Предельные свойства пространственной виброзащитной системы при гармоническом возмущении Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

3. Supportive measures to optimize bullet train labor organization

The optimization of labor organization in bullet trains is a systematic project. The institutional reform of railway organizations must be carried out simultaneously, taking into account the personnel, equipment, venues and other factors. An integrated approach must be adopted to reorganize the labor division, the design of group size and group number, etc. in order to maximize labor efficiency. The optimization of work organization should also be combined with the establishment and the improvement of incentive mechanism. Dynamic evaluation should be strengthened and internal distribution system should be improved. In this way, the income of employees can be linked to their labor contributions. The optimization of the labor organization is concerned with the vested interests of staff, therefore, proper guidance is necessary and a proper placement of surplus workers should also be considered.

REFERENCES

1. Wu Qiao Shan. With regard to bullet trains [J]. Integrated Transport. 2008 (12).

2. Zhang Chongtian. Railways reform of labor organization Investigation and thoughts[J]. Railway Transport and Economy. 2009 (1).

3. Wu Zhenglin. On the optimization of production and labor organizations in railway transportation [J]. Shanghai Railway Technology. 2005 (2).

4. Wang Guang, Zhang Ying-Qiang, Yuan Lunqu. Railway Technical Progress and Labor Organization Optimization [J]. Logistics Technology. 2009 (9).

5. Ye Wen-Hua. Exploring the state of repairing bullet train. Shanghai Railway Science and Technology [J] 2009 (2).

УДК 62 - 531 + 534 А.Д. Мижидон,

д.т.н., проф., каф. «Прикладная математика» ВСГТУ (г. Улан-Удэ)

М.Б. Имьхелова,

преподаватель, каф. «Прикладная математика» ВСГТУ (г. Улан-Удэ)

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ _ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ_

A.D. Mizhidon, M.B. Imykhelova

LIMITING PROPERTIES OF SPATIAL VIBROPROTECTION SYSTEM UNDER HARMONIC

DISTURBANCE

Аннотация. В статье рассматривается задача об оценке предельных свойств виброзащитной системы твердого тела при гармонических возмущениях. Для ее решения развивается подход, позволяющий оценить предельно достижимые количественные значения критерия качества без определения оптимального управления для многомерных виброзащитных систем. При этом при решении вспомогательной задачи оптимального управления используется специфика гармонического воздействия.

Ключевые слова: предельные свойства, оценка, оптимальное управление, виброзащита, гармоническое воздействие

Abstract. A problem about limiting properties estimation of solid vibroprotection system under har-

monic disturbance is considered. For its solving the method allowing to estimate extremely achievable quantitative values of quality criteria without definition of optimal control for multidimensional vibropro-tection systems is developed. The solution of the auxiliary problem of optimal control is used specific of harmonic impact.

Keywords: limiting properties, estimation, optimal control, vibroprotection, harmonic impact

Введение

Наиболее типичными задачами о предельных свойствах являются следующие: задача о минимизации габаритных размеров при заданной допустимой перегрузке и задача о минимизации перегрузки при заданном свободном ходе амортиза-

Современные технологии. Механика и машиностроение

тора. Принимая силовое воздействие, формируемое виброзащитным устройством в качестве управления, эти задачи можно рассматривать с точки зрения теории оптимального управления. Но в силу неаддитивности функционалов, которыми описываются предъявляемые к виброзащитной системе требования, применение классических методов теории оптимального управления не представляется возможным. Интерес вызывает оценка предельных свойств, т.е. нахождение оценки оптимальных значений критериев качества при выполнении требуемых ограничений.

В [1] предлагается подход, позволяющий оценить предельно достижимые количественные значения критерия качества без определения оптимального управления. Согласно этой идеологии, решение задачи об оценке предельных свойств сводится к минимизации дискретной функции на некотором множестве V в конечномерном пространстве. Решение задачи разбивается на два этапа. Сначала строится множество V путем решения вспомогательных задач оптимального управления, а затем на этом множестве находится минимум дискретной функции. В работе [2] этот подход был использован для решения задачи об оценке предельных свойств для ударных возмущений. В данной статье рассматривается случай гармонического воздействия и при решении вспомогательной задачи оптимального управления используется симметричность гармонического воздействия. Рассмотрим решение вспомогательной задачи.

Вспомогательная задача оптимального управления

Пусть управляемый процесс описывается системой уравнений

л:

[х2 = и + Asm at,

(1)

удовлетворяющей концевым условиям

= 0, хх(—) = 0. (2)

с

Требуется определить управление, удовлетворяющее

\п(1)\ < I (3)

и доставляющее минимум функционалу

J(«(•)) = max x (t) .

t >0

(4)

Используем свойство симметричности гармонического воздействия и рассмотрим интервал времени, равный четверти периода. Кроме этого предполагаем [3], что точка экстремума смещена на правый конец изучаемого интервала. С учетом сказанного, запишем концевое условие

хД0) = 0, x2(—) = 0 . 1с

Функционал (4) при этом примет вид

7Г

J(u) = x2(—). le

(5)

(6)

Для решения задачи нахождения оптимального управления системой (1) с концевыми условиями (5), удовлетворяющего ограничениям (3) и доставляющего минимум функционала (6), применим принцип максимума Понтрягина. Построим функцию Гамильтона

H = ^х2 (u + A sin ct), (7)

где ^ удовлетворяют сопряженной системе уравнений

^(¿) = -2Xl(¿b (8) у/2=-ух, у2(0) = 0. Из условия максимума функции (7) имеем

u*(t) = lsign^2(—) .

2c

Решив систему уравнений (8), найдем

ж

¥г$) = 2xx(—)t. 2c

Таким образом, оптимальное управление окончательно определится выражением

u* (t) = lsignxl (-—).

2c

Следует полагать l < | A|. Действительно, в

противном случае в качестве оптимального могли бы выбрать управление

u* = -Asinct. Итак, если l < | A|, то при A > 0 величина

X (-—) отрицательна, а при A < 0 положительна. 2c

Следовательно,

и (t) = -

\l , A < 0 -l, A > 0

(9)

Предположим, что A > 0. В этом случае решение системы (1) с концевыми условиями (5) при оптимальном управлении (9) имеет вид . . A . l . 2 nt.

X (t) = —rsin at-—(t--) ,

с 2 a

x2 (t) = -Acos at - l(t --П) .

a 2a

Аналогично работе [3] анализ этих выражений показывает:

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

1) на рис. 1а приведены слагаемые, опреде-2 А

ляющие х2 (¿) при I <— . Следовательно, х2 )

п

п

обращается в ноль лишь при t =- (рис. 1б);

2а

2) на рис. 2а приведены слагаемые, опреде-

2А

ляющие х (t) при I = —. Следовательно, х2 (^

п

обращается в ноль при t = 0 и t = -пп, при этом

2а

п

X (t) при t = 0 имеет точку перегиба, а при t =-

2а

экстремум (рис. 2б);

3) на рис. 3а приведены слагаемые, опреде-

2А

ляющие X (0 при I >— . Следовательно, х2 (^

п

обращается в ноль в двух точках отрезка

о, П

п — г. , ч п

при t =- и t = t > 0, при этом X V) при t =-

2а 2а

имеет минимум, а при t = t - максимум (рис. 3б).

При увеличении I от значения I =2А величина

п

X ^)| возрастает, а

I * \

2а

убывает. При

I = 0.78А абсолютные значения экстремумов становятся равными. Поэтому при I > 0.78А нужно учитывать возможность выхода на ограничения по координате х ^).

При I > 0,78А оптимальное управление имеет вид

н* ^) = <

-I , 0<t<t" -А8та1 , ? < t < t" п

-I

t" < <-

2а

Здесь t' - точка выхода на ограничение, t" -точка схода с ограничения (рис. 4).

Таким образом, значение функционала (6) при оптимальном управлении (9)

А(и (•)) =

'1 г л

-г(- А + —)

а

(10)

определяет предельное значение критерия в исходной задаче оптимального управления (1) - (4).

А

--008 аt

а

^ Х2 п

2а

Рис. 1. Иллюстрация к случаю I <

2 А

п

А У

А а

к п ч -1 (t ) 2а

А а

А

--oosаt

а

б)

А х2

п

2а

Г

Рис. 2. Иллюстрация к случаю I =

2А

п

Г

t

Г

2

Современные технологии. Механика и машиностроение

а) А У

А а

Л ч

1 (< -1Г) 2а

А а

б)

А

--008 аГ

а

Рис. 3. Иллюстрация к случаю I >

2 А

л

- X

сируем три системы декартовых осей, совпадающих в положении равновесия между собой; 0^г/д -

неподвижную; 0ХУ\2\ - подвижную, жестко связанную с объектом и совпадающую с ее главными центральными осями; 0хуг - подвижную, жестко связанную с основанием.

Потребуем, чтобы абсолютные ускорения в 5 заданных точках объекта удовлетворяли ограничениям

М < ¡,, (, = 1,7), (11)

где щ - абсолютное ускорение в г-й точке, ¡г -заданные положительные числа.

Проекция абсолютного ускорения г-й точки на оси системы координат 0^г/д определяется выражениями [4]:

= I + ^ + ФУ + в г, к- " Ф, + ^ )У,, м>п, = ау +^+(в2+ёд)хг-(вх + в^г, (12)

^ = К + ^ + Ф, + % )У, - Фу + вп К ■ Здесь 5 , яу, ) - вектор смещения центра инерции объекта в системе координат 0хуг;

, з^, - вектор смещения в системе координат 0^т]д той точки основания, которая в положении равновесия совпадает с центром инерции объ-

екта

; (А А А)

вектор малого относительного

угла поворота тела; (0,0) - вектор малого угла поворота основания; (X,, у{,2{) - координаты 1 -й точки тела в системе координат •

Введем обозначения

+ = И,

=Ы3,

в.+в, =ия

<9

А = Ы5>

-ёд =и6.

(13)

Рис. 4. К учету выхода на ограничение

Запишем выражение, определяющее модуль абсолютного ускорения в 1 -й точке тела

Ы=]++ , (14)

где соотношения для проекции абсолютного ускорения (12) в соответствии с (13) примут вид

= и1 + и52 - ибУ,,

= и2 + и6 хг - ^4 2, ,

Предельные габаритные размеры

Рассмотрим механическую систему, состоящую из объекта защиты (абсолютно твердое тело), соединенного с основанием при помощи виброзащиты предъявляются следующие требова-некоторого амортизационного устройства. Зафик- ния: проекции абсолютных ускорений на оси

= и3 + и4 у{ - и5 X,.

При проектировании ВЗС часто к качеству

Г

X

2

Г

X

Г

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

заданных точек объектов не должны превышать по модулю допустимых значений. Учитывая (12) и введенные обозначения (13), запишем эти ограничения:

К + ЩЪ-и6я\<£ь,

\п2+п6х1-пАг1\<(1у, (/ = 1,5). (15)

\и3+иАу,-и5х\<еь,

Предположим, что ограничения габаритных размеров системы амортизации равносильны ограничениям, накладываемым на относительные смещения п заданных точек тела в заданных направлениях

к1 * ь' (з=^)' (16)

где gj - относительное смещение /-ой точки тела

в направлении п3; Ь} - заданные положительные числа.

sx = и] - Д sin cot, sv = ип - A-, sin cot, s = г/, - A, sin cot,

z i 5 '

вх = г/4 - А4 sin cot, = г/5 - Д sin cot,

в, = г/6 - Д sin cot,

удовлетворяющая концевым условиям (0) = (0) = (0) = 0, 0 (0) = 0, (0) = 0 (0) = 0, 2ж 2ж 2ж

•х (—) = Sy (—) = • (~) = 0,

(21)

а

а

а

0 А=0, А=0г А=0,

а а а

(22)

будет управляться оптимально.

Рассмотрим n задач нахождения оценки

Относительное смещение g3 может быть предельного значения критерия качества про-

записано через обобщенные координаты в виде стейшей системы.

Продифференцировав (17) дважды и подставив в полученное выражение (21), получим

(23)

gj =(0 h +(0-0xzj)Pj +

+(** +0Jj)7j- (17)

Здесь Xj, y, Zj - координаты j-ой точки тела в системе координат 0х1y1 z1; aj,Pj,r j - направляющие косинусы, определяющие направление nJ

Приведем соотношения (13) к виду

=«1(0-^(0, ex=u4(t)-e4(t),

sy=n2{t)-sn{t), ey=ih{t)-en{t), (18)

ss=u3 (0-^(0, e_=u6(t)-e¿t),

где .s\ ( /), sn (t), s_ (t), в: (t), <9 (t), в_ (t) - заданные

функции, определяющие закон изменения обобщенных ускорений основания.

Рассмотрим кинематическое возмущение, вызванное колебанием основания по гармоническому закону:

в, = А4 sin cot, en=A5úncot, (19)

в( = А6 sin cot.

Требуется определить численное значение критерия

где

= (/ ) + A' sin cot, v.(t) = d'jU(t), AJ = -d'a

u(t) =

' Ui(t)^ f h ' f Ai

u (t) Pj A2

u (t) rt - rj , a = A3

u4(t) , dj = yjYj - ZJPJ A4

u5(t) Zjaj - Xjrj A5

v u6(t)j vXjpj - yjaj j 1A6 6

Пусть управляемый процесс определяется уравнением (23). Требуется определить ,

удовлетворяющие ограничению

j (t)|

< v.

где

.s\ = A] sin cot, s = A2 sin cot, s( = Аъ sin cot,

vj = d'jU

(24)

1 2

J(u(-)) = maxmax—- g, (t),

n>j>i t>0 L

(20)

которое может быть достигнуто, если система

при u = const (i = 1,6) и доставляющие минимум функционалу

1 ж

Jj (v>W)=(25)

В силу рассмотренной вспомогательной задачи полученного соотношения (10) оптимальное значение функционала (25) вычисляется по формуле

v

Современные технологии. Механика и машиностроение

1 V. я

1 V * (•)) = )2,

Ц®

8

где V пока неопределенно.

Отсюда следует, что задача о предельных габаритных размерах с функционалом (20) свелась к задаче нелинейного программирования (дискретной минимаксной задаче) с целевой функцией

1 V. я2

Ф (и) = шах-1-^)2, (26)

Ь2тА

8

где V] определяется из (24).

При этом минимизация (26) производится по и , удовлетворяющему неравенствам (15). Эта задача является задачей минимизации квадратичной функции при линейных ограничениях. Таким образом, можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 1.

Пусть и * соответствует решению минимаксной дискретной задачи с критерием (25). Если

^ * _*

при найденных и , соответствующие им V . удовлетворяют условию

V* < 0,78 Лу

то

(27)

(28)

3 * = Ф(и*),

в противном случае

3* >Ф(и*) . Здесь У * - предельное значение критерия

(20).

Заметим, что если (27) не выполняется для тех j Ф 70 , где ]0 - индексы, для которых справедливо

Ф (и* ) = УоЮ

и в момент достижения первого максимума — я

г е (0,-) выполняется

' 2а

-^)< Ф(и*)

то в этом случае также справедливо (28).

Предельные возможности

Поставим следующую задачу [1]. Заданы габаритные ограничения (16). Требуется оценить снизу численное значение критерия качества

1 (и(-)) = шахтах^ w2, (29)

4 ' 1 <г<$ г >0 12

которое может быть достигнуто, если система (23) при выполнении ограничений (16) будет управляться оптимально в смысле минимума функционала (29).

Отметим, если 1 является нижней оценкой численного значения критерия (29), которое может быть достигнуто, если система (23) будет управляться оптимально при ограничениях (16), то для выполнимости требований к качеству ВЗС (11) при заданных габаритных размерах (16) необходимо выполнение условия

1 < 1.

Выполнение этого неравенства означает возможность существования технически реализуемой ВЗС, удовлетворяющей заданным требованиям (11), (16).

Выражение, определяющее модуль ускорения в 7-й точке (14), можем записать в матричном виде

\wi | = ^и'Щи ,

где

и =

(щл Г 1 0 0 0 2 "у' 1

и2 0 1 0 " 2 0 X

и3 , Щ = 0 0 1 Уг " X 0

и4 0 " ^ У1 22 + У2 " ХгУг "

и5 2г 0 " X " ХгУ, 2 2 + Хг " У,2,

ч иб ) V" У* 0 " Хг2г У,2, 2 2 Уг + X )

Таким образом, критерий качества (29) примет следующий вид

1 (и()) = шахтах^и'Ж.и . (30)

4 ' 1« г>0 12 г

1г

Рассмотрим п задач определения оценки снизу численного значения функционалов

1 (V. (•)) = шах v2(t),

(31)

которое достигается при реализации оптимального на классе кусочно-постоянных периодических

функций управления v*(t), обеспечивающих выполнение ограничений (16). Введя обозначения

х1=8у, х2=%], и = ^> А = А\

перепишем уравнение (23) и концевые условия (5)

хх =х2, х1 (0) = 0,

я

х2 = и + Аэт Ш, х2(-) = 0.

2а>

(32)

Габаритные ограничения примут вид

К(г )| < ь, (33)

где Ь = Ь , а критерий (31)

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

1 (и(-)) = шах и2(г).

(34)

Рассмотрим задачу оптимального управления (32) - (34). Известно, что минимальное значение оптимизирующего функционала в задаче (1) -(4) монотонно зависит от параметра описывающего ограничение, то есть от I [5]. В силу этого при

7*2

предельном значении I критерия в задаче оптимального управления (32) - (33) численное значение функционала при оптимальном управлении определится выражением

1

а

- Л +

Гя

2 Л2

=ь2.

(35)

Здесь предполагается, что Л > 0 . В случае, если Л > 0 , извлекая корень из (35), имеем 1 Г А 1*я2

—(" Л + -

а

8

-) = -ь,

а при Л < 0

1 г л 1"я\ т

-г("Л + —) = Ь .

а>~ 8

Разрешив последние соотношения относи-

7*

тельно I , получим

,* (-Ьа2 + Л)

I = ----- 8, при Л > 0,

я

, * (Ьа2 + Л)

I = ---—- 8, при Л < 0 .

я

Полученные формулы позволяют вычислить точное предельное значение критерия (34). Обозначим

*

V =

р

Ь а2 + Лр )8

я

2

, при Лр < 0, (р = 1, к),

(-Ь а2 + Л9 )8 -

V* = —-2—--—,при Л9 > 0 (д =к + 1,г)

9

и учитывая,

я2 что

vp > 0

(р = 1к,

V* < 0

(д = к +1, г), построим множество

и = {и : й'ри > V*,йри < V*, р = 1, к, д = к + 1, г}. (36)

Окончательное решение получим, рассмотрев дискретную минимаксную задачу с целевой функцией

Ф(и) = шах-1 и'Щ.и з 1. 3

(37)

на множестве и вида (36).

Отметим, что в этом случае на множестве V, определяемом выражением (36), будет гарантироваться существование на всем временном интервале кусочно-постоянных управлений, при которых выполняются габаритные ограничения (16), ^ *

если найденные V* удовлетворяют условию

|у*|< 0,781Л3|. (38)

В силу этого, решение дискретной минимаксной задачи будет определять точное предельное значение критерия (30), если выполняется условие (38).

Таким образом, справедлива следующая теорема

Теорема 2.

Если и * является решением дискретной минимаксной задачи (36) - (37), то справедливо неравенство

Ф(и *) < 1 *,

где 3* - предельное значение критерия (30) (численное значение функционала (30) при оптимальном управлении).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мижидон А.Д. Об оценке предельных возможностей виброзащитных систем //Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 4. - С. 149-162

2. Мижидон А.Д., Имыхелова М.Б. Предельные возможности пространственной виброзащитной системы твердого тела при ударных возмущениях // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - №1(25) - С. 56-63.

3. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. - Л. : Машиностроение, 1976. - 248 с.

4. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. - М. : Наука, 1966. - 320 с.

5. Черноусько Ф.Л., Акуленко А.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. - М. : Наука, 1980, -384 с.

СО