Оценка решений одного класса сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10

Вып. 3

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977

А. Ю. Александров, О. А. Бузлукова, А. В. Платонов

ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

В настоящей работе проводится исследование динамики сложной (многосвязной) системы, состоящей из т взаимодействующих подсистем. Предполагается, что поведение изолированных подсистем описывается существенно нелинейными уравнениями с однородными правыми частями. Определяются условия асимптотической устойчивости нулевого решения изучаемой системы и выводятся оценки времени переходных процессов.

Основным методом анализа устойчивости многосвязных систем является метод декомпозиции. В процессе декомпозиции из исходных уравнений выделяют изолированные подсистемы, для каждой из которых строится своя функция Ляпунова. Далее с помощью полученных функций устанавливаются условия устойчивости полной системы. Для применения описанного подхода Р. Веллманом и В. М. Матросовым был предложен метод векторных функций Ляпунова, который получил глубокое развитие в трудах А. А. Воронова, А. А. Мартынюка, В. Лакшмикантама, Д. Д. Шильяка, Л. Т. Груй-ича и многих других авторов [1-4]. В то же время следует заметить, что методы и алгоритмы исследования устойчивости сложных систем хорошо разработаны только в случае, когда взаимодействующие подсистемы линейны или имеют экспоненциально устойчивые нулевые решения.

А. А. Косовым был предложен способ получения условий устойчивости многосвязных систем по нелинейному приближению [5]. Он основан на использовании векторных функций Ляпунова и метода сравнения. В [б, 7] результаты А. А. Косова применялись для анализа устойчивости широкого класса сложных систем и проводилось их дальнейшее развитие. Однако в указанных работах, в отличие от [5], функции Ляпунова строились в скалярном виде.

В данной статье для рассматриваемой системы устанавливаются критерии существования функций Ляпунова специального вида, с помощью которых определяются достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения. Исследуется задача оптимального выбора параметров, входящих в построенные функции Ляпунова, для получения наиболее точных оценок времени переходных процессов. Показывается, что предложенный подход можно использовать для уточнения известных оценок решений нелинейных систем в критических, по Ляпунову, случаях.

1. Пусть задана система дифференциальных уравнений

х8 = 1»(хв) + Ь,(*,х), в = 1, ... ,771, (1)

© А. Ю. Александров, О. А. Бузлукова, А. В. Платонов, 2004

описывающая динамику сложной системы, состоящей из т взаимодействующих подсистем. Здесь X = (х£,...,х^)*, ха € Еп‘; элементы векторов Ъ(ха) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка ц3, ц8 > 1; векторные функции Ьв(£,х) непрерывны при I > 0, ||х|| < Н (Я > 0, || • || - евклидова норма вектора) и удовлетворяют неравенствам

ПМ*,х)|| < а!||хт||а1, ||ЬД*,х)|| < а^||х*_1||Л% * = 2,...,т,

где а,1,...,ат, ах,..., ат - положительные постоянные. Таким образом, система (1) имеет нулевое решение. Функции Гз(х8) определяют внутренние связи подсистем, а функции Ь5(<, х) характеризуют взаимодействие между подсистемами. Уравнения рассматриваемого вида могут использоваться для описания динамики системы с замкнутой петлей обратной связи (замкнутого контура, составленного из последовательно соединенных подсистем) [1, 4].

Будем предполагать, что нулевые решения изолированных подсистем

хв=^(х8), в = 1 ,...,771, (2)

асимптотически устойчивы. В. И. Зубовым доказано [8], что тогда для каждой подсистемы существует непрерывно дифференцируемая положительно-однородная порядка 7* — + 1 функция Ляпунова Ув(хе), удовлетворяющая при всех х8 Е Еп‘ неравенст-

с*1||хвр ***+1 < К(хв) < с82||х8||7* м'+1,

ду,

дха

где с3х, с32, с^з, Ь8 > 0. При этом в качестве 7в можно выбирать любое число, большее Ив-

Исследуем условия, при выполнении которых нулевое решение системы (1) также является асимптотически устойчивым. Для этого воспользуемся подходом, предложенным в [5]. Функцию Ляпунова для уравнений (1) строим в виде

У(х) = Х>П(х8).

(3)

8=1

Здесь А* - положительные постоянные, Уа(х8) - функции Ляпунова, соответствующие изолированным подсистемам.

При всех * > 0 и ||х|| < Н имеем

<Ш_

<И

(1)

< -23АА||х8||7‘ + А1а1С1з||х1||Т1 т||хт||а1 +

+ ^Ава*с,3||хвр ^||х8_1||а' =И'(х).

*=2

Следовательно [4], для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1) достаточно, чтобы существовал набор параметров 71,... ,7та, А*,..., Ат, при которых функция И' (х) является отрицательно-определенной. .

В работе [6] было доказано следующее: если

^ /^1 • • • А*т > (4)

то числа 71,..., 7т можно выбрать так, что функция \У (х) будет отрицательно определена при любых положительных коэффициентах а8, с3з, Ъ8 и Ав, в = 1,... ,т. При этом область допустимых значений параметров 71,..., 7т задается неравенствами

— г = 2, (5)

^ 7т «1 7*-1 «г

Рассмотрим теперь случай, когда

<Э!1 . . . Ост — Ц\ .. . (Хт. (6)

Известно [9], что если справедливо равенство (6), то для отрицательной определенности

функции \¥ (х) необходимо, чтобы имели место соотношения

А*1 • • • А4! • 1 1 /17\

Ъ -----------7т, г = 1,... ,т — 1. (7)

«1^

Значит, при построении функции Ляпунова для системы (1) сначала выбираем положительное число тт, а затем по формуле (7) определяем величины 71,... ,7т-ъ причем 7т должно быть достаточно большим, чтобы полученные таким образом значения параметров удовлетворяли условиям 7Я > ц8, в = 1,..., т. В статье [9] доказано, что тогда для существования положительных постоянных Ах,..., Ат, при которых функция \У (х) отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

т-1 , ч

Ьт

П(?)...

< 1. (8)

Нетрудно показать, что если а\.. .ат < цх. ../Лщ, то функция Ш(х) при любых положительных значениях параметров о,, с83, Ь3, \8 и 7^, з = 1,... ,т, будет знакопеременной в любой сколь угодно малой окрестности точки х = 0.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1) достаточно, чтобы выполнялось неравенство (4) или имело место равенство (6) и при этом коэффициенты аа, с8з, Ь8, 8 = 1,... ,т, удовлетворяли условию (8).

Заметим, что параметры Ъ{ и с*3, г = 1,...,тп, в неравенстве (8), вообще говоря, зависят от выбора чисел 71,, 'ут.

2. Далее с помощью построенной функции Ляпунова оценим скорость затухания решений системы (1). .

Если нулевые решения изолированных подсистем (2) асимптотически устойчивы, то ДЛЯ любого в = 1, ... ,771 существуют ЧИСЛа Г]ц1, Г)32 > 0 такие, что при всех Хво € Еп‘, £о > 0 и Ь > *о имеет место неравенство

||хв(<,х»о,«о)|| <»?в1||хво||(1 + ^2||хво||/'‘_1(*-^о))-'^=т- (9)

Здесь Х5(<,Хв0,£о) - решение в-Й подсистемы, проходящее при £ = <0 через точку хв0.

Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда при соответствующем выборе параметров и Ха, в = 1,..., га, для функции (3) в достаточно малой окрестности точки х = О и при всех £ > О справедливы соотношения

т

т

< У(х) < С2£ім

, ' ___і

І7.-М.+1

< -ЬУх+1/р,

где Сі, С2, Ь - положительные постоянные,

р =

С помощью метода оценок [8, с. 70-75] можно доказать существование чисел 8 > 0 и Д >

0, зависящих, вообще говоря, от 71,..., 7ТО таких, что если начальные данные решения х(£) = (х£(£),..., х^(<))* системы (1) удовлетворяют условиям *0 > 0, ||х(£о)|| < 6, то для любых t >Ьо имеем

Рассмотрим теперь задачу нахождения допустимых значений параметров 71,... ,7т, при которых неравенства (10) будут давать наиболее точную оценку решений системы (1).

Предположим сначала, что выполнено равенство (6). Задаем число 7т, а затем по формуле (7) находим величины 71,...,7т-1- При этом 7т выбираем так, чтобы имели место соотношения 7* > ц8, в = 1,..., га. Будем считать, что при любом таком значении тт коэффициенты аа, с83, Ь8 удовлетворяют условию (8).

Введем обозначения:

Заметим, что если при в = j имеем /3 = вj, то для вектора Xj(t) получаем «точную» оценку

в которой показатель степени совпадает с показателем степени, соответствующим случаю изолированных подсистем (см. неравенство (9)).

Если вj > /?, то (/?7т - 1)/(^7т - 1) < Р/в] Для всех 7т > 0 И (07т - 1)/(^7т-—1) -> Р/в] при 7т -У +оо. Значит, оценки (12) будут тем точнее, чем больше выбрано число 7т-

Таким образом, имеет место следующая теорема.

. ,т.

(10)

(п)

в—\...т

Тогда неравенства (10) принимают вид

/З = юіп 9а.

||ха(£)|| < Д (і - і0 + 1) , 8 = 1,..., т.

(12)

ІМОІІ < Д(*-*о + і) м*

Теорема 2. Существуют постоянные 6,Дх,.. • > Д|71 > 0 такие, что для любого решения х(£) = (х*(£),... ,х^(£))* системы (1), начинающегося при Ь = ^ > 0 в 6-окрестности точки х = 0, при всех Ь > £о справедливы оценки

||хв($|| < Д* (г - £0 + 1)~в*&--1), в = 1,...,т, (13)

где Рз - любое число из интервала (0,1), если @ < в3, и р8 = 1, если (3 = 0а. При этом значения постоянных 5, Дх,..., Ат, вообще говоря, зависят от выбора чисел Р1т • • Рт •

Замечание 1. Оценки (13) будут тем точнее, чем ближе значения р\,... ,рт к единице.

Рассмотрим теперь случай, когда имеет место неравенство (4). Положим

А*1 • * • • -1 1

7г = £»--------7т, г = 1,..., т — 1.

ах... •

Из ограничений (5) следует, что параметры £\,.. . ,£т_х должны удовлетворять условиям ,

СХ\ • » . ОСчл ,Л .ч

1 < £! < £2 < ... < £т-1 < —--------(14)

А*1 • • • А*т

Тогда неравенства (10) можно записать в виде .

||хв(0Н < Д (^ — *0 + 1)-<£*в*т,"*’-^^‘’-^ , в = 1, . . . ,Ш.

Здесь

Е '

вя = пип —0*.

Я=1 ,...,т £8 4

причем £т = 1, а постоянные в\,... ,вт по-прежнему определяются по формулам (11). Как и в предыдущем случае, нетрудно показать, что справедливы соотношения

||х8(*)|| < Д8 (£ - г0 + 1)_570^7, в = 1,...,т,

где Д5 > 0; Рз - любое число из интервала (0,1), если /3* < и р8 = 1, если Р8 = 0*.

Для получения наиболее точных оценок остается только при каждом фиксированном в выбрать параметры е\,...,£т~1 так, чтобы величина /Зв принимала наибольшее возможное значение. Заметим, что при выполнении условия (4) за счет выбора коэффициентов Ах,..., Ат в функции Ляпунова (3) можно добиться того, чтобы в цепочке неравенств (14) все неравенства, кроме одного (любого), могли обращаться в равенства. Значит, (}а максимально, когда £\ = ... = £а = 1, а е3+х = ... = £т-\ = ах... / (/Л —

Получаем следующую теорему.

Теорема 3. Существуют постоянные 6, Дх,...,Дт > 0 такие, что для любого решения х(Ь) = (х*(£),... ,х^(£))* системы (1), начинающегося при £ = £о > 0 в 6-окрестности точки х = 0, при всех £ > £о справедливы оценки

||хв(г)|| < А3(г-г0 + 1,...,т. (15)

Здесь

л ^1 • • • л ^*1 • • • '-~тп п л

qs - любое число из интервала (0,1), если ш8 < в3, и = 1, если ш8 = 08■ При этом значения постоянных 5, Д1,...,Дт, вообще говоря, зависят от выбора чисел

Ч.Х > • • • 1 <7т- '

Замечание 2. Оценки (15) будут тем точнее, чем ближе значения qx,...,qтn к единице.

Пример. Рассмотрим случай двух взаимодействующих подсистем (т = 2). Предположим, что а\а.2 > ЦхЦ2• Тогда ограничения (5) принимают вид

^ (16) М1 71 “2

Если (^2 — 1)/(М1 — 1) > ац/^1, то, согласно условию (16), имеем 72/^2 — 1) <

71 /(/^1 — !)• Следовательно, для решений, начинающихся при t = Ьо >0 ъ достаточно малой окрестности точки (х*,хз)* = (0*,0*)*, при всех ^ > <о справедливы оценки

||хг(*)|| < Д(*-40 + 1) , ||х2(*)|| < Д(£ - <о + 1) >‘2-1 •

В рассматриваемом случае выполняются неравенства

. Г'

72 - ^2 + 1 0:171/^1 - А*2 + 1 < «1

71 - + 1 71 - щ + 1 щ'

Таким образом, получаем искомую оценку скорости затухания решений

||Х1 (<)|| < Дг(« - г0 + 1)”м1Гм-1), ||х2(*)|| < Д2(* - <0 + 1)“'7^гг.

Здесь число р может принимать произвольные значения из интервала (0,1). Эта оценка будет тем точнее, чем ближе значение р к единице.

Аналогично, если а\1ц\ > (Ц2 — 1) /(а*1 — 1) > М2/«2? то наилучшая оценка будет

при (72 - Ц2 + 1)/(71 - /ц + 1) = (^2 - 1)/(аы - 1):

||Х1(*)|| < Дх(< - + 1)~'11^т, ||х2(0Н ^ Дз(* - *о + 1 )“^гг.

И, наконец, если (/х2 — 1)/(а*1 — 1) < Р2/&2, то оценка имеет вид

||Х1 (*)|| < Д:(* - г0 + ||х2(*)|| < Д2(« - *0 + 1)-^^ЙП?Ьтт,

где вновь р е (0,1).

Замечание 3. Аналогичные степенные оценки для решений системы (1) справедливы и в случае, когда среди параметров цх,../хт есть равные единице. Достаточно, чтобы хотя бы для одного значения индекса в выполнялось строгое неравенство Ц8 > 1>

3. Покажем теперь, что результаты, полученные в настоящей работе, могут применяться для уточнения известных оценок решений нелинейных систем в критических, по Ляпунову, случаях. Рассмотрим критический случай к нулевых корней [8, 10]. Пусть задана система

У = Ру + в(у)- (17)

Здесь у - п-мерный вектор с компонентами У1,. . уп> Р _ постоянная (п х п)-матрица, элементы вектора g(y) разлагаются в ряды по степеням уг, ■ ■ ■,уп, сходящиеся в некоторой окрестности точки у = 0 и начинающиеся членами не ниже второго порядка.

Будем предполагать, что матрица Р имеет к собственных чисел, равных нулю, -ап —к собственных чисел с отрицательными вещественными частями, 1 < к < п, причем нулевым собственным числам соответствуют простые элементарные делители. Известно [8, 10], что система (17) может быть приведена к виду

XI =Г1(х1) + 1ц(х), х2 = Рх2 + ь2(х).

Здесь хх, € Ек, х2 6 Еп~к, х = (х*,х2)*; Р - постоянная матрица размерности (п — к) х (п — к), все собственные числа которой имеют отрицательные вещественные части; элементы вектора Г^хх) являются однородными формами порядка /х, ц > 1; векторные функции Их(х) и Ь2(х) разлагаются в ряды по степеням компонент вектора х, сходящиеся в некоторой окрестности точки х = 0, и удовлетворяют в этой окрестности неравенствам ,

1М*)|| < «X (1ЫГ1 + ||*г|Н|*а|| + 1М2), * = 1,2,

где ах, а2 - положительные постоянные. Причем системы (17) и (18) эквивалентны в смысле устойчивости нулевого решения, т.е. нулевое решение (17) будет устойчивым (асимптотически устойчивым, неустойчивым) тогда и только тогда, когда тем же самым свойством обладает нулевое решение системы (18).

Таким образом, в данном случае динамика изолированных подсистем описывается уравнениями

Х1=Ъ(х1), (19)

, х2 = Рх2, (20)

■а функции Ьх(х) и Ь2(х) характеризуют взаимодействие между подсистемами.

Пусть нулевое решение системы (19) асимптотически устойчиво. В работе [8] показано, что тогда нулевое решение системы (18) также является асимптотически устойчивым. В этом случае существуют числа 5,771,772 > 0 такие, что любое решение х(£) данной системы, начинающееся при 4 = 0 в области ||х|| < 6, для всех Ь > 0 удовлетворяет неравенству

1М<)11 < Ч1||х(0)|| (1 + ча||х(0)|Г1 гГ* •

Для получения более точной оценки решений системы (18) рассмотрим непрерывно дифференцируемые положительно-определенные однородные порядка 71 — /X + 1 и

72 функции Ляпунова VI (хх) и ^(хг), соответствующие изолированным подсистемам (19), (20). В качестве 71 и 72 можно выбирать любые рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями такие, что 71 > /х, 72 > 1. Для функций Уг (хх) и Т^(хг) при всех XI 6 Ек, х2 € Еп~к справедливы неравенства

Си||Х1||71“#,+1 < К(Х1) < С12||Х1||'п“#*+1|

. с21||х2||72 < У2(х2) < С22||х2||72,

где Сц, С12, С21, С22, &1, Ь2 - ПОЛОЖИТвЛЬНЫв ПОСТОЯННЫв.

Функцию Ляпунова для системы (18) строим в виде

У(х)=У1(х1) + 72(х2).

Если параметры 71 и 72 удовлетворяют условию

А* — 1< — <А* + 1, (21)

72

то в достаточно малой окрестности точки х = 0 имеет место соотношение ' <IV

dt

<-bV^r=7^FT, b> 0. (18) ~ -

Следовательно, найдутся числа 5 > 0 и Д > 0 такие, что для любого решения x(i) = (x*(t),x2(t))* системы (18), начинающегося при t = 0 в области ||х|| < <5, при всех t > 0 выполняются неравенства

||xi(t)|| < A^ + l)-^, ||x2(i)|| < Д(* + l)"^«T-i).

Учитывая условие (21), получаем, что оценка для Цхг(#) || будет тем точнее, чем ближе величина 71/72 к значению ц + 1 и чем больше выбирается число 72.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Для любого р 6 (0,1) существуют положительные постоянные 6, Ai, Д2 такие, что если решение x(t) = (x^(i),х^(^))* системы (18) удовлетворяет условию ||х(0)|| < S, то при всех t > 0 имеем

1М»)|| < Ai(t + 1)-A, ||x2(t)ll < Д2(4+~1)->,5й.

Здесь, как и в предыдущих теоремах, постоянные <5, Дх, Д2, вообще говоря, зависят от выбора числа р, а полученная оценка на ||x2(i)|| будет тем точнее, чем ближе значение р к единице.

Summary .

Aleksandrov A. Yu., Buzlukova О. A., Platonov А. V. Estimation of solutions for a class of complex systems.

The conditions of asymptotical stability for a class of essentially nonlinear large-scale systems are investigated. By the use of Lyapunov’s direct method the estimation of the decay rate of solutions for systems considered is obtained.

Литература

1. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., 1979. 336 с.

2. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А. А. Воронова,

В. М. Матросова. М., 1987. 312 с.

3. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев, 1984. 308 с.

4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Румянцева. М., 1980. 300 с.

5. Косов А. А. Об устойчивости сложных сйстем по нелинейному приближению // Диф-ференц. уравнения. 1997. Т. 33, Л* 10. С. 1432-1434.

6. Александров А. Ю. Об устойчивости сложных систем в критических случаях // Автоматика и телемеханика. 2001. № 9. С. 3-13.

7. Александров А. Ю., Платонов А. В. Устойчивость движений сложных систем. СПб., 2002. 79 с.

8. Зубов В. И. Устойчивость движения. М., 1973. 272 с.

9. Александров А. Ю., Соколов С. В. О построении функций Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжск. матем. об-ва. 2004. Т. 6, № 1. С. 69-74.

10. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л., 1952. 432 с.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.