Предельные возможности в задаче активной виброзащиты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

А.Д. Мижидон, М.Б. Имьхелова ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ В ЗАДАЧЕ АКТИВНОЙ ВИБРОЗАЩИТЫ

В статье рассматривается задача о предельных возможностях активной виброзащиты. Для ее решения развивается методика аналитического конструирования оптимального регулятора на случай функционалов с подынтегральной функцией вида x Qx + x Pu + u Ru .

Ключевые слова: предельные возможности, оптимальное управление, аналитическое конструирование, оптимальный регулятор, матричное уравнение Риккати.

A.D. Mizhidon, M.B. Imykhelova LIMITING POSSIBILITIES IN THE PROBLEM OF ACTIVE VIBROPROTECTION

The paper deals with the problem of limiting capabilities of active vibroprotection. For the solution of the problem procedure of analytical constructing of an optimal controller is developed on a case of functionals with integrand of the form x Qx + x Pu + u Ru .

Keywords: limiting capabilities, optimal control, analytical designing, optimal controller, matrix equation by Rikkati.

Введение

Требования, предъявляемые к виброзащитным системам при проектировании, являются противоречивыми. С одной стороны, виброзащитная система должна обеспечивать заданное снижение уровня динамических воздействий, а с другой - должна иметь ограниченные габаритные размеры. В условиях, когда заданы количественные характеристики этих требований, представляет интерес оценка предельных возможностей виброзащиты. Под предельными возможностями понимается нахождение управления, при котором одновременно выполняются противоречивые требования. Использование принципа максимума для решения задачи о предельных возможностях затруднительно в силу неаддитивности оптимизируемых функционалов. В статье рассматривается подход, основанный на применении методики аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР).

1. Постановка задачи

Рассмотрим механическую систему, представляющую собой твердое тело (объект защиты), соединенное с жестким недеформируемым основанием упруго-демпфирующими подвесами (УДИ). Источником кинематических возмущений является пространственное колебание основания. Для улучшения качества виброзащиты помимо пассивных УДИ система виброзащиты содержит N активных элементов, формирующие силы U1(t),U2(t),...,UN(t), прикладываемые в некоторых N точках объекта защиты [1].

Иредполагаем, что колебания амортизируемого тела являются малыми, а начало неподвижной системы координат в положении статического равновесия совпадает с центром инерции объекта. В качестве подвижных осей координат рассмотрим главные центральные оси инерции объекта защиты. Считаем, что неподвижные оси координат совпадают в положении равновесия с подвижными осями. При этих предположениях уравнения движения объекта защиты можно записать в виде

A q + Bq + Cq = — A^(t) + DU (t), (1)

где q - 6-мерный вектор обобщенных координат, характеризующий относительные смещения тела; (j(t) - 6-мерный вектор возмущений (вектор обобщенных ускорений координат, описывающий

движение основания); A - 6х6-диагональная матрица моментов инерции тела; B - 6х6-матрица коэффициентов демпфирования; C - 6х6-матрица коэффициентов жесткостей; D - 6х N -матрица, зависящая от точек приложения и направления действия управляющих сил; U(t) - N -мерный вектор управляющих сил (управление).

На практике к проектируемой ВЗС часто накладываются требования об ограничении абсолютных ускорений некоторых s заданных точек объекта защиты. Эти ограничения могут быть записаны в виде [1]

qt) + a(t))'Wi(q(t) + т) S1, (i = 1,2,...,s) (2)

где - заданные постоянные положительно определенные бхб-матрицы.

В качестве требований к габаритным размерам ВЗС накладываются ограничения на относительные смещения в заданных направлениях п заданных точек тела. Эти ограничения могут быть представлены следующим образом

-1 < йд{г) < 1, (г = 1,2,..., п) (3)

Здесь - заданные 6-мерные векторы.

Косвенной оценкой качества проектирования может служить следующий функционал

І - _ _

J (U) = liim — \[_q'Qq + (q(t) + <J(t))' R (q(t) + <J(t))] dT. (4)

т 2Т

Добиваясь его уменьшения, мы будем, в конечном итоге стремиться к выполнению ограничений (2) и (3). Здесь Q и Я — положительно определенные б х б-матрицы, определяемые соотношениями

( \

q=(ada2 d2 ■■■andn)

a2d2

Kandn у

, R = І ew,

(5)

где a > 0, Д > 0 - некоторые весовые коэффициенты, удовлетворяющие условию

n s

І a+І Д =І.

i=І і=і

Для нахождения управления, доставляющего минимум функционалу (5), будем использовать методику аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР). Для этого получим обобщение АКОР на случай минимизации функционала с подынтегральной функцией вида x Qx + x Pu + uRu .

2. Обобщение методики аналитического конструирования оптимального регулятора

Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами

х = Ах + Бы + / (ґ), (6)

где /(ґ) - п -мерная заданная, непрерывная вектор-функция, характеризующая возмущения.

Требуется определить управление ы(х, ґ), доставляющее на решениях системы (6) минимум функционалу

- 2Т

Матрица W , составленная из этих матриц Q, P, R

І т

J(u) = lim — Г(xQx + xPu + uRu)dt. Тотj

(7)

W =

f Q І p ^ ^ 2

- P R v 2

является положительно определенной.

Сначала рассмотрим задачу АКОР с конечным интервалом наблюдения. Требуется определить управление u(x, t), доставляющее минимум функционалу

1 т

J(u) = — [(x Qx + x Pu + uRu)dt, (8)

2 ,

где Т - заданный момент времени. Введя функцию Понтрягина

Н =у'(г)Ах + ^(0Ви + ф'^)/(г) -1 х^х-1 хРи -1 иЯи ,

где у(() - п -мерный вектор, удовлетворяющий сопряженной системе дифференциальных уравнений

1

у = - Ку + Qx + — Pu ,

(9)

с условием на правом конце

і=і

0

¥(Т ) = 0. (10)

Из условия максимума функции Понтрягина оптимальное управление определится следующим

образом

и * (х, ґ) = Я-1БУ(ґ) -1ЯхР'х. (11)

Будем искать \у(ґ) в виде

у/(ґ) = —К(ґ)х + п(ґ), (12)

где К(ґ) - п X п -матрица-функция и п(ґ) - п -мерная вектор-функция, подлежащие определению.

Таким образом, подставив (12) в (11), приведем оптимальное управление к виду

и*(х,ґ) = — ^Я^Б'К(ґ) +1 Я^Р'^х + Я—Бп(ґ). (13)

Подставив управление (13) в исходную систему (6) и в сопряженную систему (9), после

преобразований получим

К + КА + А'К — КБЯ ХБ'К —1КБЯ ХР —1 РЯ ХБ'К —1РЯ—Р + 2 | х —

2 2 4 )

-Я — Ап + КБЯ хБ'п +1 РЯ хБ’п + К/ (ґ) = 0.

Отсюда можем заключить, что матрица К (ґ) и вектор-функция п(ґ) в оптимальном управлении (13) удовлетворяют соответственно матричному дифференциальному уравнению

К + КА + А'К — КБЯ х Б'К —1КБЯ ХР' —1 РЯ ХР К —1 РЯ ХР' + 2 = 0 (14)

224

с условием на правом конце

К (Т) = 0 (15)

и линейной системе дифференциальных уравнений

п(ґ) = — ^А — К(ґ)БЯ ХБ' — 1 РЯ ХР|п(ґ) + К(ґ)/(ґ) (16)

с условием на правом конце

п(Т) = 0. (17)

Представим оптимальное управление (13) в задаче АКОР при постоянно действующих возмущениях при конечном интервале наблюдения в виде

и*(х,ґ,Т) = — ^Я ХР К(ґ,Т) +1 Я хР|х + Я хБп(ґ,Т). (18)

Здесь К(ґ, Т) и п(ґ,Т) соответственно решения матричного дифференциального уравнения (14) с условием на правом конце (15) и линейной системы дифференциальных уравнений (16) с условием на правом конце (15).

В [2] доказывается следующая теорема:

Теорема. Если та^[БАБ...Ап—1Б] = п , где А = А — 1БЯ ХР , а матрица 2 = 2 — 1 РЯ ХР является

неотрицательно-определенной матрицей, возмущение / (ґ) является непрерывной, ограниченной вектор-функцией, то управление

и* (х, ґ) = — ^ Я ХБ'К +1Я ХР') х + Я1Б'п(ґ), (19)

в котором симметричная положительно определенная матрица К = Ііт К(ґ, Т) является решением

Т

матричного алгебраического уравнения Риккати

КА + А К — КБЯ ХБ'К + 2 = 0, (20)

а п(ґ) = Ііт п(ґ, Т) - частное решение линейной системы дифференциальных уравнений (16), доставляет

Т

минимум функционалу (7) при постоянно действующих возмущениях при неограниченном интервале наблюдения.

3. Применение методики АКОР для оценки предельных свойств активной виброзащиты

Введем 12-мерный вектор х, составленный из компонент векторов q и 4

х = (4,4) (21)

С учетом введенных обозначений система (1) примет вид (6), где матрицы А, В и функция /(ґ) определяются следующим образом

Из уравнения (1), выразив приведем (4) к виду

tel о ( 0 > Г 0 1

A— , B — , f (t) —

Г - A lC - A~XB A- 1 - Сі:

q + (j(t) — - A (Bq + Cq - U (t)),

1T

J (U) — lim— f T2TJ

q Qq + (Bq + Cq - U (t)) AXRA- (Bq + Cq - U (t))

dT. (22)

После преобразования, учитывая обозначения (21), перепишем функционал (22) в виде (7), где

(Crc + Q c'rB

R — (A RA ), Q —

B- RC

B- RB-

(-2CRN

, P —

v -2 BR,

В соответствии с изложенным выше управление и(х,г,а,в), доставляющее минимум функционалу (22), имеет вид

u (x, t,a, в) — -1 RXB'K +1RXP' | x + RXB'H (t),

(23)

где К - решение матричного алгебраического уравнения Риккати (20), а п(г) - частное решение линейной системы дифференциальных уравнений (16).

Построенный оптимальный стационарный закон движения должен удовлетворять требованиям, предъявляемым к ВЗС (2) и (3). Решая вспомогательную задачу оптимального управления с критерием (4), мы стремились удовлетворить этим требованиям, тем не менее, построив оптимальный

стационарный закон движения {и*(г,а,в),q*(г,а,в)} , следует удостовериться, что оптимальный

стационарный закон движения действительно удовлетворяет ограничениям (2) и (3). Для этого введем следующую функцию

и* (г,а,в)^1и* (г, а, в),

Iй’а (г,а,в)|.

у( t,a,в) — max

s>i>1 n> j >1

(24)

Если у* максимальное значение функции (24) удовлетворяет условию

/ < 1,

то оптимальный стационарный закон движения {и* (г,а, в), q* (г,а, в)} в силу построения функции (23)

удовлетворяет требованиям, предъявляемым к ВЗС.

Отметим, выполнение ограничений (2) - (3) можно добиваться выбором весовых коэффициентов а и в7, присутствующих при организации матриц Q и Я . Для этого поставим следующую задачу.

Задача 1. Найти векторы

(25)

a1 ^ ' в"

a — , в—

vas J V вР j

компоненты которых удовлетворяют условию (5) и при которых выполняются неравенства

и*'(г,а,Р)Щи (г,а,в) < 1, (я > г > 1),

\й'$* (г, а,в)\ < 1, (п > 7 > 1).

(2б)

о

Для решения этой задачи предлагается, разбив отрезок [0,Т] точками г0 = 0, г1,...,+1, = Т , вместо

задачи 1 рассмотреть следующую аппроксимирующую задачу.

Задача 2. Найти векторы (25), компоненты которых удовлетворяют условию (5) и при которых выполняются неравенства

u* (tk ,а,eWu (tk ,а,в) < 1, (s > i > 1),

(27)

\й'^ (гк,а,р)\ < 1, (п > } > 1), к = 0,1,...,N.

Возможность такой замены вытекает из следующего достаточно очевидного утверждения. Утверждение. Решение задачи 2 при равномерной на отрезке [0, Т ] сетке точек

Т

г0 = 0, г1,...,tN+1, tN = Т с шагом т = — при достаточно большом N сколь угодно точно аппроксимирует

решение задачи 1. При этом справедливо

СТ

и* (г,а,в)Жи* (г, а, в) < 1 + ^, (я > г > 1),

\d'jq*(t,a,e)\ < 1 + j, (n > j > 1),

при всех г е Т.

Действительно, в силу построения функции и* (г, а,в), q* (г, а,в) являются непрерывно дифференцируемыми. Следовательно,

-Ч Г

и* (г, а,в)Ж-и* (г, а, в)

-[d;'q* (t,a,fi) ]

< C, (s > i > 1), < С, (n > j > 1),

dt

d dt1

при всех t e T. Здесь Ci и С j - некоторые постоянные, зависящие от гладкости соответствующих

функций. Кривые u (t,a,e)Wtu*(t,a,p), djq*(t,a,в), имеющие ограниченные производные и в точках

T

равномерной сетки с шагом т =—, удовлетворяющие условию (27), не могут стать больше

N

1 Ст л CjT

соответственно 1 +------и 1 +—— .

22

Заключение

В статье рассмотрен подход к нахождению предельных возможностей активной виброзащитной системы, основанный на применении методики аналитического конструирования оптимального регулятора. После нахождения оптимального управления возникает необходимость выбора весовых коэффициентов, для того чтобы выполнялись предъявляемые к виброзащитной системе требования. Предложен способ выбора таких весовых коэффициентов.

Литература

1. Мижидон А. Д. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов при постоянно действующих стохастических возмущениях в приложении к синтезу виброзащитных систем // Автоматика и телемеханика. 2008. №4. С. 81-93.

2. Мижидон А.Д. Об одной задаче аналитического конструирования оптимального регулятора // Автоматика и телемеханика. 2011. №11 (в печати).

Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики ВосточноСибирского государственного технологического университета, e-mail: miarsdu@esstu.ru

Имыхелова Марина Бадмаевна, преподаватель кафедры прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета, тел. +79247744135, e-mail: imari@list.ru

Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical science, professor of the department of Applied mathematics of East-Siberian state university of technology

Imykhelova Marina Badmaevna, teacher of the department of Applied mathematics of East-Siberian state university of technology