ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 628.517:[629.12+623.9]

ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Фомичева Е.В., кандидат технических наук, доцент

Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусств имени А.Д. Крячкова

Новосибирский государственный университет экономики и управления Новосибирский государственный технический университет Фомичев П.А., кандидат технических наук, доцент Новосибирский государственный университет экономики и управления Новосибирский государственный технический университет

Аннотация. В статье изучены предельные габаритные размеры виброзащитной системы твердого тела при гармонических возмущениях, а также получен математически обоснованный общий метод нахождения оценки предельного значения критерия качества, при произвольном возмущении, не требующий решения соответствующей задачи оптимального управления. Полученные результаты дают возможность исследовать предельные габаритные размеры и предельные возможности виброзащитной системы твердого тела при гармонических возмущениях.

Ключевые слова: виброзащита, вынужденные колебания, виброзащитные системы

Решение задач оценки предельных возможностей виброзащитных систем производится в основном с позиций теории оптимального управления. При этом оценки предельно допустимого критерия качества вычисляются после решения соответствующей задачи оптимального управления. Рассмотрим кинематическое возмущение виброзащитной системы твердого тела, вызванного колебаниями основания по гармоническому закону. Тогда при этом вторые производные обобщенных координат, определяющих движение основания, удовлетворяют соотношениям:

S, (/) = A¡ sin cot, ÍK (,t) = A4 sin cot,

S (í) = A3 sin mí, 9q (?) - Л() sin mí. где A{,...,Ah - некоторые константы.

Рассмотрим следующую задачу. При заданных ограничениях

|и, +u5zi-u6yl\<lk,

\u2+ubx¡-uAz\<liy, (/ = l,s),

требуется определить численное значение критерия:

J(и) = max max~g2: (t),

v ' \<j<n i>о L

(3)

Это значение критерия качества может быть достигнуто, если система

Sx = щ — Лу sin cot,

S, =и2 -Л2 sin cot, - w3 - A3 sin cot, 6X -u4 - A4smcot, в - u5 - A5 sin cot, 6_ - щ - Absmojt,

(4)

и удовлетворяющая граничным условиям:

sx( 0) - Sy (о) - s= (0) = 0x(o)=ey(o) - в AO) = o,

sr

( 2я ^

= s..

2/r

V

/

2/T

2/r

= Ss — = — V со J \ со j

V ® .7

будет управляться оптимально. С учетом возмущений (1) получим:

gj - v¡ + A1 sin cot,

V О) )

= в.

(2лЛ

V g> )

= о

(5)

(6)

где

AJ=-

■л/-: ' ' ■ ...М-//. .V.;;. ) ■ .,.!,! .V /:/. г-.).

Рассмотрим п-задач оптимального управления. Требуется определить г , удовлетворяющее ограничению [1]

где vj доставляет минимум функционалу

i

а~

' К ^

\ 2 со j

(7)

Тогда оптимальное значение функционала (2.115) вычисляется по формуле

,2 4

L со

Г - 2 Y

. УЖ

-А' + J

\

J

Отсюда следует, что для решения задачи о предельных габаритных размерах твердого тела достаточно решить задачу нелинейного программирования (дискретную минимаксную задачу) с целевой функцией

Ф(и) =

шах

г 2 4 ./ 1,(0

( - 2 V

. УЛГ -/17 + 7

/ V

8

(8)

у

Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение.

Пусть и соответствует решению минимаксной дискретной задачи с критерием

(8). Если при найденных и , соответствующие им V*, удовлетворяют условию

то

в противном случае

<0,78 Г=ф(и),

(9) (10)

Здесь 7 - предельное значение критерия (3).

Заметим, что если (17) не выполняется для тех ./^ ./<>, где /0 - индексы, для которых справедливо

и в момент достижения первого максимума

выполняется

неравенство ~тт£/ (о)< )' то в этом случае также справедливо (10).

/

Исследуем задачу (рассмотренную в []), в которой требуется определить (оценить снизу) численное значение критерия:

,) (и) = тах тах^-«7 IV,и.

у ' 1</<, />о /2 7

(11) (12)

которое может быть достигнуто, если система:

? = ?(0) = ?(0) = 0. будет управляться оптимально.

Поставим задачи об определении оценки снизу численного значения функционалов [3]:

(13)

которое достигается при реализации оптимального на классе кусочно-постоянных периодических функций управления, обеспечивающих выполнение ограничений:

Введем ограничения: л , 11 г , тогда уравнения (6) и граничные

условия в новых переменных примут вид:

Х-И + ЛбШ 0)1, *(0) = 0,

(15)

ж

2 со

-0.

Габаритные ограничения (14) перепишутся следующим образом:

х(г)<ь,

где ¡-¡, а критерий (13):

J(u) =

тах и

0 <!<

2ж

(О-

(16)

(17)

Известно, что минимальное значение оптимизирующего функционала монотонно зависит от параметра, описывающего ограничение, то есть / [4]. В

силу этого при предельном значении ( /" ) критерия в задаче оптимального

управления (15) - (17) численное значение функционала при оптимальном управлении определится выражением:

{ ,*2 I ти

\2

О)

-А

(18)

Здесь предполагается, что А > 0. В случае, если А :> 0 извлекая корень из (18),

1

имеем —т

со

-А +

а при А...... 0 получим

Разрешив последние соотношения относительно / , получим

8 (-ио2 + А)

Г -

Г =

ж

8 {Ь(о2 + а\

, при ./>(),

, при А...... 0.

л"

Полученные формулы, позволяют вычислить точное предельное значение критерия (17).

Таким образом, V* и V*, определяющие множество и [5], задаются

, при А4 >0

выражениями у' —

, при Ар <0, 1/ =

Отметим, в этом случае на множестве и будет гарантироваться существование на всем временном интервале кусочно-постоянных управлений, при которых

выполняются габаритные ограничения, если найденные V* удовлетворяют

условию

у*|<0,78иу|. (19)

В силу этого, решение дискретной минимаксной задачи будет определять точное предельное значение критерия (3): (и) = тах тах(7), если выполняется условие (19).

Таким образом, получен математически обоснованный общий метод нахождения оценки предельного значения критерия качества, при произвольном возмущении, не требующий решения соответствующей задачи оптимального управления.

Библиографический список

1. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Качественные характеристики пневмогидравлической виброизолирующей опоры // Двигателестроение. 2005. № 1 (219). С. 21-23.

2. Глушков С.П. Гидравлические виброизолирующие опоры нового поколения. / С.П. Глушков, П.А. Фомичев, Е.В. Фомичева // Научное издание -Новосибирск, Новосибирская академия водного транспорта, 2005 г. - 190 с.

3. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Разработка виброизолирующих опор нового поколения для судовых энергетических установок / Речной транспорт 2004. -№4. - С. 52-54.

4. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Исследование эффективности активных виброзащитных систем / Вестник НГТУ -2005. -№2(20). -С. 111-123.

5. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Критерий качества параметрической оптимизации виброизолирующих опор / Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2013. № 2. С. 167-169.

EVALUATION OF THE LIMIT DIMENSIONS OF A VIBRO-PROTECTIVE SOLID SYSTEM UNDER HARMONIC INFLUENCE

Fomicheva E.V., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Kryachkov Novosibirsk State University of Architecture, Design and Arts Novosibirsk State University of Economics and Management Fomichev P.A., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Novosibirsk State University of Economics and Management Novosibirsk State Technical University

Abstract. The article studies the limiting overall dimensions of a vibroprotective system of a solid under harmonic disturbances, and also obtains a mathematically justified general method for finding an estimate of the limit value of a quality criterion for an arbitrary disturbance that does not require solving the corresponding optimal control problem. The results obtained make it possible to investigate the limiting overall dimensions and limiting possibilities of the vibroprotective system of a solid body under harmonic disturbances.

Keywords: vibration protection, forced vibrations, vibration protection systems