Оценка прочности составного стержня с регулярной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА И МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 539.3

ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ С РЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРОЙ

© 2011 Н.С. Астапов

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск Новосибирский государственный университет

Поступила в редакцию 26.05.2010

Напряженно деформированное состояние при сжатии под действием собственного веса трехступенчатого вертикального стержня, составленного последовательно из трех структурированных стержней, исследуется аналитически. Напряжения в каждом стержне вычислены методом, осреднения. На конкретном примере детально описана процедура склейки решений на стыках ступеней. Показано, что сжимающие напряжения в каждой ступени составного стержня существенно превышают максимальные напряжения в поперечном сечении эквивалентного однородного стержня. Ключевые слова: прочность структурированного стержня, асимптотическое разложение, задача склейки.

ВВЕДЕНИЕ

Эффективным методом исследования свойств материалов с периодической структурой является асимптотический метод осреднения [1], в котором решение уравнения разыскивается в виде ряда по степеням малого параметра а .

В данной работе, являющейся непосредственным продолжением работы [2], показывается возможность применения метода осреднения в задаче оценки прочности многоступенчатой высотной башни с междуэтажными перекрытиями. За основное определяющее уравнение выбрано уравнение ( (х / а)Е (х )и'(х))' = /(х), где и( х) — величина смещения поперечного сечения башни, £ (х / а) — площадь поперечного сечения с абсциссой х , /¡(х) = £(х/а~)у(х) — плотность равнодействующей внешних сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси башни [3]. Модуль Юнга Е(х) = Е0 и удельный вес материала у(х) = у0 считаются постоянными, не зависящими от х . Аналогичные задачи возникают при растяжении-сжатии композитных стержней, когда структура стержня периодически меняется, причем параметр а = 2г0 /1, где 2г0 — диаметр структурной ячейки, характеризует быструю осцилляцию [4]. Ниже основное внимание уделяется задаче прочности. С этой целью необходимо получить асимптотическое разложение производной решения с точностью до а , а само решение — с точностью до а2 включительно.

Астапов Николай Степанович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры высшей математики. E-mail: nika@hydro.nsc.ru

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуем распределение напряжений при сжатии под действием собственного веса трехступенчатого вертикального стержня, составленного последовательно из трех стержней, с быстроменяющейся по периодическому закону площадью поперечного сечения в каждом стержне (рис. 1). Такой составной стержень может моделировать, например, многоступенчатое высотное здание с учетом междуэтажных перекрытий. В качестве математической модели данной задачи рассмотрим уравнение

(((х/e)U')' = f(x) + g(x/a), 0 < x < l, (1)

при граничных условиях

U(0) = 0 , U'(l) = 0 , (2)

где l — высота стержня, a = l / n — малый параметр (при достаточно больших натуральных n; n — либо количество этажей, либо количество однотипных структурных элементов), характеризующий частоту изменения жесткости K (х / a) = S ( х / a) E0 поперечного сечения стержня. Предположим, что исходный трехступенчатый стержень составлен последовательно из трех стержней, длины которых ll = nja , l2 = n2a , l3 = n3a , ni — натуральные числа, причем lj +12 +13 = l. Функция K(x / a) является кусочно гладкой, поэтому потребуем дополнительно выполнения условий непрерывности перемещений на стыках ступеней

U ]| x=i = U ]| x=1 +l2 = 0 (3)

и непрерывности усилий

[KU']x=,= [KU1 x=H+l2 = 0 . (4)

Здесь символ [р (х )] означает разность правого и левого предельных значений функции в

данной точке [р (х)]|х=/ + 0- 0) ,

± 0 ) = ^Ит о р(/1 ±б). Пусть площадь поперечного сечения в каждом стержне-ступени меняется по закону

S(x Is) =

S1 (x Is) = 8+4sin( 2nx I s), 0 < x <l1, S2(xls) = 4+2sin(2nxIs), l1 <x<l +l2, ^ S3 (xIs) = 2+sin(2nx Is), l1 +l2 < x < l.

Для каждого из отрезков (стержней) пометим согласно (5) функцию жесткости K (x I s) поперечного сечения соответственно этому отрезку индексом, например, запишем

K(xI s) = K2(xI s) = (4 + 2sin (2nxI s))E0 для

x e [/j, l1 +12]. Правая часть уравнения (1) — объемные нагрузки — также является кусочно гладкой, включающей кусочно медленно меняющуюся нагрузку f (x) = 24- у0, связанную со структурой стержня, разбитого на три ступени, и быстро осциллирующую часть нагрузки

g(xIs) = 23- sin(2nxIs)y0 , i = 1, 2 , 3 — номер стержня-ступени, описывающую структуру ячейки (этажа). Предположительно целесообразно строить асимптотическое разложение решения задачи (1)-(4) до членов, содержащих в2 включительно, чтобы с достаточной точностью можно было получить оценки напряжений, как для медленно меняющейся, так и для быстро осциллирующей составляющей решения. На конкретном примере проведем сравнение численных результатов, полученных с помощью построенного асимптотического решения с точностью до членов, содержащих s и s2 включительно, и аналитического точного решения.

2. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ

Учитывая линейность уравнения (1), его решение U (x, s) будем разыскивать в виде

U (x,s) = u( x,s) + w( x I s). (6)

Так как ,

(KU)' =(K(u + w)') =(Ku+ Kw')' = ((')'+((')' = f(x)+g(x Is), то функцию u( x, s) — асимптотическое разложение уравнения (Ku')' = f (x) — построим с помощью аналогичного [1,5] алгоритма, причем функция u (x) = u (x, s ) не будет зависеть от s сингулярно; быстро осциллирующую функцию w(xIs) найдем из уравнения (Kw')' = g(xIs). Произвольные постоянные в общем решении U (x, s) выберем так, чтобы выполнялись граничные условия (2)-(4). Выбор функции S (^ ),

£ = x/s е R в виде (5) позволяет применить процедуру осреднения [1], так как функции K (£) удовлетворяют неравенствам 1 < Ki (£ ) < 12 , i = 1,2,3 и являются бесконечно дифференцируемыми 1-периодическими по £ функциями.

Поэтому для каждого из отрезков (стержней) решение задачи (1)-(3) будем разыскивать в виде (6), где все функции U, u , w пометим соответствующими этому отрезку индексами. Переформулируем задачу (1)-(4) следующим образом

(Kju;)= 8^0, 0 < x < li, Ui (0) = 0,

(Kj (u + w')-к 2 (u2 + w2 ))| x ^ = 0,

(K2u'2 )' = 4/0, 11 < x < lj +12,

(U1 + wi - u2 - w2 )|x=lj = 0 , (к 2 (u 2+w2)-к 3 (u3 + w3 ))| x=4+i2 = 0 ,

(K3u3 ) = 2Y0, li +12 < x <l,

(u2 + w2 - u3 - w3 'x lj +12 = 0 ,

(u3 + w3 )|x=1 = 0,

где функции wi, i = 1,2,3 являются решениями уравнений

(Kiw'i)' = 23-i sin (2nx/ s) y0 . (7)

Правые части уравнений (7) являются 1-периодическими по £ = x / s функциями, среднее по периоду которых равно нулю, то есть

(sin(2п£))= [ sin(2n£)d£ = 0. Если дополнительно потребовать, чтобы решение уравнения (7) удовлетворяло условию wi (0) = 0, то, как следует из леммы 1 [1, С. 43], существуют и единственны 1-периодические по £ решения уравнений (1) не зависящие от i

WA— =-

s

4ж2

í

ln

1 . (2nx 1 + — sin I-

2 ^ s

\\

(8)

где Ь0 =у01 Е0 . Пользуясь выражениями (5) и (8), вычислим значения Ki , и на стыках стержней, в том числе

(11 )= (11 )= ^2 (11 + 12 )= (11 + 12 )= 0 и

Щ) = Ц(/1) = Ц(¡1 +\2) = Ц(/1 +/,) = Ц(/) =-8\!4П . Перепишем задачу (1)-(4) в виде

(Kju'j) = 8Y0

0 < x < l

(9)

^ (0) = 0, uj (l1) = u'2 (l1) I 2 + sb01 8n, (10)

(K2u'2) = 4y , / < х < / + ¡2, (11) u1(/)-u2 (¡1) = 0, U(/,+/-,)=U3(¡1 +/2)/2+sbl/8n,(12)

(K3u3 ) = 2y0 , ¡1 + ¡2 < х < /, (13) u2 (/1 + /2) - u3 (/1 + /2) = 0, u3 (/) = sb0 / 4n. (14)

n íi+ife)

(22)

N ())=J ^ d)=J((( Nj)/K - N )d),

0 0

Из уравнения (13), учитывая второе граничное условие (14), находим u' (х) = b0 (2х + s/2n - 2/)/(2 + sin (2пх/г)). Затем из уравнения (11), учитывая второе ус- тическое разложение ловие (12), находим

u (х)= b0 (4х+s/n-2/ - 2( /1 + /2)) / (4+2sin (2пх/s)) и, наконец, из уравнения (9) с учетом краевого условия (10) получим W (х)= b0 (8х+2s/n-8/ - 4/2 - 2/3) / (8+4sin (2пх/s)). Теперь задачу (1)-(4) можно записать в пригодном для применения алгоритма осреднения виде

(23)

J3 s J х(24)

Окончательно для решения U (х, s) задачи (1)-(4) на отрезке 0 < х < /1 получим асимпто-

*(х)=* (х)+еу1 (х) = х( х-2/1 -/2-/3/2) b0 +ss0 fi

u

U(х,s) = U1 (х, s) = х(х-2/1 -/2 -/3 /2)b0 /V + , + s • 2b0 х (l/4n-( Nj) /V + +s-Nb0 (2х- 2/J - /2 - /3 /2+2s(l/4n-( N>)) /V + + s2 • 2 N2 b0/V -

-s2 • b0 ln ((2 + sin (2пх / s)) /2) / 4n2.

Учитывая представления (22) и (23) функций N1 и N2, для производной U'(x,s) решения задачи (1)-(4) на отрезке 0 < х < /1 имеем выражение

U (x,s) =

2b

2 + sin (2пх /s)

х - / к - ^L + s

1 2 4 4п

Í

(К^) = 8Го, 0 < х < /, (15) (0 ) = 0, и1 (/1 ) = Ь0 (е/4п-/2 / 2- /3/4) ,(16)

(К2м2 ) = 4^0, / < х < / + /2, (17) и2 (/) = и (/1),и2 (/' + /2) = Ь0 (е/4п-/3 / 2), (18)

(К3и3 ) = 2Г0, / + /2 < X < /, (19)

и3 (/' + /2) = и2 (/' + /2), и'3 (/) = еЬ0/4п. (20)

Заметим, что исходная задача (1)—(4) распалась на три отдельные для каждого стержня задачи (15)-(16), (17)—(18) и (19)-(20), последовательным решением которых находятся все Аналогично строттся асимптотическое раз-функции и1 и с учетом выражений (6) и (8) стро- ложение решения Щ (х) задачи (17)—(18) и затем решение и3 (х) задачи (19)—(20). Так как функции Ki отличаются друг от друга только постоянным множителем, то выражения (22), (23) для функций N1, Ы2 и выражение (8) для функции wi остаются прежними. Изменится лишь цепочка краевых задач для определения функции V. Таким образом, для производной и'(х,е) решения задачи (1)—(4) на отрезке /1 < х < /1 + /2 получим выражение

1 - cos

2пх

\W

'jj

. (25)

ится решение исходной задачи для всего состав ного стержня.

3. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ

Асимптотическое разложение решения задачи (15)—(16) разыскивается в виде

*i( х) = v( х) + 2 s'N ())

d'v( х)

(21)

i=1

где N¿ ()) — 1-периодические функции по ) = х / s; функция v(х) не зависит от ) и имеет асимптоти-

и2 (,s) =

2b0

(

ческое разложение

v(х) = Zj=0s4 (х) ,

причем

/3 s

х-/ -/2 - — +-

1 2 2 4п

2 + sin (2пх / s)

f

s JJ

1 - cos I

, (26)

V: (х) не зависят от е . Используя асимптоти- 7 . 7 ^ „ ^ 7

1 „ ГЛ „ и на отрезке / + /2 < х < / получим

ческий метод осреднения [1,5], найдем следую- 1 2

щие представления функций Ni (£) и v(х) разложения (21)

из(х,е) =

2b0

2+sin (2пх / s)

f , s í f 2пх^ х-/ +—11-cos

4n

(27)

I

s

Замечание. Использованная здесь процедура построения асимптотического разложения решения легко переносится на случай многоступенчатого стержня с числом ступеней большим трех. Кроме того, задание для каждой ступени с номером I своего характерного размера структурной ячейки si не вносит существенных изменений в процедуру построения решения.

4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

По-прежнему для каждого из отрезков (стержней) решение и (х, s) задачи (1)-(4) пометим индексом, соответствующим этому отрезку. На отрезке /1 + /2 < х < / из уравнения (1) с учетом краевого условия из' (/) = 0 следует равенство

х

К3 (х/s)U3' (х,^ = |^ (х/s)x0йх =

= Y (2х — s cos (2nx/ s)/2n + c3) (28)

где c3 = s / 2n — 2l. Заметим, что асимптотическое разложение (27) полностью совпадает с выражением для производной точного аналитического решения, которое следует из (28). Аналогично на отрезке ll < х < ll +12 из уравнения (1) с учетом соотношения (28) и второго из краевых условий (4) следует равенство

K2 (х/s)U/(x,s) =

= y0 (4х — scos(2пх/s)/n+ 2c2), (29)

где c2 = s/2n-2l +13. Так же на отрезке 0 < х < lj из уравнения (1) с учетом соотношения (29) и первого из краевых условий (4) следует равенство

K (х / s)U^(x,s) =

= y0 (8х -2scos(2пх/ s)/n+ 4cx), (30)

где c1 = s / 2n - 2l +12 + 3l3 /2. Проинтегрируем уравнение (30), учитывая первое из краевых условий (2), получим

•2 х -scos ( 2пх / s) /2п + <

U1 (x,B) = bo

2 + sin (2nx / в)

-dx

Используя полученное выражение, вычислим и1 (/1) и, проинтегрировав уравнение (29), получим решение задачи (1)-(4) на отрезке

l < x < lj +l2

U

(x,B) = bo J

2x -scos (2nx /в) /2п+c2 2+sin (2nx /в)

dx+Uj (B

Наконец, на отрезке /1 + /2 < х < / получим следующее решение задачи (1)-(4)

, , х 2х-ж^2пх/в)/2п+с3 . ,

из (х,)= ^0 I -- ■ , ч-й^ + и2 (( + +

Д 2 + Sm(2юC/в)

Замечание. Рассмотрим общий случай, когда для каждой ступени с номером i выбран свой характерный размер структурной ячейки si, то есть в формуле (5) площади поперечного сечения для каждого стержня-ступени задано индивидуальное значение si. В этом случае формулы (28)-(30) остаются справедливыми после замены s на соответствующее данной ступени si. Более того, если /i не кратно si или /1 не кратно s2, или /1 + /2 не кратно s3, то формулы (28)-(30) по-прежнему остаются справедливыми, но постоянные интегрирования ci примут несколько более сложный вид.

5. СРАВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО И ТОЧНОГО РЕШЕНИЙ. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ

Точное значение напряжения в каждой ступени структурированного стержня дается выражением Н2 (х) = Еои'(х^}, в котором деформации и' соответствующей ступени вычисляются из соотношений (28)-(30) или по формулам (25)-(27) асимптотических разложений и'. В эквивалентном однородном трехступенчатом стержне с удельным весом материала у0 и с постоянными площадями поперечного сечения в каждой ступени равными соответственно 8, 4 и 2 напряжение дается формулой [6]

ад=

Y (x-/ -/2/2-13/4), 0< x </, Y0 (x-lj -l2 -l3/2), l1 < x </+l2, (31)

Y (x-l)

lj +12 < x < l.

Сравним напряжения в стержне со структурой с напряжениями в эквивалентном трехступенчатом стержне с у0 = 1.8 , в котором высоты ступеней заданы так: l1 = 7, l2 = 5 , l3 = 3. На рис. 2 построены графики напряжений H2 (быстро осциллирующие кривые 1, соответствующие напряжениям в трех ступенях) и H3 (отрезки прямых 2 соответствуют напряжениям в эквивалентном однородном стержне) в зависимости от высоты х поперечного сечения стержня, в котором каждая ступень имеет свой характерный размер структурной ячейки: s1 = 1/3 , s2 = 1/5 , s3 = 1/7 . Заметим, что для любых s справедливо неравенство H2 (х) / H3 (х) < 2 / (2 + sin (2пх / s)) < 2 . При этом правое равенство достигается в n = l / s точках х = xk =sk -s/4, где k = 1,2,..., n. Следовательно, при s —^ 0 в бесконечном числе

различных внутренних точек стержня коэффициент концентрации напряжения за счет структуры стремится к двум, что согласуется с графиком рис. 2.

Если в разложении (21) учесть только два первых члена, то есть пренебречь членами, содержащими в во второй и более высокой степени, то для 0 < х < 11 получим приближенное выражение производной

и'3 (х)«( (х) + (х/в)у'(х)) =

2Ь

+ 2sb0

Nl V3

M

(32)

где S 3 = 2 + sin (2nx / s). Согласно (8) функция w3 (x /г) « O (s2) , поэтому приближенное с точностью до s разложение производной U3 (x) решения задачи (1)-(4) для 0 < x < lL дается по-прежнему выражением (32).

Исследуем с помощью разложений (27) и (32) влияние членов различного порядка малости по s на величину напряжения. Численное сравнение полученных результатов приведено для верхней ступени lL +12 < x < l структурированного стержня с удельным весом материала Y0 = 1.8 . Высоты ступеней выбраны по-прежнему: lL = 7, l2 = 5 , l3 = 3. Расчеты показывают, что с уменьшением s (начиная с s = 1/6 ) графики напряжений Hl (x) = E0u'3 (x) и H2 (x) = E0U3' (x) становятся практически неразличимыми. На рис. 3 при s = 1/2 кривая 1 показывает вклад в зависимость напряжения H2 (x) членов, содержащих в разложении решения U ( x) только члены с s2, то есть приведен график функции

S2 (H2) = sE [N (В) v"(x) -ln (1+sin (2nx /s) /2) Mn2 ]'.

Заметим, что функция ¿>2 (H 2) является 1 периодической функцией по В , так как v"( x ) = 2/л/з и функция N2 (В) является 1

Рис. 1. Структурированный стержень (в = 1/3)

периодической. Кривая 2 на этих рисунках показывает относительную погрешность, то есть величину (Н2 - Н1) / Н2 = 5г (Н2) / Н2. Из графика видно, что в асимптотических разложениях решений данной задачи можно не учитывать члены с в во второй и более высокой степени, так как влияние этих членов заметно лишь для небольшой верхней части верхней ступени стержня.

Рис. 2. Напряжения H2 (кривая 2) H3 (отрезки прямых 1) при sL = 1/3 ,

s2 = 1/5

s3 = 1/7

Рис. 3. Вклад в напряжение Н 2 членов с в2 при в = 1/2: кривая 1 — график разности напряжений Н2 - Н1, кривая 2 — график относительной погрешности (Н2 - Н1)/ Н2

и

ВЫВОДЫ

Численный анализ убеждает, что при а < 1/6 асимптотическое разложение решения данной задачи достаточно строить лишь до членов с а в первой степени включительно. Показано, что напряжения в структурированном стержне могут существенно превышать напряжения в эквивалентном однородном стержне.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00163) и в рамках проекта № 11.16, входящего в программу Президиума РАН.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов Н.С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984, 352 с.

2. Астапов Н.С., Корнев В.М. Оценка прочности структурированного стержня методом осреднения // Известия Самарского научного центра РАН. 2009. Т. 11. №3. С. 294-300.

3. Арсенин ВЯ. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

4. Образцов И.Ф., Власов А.Н., Яновский Ю.Г. Расчетный метод оценки прочностных свойств структурно неоднородных сред // Докл. РАН. 2006. Т.406. №2. С. 196-199.

5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: МГУ, 1984, 336 с.

6. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т. 1. М.: Физматгиз, 1960, 380 с.

STRENGTH ESTIMATION OF COMPOUND ROD WITH REGULAR STRUCTURE

© 2011 N.S. Astapov

Institute of Hudrodynamics named after M.A. Lavrentyev of Sibirian Branch of RAS, Novosibirsk Novosibirsk State University

The stress-deformed state under construction with the action of own weight an three-tread vertical rod compounded one after another from three structural rods is studying analytically. The stresses in each rod are calculated by averaging. The procedure of gluing solution is described in detail. It has been shown that compressive stresses in each one rod essentially exceed maximum stresses in cross-sections of the equivalent homogenous rod.

Key words: structured rod strength, asymptotic expansion, gluing problem.

Nikolay Astapov, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Fellow, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: E-mail: nika@hydro.nsc.ru