного отображения

Для произвольного или случайного отображения / будем записывать далее

Г/ (/) = Г/, т/ (/)= т/, г/ (/) = г/.

Формулы связи между спектральными и автокорреляционными коэффициентами широко известны (к примеру, теорема 65 в [7]).

В работе [4] доказаны формулы связи весов подфункций и спектральных коэффициентов для любых булевых функций:

Р/ = Е (-1)И (2"-і - 2|Ь|т£),

(-1'И

Ьс/

7 ъп-\

и

/ - 2п-|/1-1 = 2-|/1 £ (-1)|Ь|+1 Р7. Ьс/

Последнее равенство, опубликованное О. В. Денисовым в начале 2000 г., является аналогом равенства Саркара для коэффициентов Уолша Ж/ = 2Г/, названного так в [8]. Из него легко выводится отношение сравнимости для спектральных коэффициентов, также представленное в [4]:

Р/ = £ (-1)ІАЬ|+1Р/ (шоа 2111).

/_

ЬСІ, Ь=1

Но это отношение верно для части спектральных коэффициентов, относящихся только к одной компоненте /7 функции /. Докажем следующее

Утверждение 1. Для любого непустого подмножества 3 = {^1,... , |} множе-

ства {1,... , т} и произвольного подмножества I = |і1,... , і|/|} множества {1,... , п} имеет место

£ (-1)№1и/ = 2/|-1

) 1,...,1

( (/п • . <

0=^С /

Доказательство. Очевидно, что т/ = £ в/ (а) // (а), где в/ (а) = а^а^2...а*

а€Уп

(при 1 = 0 считаем, что в/ (а) = 1). Получим

Е (-1)М+1 т;4 = Е (-1)|г’1+1 Е в/ (а) Г (а) =

0=^С/ 0=ЙС/ а€У„

= ^ в/ (а) ^ (—1)|;| + 1 К/«1 Ф ... Ф /5|^| ).

а€У„ 0=ЙС/ 4 7

Известно, что /Л Ф ... Ф = £ (—2)|К 1-1 /й1 ... Д|к|, следовательно,

0=КС /

Е (-1)м+1 /®■■■ ®/,Я|) = Е (-1)м+1 Е (-2)|к|-1 /»,.../к

-/-Яг 7 V / ^<?гТ гл-/-и^Я

ч|К|-1

^ |в | I = ^ ( 1) ^ ( 2) /й1 ...^й |К |

0=йс/ 4 7 0=йс/ 0=кс;

= Е (—2)|К|-1 Л../ Е (—1)|;|+1 =

0=КС/ й:Кс5с/

= Е 2|К|-1/й1 ../к| 1 {К = 3} = 2 1 /|-/ .../, ,,

0=КС/

где 1 {К = 3} —индикатор того, что множество К равно множеству 3.

В итоге получаем

Е ( -1)|;+‘< = Е в/(а) Е (—1)|;1+1 /Ф...Ф/.|в)

0=ЙС/ а€У„ 0=ЙС/ 4 7

2|/|-1 Е в/ (а) /п.../ „.

I -1/ (а) /п ... /J|.

аЄУп

Утверждение доказано. ■

Из последнего равенства легко выводится сравнение для весов подфункций.

І|

Следствие 1. В условиях утверждения 1 выполняется сравнение

^ (—1)|й|^/ = 0 (mod 2|J|-1).

К отношению же из [4] добавляется новое сравнение для спектральных коэффициентов.

Следствие 2. В условиях утверждения 1 выполняются сравнения

£ (—1)|Ь|Р/ = 0 (mod 2111),

ЬС/

£ (_1)|Ь|+И^£ = 0 (mod2|/|+|J |-1).

Ьс/

Доказательство. Первое сравнение очевидно. Рассмотрим

£ (_1)№1 _ 2п-|/|-1) = £ (_1)|5|+^2-|/1 • £ (_1)|Ь|+1^/),

0=5^ 0=5^ V ЬС/ )

£ (—1)|f|+1 (wf - 2n-|/1-1) = £ (—1)|f|+1wf - 2n-|/|-1

0=SCJ \0=SCJ

2|J 1

1

/ \ 1,...,1

(fjl ■. \\J <

_ 2n-|/1-1

£ (—1)|S|+1 f2-|/1 ■ £ (-1)|L|+1Ff) = 2-|/1 £ £ (-1)|L|+|S|Ff.

0=SC J V LC/ / 0=SCJ LC/

/ \ 1,...,1

(fjl ■. |J <

_ 2n-|i|-|J|.

L V'' 4 J\J\ I '

0 = fCJ LC/

Теперь докажем два свойства, общих для автокорреляционных коэффициентов всех двоичных отображений.

Утверждение 2. Пусть n Е N, n ^ 2, f (x) Е — произвольная функция,

I С {1,... , n} и J С {1,... , m}, где I, J = 0. Тогда

rJ (f) = 0 (mod 4).

Доказательство. Пусть без ограничения общности J = {1}, I = {n — |I| + 1, ... , n}. Обозначим 1n Е VH двоичный вектор веса |I|, состоящий из единиц. Получим

rJ (f) = ^2 (—1)fJ(x)®fJ(x®e1) = ^ £ f ( —1)/l(«,e)®/l(«,e®T\I\^ =

x€Vn «€Vn_\j\ e€V|j\

= E 2 £ ((—1)/i(a,0,7)®/i(a,1,7®1\J\-i)

«£Vn-\I| 7^^J\-l

= 2 S S (1 — 2 (I {f1 (a 0,7) ф f1 (a 1,Y ф e|/|-1) = 1}))

«£Vn-\I| 7^^J\-l

= 4(V-2 — E I E I {f1(a 0,Y) ф f (a 1,Y ф ё|/1-0 = 1}

у «eV„-j;| \47€^I\-l

Утверждение доказано. ■

Утверждение 3. Пусть I1, I2 С {1,... , n} и J С {1,... , m}, где I1, I2, J = 0. Тогда rJ — rJ2 = 0 (mod 8).

Доказательство. Если I1 = I2, то утверждение очевидно. Без ограничения

общности считаем, что J = {1}, I1 = I2. Обозначим e/l = a, e/2 = в, а = в. Тогда

rJ — rJ = ^ (—1)fl(x) Л—1)/l(x®«) — (—1)fl(x®eA

l 2 ж€Уг ' '

Будем говорить, что у € УЛ эквивалентен х € УЛ, если у = х ® ^а ® $2(в для некоторых ^1,^2 € {0,1}. Очевидно, что отношение эквивалентности введено корректно. Разобьём УЛ на классы эквивалентности по этому отношению и преобразуем разность

п! (/) _ г/2 (/):

r/, (f) — r/2 (f)= Е /2(—1)/l(x®a)®/-(x) + 2(—1)'1

^Г-Vnr, / \

2 S ^( —1)/l(x®«) — (— 1)Л(ж®в)^ ^(—1)/l(x) + ( —1)/l(x®a®e^

— ^/l(x®a)®/l(x) г)(_ -|/l(x®a®e)®/l(x®a)

— 2(—1)/l(x®e)®/l(x) — 2(— 1)/l(x®a®e)®/l(x®e)

— 1) — (— ^/l(x®e)\ ((_ n/l(x)

Осталось заметить, что в сумме каждый из двух сомножителей делится на 2. ■

Полученные сравнения позволяют уточнить вопрос о возможных значениях, которые могут принимать координаты векторов, состоящие из части характеристик компонент случайного двоичного отображения.

2. Предельные теоремы для вектора, состоящего из части спектральных коэффициентов компонент случайного двоичного отображения

Пусть / — случайная функция из В^7-. Рассмотрим вектор

£ (/) = № (/) : I* С {1,...,п}, 0 = Л С {1,...,т},в € {1,...,г}) ,

состоящий из г коэффициентов Фурье — Уолша — Адамара, где г — некоторое натуральное число, не превышающее 2Л+т _ 2Л, и наборы множеств (71,/1) ,..., (7Г, 1Г) попарно различны.

Из определения спектральных коэффициентов легко видеть, что этот вектор равен сумме 2Л векторов

S(f) = 1 S X(а) = 1 S /(-^Л”»”-1®...®-"!..! : s E{1,...,r}\.

2 «GVn 2 aevn v 7

Рассмотрим набор из 2Л независимых и одинаково распределённых случайных векторов х (а) = (х1 (а) ,... , хг (а)), а € УЛ, координаты которых имеют математическое ожидание

Ех* (а) = Е(_1/^(а)Фа1 Ф-Фач I /.1 = 0

для всех в € {1,... , г}.

Очевидно, что для любых к, в € {1,... , г} ковариация координат равна

/ / \ / \\ .-/ ^ (а)®аг! Ф---Фаг| т |Ф/^ («)Ф«41 Ф---Ф«4, | г. 1

еоу(х* (а) ,хк (а)) = Е(_1) 1 |/з1 1 |т*| = I {к = в} .

Следовательно, х (а), а € УЛ, —независимые одинаково распределённые в Кг случайные векторы с единичной ковариационной матрицей и нулевым средним.

Сумма векторов £ х (а) лежит в множестве , которое является евклидовым

г

пространством со скалярным произведением ("^Х, ) = £ ЖгУг, где IX = (х1... хг) € Кг,

г=1

1/ = (У1.. .Уг) € , и нормой II = л/(//).

Как легко видеть, ||х (а)|| = /г, следовательно, верно, что Е ^||х (а)||в^ = гв/2 < то

при всех вещественных в € (0, 2). Таким образом, мы попадаем в условия основной теоремы [9], из которой следует, что верно

Утверждение 4. Пусть п / то, т — произвольное натуральное число, в € € (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных наборов множеств (71,11), ..., (7г, 1г), где 1* С {1,..., п}, 0 = Л С {1,..., т} для всех в € {1,..., г}, г € N верно, что норма вектора 2-Л/в£ (/) сходится к нулю с вероятностью 1.

Данное утверждение при в = 1 является формулировкой усиленного закона больших чисел для случайных векторов х (а), а € УЛ.

Очевидно, что выполняется и обычный закон больших чисел для случайных векторов, и возникает вопрос о скорости сходимости нормы вектора 2 "”/в 5’ (/) к нулю.

Для случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями выполняется теорема 1 [10, с. 47], из которой следует

Утверждение 5. Пусть п, т — произвольные натуральные числа, в € (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных (/1,/1), ..., (/г, 1Г), где 1* С {1,... , п}, 0 = Л С {1,... , т} для всех в € {1,..., г}, г € N для любого £ > 0 верно неравенство

Р {||2-Л/в5 (/)|| ^ ^ 422(в-2)Л/в.

Докажем теперь теорему о скорости сходимости распределения РЛ вектора

21-л/25 (/) к распределению Ф стандартного г-мерного нормального закона.

Теорема 1. Пусть п, т — произвольные натуральные числа. Тогда для любых попарно различных (71,11) ,... , (, 1г), где 1* С {1,..., п}, 0 = С {1,... , т} для всех в € {1,... , г}, г € N и для любого выпуклого борелевского множества В справедливо неравенство |РЛ (В) _ Ф (В)| ^ 400г7/42-л/2.

Доказательство. Согласно основному результату [11], если £(1), £(2),... — независимые одинаково распределённые в случайные величины с единичной

ковариационной матрицей и нулевым средним, ^ — случайная величина со стан-

N

дартным г-мерным нормальным распределением, = N-1/2 £ £^, то ^ =

^=1

= вир |Р (5^ € А) _ Р (^ € А)| ^ 400г1/4Е||£(1)|3Ж-1/2, где Ь — класс выпуклых бо-

релевских подмножеств .

Для векторов х (а), а € УЛ, попадаем в условия этого результата при Е||х (а)||3 = = г3/2 и N = 2Л. ■

Данная теорема предлагает равномерные по г оценки расстояния между распределением вектора 21-л/2£ (/) и многомерным стандартным нормальным распределением в обобщённой метрике полной вариации по классу выпуклых борелевских множеств и, следовательно, в равномерной метрике в терминах [12]. При п /то из этой тео-

ремы следует асимптотическая нормальность вектора и, следовательно, интегральная предельная теорема.

3. Предельные теоремы для вектора, состоящего из части весов подфункций компонент случайного двоичного отображения

Теперь рассмотрим вектор Ш (/) = (21+(|/г,|/2) (и/ (/) _ 2га-|/в|-1) : 1* С {1,... , п},

0 = Л* С {1,... , т}, в € {1,... , г}) , состоящий из г весов подфункций, где г — некоторое натуральное число, не превышающее 2Л+т _ 2Л, а пары множеств (^1,11) ,..., (Лг, 1г) —любые попарно различные.

Из определения и/ (/) легко видеть, что этот вектор равен сумме векторов

Ш (/)= Е (2%%. (а) (~1)/^ (а)Ф1 : в = Е т (а),

где в/ (а) = а^1 а^2 ... а^^ (при 1 = 0 считаем, что в/ (а) = 1).

Рассмотрим набор из 2Л независимых случайных векторов т (а), для всех координат которого т* (а) верно равенство

Ет* (а) = 2 ¥ в/. (а) Е(_1)/^(а)Ф1 = 0.

Следовательно, т (а), а € УЛ — независимые не одинаково распределенные в Кг случайные величины с нулевым средним. Сумма векторов £ т (а) лежит в Кг. Введём

Условия 1. Пусть выполняется следующее:

1) Зафиксировано некоторое натуральное г €{1,..., 2т _ 1}.

2) Зафиксирован набор непустых попарно различных подмножеств Л1,... , множества { 1 , . . . , т} .

3) Для любого в € {1,... , г} зафиксировано произвольное подмножество 1* множества { 1 , . . . , п} .

г

Обозначим 8 = £ 2|/в|.

*=1

Пусть выполняются условия 1. Тогда при фиксированном т выполняется неравенство Е||т (а)||2 ^ 8 < +то. Следовательно, попадаем в условия теоремы 4.2.1 [13], согласно которой верно следующее

Утверждение 6. Пусть п / то, т — произвольное натуральное число. Тогда для любых попарно различных (Л1,11) ,... , (Лг, 1г), удовлетворяющих условиям 1, норма вектора 2-ЛШ (/) сходится к нулю с вероятностью 1.

Данное утверждение является формулировкой усиленного закона больших чисел для случайных векторов т (а), а € УЛ.

Рассмотрим вопрос о скорости сходимости нормы вектора 2-ЛШ (/) к нулю. Аналогично утверждению 5 можно легко доказать, что верно

Утверждение 7. Пусть п,т — произвольные натуральные числа. Тогда для любых попарно различных (Л1,11) ,..., (Лг, 1г) и для любого £ > 0 верно неравенство

Р {||2-ЛШ (/)| ^ £} ^ £-22-гаЕ 2|/в|.

*=1

Определение 1 [14]. Пусть £(1),... , ) есть N независимых не обязательно оди-

наково распределённых случайных векторов в Кг с ковариационными матрицами ооу (£(,?')), ] € {1,...,N}. Тогда средней ковариационной матрицей случайных век-

1 N

торов £(1),... , £(N) называется матрица У = — £ соу (£(,?')).

N ^=1

Теперь оценим скорость сходимости характеристической функции специальным образом преобразованного вектора, составленного из весов подфункций, к характеристической функции стандартного многомерного нормального закона соответствующей размерности.

Утверждение 8. Пусть п, т — произвольные натуральные числа. Дано случайное отображение / = (/1, /2,... , /т) € Вт и выполняются условия 1. Тогда для всех £ € Кг, таких, что ||£|| ^ 2л/4-1 8-1/2, для характеристической функции (£) случай-

ного вектора

иг = ^2¥+1-" (и/;1 (/) _ 2га-|/в|-1) : 1* С {1,... , п}, 0 = Л* С {1,... , т}, в € {1,... , г}^

верно неравенство

-п-21им4*2 7е-1 РН4 + 81Ш12 (_^2-л81Ш12 + 383 "+"2

¥>«г (£) _ е-2^ 2-л-2||*||482 ^-е-2Н*Н + 8||£||2 ^2"Л8|*|2 + ^ е-—

Доказательство. Пусть / — случайная функция из В^. Рассмотрим вектор

и = (2^+1-" (и/ (/) _ Еи/(/)): в € {1,...,г}),

где Еи>^ (/) = 2п |/в| Очевидно, что и>г = 2 п/2 Е г (а).

аЄ V

Рассмотрим набор из 2Л независимых случайных векторов т (а), для всех координат которого т* (а) выполняется свойство Ет* (а) = 0.

Для любых к, в € {1,..., г} верно равенство

соу (т* (а) ,тк (а)) = 2^в/, (а) в/к (а) Е(_1)/ '(а)Ф/ к(а) = 2|/г,|в/, (а) 1 {к = в} .

Следовательно, средняя ковариационная матрица У , за исключением главной диагонали, заполнена нулями, а элементы главной диагонали равны

-1 Е 2|'-|в/, (а) = 1.

2Л а€Уп

Получили, что т (а), а € УЛ — независимые неодинаково распределённые в Кг случайные векторы с единичной средней ковариационной матрицей и нулевым средним.

Рассмотрим ляпуновскую дробь /*,2п, определённую по формуле

Е Е (|(£,т (а))|*)

1 а£^П

«5,2" = вир

=1^/Г Е Е ((*,т (а))2)' 5/2

аЄ^п,

Во введённых обозначениях выполняется теорема 8.6 из [14], согласно которой, если каждый вектор т (а) имеет конечный четвертый абсолютный момент р4 (т (а)) =

Е||т (а) ||4 и ляпуновская дробь /4,2— не превосходит единицы, то для всех t G Rr

1 f-1/4

таких, что ||t|| ^ 1 /4 2п , справедливо неравенство

<^wr (t) - e-2l|t|12 (1 + i62-ra/2^3 (t))

7 , . .,4 _ 1 1Ы14 / 9 ,0 .. . ..a 1

^/4,2-j|tN4e-2+ I —/2 2.lit!8 + -/2 lit»61 e

■щш M2

40 ~4,2—1 1 + V 500 4,2- 1 1 + 36 3,2

где ^3 (t) = 2-n £ E ((t,T (а))3). Легко видеть, что

aGV—

Р4 (т (а)) = ^ Е (2(а)^ ^ = ^ £ (а^ ^ ^2.

В обозначениях (8.11) в [14] р4 = 2-n Y1 Р4 (т (а)).

a€V—

Очевидно, что р4 ^ 52, Е ((t,r (а))3) =0 и ^3 (t) = 0.

В силу неравенства (8.12) из [14] /4,2— ^ 2-n52, /3,2— ^ 2-n/253/2. Следовательно,

для всех t G Rr, таких, что ||t|| ^ 2n/4-15-1/2 ^ 2n/4-1(p4)-1/4 ^ -/-/4, выполняется утверждение теоремы. ■

Теперь, используя утверждение 8, докажем теорему о скорости сходимости распределения wr к распределению Ф стандартного r-мерного нормального закона.

Теорема 2. Пусть m, n — произвольные натуральные числа, L — множество бо-релевских выпуклых подмножеств Rr, выполняется набор условий 1 и дано случайное отображение f = (f1, f2,... , fm) G B^. Пусть для n выполняется

n > max |52 — 1, 12 + 2log2 (95(r + 2)2)} .

Тогда для случайного вектора wr из формулировки утверждения 8 с распределением Qn верно следующее неравенство:

sup |Qn (C) — Ф (C)| ^ 4 f&1 (r) 2-n/2 + b2 (r) 2-n/2n-1/2 + 63 (r) 2-nnr/2+

CGC 3 '

+64 (r) 2-3n/2n-3/2 + 65 (r) 2-2nnr/2 + 6б (r) e-28077 2-n/4nr/2+

2—/2 2-/2 \

+67 (r) e-1677 2-n/4nr/2 + 6a (r) e- wl 2-3n/4nr/2J ,

где Ф — распределение случайной величины со стандартным г-мерным нормальным распределением,

25г4/383/2Г((г + 1) /2) 11г83/2

Ь‘ (г) =------3п1/3Г'(г/2) ' +—+

(4 + е3/2) 83/2 (г _ 1) 83/2 21/283/2 (г3/2 _ 3г1/2 + 2)

+ 6е3/2^2л + 2г1/2пе1/2 + п3/2 ,

2(r-1)/2r(r-2)/2(ln2)r/252 / 7 or /r + 4\ 5 (1000\ /r + 6

3 (r)= (Г (r/2))2 V 20 4 \^) + 18\ш) V

(Г (r/2))2 V 20 V 4 / 18 V 383 У V 2

23г5/2£3 9 ■ 2( )/2 г(г-2)/2(1п 2)г/2£4( 1000 )2г (^)

64 (г) =---------,65 (г) =----------------------- ---- ----238^--------\_2_j_

) п^2)3/2, ( ) 125(Г (г/2))2

^ 2г+3£1/2г(г-2)/2(1п 2)г/2 / 3 \(1+г)/2

62 (г) = --------~Т7Т. , 66 (г) = ------------2------- --------= ,

(п 1п2)1/ (Г (г/2))2 \3 _ 2^2/

£1/22г+3г(г-2)/2(1п2)г/2 ч £2 2г+7/2г(г-2)/2(1п 2)г/2

67 (г) =-------------------2---, 68 (г) =----------------------------2-.

(Г (г/2))2 3(Г (г/2))2

Здесь Г (ж) —значение гамма-функции Эйлера в точке х. Доказательство. Верно следующее равенство:

|P (wr Є C) — Ф (C)|

f d (Qn — Ф)

где Ic — индикатор множества С.

Рассмотрим случайный вектор K со значениями в Rr с плотностью

О \ Г r , .

3a \ тт I sin axs

pk(xl...xrни- П

2п ) , V ax

s=1

s

где а = 2п-1/3г5/6. Сглаживающая вероятностная мера, порождённая этим вектором, активно используется в [14].

Рассмотрим случайный вектор еК с распределением К£. Согласно неравенству (13.12) из [14],

Р (еК Є \В (0 : е)) ^ Р (К Є \В (0 : 1)) ^ -,

8

где В (х : е) —открытый шар в радиуса е с центром в х. Тогда

7 1

р (еК Є В (0 : е)) ^ 8 > 2•

Следовательно, попадаем в условия следствия 11.5 в [14]:

4 /1

/ ICd (Qn — Ф)

в 4(2wic (Rr) !(Qn — Ф) t Kg! + w;c (2є : фЛ

где t — внутренняя операция свёртки (композиции) двух конечных обобщённых мер; w/c (S) = sup |IC (x) — Ic (y)| —колебание функции Ic на множестве S; вариационная

норма [14] на классе всех конечных обобщённых мер, равная полной вариации меры, обозначена как ||(Qn — Ф) t Kg||,

Wjc (2є : Ф) = sup j w/c (B (x — y : 2є)) Ф (dx).

y€Rr Rr

Очевидно, что w/c (Rr) = 1, а, согласно неравенству (13.42) из [14],

* / \ 25/2Г ((r + 1) /2)

w'c (2є : Ф) в ЗГ (r/2) є

Теперь рассмотрим поведение величины ||(фЛ _ Ф) * К£||. Из определения вариационной нормы следует, что

ка _ Ф) * ке|| =28пр |(^Л _ Ф) * К (В)| ,

вевг

где Вг — борелевская сигма-алгебра подмножеств из .

Для каждого борелевского множества В и к > 0 определим множества

В1 = В П В (0 : к) , В2 = В\В1.

Оценим |(фп _ Ф) * К (Вг)|, г € {1, 2}.

Рассмотрим конечную обобщённую меру Р1 (а) с плотностью

(Ж1 . . . жг) X 1 (Х(3,0,...,0) (ж? _ ЗЖ1) + ... + Х(0,0,...,3) (ж3 _ 3хг)) +

1

6

+ 2 (Х(2,1,...,0) (х1х2 _ + Х(0,...,1,2) (ж2жг-1 _ жг-1)) +

+Х(1,1,1,0,...,0)х1 х2х3 + ... + Х(0,...,1,1,1)хг-2хг-1хг

(Ж1 ... Жг)

где Х(т1,...,тк) = Х7 — семиинварианты (кумулянты) вероятностной меры, порождённой случайным вектором т (а), порядка 7; ^ (ж1... хг) —плотность распределения случайного вектора со стандартным г-мерным нормальным распределением.

Согласно равенству (7.22) из [14], / р* (х1... хг) ^х=0. Пусть Р1=2-Л £ (ж1...жг).

Кг а€Уп

Данная мера введена в равенстве (2.10) в [15]. Имеем

|(^Л _ Ф) * К (В1)| ^ |Нл * К (В1)| + 2-л/2 |Р * Ке (В1 )| ,

где Нл = ^Л _ Ф _ 2-Л/2 Рь

Обозначим через Нл = / ег(*,ж) Нл (^х) преобразование Фурье обобщённой меры Нл.

кг

Согласно неравенству (13.22) из [14], получим

|Нл * К (В1)| ^ (2п)-гАг (В1) / Нл (£) к£ (£)

дьх,

где Аг — мера Лебега на .

С учётом вычисленного в [14] преобразования Фурье для Р1 получаем, что верно равенство

Нл = § ег(*,ж)ЯЛ (^х) = / ег(*,ж) (^Л _ Ф _ п-1/2Р1) (^х) =

= ^Л _ е-2 ||£||2 1 + г— п-1/2^(£)) , где ^3 (£) = 2-Л £ Е ((£,т (а))3).

V 6 / а€У„

аЕ^П

3)

Легко показать, что Е ((£, т (а)) ) = 0.

Возьмем в качестве £ величину аг1/2р32' (Л 3)/2, где р3 = 2 Л £ р3 (т (а)),

р3 (т (а)) = Е||т (а) |3. Очевидно, что р3 ^ £3/2.

аЕ^п,

Согласно соотношению (13.36) в [14], верно неравенство

/ Я (і) К (*) / (і)

, П 1 , ,1

|<2 п-1(р4)-4

ІІ ^ /

|4|<2(п+1)/2(рз)-1

Я (і)

ІІ +

/

ІІ =

Я (і)

2П-1(Р4)-4 <|*|<2("+1)/2(рз)-

ІІ,

где р4 введено в конце доказательства утверждения 8. Там же показано, что утверждение 8 верно при всех ||і| ^ 2п-1(р4)-4. Следовательно,

/ Н (і) іі =

;|<2Ї-1(р4)-4 И

7

^ _2—п—352 Г

5 п і і

Н*Н<2п "1(р4)" 4

/

х

/

||<2 4 (Р4) 4

|і|4е-2 М4 ІІ

)—га—2

^га — Є 2

9

125

2—2п—254х

|8е 1000 ІІі|2 ІІ + 2--------------------------53

/

|6е—1830 РИ2 іі.

|<2 п-1 (Р4)-4

||<2 п-1(Р4)-4

Легко можно показать, что верны следующие неравенства:

/

ІК2 4 1(Р4) 2

2пг/2

|4е— 1 И*И ІІ ^ Г ||І|4е— 1 И*И ІІ = Г хг+3е— 2х4Іх,

«г Г (г/2) 0

/

ІК2Ж-1(Р4 )-2

|8 _-383|Ы|2 ,, . 2пГ/2 г+7 __383х2

| е 1000ІІІИ ІІ ^ J х Є 1000х Іх

і Г(Г/2) о

2пг/2 +с»

Г ||і||6є—і383?И*И ІІ ^ Г хг+5е—іжх2Іх.

п1

«2 п (Р4)-2

Г(г/2)

Из равенства / хте—ахПІх = а—(т+1)/га!Г ((т + 1) /п) следует, что

Г Я (і) ІІ ^ 522—п—1 (202г/4Г (^) +

952о—га/ 1000\ (г+8)/^ /г + 8\ 5 /1000 \ (г+6)/^ /г + 6

+ 250 1"з83І I 2 ) + 181^83/ V 2

Согласно оценке (13.39) в [14], при п > 52 > р4 верно неравенство

I

_ 1

-1

2 4-1(Р4)-4 <И*И<2(п+1)/2(р3)

12

Я (І)

/

Ч2^-з)/6іі+

1

+ Г е—2 И*И ІІ + -р32—п/2 Г

^ 6

|3є—2ІІ*ІІ2 ІІ.

п _1 , , _ ^

>2 4 (р4) 4

. 1

И >2 4 (Р4) 4

Є

Следовательно,

2пг/2 Г(г/2)

/

2 П-1(Р4)-4 <У*У<2("+1)/2(рз)-1 (

Нл (£)

6

3 _ 2 л/2

г/2

-|-с»

/ хг 1е х ^х+

2 п-1 (Р4)-Н3-^

+2

+<^ 1 +(»

г/2 / хг- 1е - х2 ^х + - р32(г+1 - л)/2 / хг+2е - х2 ^х

п_ 3, Ч_1 3 п_ 3 Ч_1

24 2 (Р4) 4 24 2 (Р4) 4

Для всех п > 12 + 21og2 (95(г + 2)2) подынтегральные функции можно ограничить функцией е-х2/2 и, использовав известное неравенство, получить

/

2п-1(Р4)-4 <р||<2(п+1)/2(рзГ

Нл (£)

4пг/251/2 ^ ^ ~— х

Г(г/2)

х

6 \ (1+г)/2

3 _ 2л/2

/2

53/2

2-л/4е-2807! + ( 2г/2 + 2(г+1-л)/2 | е- 1бТ! 2(2-л)/4

п/2

Применяя лемму 13.1 из [14] и учитывая, что р3 ^ 53/2, получаем

2-л/2 |Р1 * К£ (В1)| ^ 2-(л+2)/2 |Р1| ^

/ 4 + е3/2 + (г _ 1) + 21/2 (г3/2 _ 3г1/2 + 2)\ /2

^ ^6е3/2^2Л 2г1/2пе1/2 п3/2 !

Собирая все оценки воедино, с учётом того, что Аг (В1) ^ гр(т-/2) кг, получаем, что верно неравенство

|(^Л _ Ф) * К (В1)| ^

^' г( Ф' +

г2г(Г (г/2))

г+8

+—2

2502 V 38^ ^2

г+6

952 _ /1000 N 2 (г + 8\ 5 /1000\ 2 (г + 6

+ 18 V 383 )

Г

2

+

+451/2

2п/2 53/2 2п/2

2-л/4е-2807! + ( 2г/2 + 2(г+1-л)/2 | е-27! 2(2-л)/4 ) ) +

6 \ (1+г)/2

3 _ 2^2У

+ / 4 + е3/2 + (г _ 1) + 21/2 (г3/2 _ 3г1/2 + 2) N 53/22-л/2

у6е3/2^2п 2г1/2пе1/2 п3/2 у

Теперь рассмотрим |(фЛ _ Ф) * К£ (В2)|. Согласно оценкам (13.27) и (13.28) в [14], верны следующие неравенства:

|(фп _ Ф) * К (В2) | ^ шах< Р

2-" Е т (а)

аЕ^п

23/2г3/2е-к2/8г

кп1/2

+

2-(3л-15)/2г4(р3)2

пк3

1

Р

2—п Е т (а)

аЄ^п

8=1

2—п Е т, (а)

аЄ^п

2^

где т5 (а) — 5-е координаты случайных векторов т (а).

Согласно теореме Берри — Эссена для независимых разнораспределённых случайных величин [14], верно неравенство

ЕР

*=1

2—л/2 £ т, (а)

к

2^

11

|*|>к/2

11 / / 23/2г3/2е-

< _53/2г2_л/2 + 2 г е 8Г

< 2 5 г2 + кп1/2 ,

где ^ (£) — плотность стандартного нормального распределения

Если принять к = (8гп 1og 2)1/2, то, собрав все неравенства вместе, получим утверждение теоремы. ■

В теореме 2 получена оценка расстояния между распределением случайного вектора 2-л/вШ (/) и г-мерным стандартным нормальным распределением в обобщённой метрике полной вариации [12] по классу всех выпуклых борелевских множеств, из которой при п /то следует асимптотическая нормальность и локальная предельная теорема.

В отличие от следствия теоремы 13.3 из [14], где показано, что

|фп (В) _ Ф (С)| < С (г) Р42-л/2,

в теореме 2 удалось найти зависимость оценки скорости сходимости к нормальному закону от размерности вектора.

4. Предельные теоремы для вектора, состоящего из части автокорреляционных коэффициентов компонент случайного двоичного

отображения

Рассмотрим вектор

А (/) = (г£ (/) : ^ С {1,...,п}; Л С {1,...,т}; = 0, Л = 0; 5 € {^..., г}) ,

состоящий из г аддитивных автокорреляционных коэффициентов, где г — некоторое натуральное число и наборы множеств (Л1, /1) ,... , (, 1г) удовлетворяют таким условиям:

Условия 2. Пусть выполняется следующее:

1) Зафиксирован набор непустых попарно различных подмножеств Л*,... , Лр множества {1,... , т}, р € {1,..., 2т _ 1}.

2) Для каждого д € {1,... ,р} зафиксированы натуральное € {1,..., 2Л} и набор произвольных попарно неравных непустых подмножеств /д,1,..., /9,^? множества {1,...,п}.

Обозначим г = £ Ід, к 9=1

и и /«

9=1 \І = 1

а пары множеств (/*, /1;1) ,... , (/*, /1;^1),

(/*,/2,1) ,..., (/Ммр) — через (/1,11) ,... , (/^/і).

Обозначим распределение случайного вектора 2—(л+1)/2А (/) через Ял и найдём расстояние между ним и г-мерным стандартным нормальным распределением в обобщённой метрике полной вариации [12] по классу всех выпуклых борелевских множеств.

Теорема 3. Дано случайное отображение / = (/1, /2,... , /т) € В^ и выполняется набор условий 2. Тогда для любого выпуклого борелевского множества В выполняется неравенство

|Лл (В) _ Ф (В) | < 100г7/422к-л/2.

Р / ^ \

Доказательство. Пусть, без ограничения общности, и им = {1,..., к}.

<7=1 \ .7 = 1 /

Обозначим в/ . € К, ] € {1,..., }, д € {1,... ,р}, через 71,..., 7Г, где в/ € К,

введено при определении г/.

Пусть //г (в) = Рг (в) для любых г € {1,..., г}. Запишем

||р1 (в) Ф р1 (в Ф 71) Н\ (р1 (в) ® р1 (в ® 71^

Е

ЛРг (в) Ф Рг (в Ф 7г)||/ вЕУп VРг (в) Ф Рг (в Ф 7г),

Разобьём в получившейся сумме область суммирования на 2Л-к областей, соответствующих векторам в с одинаковыми последними п _ к координатами, набор которых обозначим а. Очевидно, что

Р г-1 (в ) = ... = Р « (в )= (в) ,

1+ £ <*г Е <*г

г=1 г=1

где , д € {1,...,р}, — попарно независимые случайные величины. Тогда ^Р1 (в) Ф Р1 (в Ф 71)

вЕУп Ург (в) Ф Рг (в Ф 7г)/ аЕУп-к аЕ^п-к

где = 1 Е (д9 (^а) Ф 9я (^а Ф 7д,*)).

2

Каждая компонента п«г, г € {1,...,^7}, д € {1,...,р}, имеет биномиальное распределение с параметрами (2к-1,1/2). Следовательно, математическое ожидание каждой компоненты равно Е^а,г = 2к-2, а дисперсия Б = 2к-3.

Аналогично доказательству основной теоремы в [5], можно показать, что ковариационная матрица вектора па равна 2к-3Ег, где Ег — единичная матрица соответствующего размера.

Пусть / — случайная функция из В^. Рассмотрим вектор а (/) = 2-(л+1)/2А (/).

Из определения автокорреляционных коэффициентов следует, что

Е I ... I = Е 2(ПГ ,д €{1,...,Р},г € {1,...,^7})Т = Е П

а

а (/) = 2 "2* Е (2 32* (2к 2 _ па,г) ,д €{1,...,р},г €{1,...Л}) = 2 "2 *Е С (а).

аеУп-к 4 7 аеУп

Рассмотрим набор из 2Л - к величин £ (а), а € ^Л _к, — независимых одинаково распределённых в случайных векторов с единичной ковариационной матрицей и нулевым средним. В этих условиях, как и в теореме 1, выполняется результат из [11]. Несложно показать, что

— , ^ , ч ч 3 3 3к-3

Е(£ (а)) < г2 2 2 .

Следовательно, выполняется неравенство |ЯЛ (В) _Ф (В) | < 400г1/4г3/22(3к-3)/22-(л-к)/2. Теорема доказана. ■

Из этой теоремы следует равномерная по r оценка расстояния между распределением вектора 2"(”+1)/2A (f) и многомерным стандартным нормальным распределением в равномерной метрике, стремящаяся к нулю, т. е. опять получаются асимптотическая нормальность и интегральная предельная теорема.

Из доказательства теоремы 3 следует равенство

(rJs (f): s G{l,...,r}) = £ £ (а)= £ (4 (2fc-2 - nf) ,q G{l,...,p},i G{l,...,dg })T,

a€Vn aGV^—k

где случайные величины п«г введены при доказательстве теоремы 3.

Рассмотрим набор из 2”"k величин £ (а), а Е Vn-fc, — независимых одинаково распределённых в Rr случайных векторов с ковариационной матрицей 2fc+1Er и нулевым средним.

Легко показать, что ||£ (а)|| ^ ^/r2fc и E ^||£ (а)||в^ ^ re/22ke < то при всех вещественных в Е (0, 2). Таким образом, попадаем в условия основной теоремы из [9], согласно которой верно

Утверждение 9. Пусть n / то, m — произвольное натуральное число, в Е Е (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных наборов множеств (J1,11) ,..., (Jr, Ir), удовлетворяющих условиям 2, норма вектора 2"”/eA (f) сходится к нулю с вероятностью 1.

Данное утверждение при в = 1 является формулировкой усиленного закона больших чисел для случайных векторов £ (а), а Е V”.

Теперь рассмотрим вопрос о скорости сходимости к нулю нормы вектора 2"”/eA (f).

Так как ||£ (а)|| ^ ^/r2fc и E (||£ (а)||2) ^ r22k, то при всех n — k ^ log2r попадаем в условия основной теоремы из [16], из которой следует

Утверждение 10. Пусть n, m — произвольные натуральные числа, в Е (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных (J1,11) ,... , (Jr, Ir), удовлетворяющих условиям 2, таких, что n — k ^ log2r, и для любого е > 0 верно

P {I!2"”'''5A<f>11 S 4 « f1 + Й=) exP { — re2;2^-k"3}.

Заключение

В данной работе удалось доказать асимптотическую нормальность совместного распределения части автокорреляционных и спектральных коэффициентов и весов подфункций компонент двоичных вектор-функций. Следующий этап в изучении векторов из части этих характеристик, в том числе и растущей размерности, — это построение локальных предельных теорем, полезных для изучения криптографических свойств функций. В частности, стоят задачи обобщения на m-мерный случай результатов [4, 6] и усиления фактически доказанной в [5] локальной предельной теоремы для вектора, состоящего из части автокорреляционных коэффициентов одной компоненты с I, мощность которых равна 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2004. 472 с.

2. Ященко В. В. Свойства булевых отображений, сводимые к свойствам их координатных функций // Вестник МГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 33. №1. С. 11-13.

3. Carlet C. Vectorial Boolean functions for cryptography // Boolean Models and Methods in Mathematics, Computer Science, and Engineering. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. V. 134. New York: Cambridge University Press, 2010. P. 398-472.

4. Денисов О. В. Локальная предельная теорема для распределения части спектра случайной двоичной функции // Дискретная математика. 2000. Т. 12. №1. С. 82-95.

5. Панков К. Н. Верхняя граница для числа функций, удовлетворяющих строгому лавинному критерию // Дискретная математика. 2005. Т. 17. №2. С. 95-101.

6. Рязанов Б. В. О распределении спектральной сложности булевых функций // Дискретная математика. 1994. Т. 6. №2. С. 111-129.

7. Таранников Ю. В. Комбинаторные свойства дискретных структур и приложения к криптологии. М.: МЦНМО, 2011. 152 с.

8. Халявин А. В. Оценка нелинейности корреляционно-иммунных булевых функций // Прикладная дискретная математика. 2011. №1. С. 34-69.

9. Азларов Т. А., Володин Н. А. Законы больших чисел для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин // Теория вероятностей и её применения. 1981. Т. 26. №3. С. 584-590.

10. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973. 304 с.

11. Bentkus V. On the dependence of the Berry-Esseen bound on dimension // J. Stat. Plan. Infer. 2003. V. 113. No. 2. P. 385-402.

12. Золотарев В. М. О свойствах и связях некоторых типов метрик // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1979. Т. 87. С. 18-35.

13. Padgett W. J. and Taylor R. L. Laws of Large Numbers for Normed Linear Spaces and Certain Frechet Spaces. New York: Springer, 1973. 117 p.

14. Бхаттачария Р. Н., Ранга Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982. 288 с.

15. Bhattacharya R. N. Rates of weak convergence for the multidimensional central limit theorem // Теория вероятностей и ее применения. 1970. Т. 15. №1. С. 69-85.

16. Прохоров Ю. В. Распространение неравенств С. Н. Бернштейна на многомерный случай // Теория вероятностей и её применения. 1968. Т. 13. №2. С. 266-274.