CC BY
5
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 3.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-3-95-121
Интерполяция для системы концентрических сеток1
А. В. Родионов, М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский
Родионов Александр Валерьевич — Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: rodionovalexandr@mail. ru
Добровольский Михаил Николаевич — кандидат физико-математических наук, Геофизический центр РАН (г. Москва). e-mail: [email protected]
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected], [email protected]
Добровольский Николай Михайлович — профессор, доктор физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected]
Аннотация
В работе дается обзор по результатам Тульской школы теории чисел по вопросам интерполяции периодических функций многих переменных, заданных в узлах обобщенной параллелепипедальной сетки целочисленной решетки, и по алгоритмам численного интегрирования с правилом остановки. Необходимые факты и обозначения приводятся во 2 разделе, который состоит из 6 подразделов: 2.1. Из геометрии чисел; 2.2. Тригонометрические суммы сеток и решёток; 2.3. Неравенства для перенормировок на пространстве Ef; 2.4. Интерполяционные формулы для обобщенной параллелепипедальной сетки целочисленной решётки; 2.5. Свойства оператора интерполирования; 2.6. Оценки погрешности интерполирования. В этих подразделах наряду с известными фактами и определениями, полученными ранее в Тульской школе теории чисел, содержатся новые понятия и факты связанные с интерполированием по сдвинутым параллелепипедальным сеткам.
В следующем разделе 3. Алгоритмы приближенного интегрирования и интерполирования с правилом остановки содержится новые определения, связанные с переносом понятия концентрический алгоритм приближенного интегрирования на случай мультипликативного, концентрического алгоритма приближенного интерполирования.
В работе исследуются новые вопросы приближенного интерполирования с правилами остановки. В 4-ом разделе рассмотрен наиболее важный и интересный для практической реализации случай вложенных последовательностей параллелепипедальных сеток. Получена оценка нормы разности двух операторов интерполирования по решётке и подрешётке, что позволило в качестве правила остановки концентрического алгоритма приближенного интерполирования периодических функций взять величину максимума модуля разности этих операторов на точках большей параллелепипедальной сетки.
В заключении формулируются задача для дальнейшего исследования.
Ключевые слова: абсолютно минимальная гиперболическая полная система вычетов.
Библиография: 18 названий.
1 Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ соглашение №07303-2023-303/2 от 14.02.23 г. тема научного исследования «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»
Для цитирования:
А. В. Родионов, М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. Интерполяция для системы концентрических сеток // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24, вып. 3, С. 95-121.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 3.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-3-95-121
Interpolation for a system of concentric grids2
A. V. Rodionov, M. N. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii
Rodionov Alexander Valerievich — Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: rodionovalexandr@mail. ru
Dobrovol'skii Mikhail Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Geophysical Centre of RAS (Moscow). e-mail: [email protected]
Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected], [email protected]
Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected],
Abstract
The paper provides an overview of the results of the Tula School of Number Theory on the following issues interpolation of periodic functions of many variables defined in the nodes of a generalized parallelepipedal grid of an integer lattice, and by numerical integration algorithms with a stopping rule.
The necessary facts and notations are given in Section 2, which consists of 6 subsections: 2.1. From the geometry of numbers; 2.2. Trigonometric sums of grids and lattices; 2.3. Inequalities for renormalization on the space Bsa; 2.4. Interpolation formulas for the generalized parallelepipedal grid of an integer lattice; 2.5. Properties of the interpolation operator; 2.6. Estimates of the interpolation error. These subsections, along with the known facts and definitions obtained earlier at the Tula School of Number Theory, contain new concepts and facts related to interpolation on shifted parallelepipedal grids.
The following section 3. Algorithms of approximate integration and interpolation with the stopping rule contains new definitions related to the transfer of the concept of a concentric algorithm of approximate integration to the case of a multiplicative, concentric algorithm of approximate interpolation.
The paper investigates new issues of approximate interpolation with stopping rules. In the 4th section, the most important and interesting case of nested sequences of parallelepipedal grids is considered for practical implementation. An estimate of the norm of the difference between two interpolation operators on a lattice and a sublattice was obtained, which made it possible to take the maximum of the modulus of the difference of these operators at the points of a larger parallelepipedal grid as the stopping rule of the concentric algorithm for approximate interpolation of periodic functions.
2The study was carried out within the framework of state task No. 073-03-2022-117/7 on the topic "Number-theoretic methods in approximate analysis and their applications in mechanics and physics" .
In conclusion, the task for further research is formulated.
Keywords: the minimum polynomial of the given algebraic irrationality, residual fractions, continued fractions, TDP-shape, the modules Tue, couple Tue, linear-fractional transformation of the second kind.
Bibliography: 18 titles. For citation:
A. V. Rodionov, M. N. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2023, "Interpolation for a system of concentric grids", Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 3, pp. 95-121.
1. Введение
В работе [11] были изучены аналоги Фурье интерполяции для случая, когда периодическая функция многих переменных задана в узлах обобщенной параллелепипедальной сетки целочисленной решетки. Была построена теория интерполирования функций многих переменных для случая узлов интерполяции, образующих обобщенную параллелепипедальную сетку целочисленной решетки.
В работе [6] было изучено распределение значений погрешности приближенного интегрирования при модификациях сеток и применено это распределение для произведения некоторых типов сеток. В частности, были рассмотрены такие новые понятия как: алгоритмы приближенного интегрирования с правилом остановки; концентрический алгоритм приближенного интегрирования; линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних на пространстве периодических функций Е^.
Цель данной работы перенести указанные понятия на теорию интерполирования функций многих переменных для случая узлов интерполяции, образующих обобщенную параллелепипедальную сетку целочисленной решетки, и рассмотреть концентрические алгоритмы приближенного интерполирования по обобщенным параллелепипедальным сеткам целочисленных решёток.
2. Обозначения и необходимые факты
В данном разделе приведены без доказательства необходимые факты из работ [11] и [6].
2.1. Из геометрии чисел
Под сеткой мы понимаем произвольное непустое конечное множество М из С3, где С3 = [0; 1)в — полуоткрытый единичный мерный куб. Предварительно напомним некоторые определения и обозначения.
Пусть Л — произвольная целочисленная решетка в М8, т.е• Л — подрешетка фундаментальной решетки Zs. Другими словами Л = {т^! + ... + т3\31т\,..., т3 € Ъ} и А1,..., А8 — линейно независимая система целочисленных векторов. С алгебраической точки зрения все решетки как бесконечные абелевы группы с 8 образующими изоморфны .
Параллелепипед П(А1,..., А8) = {а1А1 +... + аД^О ^ а1,... ,а3 < 1} — фундаментальный параллелепипед решетки, объем которого обозначается через ёе1Л, называется детерминантом, или определителем, решётки и является ее инвариантом, не зависящим от выбора базиса решётки.
Усеченной нормой называется величина д(ж) = Ж1 ■ ... ■ ж5, где для веществе иного ж обозначаем ж = тах(1, |ж|). Гиперболический параметр д (Л) решётки Л определяется равенством
д(Л) = min ^q(x).
хел, х=о
Он имеет простой геометрический смысл: гиперболический крест К(Т) не содержит ненулевых точек решётки Л при Т < д(Л).
Гиперболическим крестом называется область
К(Т) = {х | д(ж) < Т},
а величина Т — его параметром.
Назовем г-й компонентой гиперболического креста К (Т) подмножество
Кг(Т) = {х | д(х) ^ Т, ровно г координат х отличны от 0}.
Ясно, что справедливо следующее разбиение гиперболического креста:
(и кг(т)) U{0}.
К (т) = MJ Kt
\г=1
Для решётки Л рассмотрим ее взаимную решётку Л*. По определению взаимная решётка Л* = {х £ Rs|Vy £ Л (х, у) £ Z}. Отсюда следует, что для любой решётки Л справедливы равенства (Л*)* = Л, de^* = (de^)-1. Нетрудно видеть, что фундаментальная решётка Zs совпадает со своей взаимной решёткой и является подрешёткой взаимной решётки любой целочисленной решётки. Кроме того, если Л1 С Л С Zs, то Zs С Л* С Л1. Для любого
с = о (сл)* = л*/а
Определение 1. Обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л) называется множество М(Л) = Л* n Gs.
Ясно, что если Л1 С Л, то М(Л) С М(Л1).
Если М С Л - подрешётка решётки Л величипа D = det М/ detЛ называется индексом подрешётки М ^отётки Л Два вектора х и у решётки Л сравнимы то подрешётке М (находятся в одном классе относительно подрешётки М), если х — у £ М. В этом случае пишем х = у (mod М). Индекс D ^^^^отётки М решётки Л ^^^ет ^^^^у классов решётки Л относительно М. Произвольное множество векторов решётки Л по одному из каждого класса относительно решётки М н^ывается полной системой вычет ов решётки Л отпосител ьно М. Каждая полная система вычетов решётки Л относительно М имеет естественную структуру конечной абелевой группы, изоморфной Л/М.
Л
дальная сетка М(Л) полной системой вычетов взаимной решётки Л* относительно
фундаментальной решётки Zs, т.е. М(Л) = Л*/Zs. Таким образом, па обобщенной параллелепипедальной сетке целочисленной решётки определена естественная операция сложения, относительно которой она является конечной абелевой группой.
Обычно, полную систему вычетов фундаментальной решётки Zs относительно целочисленной решётки Л будем обозначать через М*(Л), хотя она определена неоднозначно. Ниже будут сформулированы дополнительные условия для выбора М*(Л).
В одномерном случае любая целочисленная решётка имеет вид pZ и множество чисел {— р1,..., 0,... /Р2}, Р1 = , Р2 = [2] является наименьшей абсолютной полной системой
вычетов одномерной фундаментальной решётки Z по подрешётке pZ. Дадим многомерный аналог этому понятию.
Определение 2. Полную систему вычетов фундаментальной решётки Zs относиЛ
вычетов, если минимальный гиперболический крест,, содержащий эту полную систему вычетов, имеет минимальное значение своего параметра для всех полных систем вычетов фундаментальной решётки Zs относительно целочисленной решётки Л.
Определение 3. Полную систему вычетов фундаментальной решётки Zs относительно целочисленной решётки Л, состоящую из представителей классов вычетов с наименьшей усеченной нормой среди всех элементов класса вычетов, назовем абсолютно минимальной гиперболической полной системой вычетов.
Такую полную систему вычетов будем обозначать через М* (Л). Вообще говоря, полная система вычетов М* (Л) определена неоднозначно. Это видно на при мере решётки N Zs при четном N. Действительно, N2 = —N2 (mod N). Уже в одномерном случае две полные системы вычетов {—N1,..., 0,..., N2} ш {—N2,..., 0,..., N\] удовлетворяют определению 3. В s-мерном случае таких систем будет 2s. Для однозначности выбора М* (Л) можно еще ввести лексикографический линейный порядок на Zs. Тогда из нескольких возможных элементов с одинаковым значением усеченной нормы выберем наименьший в смысле лексографического упорядочивания. Тем самым М* (Л) будет определено однозначно.
Л Л1
М*н(Л) с М*н(Л1). (1)
Доказательство. См. [11]. □
Из доказательства леммы 1 следует, что если М* (Л) = {т1,... ,тn }, то для абсолютно минимальной гиперболической полной системой вычетов М* (Л1) справедливо равенство
N
М* (Л1) = {mj ,mj,1,..., mjtN1-1; mj = mj,u (mod Л) (v = 1,... ,N1 — 1)} , (2) 3=1
где N1 = ^ ■ Из этого представления следует, что с каж дым вычетом Щу из М* (Л) можно связать множество Дл,ах (ш^) С Л, заданное равенством
Ялм(Щ) = - ™зIй = 1,...,^ - 1}.
Так как все т^^ являются представителями различны классов вычетов по подрешётке Л1, то элементы из Ддл (ш^) не принадлежат решётке Л1.
Л
параметры.
Л
зывается наименьшее натуральное число д2(Л); такое, что гиперболический крест, К(д2(Л)) содержит полную систему вычетов фундаментальной решётки относительно целочис-Л
Л
называется наибольшее натуральное число ^з(Л), такое, что все целые точки гиперболического креста К(д3(Л)) содержатся в полной системе вычетов фундаментальной решётки
Л
Л
Пусть N = det Л. Множество всех целых точек принадлежащих гиперболическому кресту К(Т) обозначим через Kz (Т).
Так как 1Кг(1)| = 38, то для любого N ^ определим функцию Т3(Ж) из условий \К2(Т8(Ж))| < Ж, \К2(Т8(Ю + 1)| > N. Ясно, что
93(Л) < Та(М) < Й(Л). (3)
Из (3) следует, что при N < 35 надо полагать ^з(Л) = 0, так как минимальный крест К(1) содержит больше элементов, чем полная система вычетов фундаментальной решётки ZS относительно целочисленной решетки Л, состоящая из N элементов.
В работе [7] доказана следующая теорема.
Теорема 1. При N > е3'е справедливы, неравенства:
2е (1пN + 1
<-^-1 - (4)
2 5 (1пN + 1п((в - 1)!) - 81п2 - (з - 1) 1п(1пЖ))3"1
Из определений 4 и 5 сразу следует, что
93(Л) < д(Л), дз(Л) < ?2(Л).
Общие нетривиальные соотношения между этими тремя гиперболическими параметрами, по-видимому, установить непросто. Априори даже неясно, всегда ли существует полная система вычетов М*(Л) фундаментальной решётки ZS относительно целочисленной решётки Л такая, что выполнены соотношения
КЫЛ)) С М*(Л) с кЫЛ))? (5)
Рассмотрим для примера случай решётки Л = NZ 3. Очевидно, что
1 1
( 1 N _ п 3
М(ЖZ3) = Ь, — , Iм(NZS)| =det(ЖZ3) = Ж3.
(6)
Нетрудно видеть, что в качестве минимальной гиперболической полной системы вычетов фундаментальной решётки ZS относительно подрешётки NZS можно взять
М *(Ы ZS ) = {-Ж1,...,Ж2}3. (7)
Отсюда следует, что
д(Л) = К, ^2(Л) = N1 < и дз(Л) = (8)
Л
полная система вычетов М*(Л) фундаментальной решётки Z3 относительно подрешётки Л
Доказательство. См. [11]. □
Лемма 3. Абсолютно минимальная гиперболическая полная, система вычетов М* (Л) фундаментальной решетки ZS относительно подрешетки Л удовлетворяет соотношению (5).
□
Введем для произвольного вектора х понятие его индекса - количество ненулевых координат. Обозначим эту величину через г(х). Таким образом наименьший индекс у нулевого вектора: г(0) = 0, а максимальное значение индекса равно в. Для целого вектора т рассмот-
2
Г2(т).
Лемма 4. Если для целочисленной решётки А вектор т = 0 и имеет минимальное значение усеченной нормы = д(А)), то для третьего гиперболического параметра ре-
А
(А) < Д(А) ). (9)
Доказательство. См. [11]. □
Обозначим через множество всех целочисленных векторов каждый из которых имеет координаты, образующие перестановку чисел 1, 2, ..., 8.
Лемма 5. Пусть для заданного € ,]3 вектора А1 = (А1д,..., А^),.. ., А5 = (А8д,..., А8,8) А
Чл = 1х311 (Ю)
жел\{о}
Ам = ... = -1 = 0, К,^ = т!п ^^1 (и = 2,...,s), (11)
желМ\{о}
где А(^) = {х € А | Xj1 = ... = = 0}; тогда они образуют базис решётки А.
□
Пусть числа ]3),..., Ns(js) определены равенствами:
N. (1) = (и = 1,...,8). Заметим, что из доказательства леммы следует равенство
ёе!А = ]8) ...И3(¡8).
А
решётки удовлетворяет соотношению:
Q2 (Л) ^ min
js&Js
'Ni(l) ~NS (js)'
2 2
(12)
□
2.2. Тригонометрические суммы сеток и решёток
При изучении вопросов приближенного интегрирования и интерполирования периодических функций многих переменных естественным образом возникают тригонометрические суммы. Приведем несколько необходимых определений и результатов из работ [9] и [8].
Определение 6. Тригонометрической суммой сетки М и произвольного целочисленного вектора т называется величина,
Б(т,М) = ^ ^2жЦт,х). хем
Рассмотрим для произвольной целочисленной решётки А, целого вектора т и произвольного вектора х из взаимной решётки А* величины:
„ , ^ _ J 1, если т £ Л, * , „ _ ( 1, если х £ Zs,
^(т) _ \ 0, если т £ Z \ Л, (Ж) _ \ 0,
0, если т £ Zs \ Л, \ 0, если х £ Л* \ Zs.
Символ ¿л(т) является многомерным обобщением известного теоретико-числового символа
„ ( ) _ J 1, если т = 0 (mod N), ( ) \ 0, если т ф 0 (mod N).
Определение 7. Полной линейной кратной тригонометрической суммой целочисленной решётки Л будем называть выражение
Л)= Е е2™(™>х) = Е е2^(™>х),
хе м (Л) хел* /ъ
где т — произвольный целочисленный вектор.
Ясно, что для обобщенной параллелепипедальной сетки М(Л) справедливо равенство 5(т,М(Л)) = з(т, Л).
Определение 8. Полной линейной кратной тригонометрической суммой взаимной решётки Л* целочисленной решётки Л будем называть выражение
N-1
s*(x, Л) = Е
т €ZS/Л 3=0
^2т(т,х) _ ^ Tri(mj ,х)
где х — произвольный вектор взаимной решётки Л* и т0,..., тN-1 - полная система вычетов решётки Ъ по подрешётке Л.
Справедливы следующие двойственные утверждения.
Теорема 3. Для з(гп, Л) справедливо равенство
з(т, Л) = 6\(т) ■ ёе! Л.
Теорема 4. Для любой целочисленной решетки Л с ёе!Л = N и для произвольного х € Л* справедливо равенство
з*(х, Л) = ¿Л(ж) ■ ёе!Л.
2.3. Неравенства для перенормировок на пространстве Е\
Так как переход к произвольной периодической функции многих переменных, заданной на прямоугольном з-мерном параллелепипеде П^=1[а3, ^з Ь с периодом Ьз — аз по каждой переменной хз (1 ^ ] ^ «), делается с помощью простой линейной замены переменных, то дальше для простоты изложения будет рассматриваться только случай единичного «-мерного куба и класса периодических функций Еу которых для коэффициентов Фурье выполняется оценка
1
(mi.. .ml)a
Класс периодических функций Е" относительно нормы
с(гп) _ О (--1-— ) .
v 7 V(W ...m~s)aJ
||Ж)||е? _ sup |c(m)(mi ...m,s)al (13)
m €ZS
является несепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству 1о - всех ограниченных последовательностей комплексных чисел. Наряду с нормой (13) рассмотрим нормы
||/(x)llc _ sup |/(а?)| (14)
xeG3
и
те /те \ 2
||/(¿)||il _ Е и^, и/ФНь _ ( Е |с(^)|2) . (15)
т=—те \т=—оо I
Относительно норм (14) и (15) класс Е" становится незамкнутым линейным подмногообразием простраств непрерывных периодических функций и периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье соответственно (см. [12]).
Нетрудно видеть, что справедливы следующие неравенства:
IIЖ)1Ь2 < IIЖ)11с, ||Ж)||с < ||т^ 1, ||ЖЖ1 < IIЖ)^(1+ 2СНГ. (16)
Последнее неравенство (16) можно уточнить при дополнительном ограничении, что с(т) = 0 при т € К(¿). Предварительно сформулируем несколько лемм из работы [7]. Для натурального Ь > 1 положим, что
<!>= £ о^г1^ (а>1)- (17)
В,(,)= ^ 1, С,(0= Е • <18>
суммирование проводится только по натуральным Ш1,..., т^.
оо
ж_, 1 Г г]г 1
= Е^ < = (°—• В'(г) = С'(() < 1п( + 1 (19)
Лемма 6. Справедливо неравенство
^ Ск 1пкí
с ® < Е Лт". (20)
к=0 '
Лемма 7. Справедливо неравенство
Ск_ 11пк^
в а) ^Е -J-kГ-. (21)
к=о '
Лемма 8. Справедливо неравенство
А3(^РП-^ +Е ^ ( УС(аУ-2-кСкта" ]. (22)
^ ^^ (0-Ш—) ^ ¿((а) Ск "0—Т" +
Теорема 5. Пусть натуральное Ь > 1 и разложение периодической функции ¡(ос) € Е" имеет вид:
¡(х)= ^ с(т)е2™т). (23) т ех (*)
Справедливо неравенство
2 -1 га-1 \(з —1)'(а - 1)
у /с^)!! ¡1 < »(+
+е ^ Е с- (£ с 2'т'-2 + £ С>. 2 1 I ■ («)
т=0 к=т Ь1 ' \]=к+2 ]=к+1
Доказательство. См. [11]. □
Рассмотрим для любого натурального £ конечномерное подпространство Р(4) всех тригонометрических полиномов вида:
/(Х) = Е с(т)е2™(т'х). (25)
т еК (4)
Тригонометрический полином
/о(Х) = Е е(т'£)> (26)
т еК (4)
очевидно, имеет следующие нормы:
||/о(Х)|| ¿0 = вир |с(т)| = 1, ||/с(Х)||с = К (¿)|,
т е|к (*)|
ишик = кт, Ш*)Не? = г. (27)
В работе [7] доказаны следующие две теоремы.
Теорема 6. Справедливо неравенство
23 ( V-1
Кт < ^ 1п t + +1. (28)
Теорема 7. Справедливо неравенство
2«1п5-1t
к(*)1 > *2(—)Г + ^1 - (-1)3) + (-1Г. (29)
Из теоремы 6 и равенств (27) вытекает, что
||/о(*)||е?
иши 10 = ^
||/отс = ||/о(хХ)|ь < М^Х^^(1п* + |+ ^ . (30)
Из оценки снизу (29) и равенства (27) следует оценка снизу для норм:
||/о(Х)||с = ||/о(Х)| 1 > (^^ 1п3-11 + 1 + (-1Г1 + ) . (31)
Таким образом, оценка сверху (30) и оценка снизу (31) совпадают по порядку относительно
2.4. Интерполяционные формулы для обобщенной параллелепипедальной сетки целочисленной решётки
Теорема 4 позволяет доказать, что произвольную функцию /(х) па обобщенной параллелепипедальной сетке М (Л) целочисленной решётки Л с ёе^ = N можно разложить в конечный ряд Фурье.
Теорема 8. Для любой функции f (х) на, М(Л) справедливо равенство
N-1
г.р2жг (х,т,)
где
= N £ ;(У)е-2т^).
уем (Л)
f(х) = Е е"
Доказательство. См. [12]. □
Из этой теоремы сразу следует, что если известны значения периодической функции /(ж) в узлах обобщенной параллелепипедальпой сетки М(Л) целочисленной решётки Л и выбрана произвольная полная система вычетов М*(Л) решётки Zíi по подрешётке Л, то следующий тригонометрический полином
Бм(А),М*(Л)(ж) = Е см(Л),м* (Л) (т)е2пг(т,у\ (32)
т ем *(Л)
где
См (Л), м *(Л)(т ) = N Е ¿(У)е-2т (т,у1 = Е с(™ + й), (33)
уем (Л) йеЛ
является интерполяционным для функции /(ж).
В другом контексте конечный ряд Фурье и интерполяционные формулы по обобщенной параллелепипедальпой сетке целочисленной решётки встречаются в работе В. А. Быковского [3]. Впервые многомерные конечные ряды Фурье для равномерной сетки встречаются в работах И. М. Коробова [16].
Тригонометрический полином (32) зависит от полной системы вычетов М*(Л) решётки по подрешётке Л. Возникает вопрос о том, как оптимально выбирать М*(Л), чтобы погрешность интерполирования была наименьшей. Ответ на этот вопрос зависит от класса функций, для которого рассматривается данная задача. Мы остановимся па классе
Рассмотрим сначала решётку NZíi. Как известно, для любой целочисленной решётки Л с ёе^ = N справедливо включение: NZíi С Л. В следующей теореме будем использовать обозначения (6) и (7).
Теорема 9. Для любой периодической функции f (ж) € Е" и интерполяционного полинома Бм (иъв) ,м*(мй8) (ж) справедливы неравенства
|с(т) - см),м*(nz)(у)1
<
<|| /(*)И* О + ^РГ , (34)
|| № - sm(Nz-),M;nz-)(*)||c < ||/(«)||£i • <35>
Доказательство. Cm. [11]. □
Обозначим через M(Л, х) сдвинутую обобщенную параллелепипедальную сетку, которая задается равенством
M(Л,х) = {{у + ж}|у G M(Л)}.
Докажем аналог теоремы 8 для случая сдвинутой обобщённой параллелепипедальпой сетки.
Теорема 10. Для любой функции /(у) на M(Л, х) справедливо равенство
n-'
/(z) = ^ Cje277i), 3=0
где
N
а = — Y1 /(у)e-27Ti ^) = Е с(й + Уз)е27 (г,й) •
уеМ(Л,х) НеЛ
Доказательство. Действительно, если г е М(Л,ж), то г = х + уо, где уо е М(Л), и имеем:
N-1 N-1
£ с3 е2^) = >Т ( ^ Е / (0
\ уем (Л,ж)
) = ( ^ {(¿¡)е-2ж1(у,т}) | е2^г((ж+?Й),то,')
Е /(х + 3/) ( — Е е2™((:г+?й-г-^)
уем (Л) V ¿=о
По теореме 4 имеем:
1 м-1 1
_ ^ ^«Х^-^) = _^ - £ Л) = ¿Л(уо - У).
=
Отсюда следует, что N -1
£ с,е2™(^) = Е f (хх + т(уо - 3/) = /(х + уо) = /(г).
^=о уем(Л)
Воспользуемся рядом Фурье для функции /(г), получим по теореме 3
с. = ^ у(у)е-2™(Й™з) = ^ ^ ))
— уем (Л,х) — уем (Л) йей8
= Е с^е2™^™-^') 1 в(п - Шу, Л) = Е с(п + ^)е2™(г,й).
йей8 йеЛ
□
2.5. Свойства оператора интерполирования
Формула (32) задает оператор интерполирования 1л на пространстве Екоторый каждой функции /(х) е Е" ставит в соответствие ее интерполяционный многочлен (32). Таким образом,
/л/(х)= Е /(У) (- Е е2-^-^) . (36)
^ем (Л) \ т ем *(Л) )
Теорема 10 позволяет задать целый класс операторов интерполирования 1л,х на пространстве Е1^ .Каждой функции / (г) е Е" поставим в соответствие ее интерполяционный многочлен
/л,г/(г)= Е f (х + У) ( - Е е2™^-^] . (37)
уем (Л) \ тем *(Л) /
Лемма 9. Для любой функции f (х) е ^ справедливо неравенство
ШО* < ||/(х)||г1. (38)
□
Лемма 10. Для любой функции f (г) е ^ справедливо неравенство
Шн < ||/(¿)||г1. (39)
Доказательство. Действительно, по определению нормы || ■ имеем:
У^ с(п + т)t
с(п + т) е2т(у,н)
<
|| Фк = Е
тем * (Л) пеЛ
< Е ЕIс(т + п)1 = Е Iс(п)1 = II/СЮ1к. (4°)
т ем *(Л) пеЛ пей3
□
Лемма 11. Для любого тригонометрического полинома /(ж) вида
/(ж) = ^ с(т) е2ж(т,х) (41)
т ем *(Л)
справедливо равенство
1л ¡(ж) = /(ж). (42)
□
Лемма 12. Для любого тригонометрического полинома ¡'(г) вида
¡(г) = ^ с(т) е2™(ту (43)
т ем *(Л)
справедливо равенство
(¿3 = /(¿). (44)
Доказательство. Действительно, по формуле (37)
/л,*/(г)= Е /(ж + 0 I N Е е2т(т,у-*-^
уем (Л) \ т ем *(Л)
^ е 2ж1(т,у) I 1 ^ дж + У)е 2™(т-*-у)
^ \ N
т ем *(Л) \ уем (Л)
где
1 ^ + у) е2-Ы(т,-х-у) = ^ ^ ^Ж1(т,-х—у) ^ с(£) е2жг(к,х+уу) =
N уем (Л) N уем (Л) *(Л)
= ^ с(к)е21(у-т,х) ^ ^ ^к-^ = ^ с(£)е2ж(к-ш,х) -т, Л) = с(т), кем *(Л) уем (Л) кем *(Л)
так как — т, Л) = 0 только при к = т и лемма доказана. □
Множество тригонометрических полиномов вида (41) обозначим через рл-
Теорема 11. Для любой целочисленной решётки Л с ёе^ ^ и д3(Л) ^ 1 на пространстве Р(<?з(Л)) для абсолютно минимальной гиперболической полной систем,а, вычетов М* (Л) фундаментальной решётки Ъ от,носит,ел,ъно подрешётки Л справедливо равенство (42).
При £ > д3(Л) найдется тригонометрический полином /(ж) € Р« такой, что равенство (42) нарушается. В частности,
Р(4) П кег 1л = 0.
□
Для любого т е М* (Л) обозначим через Е"^ банахово подпространство пространства Е£, состоящее из функций вида
/(#) = ^ с(т + п). (45)
пел
Ясно, что имеет место разложение в прямую сумму Е
Eas = Е ®Е\
т ем *(Л)
Отсюда следует, что произвольная функция /(ж) е Е" представима в виде сумм
/(х) = Е ^(X),
т ем *(Л)
где
!га(х) = ^ с(Ш + п)е2^™^,^. пел
В работе [12] показано, что для проектора А^ : /(х) ^ (х) имеется конечное представление:
A* №)) = frn = Е f ({X + у}) е-™(*Л) (m е М *(Л)).
^ем (Л)
Здесь для произвольного вектора х под его дробной частью подразумевается вектор {х} = = ^х^^.^ {ж,}).
Теорема 12. На, пространстве Е^ операторы Ау и 1л коммутируют:
Ы А^ ( №)) = А* ( 1л (Ж))) = с(т + п)) е2™ . (46)
\пел )
□
Теорема 13. На, пространстве Е" ядро кег 1л оператора интерполирования 1л имеет нормированный базис:
U*(X) = ( Г + ñ))° (^^ - е2^^) (Г е М*н(Л), ñ е Л\{0}). (47)
□
Следствие 1. Пространство Е^ разлагается в прямую сумму ядра кег 1л оператора интерполирования 1л и пространства тригонометрических полиномов Рл•'
= кег 1л ФРл.
□
Понятие проектора А^ : /(х) ^ (х) является частным случаем оператора взвешенных сеточных средних из работы [6].
Для любой сетки М с весами р рассмотрим на пространстве периодических функций Ef линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних заданный равенством
1 N
g(tf)=AMtP}(j£) = x^Pkf [xi + ^i(k),...,xa + &(*;)]. (48)
fc=i
Обозначим через Ам,рС(m) действие линейного оператора Ам,р па коэффициенты Фурье функции f(x).
Лемма 13. Для любой периодической функции f(x) из пространства Ef и её коэффициентов Фурье С(m) разложения в ряд Фурье
<х
f(x) = ^ С (m) (49)
mi,...,ms = -w
справедливо равенство
Ам,рС (гй) = ^^ С (m) = S*M/m)C (m) (50)
где isM,p(mn) — тригонометрическая сумма, сетки с весам,и, a, S*M ^jn) — нормированная тригонометрическая сумма сетки с весам,и.
Кроме того, справедлива тривиальная оценка для нормы образа
\AM,pf(Х)||е? < рМ 11. (51)
Доказательство. См. [6]. □
Отсюда непосредственно следует, что проектор А^ : f(x) ^ f^(x) получается из оператора взвешенных сеточных средних при р^(у) = е-2жг(У,т); у £ М(Л). Кроме этого, отметим, что все проекторы относятся к числу нормальных операторов, так как не увеличивают норму функции.
2.6. Оценки погрешности интерполирования
Простейшую оценку снизу погрешности интерполирования мы получим с помощью третьего гиперболического параметра решётки.
Теорема 14. Для любой целочисленной решётки Л найдется функция f(x) £ E" такая, что справедлива оценка снизу погрешности интерполирования:
11Л*>-ы/«)||с » . (52>
□
Л
болической полной системы вычетов М* (Л) фундаментальной решётки Zs относительно подрешётки Л для любой функции f(x) £ Ef справедлива оценка, сверху погрешности интерполирования:
Wff^ Tiffin ^ 2||/(ар|Ы? , s-2, (к чуЛ
11 f(x) - /а( /(x))||c < (дз(Л))а-Д (g - 1)!(а - 1) + О (ln ЫЩ) . (53)
□
Если ввести оператор приближенного интерполирования Кл[Д с помощью обобщённой параллелепипедальной сетки целочисленной решётки равенством Кл[Д = /(ж) - 1л(/(х)), то справедлива оценка для нормы
ИРГАМ ^ 2||/Ще? , а-2( (к чуЛ
||ЕЛ[Я||С ^ (дз(Л))"-Ч(* - !)'(«- 1) °П ЫЩ) .
Теорема 15 можно обобщить па случай произвольного оператора интерполирования 1л,х-
Теорема 16. Для любой целочисленной решётки Л и абсолютно минимальной гиперболической полной системы вычетов М* (Л) фундаментальной решётки Zíi относительно подрешётки Л для любой функции f (г) е справедлива, оценка, сверху погрешности интерполирования:
||№ - ¡(Шс < (дз(л))ое-1 ( д - 1)!(а - 1) + ° Оп ЫЩ) . (54)
Доказательство. Действительно, для любой полной системы вычетов М*(Л) фундаментальной решетки Zs, относительно подрешетки Л имеем:
/(г) - 1а,х(/(г)) = ^ ^ с(т + п) (- е2™(™,^е2™(й,г)) . тем *(Л) йел\{о}
Отсюда следует, что
||/(г) - /лД №)Цс < 2||/(¿)||Е? £ Е . (56)
тем* (Л) пел\{ о} ( Ш1 + ^ ^^ + Па)°
Теперь воспользуемся включением К(^з(Л)) С М*(Л). Правая часть (56) только увеличится, если суммирование провести по всем целым точкам, не попавшим в гиперболический крест К(^з(Л)). Получим
||¡(г) - 1л,Х(КШс < 2||/(г)||Е? Е (ш- ^. (5?)
теКЫЛ))(ГП1 ...™з)
Применяя к правой части (57) соотношения (16) и (24) при £ = ^з(Л), получим утверждение □
3. Алгоритмы приближенного интегрирования и интерполирования с правилом остановки
Сделаем ещё несколько замечаний по поводу приближенного интегрирования периодических функций многих переменных (см. также [10]). Известно, что для погрешности приближенного интегрирования справедлива оценка
[ /]| < ||/(¿ОНЕ? ■ (|^(0) - 1 | +С(а, ЦМ,^
но норма функции ||/||е?, как правило, неизвестна и задача её вычисления более сложная чем задача вычисления интеграла, который является значением только одного коэффициента Фурье С(0). Более того, относительно параметра гладкости а для конкретной функции может быть известна только некоторая оценка, вытекающая из дифференциальных свойств функции, что приводит ещё к большей неопределенности для решения вопроса о достигнутой точности вычисления по конкретной квадратурной формуле для этой конкретной функции. Дадим следующее определение.
Определение 9. Будем говорить, что задан алгоритм приближенного интегрирования
(М (j),p(j), А) (j = 1,2,...) периодической функции /(ж) из класса, Es= |J Ef с правилом остановки A(f(x)), если задана,
а>1
бесконечная возрастающая последовательность натуральных Nj с lim Nj = ж и сеток с
весам,и М(j), p(j) из Nj взвещенных узлов равномерно распределенных в единичном, s-мерном кубе такая, что для правила остановки А( /(ж)) < е величина,
А(f (ж)) = А (f (ж), М(j),p(j))
и выполняется равенство
lim А (f (ж), М(j),p(j)) = 0. (58)
В этом определении предполагается, что величина А ( /(ж), М(j), p(j)) алгоритмически выражается через веса и значения функции в узлах сетки. Кроме того предполагается, что для любого Nj из данной последовательности сетка с весами М(j), p(j) алгоритмически вычисляется. В данной работе будет предложена в качестве правила остановки величины дискретной дисперсии и сеточного размаха, определение которых будет дано ниже. Таким образом, вычисление приближенного значения интеграла продолжается до тех пор, пока для заданного £ > 0 не будет выполнено правило остановки А ( /(ж), М(j), p(j)) < е.
Следуя К. И. Бабенко [1] и О. В. Локуциевскому [18], дадим следующее определение нена-сыщаемого алгоритма приближенного интегрирования на классе Es = (J Ef.
а>1
Определение 10. Будем говорить, что периодическая функция f (ж) из класса, Es = = U Ef принадлежит конечному показателю а = а(/(Й)), если /(ж) е Ef и
/(ж) е Efi для
а>1
любого ß > а. В противном случае будем говорить, что периодическая функция из класса, Es
Ясно, что бесконечному показателю принадлежит любой конечный тригонометрический полином. Если периодическая функция /(ж) е Es не является конечным тригонометрическим полиномом и принадлежит бесконечному показателю, то она будет бесконечно дифференцируемой функцией.
Определение 11. Будем говорить, что алгоритм приближенного интегрирования (М(j),p(j), А) (j = 1, 2,...) периодических функций из класса, Es = [J Ef ненасыщаемый
а>1
типа (7, X), если для любой периодической функции f (ж) конечного показателя а = а(/(ж)) и погрешности приближенного интегрирования выполняется равенство
[ДжО]= OlNf
(^) • -
Как известно (см. [17]), методом оптимальных коэффициентов Коробова можно построить ненасыщаемые алгоритмы типа ((в — 1)а, 1), а модифицированным методом Фролова — ((« — 1), 1) . Для случая равномерных сеток имеем тип (0,1).
С точки зрения трудоемкости вычислений разумно выделить класс алгоритмов прибли-
зультаты вычислений по ] — 1-ой квадратурной формуле. Дадим следующее определение.
Определение 12. Будем говорить, что задан концентрический алгоритм приближенного интегрирова,ния (М(.]),р(.]), А) (] = 1,2,...) периодических функций из класса, = и Е^, если для любого ] ^ 1 выполняются условия
а>1
М(Я С Ми + 1), Зр : Ух е М(Я : р^Х) = р ■ р,(х). (60)
Наиболее простой пример концентрических алгоритмов приближенного интегрирования дают квадратурные формулы с равными весами, построенными из первых членов бесконечной
1
связан с понятием произведения сеток с весами.
Пусть даны две сетки с весами (М^р!) и (М2,р2)- Напомним определение произведения сеток с весами из работы [13], которое здесь несколько отличается для случая |Мз | = |М1| ■ |М2| появлением нормировочного множителя.
Определение 13. Произведением двух сеток с весам,и (М1,р1) и (М2,р2) называется третья сетка
(Мз,рз) = (М1 ,Р1)-(М2,Р2), (61)
где
М3 = {{х + у^х е М1,у е М2}, (62)
рз (р) = \ЩЛМ2\ ^ р1(ж) 'р2(у), (63)
гем1 ,уем2
и для любого вектора Р = (г 1,..., г3) дробной частью вектора называется вектор {Р} = = ({ г1},..., { г,}).
Определение 14. Будем говорить, что задан мультипликативный алгоритм приближенного интегрирования (М *(.]), р*(.]), А) (] = 1, 2, ...,п,...) периодических функций из
класса, Е3 = и Е%, порожденный бесконечной последовательностью (М(.]),р(.])) (.] = 1, 2,
«>1
...), если М *(1) = М (1), р*(1) = р(1) и для любо го ] ^ 1 выполняются условия
( м*и + 1),р*и +1)) = (м*и),р*и)) ■ (ми + 1),р(з +1)). (64)
р0 е М( ) ( = 1, 2, . . .)
ный алгоритм приближенного интегрирования будет концентрическим, так как в этом случае всегда М * (¿) С М *Ц + 1).
Определение 15. Мультипликативный алгоритм приближенного интегрирования
(М *С0,рт А) (3 = 1,2,...,П,...)
периодических функций из класса, Е3 = и , порожденный бесконечной последовательно-
а>1
стыо
(М (э),М) (3 = 1, 2,...)
с дополнительным условием
0 еМ О) (3 = 1, 2,...),
будем называть мультипликативным, концентрическим, алгоритмом, приближенного интегрирования.
Пусть величины m,f, Mf — минимальное и максимальное значение функции f(x) определены, соответственно, равенствами
mf = min fix), Mf = max fix), (65)
а размах функции Vf = Mf — mf, тогда справедливо неравенство
vf < ||/||e?2((1 + 2C(«))S — 1). (66)
Очевидно, что для любого алгоритма приближенного интегрирования (M(j),p(j), А) ( = 1, 2, . . .)
mf00 = min f(x), MfШ = .max f(x), (67)
хем (]) хем (])
для которых справедливы соотношения
mf (j) > mf, lim mf (j) = mf, Mf (j) ^ Mf, lim Mf (j) = Mf. (68)
Для любого концентрического алгоритма приближенного интегрирования (M(j),p(j),A ( = 1, 2, . . .)
mf ^ ... ^ mf (j) ^ ... ^ mf (2) ^ mf (1) ^
^ Mf (1) ^ Mf (2) ^ ... ^ Mf (j) ^ ... ^ Mf. (69)
Так как для "сеточного" размаха Vf (j) = Mf (j) — mf (j) функции f(x) отличной от константы выполняется равенство lim Vf ( j) = Vf > 0, то величину сеточного размаха нельзя
j^x
использовать как правило остановки, но в качестве правила остановки можно использовать величину приращения сеточного размаха dvf ( j) = Vf ( j) — Vf ( j — 1), которая стремится к пулю, но с оговоркой, что если приращение сеточного размаха нулевое, то останавливаться можно только при < е.
Таким образом, простейшее правило остановки для концентрического алгоритма можно определить как
А (f(x),M (j),p(j)) =
= max I ,, }. . ,, max f(x)+ min f(x)— max f(x)— min f(x)) ( 7=2, 3,...). (70) V|M(j)| хем(jO 7 хем(j-1) хем(j-1) хем(j)JK ') v 7 v ;
Всё выше изложенное перенесём на случай интерполяции периодических функций по узлам, образующим обобщённую параллелепипедальную сетку целочисленной решётки.
Определение 16. Будем говорить, чт,о задан алгоритм приближенного интерполирования
(M (j), А/) (з = 1, 2,...)
периодической функции f(x) из класса, Es = |J Ef с правилом остановки А/(f(x)), если за-
а>1
дана бесконечная возра,ст,а,юща,я посл,едоват,ел,ьност,ь натуральных Nj с lim Nj = ж и обоб-
j^x
щённых параллелепипедальных сеток целочисленных решёток M(j) из Nj узлов равномерно распределенных в единичном, s-мерном кубе такая, ч,т,о для, правила остановки А/( f(x)) < е величина
А/( /(ж)) = А/ ( f(x),M(j))
и выполняется равенство
lim А/ ( f (x),M(j)) = 0. (71)
Теперь можем дать новое определение ненасыщаемого алгоритма интерполирования с помощью обобщённых параллелепипедальных сеток целочисленных решёток.
Определение 17. Будем говорить, что алгоритм приближенного интерполирования (М(]), А/) а = 1, 2,...) с помощью обобщённых параллелепипедальных сеток целочисленных решёток периодических функций из класса, Е3 = и ненасыщаемый типа (7,Х), если
а>1
для любой периодической функции ¡(х) конечного показателя а = а(/(х)) и погрешности интерполирования выполняется равенство
ЦДЛ, [ Ж)]||с = о
( \
(72)
Вопрос о типе ненасыщаемого алгоритма интерполирования с помощью обобщённых параллелепипедальных сеток целочисленных решёток остается открытым, так как в настоящее время нет оценок для третьего гиперболического параметра через детерминант решётки, а теорема 15 сформулирована в терминах третьего гиперболического параметра решётки.
Все определения с 12 по 15 преобразуются в соответствующие определения относительно интерполирования, если в них заменить слово интегрирование на интерполирование и удалить весовые функции.
Естественный вопрос, который возникает при рассмотрении мультипликативного, концентрического алгоритма приближенного интерполирования, это сходимость последовательности интерполирующих функций к интерполируемой в той или иной метрике. Этот вопрос рассмотрим в следующих разделах.
4. Вложенные последовательности параллелепипедальных сеток
Рассмотрим линейное сравнение
т1 + aim2 + ... + as-1ms = 0 (mod N), (aj,N) = 1 (j = 1,2,... ,s — 1).
Решётку решений этого сравнения обозначим через Л(1, ai,..., as-i; N). Её базисная матрица будет иметь вид
N 0 . . . 0
A^(1,ai,...,as-i;N)) =
— a 1 1
0
— as-1 0 . . . 1
Базисная матрица взаимной решётки будет иметь вид
A*(A(1,ai,...,as-i;N)) =
/ 1 «1
' N N
01
O-s-1
N 0
V 0 0 ... 1 у
Соответствующая параллелепипедальная сетка задается равенством
М (Л(1> ai,..as-i; N)) = { })
k = 0,1,..., N — 1
} •
Каждая параллелепипедальная сетка обладает важным свойством, что её проекция па любую координатную ось будет множество точек {0, ,..., ^т-1}-
Очевидно, что если bj = aj (mod N) (j = 1,... ,s — 1), то Л(1, ai,..., as-i; N) =Л(1, bi,..., bs-i;N), М (Л(1, ai,..., as-i; N)) =М (Л(1, bi,..., b.s-i; N)).
N
ства
Л(1, ai,..., as-i; N) =Л(с, cai,..., cas-1;N), М(Л(1, ai,..., as-i;N)) =М(Л(с, cai,..., cas-1;N)).
Нетрудно, указать полную систему вычетов фундаментальной решётки Z s по целочисленной подрешётки Л^1,..., as-1; N). А именно, такой полной системой вычетов будет множество
М*(Л(1, ai,..., as-i; N)) = {(0,..., 0), (1, 0,..., 0),..., (N — 1,0,..., 0)}.
Аналогичные полные системы вычетов М*(Л(1, ai,..., as-i; N)) можно выписать для любой
= 2, . . . , 0 N — 1
координаты нулевые.
Заметим, что указанные полные системы вычетов в некотором смысле самые плохие, так как для них третий гиперболический параметр д%(М*(Л(1, ai,..., as-i; N)) = 0. Действитель-(0, 1, 0, . . . , 0) вычетов М*(Л(1, a1,..., as-1; N)).
Рассмотрим периодическую функцию f(x) = е2тХ2. Для любой точки х = ^N, { «лт| ,.. -«s-ifc ( \ параллелепипедальной сетки М(Л(1, ai,..., as-i; N)) имеем равенство
N
f(kiaikk\ f as-ik 1\ 4N4 N y...^ N !)
as-1 ^^ = e2TTi ^
а интерполяционный многочлен будет иметь вид /1 (X) = е2та1Х1 и для каждой точки х = , |,..., |параллелепипедальной сетки М(Л(1, а1,..., а3-1;М)) имеем ра-
N N
венство
as— 1k I \ 2тгг
= g n .
k ai k as i k
h{ / ,...,\^j J
Очевидно, что интерполяционный многочлен /1 (X) не сходится к интерполируемой функции /(X) ни при каком N. Этот пример показывает, что выбор полной системы вычетов для построения интерполяционного многочлена играет принципиальную роль.
Будем для краткости писать Л вместо Л(1,а1,... ,а.3~ 1; N и М*(Л) вместо М*(Л(1, а1,... ,ая- 1; N)). В новых обозначениях равенства (32) и (33) примут следующий парадоксальный вид:
- 1
5м(Д),„; (Л) = Ё • (та)
- (Л).м,-(Л)(т) = ((N } }))«"" * =
= ^ с((т, 0,..., 0) + п). (74)
п ел
Объяснить данный парадокс достаточно просто, если рассмотреть функцию одной переменной:
к\ ¿((к (а1к^\ (а.- 1к
Воспользуемся рядом Фурье для периодической функции /(ж), получим
/7 \
4 / т=0
- = N Е/. (N) - = N Е/((М«-г}--М))- =
к—0 к—0
N-1
1 2 . ("1+ ain2 + ...+as_ins-m)fc
= — m N = c(n)^N(ni + a. m + ... + as_im — m) =
fc—0 rieZs ra€Zs
= E c(n + (m, 0,..., 0)). йеА
Анализ формул (32) и (33) приводит к одному важному свойству коэффициентов интерполяционного многочлена. Эти коэффициенты с точностью до перестановки не зависят от полной системы вычетов, по которой строится интерполяционный многочлен.
Если мы имеем две целые точки п и гп, то легко определить, когда п = fn (mod Л). Для этого достаточно вычислить величину 5л(п — гп), которая задается равенством
1 Г (п. — m. — 1)+а.(п2 — m-2) + ... + as-.(ns — ms) 6А(п — m ) = + '
N [ N
(ni - mi) + а\(п2 - Ш2) + ... + as-i(ns - ms) | _ ( 1 при ft = m (mod Л),
} = {
N J \ 0 при n ф m (mod Л).
Обозначим через Mn (6) абсолютно наименьшее решение сравнения х+b ф 0 (mod N). Нетрудно видеть, что
MN (b)
i N {-NN} ПРИ {-N } < 2,
1 N {-N}-N при {-N} > i.
Отсюда следует, что если (щ,..., ns) ф (m, 0,..., 0) (mod Л) и п2,... ,ns фиксированные, то наименьшее значение щ ... ns достигается при щ = Mn(—m + aim + ... + as-ins). Таким образом, возникает неоднородная задача минимизации выражения
Mn (—т + а\п2 + ... + as-ins) ■ n2 ...ns ^ min
по всем целым п2,..., ns. Если для каждого целого значения т из промежутка — ^ < т ^ будет найден оптимальный набор n2,...,ns, то тем самым будет найдена абсолютно минимальная гиперболическая полная система вычетов M*(Л(1, ai,..., as-i; N)).
Пусть N = Ni ■ N2 и (Ni, N2) = 1, тогда справедливо равенство для решёток и сеток
Л(1, ai,..., as-i, N) = Л(1, ai,..., as-i;Ni) p| Л(1, ai,..., as-i; N2), M(Л(1, ai,..., as-i;N)) = M(Л(1, ai,..., as-i; Ni)) ■ M(Л(1, ai,..., as-i; N2)).
Остановимся более подробно на последнем равенстве о произведении сеток. Оно вытекает из равенства
/ k (ai^ ( as-ik
\N\~N },... \ _J/ki \ aiki\ Ja-MV fk2 iaiklX j as-ik2
Ni Л Ni] ,Ni }) + VN 4 N2 J
¡а—ьг] i
l N2 ш
где
k=n{|+1} ■
Верно и обратное утверждение, если N = N • N2, (N, N2) = 1 и
bj = aj (mod N), Cj = aj (mod N2) (j = 1,... ,s — 1),
то
Л(1, Ъъ..., Ьа-1; N) П Л(1, С!,..., с8-1; N2) = Л(1, аь..., а.-1;N), М (Л(1,61,..., Ьа-1; N1)) ■ М (Л(1, С1,..., Са-1; N2)) = М (Л(1, а1,..., а.-1; N)).
Пусть для определенности N1 > N2. Нетрудно видеть, что параллелепипедальная сетка М(Л(1, а1,..., а8-1; N)) представима как объединение сдвинутых обобщенных параллелепипе-дальпых сеток М(Л(1, а1,..., а8-1; N1), х), когда - пробегает все точки параллелепипедальной сетки М(Л(1, а-]^,..., а8-1; N2)):
М (Л(1,аl,...,аа-l;N)) = У М (Л(1, а1,..., аа-1; ^),х).
Хем (Л(1.а1 .....ав_1;-2))
Для простоты записи положим Л = Л(1, а1,..., а8-1; Л„ = Л(1, а1,..., а8-1; Nv) (г/ = 1, 2). В новых обозначениях получим М (Л) = У хем (Л2) М (Л1, х). Для каждого х € М (Л2) определим функцию /х(-) равенствами
*(-) = $ /(-) при - € М (Л1,х), /х(-) = \ 0 при-€ М (л)\М(Льж).
Нетрудно видеть, что для любой точки - из параллелепипедальной сетки М(Л) справедливо равенство
/(-) = Е ^хх(-).
хем (Л2)
Так как функции /(—} и /х(—) (х € М(Л2)) определены па сетке М(Л), то для них можно рассмотреть интерполяционные многочлены 1л}(-), 1л/х(-) и !л1.х/(—)
Согласно формулам (36) и (37) получим:
/л/(-)= Е /(-) (N Е е2"
уем (Л) \ т ем*н (Л)
/л/х(-)= Е /(») ( N Е
уем (Л1.Х) \ т ем^ (Л)
= Е /(*+у) (N Е е2"(т.у-хХ-?7)
Уем(Л1) \ тем*н (Л)
/ЛЬхх /(-)= Е /(*+-) I N Е е2"
уем (Л1) \ 1 тем* (Л1)
Из этих равенств следует, что
Ia№ - IAteW = Е f(y) ( - Е е™(т'*-у) ] , (75)
ууеМ(Л)\М(Л1,х) \ теМ* (Л)
ШСЮ - /Л1,х/(¿0 = Е f ® ( - Е е2-(т>^у)] + ууем(л)\м(л1,х) \ тем* (Л)
+ Е f(* + У) ( N Е е™(т'*-у) - — Y, e2'Ki(m'Z-X-y) ] . (76)
уем (Л1) \ тем* (Л) 1 тем* (Л1)
д emma 14. Для любой периодической функции f(x) из пространства Е1^ и её коэффициентов Фурье С(т) разложения в ряд Фурье
/(ж) = ^ С (т) е2™(т.х) (77)
т1.....та = -м
справедливо равенство
1л/(-) - /л1 /(-) = Е е2™(у;т) ^С(п + т) - ^ е2^г(у.т) £ С(п + т) (78) тем* (Л)\м* (Л1) йел тем* (Л1) «елдл
и оценка для нормы разности
II'Лт - ^№ < (^^ + ° Оп8-^»)) . (79)
Доказательство. Действительно, подставляя ряд Фурье (77) в равенство (76), получим:
1л т - 1Л1 т = Е (Е С (п+ти е2^т)-
тем*(Л) \пел )
Е ( Е с +™)1 е"
2'KÎ(z,m)
С ( I V I I lu II ^
тем*(Л1) \гаеЛ1
(I) I Е e2wi(z'm)^(! -I ) - Е e2wi(z'm)^1 (I -I )| =
nez \тем* (Л) тем* (Л1)
^ е2жг(г,т) ^ с(I + I) + ^ ^2жг(г,гп) | ^ Q(| + |) - ^С(I + I)
тем* (Л)\М* (Л1) гаеЛ тем* (Л1) \пеЛ гаеЛ1
= ^ е2^т) ^с (I + I) - ^ е2™«т) ^с (I + I).
тем* (Л)\М* (Л1) гаеЛ тем* (Л1) гаеЛДЛ
Переходя к оценкам по модулю, получим
||ы(*) - ^/ФНс (^ь? ( Е Е (ТО1+П1 1т+пГ+
V*ем*н(л)\мН(Ах) пел (т1 +П1 т3 + Пз)
<
||ДР)|Ы? (231п5-1(<?э(Л1)1 л 2
+ О (1п3-2(да(Л1)))) .
((?з(Л1))«-Ч (^ - !)!(« - 1) □
Из доказанной леммы следует, что в качестве правила остановки концентрического алгоритма приближенного интерполирования периодических функций можно взять величину
А/( /(х)) = тех 11л№ - 1л,/СЮ1, ?ем (л)
которая стремится к пулю при стремлении величины третьего гиперболического параметра к бесконечности.
5. Заключение
Из материалов статьи видно, что если последовательность вложенных решёток решений линейных сравнений обладает тем свойством, что последовательность третьих гиперболических параметров стремится к бесконечности, то мы получаем мультипликативный, концентрический алгоритм приближенного интерполирования с правилом остановки, который дает последовательность интерполяционных многочленов, сходящихся к интерполируемой функции.
Было бы интересно найти аналоги оценок Быковского (см. [4], [5]) для задачи интерполирования.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
2. Бочарова Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2007 Т. 8. Вып. 1(21). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 4-109.
3. Быковский В. А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках // Мат. сб. 136(178). 4(8). 1988. С. 451-467
4. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышевский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27-33.
5. О. А. Горкуша, И. М. Добровольский. Об оценках гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник, 2005, т. 6, вып. 2(14), С. 130-138.
6. Добровольская Л. П., Добровольский И. \!.. Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник, 2008 Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 — 223.
7. Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т. 5. Вып. 1(9). С. 82-113.
8. Добровольский М. Н., Добровольский Н. \!.. Киселева О. В. О произведении обобщенных иараллелепипедальных сеток целочисленных решеток // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3. Вып. 2(4). С. 43 - 59.
9. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090-84.
10. Добровольский И. \!.. Бочарова Л. П. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе // Наукоемкое образование. Традиции. Иновации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО "ТИНО 2006. С. 189 - 198
11. Добровольский Н. \!.. Есаян А. Р., Андреева О. В., Зайцева И. В. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004, Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 122 - 143.
12. Добровольский Н. \!.. Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. С. 56-67.
13. Добровольский И. \!.. Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100-113.
14. И. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. Н. Кормачева, И. М. Добровольский. Оценки отклонения для рациональных сеток, приближающих алгебраические // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 178-187.
15. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.
16. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
17. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
18. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995. REFERENCES
1. Babenko, K.I. 1986, Osnovv chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis], Nauka, Moscow, Russia.
2. Bocharova, L.P. 2007, "Algorithms for finding the optimal coefficients", Chebvshevskij sbornik, vol. 8, no. 1(21), pp. 4-109.
3. Bvkovskij, V.A 1988, "Discrete Fourier transform and cyclic convolution on integer lattices", Matematicheskij sbornik, vol. 136(178), no. 4(8), pp. 451-467.
4. Bvkovskij, V.A 2002, "On the error of number-theoretic quadrature formulas", Chebvshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27-33.
5. O. A. Gorkusha, N. M. Dobrovolskv, 2005, "On estimates of hyperbolic zeta function of lattices" // Chebvshevskv Collection, vol. 6, issue 2(14), pp. 130-138.
6. Dobrovol'skaya, L. P., Dobrovol'skii, N. М. к Simonov, A.S. 2008, "On the error of approximate integration over modified grids", Chebyshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185-223.
7. Dobrovol'skii, M. N. 2004, "The optimum coefficients of the combined meshes", Chebyshevskij sbornik, vol. 5, no. 1(9), pp. 95-121.
8. Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Kiseleva, O.V. 2002, "On the product of generalized parallelepipedal grids of integer lattices", Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 43-59.
9. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "The hyperbolic Zeta function of lattices", Dep. v VINITI, no. 6090-84.
10. Dobrovol'skii, N. M. к Bocharova, L.P. 2006, "Fifty years of the number-theoretic method in the approximate analysis", Naukoemkoe obrazovanie. Traditsii. Innovatsii. Perspektivv, Sbornik mezhvuzovskikh nauchnvkh statej, pp.189-198.
11. N. M. Dobrovolskv, A. R. Yesavan, О. V. Andreeva, N. V. Zaitseva, 2004, "Multidimensional number-theoretic Fourier interpolation", Chebyshevskii sbornik, vol. 5, iss. 1(9), pp. 122-143.
12. Dobrovol'skii, N. M. к Manokhin, E.V. 1998, "Banach spaces of periodic functions", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 56-67.
13. Dobrovol'skii, N. M., Manokhin, E.V., Rebrova, I. YU. к Akkuratova, S.V.1999, "On some properties of normed spaces and algebras of nets", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 100-113.
14. N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, A. N. Kormacheva, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "Deviation estimates for rational grids approximating algebraic", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 178-187.
15. Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometriyu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.
16. Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.
17. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.
18. Lokutsievskij, О. V. к Gavrikov, M. B. 1995, Nachala chislennogo analiza [The beginning of numerical analysis], TOO "Yanus", Moscow, Russia.
Получено: 27.05.2023 Принято в печать: 12.09.2023
