ОЦЕНКА НОРМЫ МАТРИЧНОГО БАЗИСА ДОПУСТИМОЙ РЕШЁТКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

International scientific journal "Interpretation and researches"

Volume 2 issue 18 (40) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2

ОЦЕНКА НОРМЫ МАТРИЧНОГО БАЗИСА ДОПУСТИМОЙ РЕШЁТКИ

Уралова Максуда Иззатила кизи

Узбекистон-Финляндия педагогика иниститути ассистенти

Рассмотрим решётки Л с R" с матричным базисом A (a) и объёмом

d (Л) = Idet A| _ YT = (y, y,..., y ) eA y. ф 0 (i = in) N(Y)

v ' 1 L Пусть \У\->Угт--->Уп)^1 где Л v ' J; символом

обозначаем величину N(y) = lyi ." Уп1 . Определение 1. ([1]) Величину

и = N (Л) = inf N (Y) • (d (Л))-1

Yea, y^0

будем называть однородным минимум решетки А. Решетка Л называется

допустимой, если ^ = ^(А) > 0.

В дальнейшем рассмотрим только допустимые решетки. Не нулевой вектор решетки минимальной длины называется ее кратчайшим вектором. Известно, что задача отыскания вектора минимальной длины связано с оценками однородного минимума решетки [3, 4].

В работе рассматривается максимальная или бесконечная норма (норма Чебышёва [2]): если х £ Мп, то ||х|| = .

В данной работе получена оценка сверху нормы базисных векторов решётки Л через однородный минимум решётки д . Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть задана решётка А с ^А = 1 и ^(А)0 . Тогда существует постоянная С, зависящая только от ^, такая, что при А = ЛЪп

. \\Л\\ < С.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся следующими Замечание-1 и Лемму-1.

Замечание 1. [5] Существует константа К0, такая, что прямоугольный параллелепипед с объёмом К0, стороны которого параллельны координатным осям, не содержит точку решётки Л. Лемма 1. [5] Пусть дана матрица

/а11 а12 ... а1п" _ ^21 а22 . . . а2п

\«П1 ^п2 . . . ^пп/

Если для элементов матрицы А выполняются следующие неравенства

\ац\> Vi=i,k*i\aik\, то detA^O.

Для доказательство теоремы используется следующая последовательность параллелепипедов:

P1(L1,a1,...,a1)\{X\\x1\<L1\x2\<a1,...,\xn\<a1}, с объемом V(P1) = 22 • L1 • а™-1 и с условием L1> (п — 1)а1.

КР1 = P2(KL1,Ka1) . KL1=L2, Ка1 = а2 , КР1 = P2(L2,a2,... ,а2), с объёмом V(P2) = 2nL2a2-1 < 2nß и с условием L2 > (п — 1)а2.

Растягиваем посредством подобия сторону параллелепипеда Р2, которая параллельна первой координатной оси, до тех пор, пока не получим параллелепипед с объёмом, большим объёма основного параллелепипеда решётки А, поэтому существует такое т, что наименьшим, содержащим точку Z1 решётки А параллелепипед будет иметь вид:

Рз = P2(rnl2,a2,...,a2),

с объёмом V(P3) = mV(P2) = 2nmL2a2-1 < 2nmß и с условием mL2 > (п — 1)а2.

Пусть точка Z1 Е А П Р3 имеет вид Zl = (х^1, х^,..., х£1)).

Тогда х(11> = mL2,

х

(1)

х.

(1)

п

< а2 и

х

(1)

>

X

(1)

+...+

X

(1)

п

Далее, растягивая вторую сторону параллелепипеда Р2 , которая параллельна второй координатной оси, получим ещё один вектор решётки А:

(2)

>

(2)

+...+

(2)

7Т г (2) (2) (2)\

¿2 = ,Х2 ,... ,Хп ), с условием X. И так далее, растягивая аналогичным образом п -ю координату, получим

последний вектор Z^ Е А ПР2' : Z^ = (x(l->,x(n->

) с условием

х.

(п)

п

>

X

(п)

+ ...+

X.

(п) п-1

Допустим, что из построенных параллелепипедов наибольшую сторону имеет параллелепипед Р3 = P2(mL2, а2,...,а2) . Тогда векторы Z1,Z2,...,Zn , построенные выше, все содержатся в кубе со стороной mL2. По лемме 1 эти векторы составляют систему из п линейно независимых векторов решётки Л.

Пусть решётка Л имеет вид Л = AZn. Тогда систему векторов Z1,Z2,... ,Zn можно рассматривать как базис подрешётки Л' решётки Л. По лемме 1.7 главы 1 [1] эта подрешётка будет иметь вид Л' = ABZn, где В - целочисленная матрица. Пусть С = (Z1,Z2,.. .,Zn) = A • В. Оценим норму матрицы С. Так как все векторы Zt находятся в кубе со стороной mL2, то каждая координата вектора Zt не больше чем длина стороны куба, т.е. \\C\\<mL2. (1)

Так как V(P2) = 2nL2an-1 < 2nß, то

U <

ß

,n-1

(2)

2

2

2

Из условия L2 > (n — 1)a2 выводим, что существует 0 > 1, такое, что L2 = (п — 1)а2 • 0. Отсюда

Г (П-1

а = ап~! =

2 (n-i)e' 2 (п-1)п-10п-1.

Подставляя значения а2-1 в (2.13), получаем

,n ^ М(п-1)П-10П-1 l2 — 7п-1 .

Отсюда

1 п-1 п-1

L2 — — 1)~0~. (3)

Следовательно, из (2) и (3) получаем

п-1 п-1 п-1

||С|| — — 1)~0~ , (5)

при т — 1 из (5) получим

||С| — . (6)

Далее, оценим норму матрицы В . Существует целочисленная унимодулярная матрица Е, такая, что С = ЛЕ-1 = С(ЕБ)-1.

По лемме 1.1 главы 1 [1] подберём матрицу Е так, чтобы выполнялось следующее равенство:

/^1 «12 ... %п\ Л V ... / ¿1 \

£Я = ( ¿2...«2П ) = (0 Ь2п )•( ... ) (7)

V о ...dn / \ ^ d2/

с условием 0 — bfcj < 1. Найдём обратную матрицу (ЕБ)-1. Из равенство (7) получаем:

М' - 0 \ /1 - ЯД

(F5)-1 = ( : Ч : ) (: Ч i ) (8)

\0 - dn7 \0 - 1/

с условием 0 < dfc' — 1.

Тогда из условия 0 — bfci — 1 следует, что

||(£Я)-1|| — 1 (9)

Так как ЛЕ-1 = С(ЕБ)-1, то из (9) следует, что

||Л£-1|| = ||с(£Я)-1||—п||С||.

Отсюда и из (6) получим

п-1 п-1

„ п(п — 1) П 0 п

Теорема доказана. Использованная литература:

1. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

2. Уткин П.С. http:// mipt.ru/education/chair/computational_mathematics/study/materials, 2014.

3. Рузимурадов Х.Х. К проблеме подсчета числа точек алгебраических решеток в прямоугольниках. Узбекский математический журнал, 2008, № 4. С. 116-124.

4. Ruzimuradov Kh.Kh. Fundamental rectangles of admissible lattices. -Journal of Mathematical Sciences. May 1996, Volume 79, Issue 5. pp 1320-1324.

5. Ruzimuradov Kh.Kh., Ismatova L., Poyonova . On an Estimate Related to the Homogeneous Minimum of the Admissible Lattice. Proceedings of International Conference on Mathematics and its Scientific Applications (ICMSA-2022). Sathyabama Institute of Science and Technology, Chennai, India, 3-4 March, 2022.