Оценка прочности структурированного стержня методом осреднения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3+519.6

ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ СТРУКТУРИРОВАННОГО СТЕРЖНЯ МЕТОДОМ ОСРЕДНЕНИЯ

© 2009 Н.С. Астапов, В.М. Корнев

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск

Поступила в редакцию 15.04.2009

Напряженно деформированное состояние высотной многоэтажной башни смоделировано состоянием структурированного стержня, в котором напряжения вычислены методом осреднения. Показано, что сжимающие напряжения в структурированном стержне существенно превышают максимальные напряжения в поперечном сечении в эквивалентном однородном стержне. При этом число таких поперечных сечений стержня со структурой пропорционально числу этажей в башне. Формулируется периодическая задача на ячейке, используя представление решения в виде суммы гладкой и быстроосциллирующей частей.

Ключевые слова: прочность стержня со структурой, асимптотическое разложение.

ВВЕДЕНИЕ

Многие материалы (композиты, пенопласты, перфорированные пластины, железобетонные плиты, материалы с системой трещин и др.) и конструкции (фермы мостов, каркасы высотных зданий, наделенных междуэтажными перекрытиями) имеют структуру, близкую к периодической. Процессы в средах с периодической структурой описываются уравнениями с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами, зависящими от малого параметра s , характеризующего относительный размер периодической ячейки. Эффективным методом исследования макроскопических и микроскопических свойств периодических структур является асимптотический метод осреднения [1], в котором решение уравнения разыскивается в виде ряда по степеням малого параметра s . Целью такого построения является получение уравнений, коэффициенты которых не являются быстроосциллирую-щими, а их решения близки в среднем к решениям исходных уравнений. Эти новые уравнения называют осредненными уравнениями, а их коэффициенты — эффективными коэффициентами материала или конструкции [1]. Отметим, что для применения метода осреднения необходимо наличие соответствующей гладкости коэффициентов уравнений.

В монографии [1] на стр. 40-49 проведено построение и подробное исследование асимптотического разложения решения задачи

Астапов Николай Степанович, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник. E-mail: nika@hydro.nsc.ru.

Корнев Владимир Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник. E-mail: kornev@hydro.nsc.ru.

( (х / а))) =/(*). х - (0 о , (2)

и(0) = gl, и(1) = g2, (2)

где / (х) — бесконечно дифференцируемая функция, не зависящая от а , К(х / а) = К (?), ? е Я — бесконечно дифференцируемая 1-пе-риодическая по ? функция. Уравнение (1) может описывать, например, состояние равновесия линейно упругого одномерного композита длиной I всюду вне поверхностей зерен [1].

В данной работе рассматривается применение метода осреднения в задаче оценки прочности высотной башни с междуэтажными перекрытиями. За основное определяющее уравнение выбрано уравнение ( (х / а)Е (х )и'(х)) = / (х), где и( х) — величина смещения поперечного сечения башни, £ (х / а) — площадь поперечного сечения с абсциссой х, /(х) — плотность равнодействующей внешних сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси башни [2]. Модуль Юнга Е(х) считается постоянным, не зависящим от х. Аналогичные задачи возникают при растяжении-сжатии композитных стержней, когда структура стержня периодически меняется, причем параметр а = 2г0 /1, где 2г0 — диаметр структурной ячейки, характеризует быструю осцилляцию [3]. Обратим внимание на то, что ниже исследуется задача прочности. А потому необходимо построение асимптотических разложений решений в высших приближениях.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуем распределение напряжений при сжатии вертикального стержня под действием собственного веса с быстроменяющейся по периодическому закону площадью поперечного сечения стержня. Такой стержень может моделировать, например, высотное здание с учетом между-

этажных перекрытий. В качестве математической модели данной задачи рассмотрим уравнение

(((х/е)и') = /(х) + g(х/е), 0 < х < I, (3)

при краевых условиях

и(0) = и'(I) = 0 , (4)

где I — высота стержня, е = I / п — малый параметр (при достаточно больших натуральных п, п — количество этажей), характеризующий частоту изменения жесткости К (х / е) = £ ( х / е) Е ( х) поперечного сечения стержня. Так как процедура осреднения [1] накладывает некоторые ограничения на выбор функции К(х/ е) = К(£) , х/ е = £ е Я , то пусть К(£) является бесконечно дифференцируемой 1-периодической функцией, удовлетворяющей условию 0 <к1 < К(£) < к2, где к1 и к2 — произвольные положительные числа. Правая часть уравнения (3) отличается от правой части уравнения (1), так как / (х) описывает гладкую часть нагрузки, а g (х / е) — нагрузка, связанная со структурой ячейки (этажа). Пусть функция g (х / е) = g (£) также является дифференцируемой 1-периодической функцией, для которой (g(£)) = 0, где угловые скобки здесь и далее означают среднее зна-

1

чение функции по периоду (g(£)) = | g(£)й£ .

0

Кроме отличия правых частей уравнений (1) и (3) имеется и второе отличие: краевое условие (4) при х = I записано для напряжений и этим отличается от условия (2). Эти отличия обуславливают внесение изменений в метод осреднения [1]. Кроме того, в отличие от задачи (1)-(2) в задаче (3)-(4) большее значение имеет оценка напряжений, то есть производной и'(х) решения, а не само решение и(х) , представляющее перемещение поперечного сечения стержня.

Построим методом осреднения формальное асимптотическое разложение решения задачи (3)-(4) в высших приближениях. Предположительно целесообразно строить асимптотическое разложение до членов, содержащих е2 включительно, чтобы с достаточной точностью можно было получить оценки напряжений, как для гладкой, так и для быстроосциллирующей составляющей решения. На конкретном примере проведем сравнение численных результатов, полученных с помощью построенного асимптотического решения с точностью до членов, содержащих е и е2 включительно, и аналитического точного решения.

ПОСТРОЕНИЕ

АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ

Учитывая линейность уравнения (3), его решение и(х, е) будем разыскивать в виде

и(х, е) = и(х, е) + м(х / е).

(5)

Так как

(Ки'У=(К (и + V)') = (Ки' + Км/') =

= (Ки')+(Км') = /(х) + g(х/е) ,

то функцию и( х, е) — асимптотическое разложение уравнения

(Ки') = / (х) (6)

— построим с помощью аналогичного [1] алгоритма, причем функция и (х) = и (х, е) не будет зависеть от е сингулярно; а функцию м(х / е) найдем из уравнения

(Км') = g(х / е) . (7)

Произвольные постоянные в общем решении и(х, е) выберем так, чтобы выполнялись краевые условия (4). Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения (7) можно записать в виде

I

м(£) = {К-1(у)1 |g(г)йг + Се

йу + С2

(8)

где Се = -<К 1)-1 <К-\у)^(г)йг) = е2С ,

причем С1 не зависит от е , С2 = 0 . Так как функции К(£) и g(£) являются 1-периодически-ми, то, благодаря лемме 1 из [1] и указанному выбору постоянных интегрирования С1 и С2 , построенное решение (8) оказывается 1-перио-дической функцией, причем

м(0) = 0, м'(I) = е~1м>'й(Г) = еС1К_1(0). (9) Перейдем к построению функции и(х) . Асимптотическое разложение решения уравнения (6) разыскивается в виде

и

(х) = у( х) + (£)

й'у( х)

(10)

1=1 йх

где Ю = х / е , функции N 1 (£) — 1 периодические функции Ю; функция у(х) не зависит от £ и имеет асимптотическое разложение

Лх) = Ъе1у} (х), (11)

] =0

причем (х) не зависят от е . Из краевых условий (4), учитывая выражение (5) и условия (9), получим следующие краевые условия для функции и( х)

и(0) = 0, и' (I) = -еС1К _1(0). (12) Подставим ряд (10) в левую часть уравнения (6) и краевые условия (12) и сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях е. Будем формально считать, что переменные х и £ незави-

симы. Выберем функции (х) и Ni (£) так, чтобы слагаемые порядка е~2 и е- обратились в нуль, а все слагаемые более высоких порядков относительно е не зависели от £. Так как функции Ni определяются из дифференциальных уравнений с точностью до некоторых постоянных слагаемых, то для определенности положим N (0) = 0 при i > 1.

Построение функций Ni, i > 1 проводится по следующей рекуррентной процедуре. Для очередного по порядку значения I определим функцию Т (£) по формулам

Т££) = -йК (£)/ £ Т (£) = -К(£) (Щ_1 / (ЩЩ-1) / й£,

I >1. (13)

Заметим, что функции Т(£) выражаются через функции N. с меньшим индексом ] < I, причем полагается N0 = 1. Определим константы « через средние по периоду значения функций Т (£), а именно положим И1 =-(Т1), например, « = 0 и к2 = (К— )-1 в силу 1 периодичности функции К (£). Затем находим очередную функцию Ni (£), удовлетворяющую условию Ni (0) = 0 при I > 1, как 1 периодическое решение уравнения

(к (К )) = Т (£) + («). (14)

Благодаря лемме 1 из [1], такое решение Ni (£) существует и единственно.

Для построения функции у( х) разложения (10) найдем функции (х) разложения (11), шаг за шагом решая краевые задачи следующей цепочки задач

«2 £ = / (х).

а 1+2

«2 йх2 - А, ПЧ-1 +2 -1 +2 при * > 0 , (15)

1 =0

йхч

V* (0)=0 при * > 0 , а краевые условия для V* (I) определяются следующим образом. Так как Ni (I / е) = 0 , то в выражении производной асимптотического разложения (10)

'< х) = V. х) + § ) ^+еХ (е) ^) (,6)

второе слагаемое под знаком суммы при х = I обращается в нуль. Подставляя в (16) разложение v( х) в ряд (11) и собирая члены при одинаковых степенях е, запишем определяющее уравнение для краевых условий V* (I) в виде

и' (I) = (1 + ^(п) ) v'0(l) +

+)(1+А(n)) V' (I)+Ы2(пХ (1)]+...=-)-' (0) ,(17)

где п = I/) . В записи разложения (16) и уравнения (17) подразумевается, что для функций Ni (х / е) = Ni (£) производные вычисляются по £, а для функций и(х) , vi (х) производные вычисляются по х. Приравнивая в справедливом для любого е равенстве (17) коэффициенты при различных степенях е к нулю, получим цепочку соотношений, из которой последовательно для каждого * = 0,1,2,... найдем краевые условия для V*(I) . Выпишем первые три (для * = 0,1,2 ) соотношения этой цепочки

(1 + ^(п)) v'o(l) = 0, (18)

(1 + N1 (и))v''(l) + N2(пК(I) = -СК- (0), (19) (1+А») v'2(l)+^2(пХ(1) + ^(пК(1) = 0. (20)

Для х = l имеем

1 + Щ/ й£ = К- ^)(К- )-1 * 0 , поэтому из равенства (18) найдем краевое условие для v'0 ) и, решив краевую задачу

«2 (0 )'„ = /(^ = 0 , v'o(l) = 0 , (21)

где к2 = -(Т2) = (К 1) 1, определим функцию v0 (х). Задача (21) называется осредненной задачей нулевого порядка. Она описывает напряженное состояние в таком однородном стержне, свойства которого в некотором смысле близки эффективным свойствам исходного стержня с периодической структурой. Хотя истинные перемещения и(х) близки к средним перемещениям v0 (х), однако разность между производными точного решения и решения осредненной задачи может заметно отличаться [1]. Следовательно, для правильного определения напряжений необходимо учитывать в разложении (10) члены, содержащие е2 включительно. Решением цепочки краевых задач (15) последовательно находим функции V* (х) при всех * > 0 и этим завершается построение асимптотического разложения решения задачи (3)-(4).

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

Из уравнения (3) с учетом краевого условия и'^) = 0 и неравенства К(х/ е) > 0 следует равенство х

и'(х) = К- (х, е\(/(7) + g(2 /е).(22) Отсюда, учитывая краевое условие и(0) = 0 , для задачи (3)-(4) получим точное решение

х ( У \

и(х) = Л К- (У,е)\(№+g(z/е))сЬ йу. (23)

0 V ' )

Для обоснования полезности сложных построений асимптотического разложения решения отметим, что хотя задача (3)-(4) имеет решение в квадратурах (23), однако непосредственный

анализ структуры этого решения (например, влияние величины малого параметра s на значение наибольшего напряжения) сложнее анализа асимптотического разложения (10). Кроме того, точного решения может не существовать, например, в математической модели задачи, описывающей двоякопериодическую структуру конструкции. Подробное изложение преимуществ асимптотических разложений можно найти в [4]. Возможно так же, как в рассмотренном ниже примере, что уже несколько первых членов асимптотического разложения представляют точное решение.

СРАВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО И ТОЧНОГО РЕШЕНИЙ НА КОНКРЕТНОМ ПРИМЕРЕ

Построим асимптотическое разложение решения краевой задачи

(K (x / sSU')'= K (x / s), 0 < x < l, (24) U (0) = U \l) = 0, (25)

где K(x/s) = K()) = 2 + sin(2nx/s) . Выбор функции K()) в таком виде можно связать с выбором первых двух членов в разложении произвольной функции в ряд Фурье. Уравнение (24) является частным случаем уравнения (3), причем можно считать f (x) = 2 , g (x / s) = sin(2nx / s). В этом случае 1 периодическим решением w( x / s) уравнения (7) является функция

(dNJ d) = ci( K -1 ()))

-1

w - =-

(26)

то

ci =

(K-1)-1=ÍJ

d)

2 + sin(2n))

= л/3

для которой ^(0) = 0 , ^'(1) = -е /(4п). Поэтому для решения уравнения

( (х/ е)и') = 2 , (27)

краевые условия с учетом выражения (5) и условия (25) имеют вид

и(0) = 0, и' (Г) = е/(4п). (28) Функции N ()), I > 1 разложения (10) найдем из уравнения (14) с учетом соотношений (13). Так, для определения функции N1 уравнение (14) при I = 1 можно записать в виде ё(К(dN1 /ё) +1))/ё) = 0 , следовательно, dN1 / ё) = с1 / К ())-1. Отсюда, учитывая ра-

ы = ) ё) о

венство Ni (0) = 0, получим N1 С1 ] к ))) 0 ,

где константа с1 вычисляется из условия 1 периодичности функции N следующим образом. Так как справедливо равенство

(ё^/ ё)) = N,(1) - N1(0) = 0 и равенство

Окончательно для функции N1 получим выражение . . ¡-i d)

N ()) = y¡3 f-Щ—--)

(29) ЛЧ o 2 + sin (2n)) •

Заметим, что так определенная функция N1 ()) является 1 периодической, причем N1 (n) = N1 (0) . Для определения функции N2 ()) сначала, пользуясь равенствами (13), (14) и учитывая 1 периодичность функций K ()) и Ni()), находим функцию

T2 ()) = —л/3())N1) и вычисляем

среднее по периоду (Т2} = -V3. Затем из уравнения (14) имеем

KdN2 / d) = f(T2 - (T2)) d) = -KN1 + c2,

где константа c2 вычисляется аналогично вычислению константы c1 из условия 1 периодичности функции N2 следующим образом. Так как

(dN2 /d))= cJK l)-{N) = N2 (1)-N2 (0) = (¡)

то c2 = c^N) = y/3(N^. Нако-

нец, учитывая равенство (29) и условие N2 (0) = 0, получим для 1 периодической функции N2 выражение

) ) N2 ()) = f d) d) = f (((N)/ K - n1 .(30)

0 d) 0

Функции Ni ()) при i > 2 находятся аналогично из рекуррентных соотношений (13)-(14), но их вычисление для решения задачи (24)-(25) не требуется, потому что в этом случае, как будет показано ниже, ряд (10) не содержит членов с s при i >3.

Для определения функции v (x) разложения (10) находим функции v. (x) разложения (11), решая последовательно краевые задачи цепочки задач (15). Краевая задача (21) при h2 = (K_1)"1 = V3 и f(x) = 2 имеет решение v0 (x) = x(x - 2l) /V3 . Пользуясь представлениями (29), (30) вычислим значения выражений 1 + N'(l/s) = V3/2, N2(l / s) = y¡3(N1 У/2 и с учетом условий (28), (17) и (19) для определения функции v1 (x) запишем краевую задачу

V3 (1) x = 0, v1(0) = 0,

v'(l) = 2 (1/4п-( N1))/>/3 ,

решением которой является многочлен первой

1 (х ) = 2 (l/4n-(Ni)) х / л/3. Следо-

степени v1

вательно, благодаря соотношению (20), для нахождения функций Уд краевая задача (15) при q > 2 принимает простой вид л/Зу^ (х) = 0 , уд (0) = v'q (I) = 0 , решением которой является уч (х) = 0 для любого q > 2. Окончательно для функции V (х) находим разложение (11) в виде многочлена второй степени относительно х

(

;(х) = vo (х) + sVi (х) =

;( х - 21)

+ 4 f ¿"i Ni) ^

73 "VI1■ (31)

Используя выражение (31) в разложении (10) для производной решения и (х) краевой задачи (27)-(28) получим представление

и'(х) = 2 ( х -1 + е/ ( 4п)) / К (х/е). (32) Если в разложении (10) пренебречь членами, содержащими е во второй и более степени, то получим приближенное выражение производной

и'(х )«(у (х ) + е^ (х /е)У(х ))' =

+ 2s

Nl V3

М

K

(33)

K

f

1

х -1 + — 4n

l - cos

2пх

\X\

>JJ

(35)

которое полностью совпадает с асимптотическим разложением (34).

Полученные выражения (33), (35) для напряжений в стержне со структурой ( n -этажной башне) сравним с выражением напряжения <J ( x) в однородном стержне с постоянной площадью S0 поперечного сечения [5, 6]

а( x ) = x -1. (36)

Заметим, что формулу (36) для <j(x) = U'(x) можно получить, вычислив производную точного аналитического решения задачи (24)-(25) при K(x/s) = S0 = const. Эту же формулу (36) можно получить для производной <j(x) = v'0 (x) решения v0 (x) осред-ненной задачи нулевого порядка (21), то есть для напряжений в эквивалентном однородном стержне, при h2 = (K= 2 , f (x) = K , где K = K (x / s) = 2, причем в этом случае производная U'( x) асимптотического разложения решения U (x) задачи (24)-(25) совпадает с

'0 ( х),

то есть

U'( х ) = v0 ( х ) = а( х ) = х -1

Интересно отметить, что приближенное с точностью до s включительно выражение (33) оказалось сложнее точного представления (32). Согласно (26) функция w (х / s) « O (s2) , поэтому приближенное с точностью до s разложение производной U'( х ) решения задачи (24)-(25) дается по-прежнему выражением (33), а асимптотическое разложение производной решения с учетом всех членов записывается формулой

U (х ) = u' (х ) + w' (х ) = • 2 ( , s\ s cos(2пх/s)

=Ах -1+-£)-2П—к— ■ (34)

где для функций u ' ( х) и w ' ( х) использованы представления (32) и (26) соответственно.

Теперь найдем точное решение задачи (24)-(25). Пользуясь равенством (22), получим для производной точного решения выражение

х

U ' (х) = к- J(2 + sin (2пх / s)) ) =

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

РАСЧЕТОВ

Приведем численное сравнение полученных результатов для стержня высотой I = 1. На рис. 1-3 для различных е (е = 1/2 , 1/5 и 1 /50) построены кривые 1-3 зависимости напряжения от высоты х поперечного сечения стержня, вычисленные по формулам (33), (35) и (36) соответственно. С уменьшением е значения напряжений, вычисленные по формулам (33) и (35), почти совпадают, поэтому кривые 1 и 2 на рисунке 3 неразличимы.

На рис. 4 приведены графики трех первых волн зависимости напряжения и'(х) от высоты х поперечного сечения стержня для е = 1/20 , вычисленные по формуле (34): при 0 < х <е — волна 1 (нижняя), при е< х = х1 < 2е — волна 2 (средняя) и при 2е < х = х2 < 3е — волна 3 (верхняя). Существенно, что напряжение (34) в структурированном стержне представлено алгебраической суммой гладкой и быстроосциллирующей частей, причем последняя, как видно из рис. 4, является почтипериодической функцией. Именно это обстоятельство позволяет сформулировать периодические граничные условия задачи (3) для структурной ячейки [7], опираясь только на гладкую часть решения [4] в точке х = 0 . Периодические граничные условия ставятся как на саму функцию и (х), так и на функцию напряжения

Рис. 1. Зависимость напряжения от высоты х Рис. 2. Зависимость напряжения от высоты х

для е = 1/2

для е = 1/5

Рис. 3. Зависимость напряжения от высоты х для £ = 1/50

8ги'(х)

0.1 0.15

Рис. 4. Три первых волны зависимости напряжения и'(х) для е = 1/20

х,

Рис. 5. Вклад в зависимость и'(х) членов, Рис. 6. Вклад в зависимость и'(х) членов,

содержащих только е ( е = ~ ).

содержащих только е2 ( е = "20 )

Таблица. Концентрация напряжений в структурированном стержне.

и'( х). Задача (3) с периодическими граничными условиями позволяет получить наихудшую оценку на коэффициент концентрации напряжения за счет структуры.

На рис. 5 с учетом выражений (5), (10) и (26) дан график вклада в зависимость напряжения и'(х) членов, содержащих только е в первой степени, то есть построен график функции

8хи'(х) = е [[ (£)*"'(х)] . На рис. 6 показан график функции

52и(х) =е [^ (£) V (х) -1п (1+£ап (2пх/е) /2) ),

е х и(х) о(х) и (х)/о(х)

У2 0,375 -1,170 -0,625 1,87

1/5 0,15 -1,668 -0,85 1,96

1/10 0,075 -1,834 -0,925 1,983

1/20 0,0375 -1,917 -0,9625 1,992

1/50 0,015 -1,967 -0,985 1,997

1/100 0,0075 -1,983 -0,9525 1,998

содержащей только члены с а2, которая является 1 -периодической функцией благодаря 1 -периодичности функции N (?) и равенству

х) = 2/Тэ .

В таблице для различных а приведены значения напряжения и'(х) в структурированном стержне высотой / = 1 и значения напряжения о ( х) в однородном стержне, вычисленные при х = 3а/ /4. В последнем столбце таблицы дан коэффициент концентрации напряжения за счет структуры — значение отношения и' (х) / о (х). Из выражений (35) и (36) находим, что для любых а справедливо неравенство и(х)/о(х) <2/К(х/а) = 2/(2+ап(2пх/а)) <2 . При этом равенство достигается в п = //а точках х = хк = ак - а/ 4, где к = 1,2,..., п. Следовательно при а ^ 0 в этих п различных внутренних точках стержня коэффициент концентрации напряжения за счет структуры стремится к двум, что согласуется с данными последнего столбца таблицы.

ВЫВОДЫ

Расчеты показывают, что напряжения в

структурированном стержне могут почти вдвое превышать напряжения в эквивалентном однородном стержне, распределение максимальных напряжений в осредненной задаче позволяет поставить периодическую задачу для наиболее нагруженной ячейки композита.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М., Наука, 1984, 352 с.

2. Арсенин ВЯ. Методы математической физики и специальные функции. М., Наука, 1974. 432 с.

3. Образцов И. Ф, Власов А.Н., Яновский Ю.Г. Расчетный метод оценки прочностных свойств структурно неоднородных сред. ДАН. 2006. Т.406,. №2, С.196-199.

4. Андрианов И.В, Маневич Л.И. Асимптотические методы и физические теории. М., Знание, 1989, (Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Физика"; № 2), 352 с.

5. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т. 1. М., Гос. издат. физ.-мат. лит., 1960, 380 с.

6. Черепанов Г.П. Равнопрочная башня. Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №5(39). С. 42-51.

7. Яновский Ю.Г. Наномеханика и прочность композиционных материалов. М., Издание ИПРИМ, 2008, 180 с.

STRENGTH ESTIMATION OF STRUCTURED ROD BY AVERAGING

© 2009 N.S. Astapov, V.M. Kornev

Institute of Hudrodynamics named after M.A. Lavrentyev of Sibir Branch of RAS, Novosibirsk

The stress-deformed state of a high-rise building is modeled by the state of a structured rod for which stresses are calculated by averaging. It has been shown that compressive stresses in a structured rod essentially exceed maximum stresses in cross-sections of the equivalent homogenous rod. In this case, the number of such cross-sections of the structured rod is proportional to the number of stores in the high-rise building. A periodic problem for a cell is formulated using the representation of solution in the form of the sum of smooth and high-oscillating parts. Key words: structured rod strength, asymptotic expansion.

Nikolay Astapov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Senior Fellow. E-mail: nika@hydro.nsc.ru.

Vladimir Kornev, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Chief Research Fellow. E-mail: kornev@hydro.nsc.ru.