CC BY
7
УДК 628.517:[629.12+623.9]
ПРЕДЕЛЬНО ДОСТИЖИМЫЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ
Фомичева Е.В., кандидат технических наук, доцент
Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусств имени А.Д. Крячкова
Новосибирский государственный университет экономики и управления Новосибирский государственный технический университет Фомичев П.А., кандидат технических наук, доцент Новосибирский государственный университет экономики и управления Новосибирский государственный технический университет
Аннотация. В настоящей статье изложены методы, позволяющие оценить предельно достижимые количественные значения критерия качества без определения оптимального управления, что является новым элементом проектирования виброзащитных систем, поскольку в настоящее время решение задач оценки предельных возможностей производится в основном с позиций теории оптимального управления. При этом оценки предельно допустимого критерия качества вычисляются после решения соответствующей задачи оптимального управления.
Ключевые слова: виброзащита, вынужденные колебания, виброзащитные системы
Понятно, что при проектировании виброзащитных систем необходимо удовлетворить всю совокупность предъявляемых к ней требований, которые обычно являются противоречивыми. С одной стороны виброзащитная система должна обеспечивать заданное снижение уровня динамических воздействий, а с другой - должна иметь ограниченные габаритные размеры. В условиях, когда заданы количественные характеристики этих требований, представляет интерес оценка предельных возможностей виброзащиты, причем эта оценка не должна зависеть от структуры виброзащитной системы. Знание этой оценки имеет особенно большое значение на начальных этапах проектирования при решении следующих вопросов:
■ реализуемости требований, предъявляемых к виброзащитным системам;
■ определения возможности повышения качества виброзащитных систем;
■ целесообразности использования той или иной конструкции амортизаторов;
■ проведения сравнительного анализа конкурирующих структур виброзащитных систем.
Решение задач оценки предельных возможностей производится в основном с позиций теории оптимального управления. При этом оценки предельно допустимого критерия качества вычисляются после решения соответствующей задачи оптимального управления.
В данной статье изложены методы, позволяющие оценить предельно достижимые количественные значения критерия качества без определения оптимального управления.
Рассмотрим виброзащитную систему, динамическая схема которой представлена на рис. 1.
Рис. 1. Динамическая схема виброзащитной системы с одной степенью свободы.
Управляющий этой системой процесс в соответствии с [1] можно представить в виде:
где г/ (г) = л%/) - кусочно-непрерывная функция, играющая роль управления.
Начальные условия уравнения (1) определяются системой:
[х(0) = 0,
: (2)
|х(0)-0. 1 }
На фазовую переменную ) наложим ограничения
х(/)|<1, />0. (3)
Оценим снизу численное значение критерия качества
./(//)-ш;|.\//"(/}. (4)
которое может быть достигнуто, если система (1) при выполнении условий (3) будет управляться оптимально в смысле минимума функционала (4).
Принципиальное отличие предложенной постановки задачи оптимального управления в том, что здесь не требуется определение самого оптимального управления, а требуется найти оценку снизу предельного значения критерия качества (4) при выполнении фазовых ограничений (3).
В работе [2] было доказано, что минимальное значение оптимизируемого функционала в следующей задаче оптимального управления
Х{ — Л*2;
х2 = и(/)-сг(/), *,(<>) = О, *2(0) = 0, и(*)| </, / > О, .У, (и) = шах л'т (/),
монотонно зависит от параметра, описывающего ограничение на управление, то есть /.
В задаче (5) а , - л - относительное смещение изолируемого объекта; V -л - скорость смещения; - вторая производная функции ,г(/) -
смещения основания.
Пусть / - предельное значение, определяемое как квадратный корень от предельного значения критерия (4), при выполнении фазовых ограничений (3) (численное значение критерия (4) в задаче (1) - (4) при оптимальном
управлении и' (/)):
В силу сказанного выше, при предельном значении / , численное значение критерия качества в задаче (5) при оптимальном управлении определяется выражением:
Можно также заметить, что оптимальное управление и' (/) в задаче (1) -
(4) будет оптимальным и в задаче (5) при 1 = 1'.
Далее рассмотрим задачу оптимального управления с так называемым терминальным критерием:
(6)
Докажем, что в этой задаче оптимальное управление н (/) принимает
постоянное значение на отрезке [П:/, ].
Действительно, применяя для решения принцип максимума [3], получим, что и (/) на отрезке [П:/,] имеет вид:
где определяется из решения сопряженной системы соотношением:
Следовательно, й*(г) на отрезке [0;^] имеет постоянное значение, определяемое соотношением:
Считая й {() = й* -const, проинтегрируем (1) при нулевых начальных условиях (2):
Определим как момент времени достижения максимального значения л" (/) при управлении г/(У) = и . В этом случае должно выполняться
Отсюда
(8)
Следовательно, x(t) в момент времени определяется соотношением:
Будем считать, что
)
?('.)+Я0)
'i-ЯО+Я0)
= L
(9)
В момент времени t{ из (2.7) и (2.8) вытекает справедливость равенства:
sign
уМ-У(О)
= -sign
h->'(/, )+y(o)
(10)
Не уменьшая общности, для дальнейших выкладок можно потребовать, чтобы при любом ( < t] выполнялось неравенство [4]:
x(t)
2 и
t2 -y{t) + у(0)-/ + >-(0)
<L
Теперь можно доказать, что если L определяется соотношением
Я'.ЬЯ0)
/ -
(11)
(12)
где удовлетворяет условиям (9), (10) и при любом I < 1Л справедливо неравенство (11), то 1_2 является нижней оценкой значения критерия (4) при оптимальном управлении й (/), т.е.
L <./(«'), ('<'')• (13)
Действительно, так как выполняется условие (11) для любых значений
.......... то управление, определяемое выражением (8), является оптимальным в
задаче:
f
jc = H(i)-j)(f), jc(0) = 0,
л-(0)-0. (14)
|и(г)|</, 0<t<tx,
JAu) = maxx2(/),
0</</[ 7
у которой минимальное значение критерия монотонно зависит от параметров ограничения [5]. Следовательно, это управление является и решением следующей задачи оптимального управления:
x = u(t)-y(t), *(0) = 0, х(0) = О,
\x(t)\<L, 0<t<t^ JAu) = min maxw~(i).
и ()</</[
В силу этого 1 -П11П1ШХ//'(/).
Но, с другой стороны, Is = min max и2 (?) < min max
и 0</</| if 0<г</|
Следовательно, I является нижней оценкой значения критерия (4) при оптимальном управлении //(/).
Из доказанного следует, что если найти момент времени /, удовлетворяющий условиям (9) - (11), то нижняя оценка предельного значения функционала (4) может быть вычислена по формуле
,, .» ш-ту
(15)
Далее докажем следующее.
Если существуют моменты времени г, и г2, такие что < т2, удовлетворяющие условиям (9) - (11), то справедливо неравенство:
У(Г ) r(0j г:,)-,г(0)
(16)
Действительно, если ввести обозначения w, =
то в силу (9) и (11) при г, < г2 справедливо:
_* _2
■ЯО+ЯоК+Я0)
L =
"i ^
>
W-, Г"
v(r)+ v(0)-r + v(0)
Отсюда следует, что
"i гГ
>
г/т г
к-Яп)+Я°К+Яо)
а это означает, что Л(и* ) > Зъ [и^ ).
Из монотонной зависимости значений оптимизируемого функционала в задаче (14) от параметра ограничений и в силу последнего неравенства
вытекает, что Щ > Til и, значит, справедливо (16).
Таким образом, если существует несколько т- \1> ■■ *' ^"/t > удовлетворяющих условиям (9) - (11), то для получения более точной нижней оценки предельного значения (4) нужно выбрать максимальный элемент tx из набора {тх,т2,...,тк\ и вычислить оценку по формуле (15).
Блок-схема изложенного алгоритма нахождения момента времени, удовлетворяющего условиям (9) - (11) приведена на рис. 2.
Алгоритм программно реализован в среде программирования Турбо-Паскаль.
Для иллюстрации изложенного рассмотрена следующая задача об оценке предельных возможностей системы.
х - и - A¡ sin o\t - А2 sin ú)2t, x(0) = 0, x(0) = 0, |x(/)| < L, (>0, J(г/) - шахи2 {/).
(17)
(>0
В табл. 1 приведены решения этой задачи при различных значениях Ли А2 и при различных значениях параметра ограничений Ь. Частоты возмущения были приняты со| = 6,28, со2 = 3,14.
Рис.2. Блок-схема алгоритма нахождения момента
Таблица 1. Решение задачи (17) при некоторых значениях параметров.
.
N А Л2 L и /2
1 2 49 0,02 0,0012037 0,93344 0,87131
2 -0,56 0 0,007 0,0063347 -0,011138 0,000124
3 -2,8 0 0,005 5,473239Е-5 -0,0004812 2,315604Е-7
Таким образом, получен математически обоснованный общий метод нахождения оценки предельного значения критерия качества, при произвольном возмущении, не требующий решения соответствующей задачи оптимального управления.
Библиографический список
1. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Качественные характеристики пневмогидравлической виброизолирующей опоры // Двигателестроение. 2005. № 1 (219). С. 21-23.
2. Глушков С.П. Гидравлические виброизолирующие опоры нового поколения. / С.П. Глушков, П.А. Фомичев, Е.В. Фомичева // Научное издание -Новосибирск, Новосибирская академия водного транспорта, 2005 г. - 190 с.
3. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Разработка виброизолирующих опор нового поколения для судовых энергетических установок / Речной транспорт 2004. - №4. - С. 52-54.
4. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Исследование эффективности активных виброзащитных систем / Вестник НГТУ. -2005. -№2(20). -С. 111-123.
5. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Критерий качества параметрической оптимизации виброизолирующих опор / Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2013. № 2. С. 167-169.
EXTREMELY ACHIEVABLE QUANTITATIVE VALUES QUALITY CRITERION OF VIBRATION PROTECTIVE SYSTEMS
Fomicheva E.V., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Kryachkov Novosibirsk State University of Architecture, Design and Arts Novosibirsk State University of Economics and Management Fomichev P.A., candidate of technical sciences, associate professor Novosibirsk State University of Economics and Management Novosibirsk State Technical University
Abstract. This article describes methods that allow us to estimate the maximum achievable quantitative values of the quality criterion without defining optimal control, which is a new element in the design of vibration protection systems, since currently the solution of the problems of assessing ultimate capabilities is carried out mainly from the standpoint of optimal control theory. Moreover, estimates of the maximum allowable quality criterion are calculated after solving the corresponding optimal control problem.
Keywords: vibration protection, forced vibrations, vibration protection systems
