Научная статья на тему 'Расчет пневмопанельных строительных конструкций методом осреднения'

Расчет пневмопанельных строительных конструкций методом осреднения Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
120
21
Поделиться
Ключевые слова
ПНЕВМОПАНЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ / НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ / МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ / АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ / ПНЕВМОПАНЕЛЬНі КОНСТРУКЦії / НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН / МЕТОД ОСЕРЕДНЕННЯ / АНАЛіТИЧНі РОЗВ'ЯЗКИ

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Прудько Е.И.

Выведены уравнения напряженно-деформированного состояния для некоторых типов пневмопанельных строительных конструкций. Показано, что применение последовательной асимптотической процедуры осреднения позволяет разделить напряженно-деформированное состояние на быстро и медленно изменяющиеся составляющие. В результате появляется возможность аналитических решений.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Прудько Е.И.,

Calculation of pneumatic panel constructions with homogenization approach

Eguations stress strained state for some typical pneumatic panel constructions are erived.. Using of correct asymptoticprocedure gives possibility to subdivide stress-strain state to the «fast» and «slow» parts. As a result analytical solution can be constructed.

Текст научной работы на тему «Расчет пневмопанельных строительных конструкций методом осреднения»

4. Самые опасные дороги и перекрестки в Днепропетровске. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://dnepr.on-nash.dp.ua/novosti/opasnyeperekrestki

5. Principles and Instruments for Improving Traffic Safety on Rural Roads The International Experience. 2008. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://bdd-lenobl.ru/comission.htm#10

УДК 593.3

РАСЧЕТ ПНЕВМОПАНЕЛЬНЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ

ОСРЕДНЕНИЯ

Ключевые слова: пневмопанельные конструкции, напряженно-деформированное состояние, метод осреднения, аналитические решения

Постановка проблемы и её связь с научными и практическими задачами. Пневмопанельные строительные конструкции (ППК) (рис. 1) находят применения в качестве перекрытий больших площадей спортивных площадок, складов и т. п. Конструктивные схемы ППК, представленные на рисунке 1, можно разделить на три группы: конструкции, составленные из пневматических стержней (рис. 1, а, б); конструкции с гладкими несущими полотнищами (рис. 1, в - е); конструкции с волнистыми или подушкообразными формами несущих полотнищ (рис. 1, ж, з). В статье, не нарушая общности, рассматриваются плоские ППК (рис. 1, а).

При большом числе пневмоэлементов численные исследования напряженно-деформированного состояния ППК вызывают значительные трудности. Поэтому разработка эффективных аналитических подходов к расчету таких конструкций является актуальной.

Анализ последних исследований и публикаций. В работах [1 — 4] в приближении континуальной теории получены разрешающие уравнения для некоторых типов пневмопанельных конструкций (ППК). Использован феноменологический подход к построению расчетных моделей ППК, согласно которому неоднородная конструкция представляется однородной, двухслойной или трехслойной гладкой оболочкой. Полученные системы разрешающих уравнений расчетных моделей ППК учитывают все основные особенности этих конструкций. Вместе с тем континуальная теория ППК не позволяет произвести оценку области ее применимости и получить уточненные решения, когда это необходимо.

Цель статьи. Разработка уточненного подхода к расчету ППК, позволяющего учесть неоднородность геометрии, жесткости и структуры этих конструкций.

Основной материал. Расчетную модель ППК, состоящую из пневматических балок, соединенных между собой по образующим (рис. 1, а), представим эквивалентной пластиной (0 < х < Ьх ,0 < у < Ьу) с ослаблениями в виде шарниров, расположенных по линиям

у = у{ = 2г0/ . При деформировании такой конструкции по линиям шарниров образуются изломы. Угол поворота нормали в направлении оси у при переходе через шарнир претерпевает скачкообразное изменение:

где Н (у - ) - единичная функция Хевисайда;

в2 - угол поворота нормали в интервале между изломами;

к - количество шарниров.

Если предположить, что изгибная деформация пластины подчиняется гипотезе Кирхгофа — Лява, то параметры кривизны и кручения представляются выражениями

Е. И. Прудько, к. т. н., доц.

k

(1)

где St =S(y - y) - дельта-функция Дирака.

Рис. 1. Виды пневмопанельных конструкций

Уравнение изгиба пластины запишем в виде:

д 2М1 0д 2М12 д 2М2

-г1 + 2-2 +-г2 + = 0. (3)

дх дхду ду

Физические соотношения для конструктивно-ортотропной пластины с учетом (2) представим выражениями

М1 =-(Бп ^ + В12+ В12 £ Дб2181 ;

дх ду '7=1

д 2ю „ д 2ю

М2 = -(Б22 -г-г+Б21 —г)+В22 £ Д02181 ;

ду дх

=1

М,2 =-€„ ^+% £ ^И,; (4)

дхду 2 Ц дх где Бу, Су — эффективные жесткости пневмобалок ППК. Ввиду наличия шарниров будем иметь

М2 = 0 , при у = у.. (5)

дН

Подставляя (4) в (3) и учитывая, что-— = ,

ду

получаем разрешающее уравнение задачи:

д4о т о д 4о д4о

Д 1 -Т + (Дп + 2С,т + Д, )---— + Д^^ -—

11 дх4 v 12 12 217 дх дх 22 ду

к д2Ав к д2

= я + (Д12 + С12)А + Д22 ЕАв2Д11 ; где А = — А у - уг). (6) £1 дх 5у

Внешняя нагрузка д3 в (6) в общем случае может складываться как из распределенной по

площади д3, так и по линиям шарниров в3. :

Яз = Яз +£вз А (7)

Представляя искомую функцию прогиба, угла поворота и нагрузку бесконечными рядами вида:

> X 0п (у)!от (x),..., Яз =2 ~3п (у)№(Х)

^ А

п=1 п=1

и применяя в зависимости от граничных условий при х = 0, х = Lx метод тригонометрических рядов или интегральных соотношений [12], приходим к уравнению вида:

г! О1 г! 2о к к к

Ап—1Т + Ап—Т + АзпОп = ~зп вз. А +Ап 2 Ав2пА +4п X Ав^А" . (8)

Гх Гх 1=1 1=1 1=1

Метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами типа А-функций и их производных [7] позволяет получить точное решение уравнения (8). После нахождения аналитического решения уравнения (8) неизвестные коэффициенты Ув21п определяются из условия равенства нулю изгибающего моментаМ2 на линиях шарниров (5).

При большом количестве элементов, образующих ППК, получить точное решение уравнения (8) становится крайне затруднительным. Тогда при малой изменяемости нагрузки Яз (Q3¡ = 0) вдоль координаты у, когда ее характерный период Ь существенно превышает расстояние между шарнирами 2г0, естественно перейти к усредненному описанию. Для этого воспользуемся методом осреднения с техникой двухмасштабного разложения [8; 9]. Суть его состоит в том, что вместо одной из исходных переменных (в данном случае у) вводятся две -«медленная» (у1) и «быстрая» (п). Первая имеет тот же масштаб измерения, что и исходная переменная у, и позволяет описать осредненные компоненты решения. Для быстрой «переменной» п = е-у(е = 2г0 / Ь) характерен масштаб, равный расстоянию между шарнирами. Ее можно использовать для описания «локальных» составляющих решения, то есть составляющих, изменение которых по координате у определяется расстоянием между шарнирами.

Производная по координате у будет определяться так:

А = А + е-1А (9)

ду ду1 ду

Представим искомые моменты и нормальные перемещения о в виде асимптотических разложений по малому параметру е

М1 = М1(0)(х, ух,п) + е2М1(1)(х, у„п) + ..., М2 = М20)(х, у„п) + е2М«(х, у„п) + ...,

Ып = М^х,ух,п) + е2М(2)(х,ух,п) + ..., оо = о0(х,у1) + е2[ю10(х,у!) + о1 (х,у1гЩ\ +... (10)

Подставляя (9) и (10) в уравнение (3) и физические соотношения для ортотропных пластинок-полосок, заключенных между шарнирами, и производя асимптотические расщепления по степеням е , получаем:

д2М 20) = д2М120) + 52М°) = 0

дП дхду ду1дп

д2М(0) , д2М(2) д2М(2) д2м20) „(0) д2ю0 ^ д2о0 д2ю0ч1 —2—+2-—+—22-+—2- = ^3; м(0) =-[в11—^+в12(—^+—

дх дхду ду2 дп дх ду2 дп

1=1

м20) = -[б22(-

д 2ю

0 +Бм дЮ-];м<? = -с

ду2 дп2

дх2

д 2ю0 дхду

(11)

Из уравнения (11) найдем: ю1 = с1(х,у1) + с2(х,у1)п + с3(х,у1)п + с4(х,у1)п . Для определения произвольных постоянных с. (х, у1) (. = 1, 2, 3, 4) воспользуемся условием периодичности функции ю1 на интервале (0, Ь) и равенства нулю момента М2 в шарнирах:

( я2

д ю

Ю1

2

0 + д ю0

ду дп

2

/

+ Б21 = 0; ю /

^ дх

, п=ю, / г при П = 0,Ь . 1 п = 0 1 п = Ь

Получаем, что произвольная постоянная С1 может быть любой, в частности, равной нулю,

С4 = 0:

С2 = Ь :

С3 = 0,5;

д 2ю,

"ду2

0 + Б21 д ю0

Б22 дх

Окончательно для ю, имеем:

ю, = -0,5

д ю

0 + Б21 д Ю0

ду Б22 дх

Тогда выражения для моментов примут вид:

М20) = 0 ; М1(0) =- Б11

БпБп

Б

д2 с

22 У

дх 2

(п- Ь)п.

; М<0) =-С

(12)

д2с

дтоу

а осредненное уравнение равновесия соответственно запишется так

Б

Б12 Б21

Б

д V

22

дх

0- + 2С

4 12

д ю0 дх4 ду4

■ = Ч 3

(13)

Если положить В22^-оо, что справедливо при большом К - числе элементов, то уравнение, аналогичное (13), можно было получить, рассматривая ППК как полубезмоментную пластину с конечной жесткостью на кручение С12.

Определив ю0 из (13), можно по формуле (12) подсчитать уточненную добавку к подгибу ю1.

Далее рассмотрим ППК второй группы (рис. 1, в, г, д, е). Для этих конструкций характерно дискретное взаимодействие несущих полотнищ со стяжками, роль которых здесь выполняют часто поставленные нити («аэромат», рис. 1, в), а также вкладные мягкие цилиндрические (рис. 1, г, д) или сферические емкости (рис. 1, е). Особенностью ППК, представленной на рисунке 1, д, является то, что вкладные емкости таким образом прикреплены к несущим полотнищам, что в исходном состоянии они контактируют друг с другом по площадкам конечной величины. Это обеспечивает предварительное растяжение несущих полотнищ, подобно тому, как это имеет место в «аэромате».

Для определенности рассмотрим ППК, которые могут быть описаны двухслойной конструкцией с периодическими нормально ориентированными упругими связями, контактирующими с несущими слоями в точках (х.,у.). Пусть для общности модели несущие слои будут моментными пластинами, которые в исходном состоянии растянуты усилиями Тт,Т2"(т ^ п) . Пространство между несущими пластинами заполнено воздухом под избыточным давлением Ро, которое при деформировании конструкции будем считать неизменным. Тогда упругие связи в исходном состоянии являются растянутыми усилиями Ы0у. Пластины же, испытывающие действие нормального давления Ро на участках между точками контакта со связями, остаются плоскими.

Уравнение равновесия несущих пластин представим в виде: дБ"

дТ" дх

д д к ь дМ"

-у № ЫТ>т)+Ч" -£ £ =0; М

1=1 у=1 (1» 2), (х »у) ;

дМ " ду

-вт = 0,

тв1+дт-дх (тт вт)-^ (да)+ат

дх ду дх ау

(т^п) где 8. = 8(х - х.

к 1

££ ] = o, (14)

1=1 3=1

Для уравнения п-й пластины помимо замены индексов (ш^п) необходимо заменить знаки перед компонентами усилий контактного взаимодействия связей с несущими пластинами N1^-,

Nт, N3™, (ш^п).

При деформировании конструкции, в ее поперечных сечениях возникают дополнительные усилия и моменты от сил давления Ро. Для учета этих факторов составим уравнение равновесия «воздушного» слоя:

д дх

а

| Р0 (1 + < ) ё^г

ёхёу - — ду

а

| Р0 (1 + е° ) ё^

ёхёу = 0,

(15)

где а = —(1 + е ) — полутолщина конструкции в деформированном состоянии. Величина е

2 ' *

определяет относительное изменение высоты поперечного сечения конструкции.

Выражая орты ё/ и ё\ через орты деформированного состояния срединной поверхности конструкции по формулам:

ё1г = ё + <ё2-е°7з,(1 о 2), (16)

принимая закон изменения обобщенных деформаций «воздушного» слоя в виде:

двс

; = б)[ + г—-, (1 о 2,х о у),

(17)

дх дх

подставляя (16) и (17) в (15) и вычисляя определенные интегралы, получим три скалярных выражения которые по существу учитывают влияние сил давления Ро:

-Р0к0 ^ (е + ее) - Ро К ^ = 0,(1 о 2, хо у) -Рокод (в) - %!-(-в2) = 0. (18) дх ду дх ду

Дополнительные моменты от сил давления вычислим по формулам:

а

МРР = | Р0 (1 + е2сг) гйг, (1 о 2)

Или с учетом (17) и линейности задачи получим

МР = --

РЖ две

,(1 о 2;у ^ х).

(19)

12 ду

Полагая, что упругие связи соединены с несущими пластинами шарнирно, выразим усилия контактного взаимодействия через усилия в упругих связях ^ = (N0- + ^)яп(в;-вт);(1 ^ 2),(т ^ п) Щ- = ^ сс8(в - в;)сов-в?у );(т ^ п) (20) Помня, что уравнения равновесия несущих пластин (14) и уравнения «воздушного» слоя (18) записаны относительно недеформированной системы координат, уравнения равновесия для конструкций в целом получим простым суммированием соответствующих уравнений. При этом учтем также, что моментность конструкции обеспечивается не только моментностью пластин и «воздушного» слоя, но и разнесением этих пластин на расстояние 0.5к0(1 + е*) от

срединной поверхности. Принимая во внимание соотношения (17) и (20) с учетом вышесказанного, линейные уравнения равновесия для конструкции получим в виде: дТ д* д де д

+ + ^Тте + Те - 0.5РоНо(ет +еп)] -+—[?>2т + - 0.5Роко« +<)] +

дх ду дх дх ду

+41 - ЕЕ(N0-- + N -)(-в; вЩх - х, Щ(у - у,) = о,

¡=1 -=1

(1 о 2),(х о у);

дв1 , дв2 д Гт7 , п / т п\1 д \ггт/~\т , т1" л" т~> / т "\1 , ~ гч

— + — + ~ 1Т10в1 + Т10в1 - Р0(и1 - и1 Л1Т20в2 + Т20в2 - Ро0 2 - и 2 )] + Чз = 0;

дх ду дх ду

М + дМ21 о + дМ12 + дМ21 + И0 д ( ) +

+ ~--о + ^ + ^ + ^20£2 - Т1082 +

дх дУ дх дУ 2 дх

+ ^- 10® ")+ т1 - £ £ (#0У- + N.. )х

2 ду 1=1 ]=1

х [(< - и; К- - 0т - в" ] • Жх - хг )Ж(у - у,) = 0, (1 о 2), (х о у)

где Т1 = Т" + Т", М1 = М" + М;, 0 = е;" + 0",(1 ^2) 5 = 5" + , М = ^(Г + Т"),(1 ^ 2)

М21 = М'2 = - 5"), Ч1 = ч" + Ч",(1 ^ 2 ^ 3).

В уравнениях (21) учтено, что в силу прямолинейности связей при деформировании и линейности рассматриваемой задачи, проекции угла их поворота

0 = И-1 (и" - и" )Ж(х - х,, у - у.), (1 ^ 2).

Для вычисления N получаем уравнение:

(от -е;)+-£-(от -)(тж -тв) -

дх ду дх

к . (22)

(Т0 - Т20в;) + Чз £ 2.х - х,, у - у,),

дх ¡=1 } =1

где Чз = Чз" - Чз".

Физические и геометрические соотношения позволяют записать систему (21), (22) относительно группы неизвестных:

{т т т п п п \

и ,и2,ю ,и ,,}.

Если несущие пластины безмоментны, что соответствует, например, ППК типа «аэромат», то в уравнениях (21), (22) следует положить М1 = 01 = 0(1 ^ 2) . При устремлении числа связей (в данном случае нитей-стяжек) к бесконечности можно осуществить предельный переход типа:

к х 2

кт Лг X / (х>, у )Ж( х, xi) = | / (х, у )Ж( х, х Щ =/ (х, у).

¡-1 х1

Тогда приходим к расчетным уравненям континуальной теории ППК типа «аэромат» [4]. Расстояние между стяжками реальных конструкций «аэроматов» настолько мало (2 — 4 мм) по сравнению с размерами в плане, что уточнения, связанные с дискретностью нитей-стяжек вряд ли необходимы. Но для конструкций со стяжками, выполненными в виде вкладных емкостей, точности континуального решения может быть недостаточно.

Для примера рассмотрим конструкцию со сферическими вкладными емкостями (рис. 1, е). Пусть несущие слои являются моментными пластинами, а контакт их со стяжками осуществляется в точках (хг,уг). Продемонстрируем применение метода осреднения для задачи об изгибных колебаниях этой конструкции. Исходные уравнения можно записать так:

^Ч -Рт®® - С(ют - ®п)Ф(XУ) = 0,(т ^ п), (23)

к 1

где Ф( X У) = ХЕЖ( х - ао,, У - Ьс,);

¡=1 .=1

С — жесткость связей при поперечном обжатии;

ю — частота собственных колебаний системы;

О — цилиндрическая жесткость пластин;

Р — масса единицы площади пластин.

Пусть для определенности пластины защемлены по торцам

Л -Л

ют = дЧ = 0, при х = 0,4, 0=-^ = 0, при у = 0, Ь ,(т ^ и) (24)

дх ду у

При достаточно большом количестве вкладных емкостей и формах колебаний, захватывающих несколько связей, можно в первом приближении перейти к осредненной системе

БУЧ0) - - С [юЦ0 - 0О) ] = 0, (т ^ и); С = С / «0К (25)

Для получения уточненного решения применим методику работ [10; 11], согласно которой решение исходной краевой задачи (22), (24), представим в виде:

®тю+®т),(т ^ и);®2=®02)+0(2).

Тогда, учитывая (25), для «дополнительных» перемещений ю(^(т ^ п) и поправки к частоте ю1 получаем такие уравнения:

БУЧ1' -рю2ю{т -С0]Ф(X,У) =

и г и (26)

= С [Ф(х,у) - а Д- ] • [®Ц0) - ] + рю2Ч ,(т ^ п).

Правая часть уравнений (26) содержит компоненты, быстропеременные по х, по у и по х,у. Следовательно, и в решении »^''(т ^ и) можно выделить быстрые по этим переменным части и сформулировать для них адекватные краевые задачи. Функцию »^''(т ^ и) представим в виде (т ^ п). Для определения соответствующих частных решений уравнений

ю = ю , + ю + Ч

т т 1 т 2

(26) можно оставлять в левых частях лишь производные максимального порядка по х , по у и по

х,у [10; 11]

д 4 (11)

а) °-Чт- = С1 [ю™] , Ч" = = 0, при х = а,„2а„(т и);

б) = СК'] .ю' ==д-ют = 0, при у = Ь„2Ь„(т ^ и);

( БУ4ю(11 = С. [ю(0) -ю(0) ] (11) -ю01

в) т3 1 [ т т ] ю =—— = 0, при х = а0,2а0;

т дх

-ю(11)

ю™ = = 0, при у = Ъ0,2Ъ0. (27)

Решение краевых задач (27, а — в) периодически продолжается на всю область. Оно без труда может быть получено методом Канторовича.

Поправка к частоте собственных колебаний ю1 определяется из осредненных уравнений (26), в правых частях которых выделены медленные составляющие [11]:

БУюГ -рю02ю!10) -р« -Сю^ = МММ[юГ -юГ ], (28)

ху -1

_ 2 а0 2 Ъ0

где М = а -Х-1 [ [ (...)dxdу - оператор осреднения.

х, у » »

а0 Ъ0

Из условия ортогональности решения уравнения (28) его правой части [13] получаем:

ЬхЬу

ср-ПМ [юГ-ю™ ю ] dxdу

ю2 =-^ьхьу-.

\\[ю(:)2 +юГ ] dxdу

0 0

Конструкция с волнистыми формами несущих полотнищ (рис. 1, ж) сочитает в себе разрывности параметров, характерных для ППК первой и второй групп. Кроме того, кривизны несущих полотнищ этих конструкций претерпевают на линиях контакта со стяжками бесконечные разрывы (рис. 1, и):

1 к

кт =--^2sinßoS(y - yt),(m ^n,г, ^-^sinßo ^-sinß(y

r0 i=1

Расчетную схему такой конструкции будем строить следующим образом.

Приведем усилия исходного состояния, действующие в несущих полотнищах, к плоскостям их плана, проходящим через лини контакта со стяжками. Тогда будем иметь неоднородную конструкцию, состоящую из двух пластин с ослаблениями в виде линейчатых шарниров, упруго взаимодействующих посредством периодических связей. Действие связей распространяется только по линии шарниров y = yj. В исходном состоянии эквивалентные пластины нагружены растягивающими усилиями и моментами:

7im* rjim l0 rjim* rrim „„„ ~ д rm rjim*^wm я j-m rjimrjm

10 = T20 = T20COSr ; M20 = T20Z ; M10 = T10 Z , 2b0

где

" b

' b Л k -1

y = arcsin I -0 - y I г0-1Я (У1 - y) + ^ arcsin

y - (y - y,)

ro-1x[H(y -yt) -H(y -yt+1)], Z" = ^ + V ho2/4 + bo y - y2 j H (y1 - y) + £[-h / 2 +

+Vho2/4 + bo(y - y)(y - y, )2 ][H(y - y,) - H(y - y,+1).

Далее, следуя методике вывода уравнений равновесия с учетом разрывности параметров для ППК первой и второй групп, приходим к разрешающим уравнениям для рассматриваемой конструкции. Применяя, как и ранее, метод осреднения для этих уравнений, получаем ряд краевых задач, из которых можно определить осредненные и уточненные составляющие решений. Искомые функции перемещений плоскостей плана и" , ы2" , с" позволяют вычислить соответствующие перемещения несущих полотнищ а, следовательно, однозначно вычислить параметры напряженно-деформированного состояния ППК:

т т* . "

ы = ы + 2

h0

: + (m*sin у;

m m* m* •

(m = (m cosy + um Sin/.

Вывод. Полученные расчетные уравнения некоторых типов ППК с учетом разрывности параметров позволяют разделить искомое напряженно-деформированное состояние на быстро и медленно изменяющиеся составляющие. В результате появляется возможность аналитических решений.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Огай С. А. Континуальная схема расчета пневмопанельных оболочек / Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. - Владивосток, 1980. - Вып. 38. - С. 135 - 142.

2. Друзь Б. И., Огай С. А. Построение трехслойной модели цилиндрической пневмопанельной конструкции / Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям. -Владивосток, 1981. - С. 40 - 54.

3. Друзь Б. И., Огай С. А. К теории пневмопанельных конструкций / Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям. - Владивосток, 1981. - С. 55 - 70.

4. Огай С. А. Уравнения статического равновесия плоского «аэромата» / Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям. - Владивосток, 1982. - С. 29 - 38.

5. Новицкий В. В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике / Расчет пространственных конструкций. - М. : Госстройиздат, 1962. - Вып. 8. - С. 207 - 244.

6. Вайнберг Д. Б., Ройтфарб И. З. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами / Расчет пространственных конструкций. - М. : Стройиздат, 1965. - Вып. 10. - С. 39 - 80.

7. Михайлов Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. - Л. : Ленинградский университет, 1980. - 196 с.

8. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике. - М. : Мир, 1972. - 274 с.

9. Найфе А. Методы возмущений. - М. : Мир, 1976. - 456 с.

10. Андрианов И. В., Маневич Л. И. К расчету напряженно-деформированного состояния ортотропной полосы, подкрепленной ребрами жесткости / Изв. АН СССР. — Механика твердого тела, 1975. — № 4. — С. 135 — 140.

11. Лесничая В. А., Маневич Л. И. Асимптотическое исследование колебаний пластин, подкрепленных ребрами жесткости. - Прикладная механика, 1980. — Т. 16. — № 7. — С. 67 — 72.

12. Awrejcewscz J., Andrianov I., Manevitch L. Asymptotic Approaches in Nonlinear Dynamics : New Trends and Applications. - Heidelberg : Springer Verlag, 1998. - 310 c.

УДК 519.6:504.3.054

РАСЧЕТ КАЧЕСТВА ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ В СЕЛИТЕБНЫХ РАЙОНАХ ГОРОДА

Т.И. Русакова*, асс., Н. Н. Беляев**, д. т. н., проф.

*Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара **Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта

им. академика В. Лазаряна

Ключевые слова: интенсивность выброса, загрязнение от автотранспорта, рассеивание загрязняющих веществ, завихренность, уравнение переноса примеси, численная модель, концентрация загрязнения, селитебный район города.

Постановка проблемы и анализ публикаций. Как известно, автотранспорт является одним из наиболее мощных источников загрязнения воздушной среды. Территорию современных крупных городов пересекают автомобильные магистрали, общее число которых может превышать несколько тысяч. Прогноз качества воздушной среды при проектировании микрорайонов является первостепенной задачей. Для ее решения на практике широко используют эмпирические модели (Джонсона, «STREET») и аналитические модели типа моделей Гаусса и ее модификаций [2; 3; 8; 11]. Широкое применение этих моделей обусловлено тем, что при их реализации требуются малые затраты компьютерного времени и небольшая входная информация. Но модели данного класса не позволяют учесть влияние зданий на формирование зоны загрязнения. Применение CFD моделей, основанных на численном интегрировании уравнений Навье — Стокса [1; 4; 9; 10; 13] и тех или иных моделей турбулентности [12] представляет собой большие практические сложности. Поэтому модели данного класса не могут быть использованы для серийных расчетов в настоящее время.

Целью данной работы является разработка численной модели, позволяющей оперативно прогнозировать качество воздушной среды в микрорайонах в случае выбросов от автотранспорта и учесть при расчете такие важные факторы как скорость ветра, атмосферная диффузия, интенсивность эмиссии загрязняющих веществ от автотранспорта, форма и взаимное расположение зданий вблизи автомагистралей.

Математическая модель. Расчет переноса загрязняющих веществ на улицах с учетом зданий разбивается на два этапа. Сначала решается задача по определению поля скорости ветра при обтекании зданий. Для ее реализации используется модель отрывных вихревых течений идеальной несжимаемой жидкости [4]. Основными уравнениями являются: уравнение переноса завихренности (1) и уравнение Пуассона (2) для расчета функции тока

да dum dva

— +-+-= 0

dt дх ду

д у d у

■ +--г- = —а

(1)

(2)

дх2 ду2

ду ды . ду ду где с =----завихренность; у - функция тока; ы =-, V =--.

дх дУ дУ дх

Так как при отрыве потока, который происходит в угловых точках зданий, образуются вихри, возникает задача расчета их интенсивности.

Для уравнений гидродинамики (1), (2) ставятся следующие граничные условия.