CC BY
13
УДК 539.9+510.22
В О. БАРАНЕНКО, Д.Л. ВОЛЧОК
Придншровська державна академiя будiвництва та армтектури
ОЦ1НКА МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕННЯ СТИСКАЮЧО1 ЦИЛ1НДРИЧНУ ОБОЛОНКУ СИЛИ В УМОВАХ ТРЬОХ ГРАНИЧНИХ СТАН1В I ПРИ ЗАВДАНН1 ГЕОМЕТРИЧНИХ ПАРАМЕТР1В НЕЧ1ТКО-ВИПАДКОВО1 I ВИПАДКОВО-
НЕЧ1ТКО1 ПРИРОДИ
В po6omi представлен оцiнки максимального значения осьово'1' сили, дiючоi на цилiндричну оболонку, в умовах трьох граничних станiв ^сцево'1' та загально'1' втрати стгйкостг i мщностГ) i при заданих геометричних параметрах невизначено'1' природи. Застосовуеться поняття випадково-нечтких i нечiтко-випадкових величин. Задача зводиться до реал1зацИ оптим1зацтно1' моделi. Наводяться обчислювальт алгоритми i чисельнi шюстрацИ.
Ключовi слова: оптимiзацiя, оболонка, випадково-нечтт i нечiтко-випадковi величини
В.А. БАРАНЕНКО, Д.Л. ВОЛЧОК
Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры
ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ СЖИМАЮЩЕЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ СИЛЫ В УСЛОВИЯХ ТРЕХ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ И ПРИ ЗАДАНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕЧЕТКО-СЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНО-НЕЧЕТКОЙ ПРИРОДЫ
В работе представлены оценки максимального значения осевой силы, действующей на цилиндрическую оболочку, в условиях трех предельных состояний (местной и общей потери устойчивости и прочности) и при заданных геометрических параметрах неопределенной природы. Применяется понятие случайно-нечетких и нечетко-случайных величин. Задача сводится к реализации оптимизационной модели. Приводятся вычислительные алгоритмы и численные иллюстрации.
Ключовi слова: оптимизация, оболочка, случайно-нечеткие и нечетко-случайные величины
V. А. BARANENKO, D.L. VOLCHOK
Prydniprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture
EVALUATION OF MAXIMUM FORCE WHICH COMPRESS CYLINDRICAL SHELL WITH THREE BOUNDARY CONDITIONS AND GEOMETRICAL PARAMETERS OF FUZZY-RANDOM AND
RANDOM-FUZZY NATURE
This paper presents estimates of maximum axial force acting on the cylindrical shell. Conditions are limited with three states (local and general loss of stability and strength). Initial data are given with geometrical parameters of uncertain nature. Mathematical model applies the concept of random-fuzzy and fuzzy-random variables. The problem comes down to the implementation of the optimization model. We give numerical algorithms and numerical illustrations.
Keywords: optimization, shell, random-fuzzy and fuzzy-random variables
Постановка проблеми
Проектування нових техшчних систем ввдноситься до одного з найб1льш складних задач 1нженерно1 д1яльносп. Серед р1зних етатв процесу проектування окремо стоггь концептуальне проектування. На цьому еташ головною особливютю е необхвдшсть прийняття ршень в умовах невизначено!, недостатньо! або навпаки надлишково! шформаци. Цим таю задач1 ввдр1зняються в1д "класичного" шдходу, коли уа характеристики, яш потр1бш для проектування, задаш точно. Кр1м того, кожний розробник прагне до того, щоб ус важлив1 характеристики системи, яка проектуеться, були б найкращими. Особливе мюце в цш д1яльносп займае використання попереднього досввду у вигляд1 статистичного матер1алу, отриманого при розгляд1 прототитв конструкци.
Аналiз останшх дослiджень i публiкацiй
Бшьшсть задач теорп оптимального проектування конструкцш розглядалось в рамках детермшованого щдходу, тобто вважалось при цьому, що проектувальник мае повну шформацш про навантаження, властивють матер1алу, 1з якого буде виготовлена конструкц1я, граничш умови тощо. Для розв'язання таких задач придатш методи вар1ацшного числення, методи оптишзацд систем з розподшеними параметрами, методи лшшного та нелшшного програмування та шшг Принципово вщмшними за постановками i методами дослщження е задач1 проектування оптимальних конструкцш при неповнш шформаци [1].
Може бути така ситуацш, коли статистична шформащя щодо то! чи шшо! характеристики носить неточний, нечеткий характер. Тому статистичш даш треба використовувати критично, як допом1жну шформацгю при розв'язання задач, як1 виникають на р1зних етапах оптимального проектування. При формуванш таких задач треба враховувати невизначешсть щодо вх1дних даних, поведшки системи та шше.
Ц задач1 потребують для свого розв'язання такого математичного апарату, який апрюр1 м1стив в соб1 можлив1сть появи i врахування невизначеностг
Джерелом невизначеносп може бути наявшсть, в оптим1зацшних моделях проектування випадкових (random), нечигсих (fuzzy) та неточних (rough) величин - значень вхвдних (початкових) характеристик, а також i шнцевих значень - розв'язшв задачг
Випадкова величина [2] е одшею 1з основних понять теори ймов1рностей. Невизначешсть ситуаци тут описуеться деякою м1рою - ймов1ршстю 1з множини дшсних чисел [0,1]. Нечпта величини [ 3] (числов1 та лшгвютичш) використовуються для опису ситуаци, коли вхвдш параметри не мають чико визначених границь, тобто вже "розмип". Прикладом може бути таке висловлювання "навантаження, що д1е на конструкцш, мае значення близьке до 50кН". Нечита величина е одним 1з понять теори нечгтких множин. Будь-яка нечита множина характеризуеться функщею належносп, яку можна штерпретувати як м1ру можливосп (або необхвдносп, правдопод1бност1), що описуеться множиною дшсних чисел 1з штервалу [0,1].
Уведення Л. Заде (1965) концепци нечетких множин дозволило сформулювати i розвити теорш можливостей [4 ]. Принцип теори можливостей полягае в розгляд1 кшьшсного як граничний випадок як1сного.
Визначення неточних величин базуеться на теори неточних множин, яка уведена в робот1 [5]. Апарат неточних величин е математичним засобом для роботи з невиразним (нечиким) описом об'ектш.
Кр1м таких невизначеностей, можуть бути !х комбшаци - неч1тко-випадков1, випадково-нечита, нечгтко-нечита та шш1, як1 уявляють собою математичний опис нечпко-стохастичних, стохастично-нечпких явищ[6-8].
Мета дослiдження
В данш робот1 на приклад1 задач1 визначення максимального значення сили, яка стискуе цил1ндричну кругову 1зотропну оболонку, в умовах трьох граничних сташв (мюцева та загальна стшшсть, мщшсть) i вх1дних даних (рад1усу) випадково-нечпко! та нечико-випадково! природи. В роботах [9-11] один 1з автор1в використовував методи невизначено! оптим1заци до задач оптимального проектування конструкцш. Шдходи, що наведеш тут, вщносяться до метод1в сучасного напряму математики, який з'явився напришнщ 20 стор1ччя - "м'як1 обчислення" (soft computing), керуючим принципом якого е "терпимють" (tolerance) до неточностей, невизначеностей [12].
Викладення основного матер1алу досл1дження 1. Об'ект та постановка задач1 оптим1зацп
Розглядаеться задача пошуку максимально! величини осьово! сили Fmax , яка стискуе цил1ндричну кругову 1зотропну оболонку в умовах чгтко заданих вих1дних даних i ф1зичних обмежень мщносп оболонки на стиснення силою FR i стшкосп, як1 являють собою наближен1 вирази критичних зусиль [13] при шаршрному обпиранш оболонки в припущеш достатньо! зсувно! жорсткосп в трансверсальнш площиш i площиш оболонки FM , а також наближеш вирази критичного зусилля для шаршрно обпертого стержня з шльцевим поперечним перер1зом F'¡р i м1цност1 оболонки на стиснення FR, тобто
g (х) = Fmax - FKK< 0 ; g2(x) = Fmax - FC < 0 ; g3(x) = Fmax - Fr < 0. (1)
В сшввщношеннях (1) уведено так позначення:
FM = Dh2; Fp = BhR 3; FR = ChR ; B = n3E / L2; C = 2ncT; D = 2nE /^3(1 -v2), де L - довжина тв1рно! цил1ндра; E, v - в1дпов1дно модуль Юнга i Пуассона; cT - величина границ
текучосп матер1алу оболонки.
Сформулюемо таку детермшовану задачу оптим1заци: при заданих значеннях характеристик h, R, L,c0, E,v i умов збереження стшкосл та мщносп (1) знайти максимальне значення стискуючо! сили
Fmax . В термшах уведених вище означень запишемо задачу оптим1заци як
Fmax = arg{ max F g,(L,E,v,cT,R,h)>Fmax;i = 1,2,3 }. (2)
F -< F < F+
Перше обмеження (i = 1) в сшвввдношенш (2) визначае можлив1сть м1сцево! втрати ст1йкост1 оболонки, друге обмеження (i = 2) л1м1туе значення параметр1в h i R з урахуванням можливост1 загально! втрати стшкосп, трете обмеження (i = 3) в (2) установлюе значення h i R з урахуванням можливосп руйнування оболонки при стисненн1 и силою Fmax .
2. Алгоритми реалiзащT оптимiзащйноT детермшованоТ задачi 2.1. Алгоритм розв'язання задачi ( 2 )
Нижче за роботою [11] наведено ди алгоритму метода Монте-Карло:
1. Задати область пошуку змшно! F е |F-; F+ J ; v = -да ; i = 1;
2. Випадковим чином згенерувати детермшоваш значения F в областi пошуку F = F- + (F+ - F-) ZZ- random; Z е [0,1];
3. Обчислити вирази: g-; j = 1,2,3 обмежень в (2).
4. If (g < 0 лg2 < 0 л g3 < 0)л (F > v) then v = F .
5. i = i +1.
6. If i < N повторити ди алгоритму з етапу 2, iнакше - закшчити процес пошуку.
Величина v i буде шуканим значенням оцiнки стискаючо! сили. Чим бiльше величина N, тим точшше буде результат.
2.2. Задача (2) з нечггким описом параметра
Нехай в задачi (2) деяш параметри е невизначеними. Без порушення загальностi тдходу припустимо, що цим параметром е величина радiусу R. Нехай величина цього радiусу буде нечггкою з заданою функцiею належиостi ¡и(x). Наведемо алгоритм обчислення дефаззiфiковаиого значення
77" max
Ffuzzy-det нечтк°1 сили.
Нехай значення R е нечеткою величиною з трикутним видом функци належиостi
x - a г ,п
-, x е [a,b]
m - a
b - x
ц( x) =
, x e[m, b] ( 3 )
b - m 0, Vx g[a, b].
Величини a, b е границями множини деяко! множини Аа для а—рГвня. У випадку а = 0 Aj(a,m,b);a = a0;b = b0. Величина m е модальним значення R, для якого ¡u(m) = 1. За теорiею нечетких множин, скориставшись поняттям a-рiвнiв, запишемо а{ = iAa;i = 1,2,...,M;МАа = 1; Аа = 1/М , де М — число дискреетв величини u. Побудуемо множини Аа(аа, m,ba) для ае[0,1]. Для a-рiвня i3 рiвняння u(х) = а випливае: аа = ma + a(1 — а); ba = ma + b(1 — а). За теоремою о декомпозицп з теори нечiтких множин [14], яка стверджуе, що будь-яка нечiтка множина А може бути представлена у виглядi суми чiтких множин, яш генеруються а —рiвнями, маемо А = ^>аАа; а е (0,1], або в розвиненому видi:
А = + U2M—i ) + —.
i=1 ААа А(2М—i)Aa АМАа
Якщо нечiтка множина А, що визначена на множит дшсних чисел А с R , i функцiя належностi яко! е —А (x):R [0,1] задовольняе умовам: 1) нормальностi; 2) опуклостi; 3) нашвнеперервносет зверху, тобто
lim —(х) < —(х0), то вона називаеться нечггким числом. Дефаззифшащя нечiткого числа А здiйснюеться на основГ методу центра [14]:
n
АЛфШу =Е Ч^а , ( 4 )
i=1
де ваговi коефiцiенти wi обчислюються за формулами:
w = Мг-;u = —2М;i = 1,2,...,М ; п = —Аа; д™ i = 1,2,...,М; п = —2М—0Аа для i = 2М—1.
Ёп
j=1
В робот також використовувався шдхвд, описаний в робот [15]:
w = Wi (ß, ß2,..., ßm); m = 2М — 1, ( 5 )
де w = 2(Л + Л-Bo), для i = 1; wi = 2(C0-D0 + Q0-S0X для 2 <i < m -1; wm = -P0 +Pm),
де Д = j ; A) = max в; B0 = max в,; C0 = max в.; D0 = max в.; S0 = max в,; Q0 = max в.;
1<j<m J 1<j<m J 1<j<i 1<j<i 1<j<m J i<j<m J
P0 = max в,; M - к1льк1сть в - рштв ; 0 < в < ^ 1 < j < M.
i <j <m
2.3. Визначення нечггко-випадковоТ та випадково-нечггкоТ величини Означення 1.
Нечпжо-випадковою називають випадкову величину 4fuzy_rand, яка приймае окрем1 можлив1 нечита
□
значения Fi, з певними ймов1рностями pi (i = 1,2,...,M) [8, 15]. Ввдповвдшсть мгж можливими нечеткими
□
значеннями Fi та заданими ймов1рностями !х появи в експерименп (випробуванш) задаеться законом
f □ ]
розпод1лу дискретно! випадково! величини у вигляд1 таблиц! 4fuzy_rand = i Fi\pi >; i = 1,2,...,M. При цьому
сума ймов!рностей под!й - появи в одному випробуванш т!льки одного можливого значення дор!внюе 1,
M □ N ц
тобто ^ pi = 1. Нечгтка величина Fi описуеться як нечита нормал!зована множина ^—'-; J е[0,1] з
i=1 i=1 Fi
ведомою дискретною опуклою функц!ею належност! [14].
Означення 2.
Випадково-неч!ткою називають нечигсу величину 4rand_ , що приймае з ведомою можливютю Ji (Jii е [0,1]) випадков! значення F, ; i = 1,2,...,N; j = 1,2,...,M з ввдомим законом розпод!лу ймов!рностей pj , тобто [8, 15]:
N U
4rand-^ = Zf-; ue[0,1] , (6)
i=1 F
де F = {f, \ptJ}; i = 1,2,...,N; j = 1,2,...,M- випадков! величини. В вираз! (6) позначення ^ е знак об'еднання елеменпв множини. Величини Fy i py задаються.
У У
2.4. Алгоритм отримання детерм1нованих значень величин 4fuzzy-rand 1 4r
fuzzy-rand Ъ rand - fuzzy
2 41. Задача 4.
- rand ^ 4d
3 fuzzy - rand J fuzzy-rand
При необхщносл отримати детерм!нован! оч!куван! значення вказаних вище величин необх!дно виконати наступн! до:
□
1. Виконати дефазз!ф!кац!ю заданих неч!тких величин Fi i = 1,2,..., N, а саме
m □ □ m j
№ ), = £ WjFj ^ Ft, де Fi = ; w, = w, (un,u,2,...,uM,); i = 1,2,..., N ; i у=1 у=1 Fij
N, M - в!дпов!дно к!льк!сть !нтервал!в i градац!й в визначен! неч!ткого числа.
2. Сформувати випадкову величину (4rand), = {S, |p,.}; i = 1,2,...,N, де Si = Fi.
3. Виконати дерандом!защю величини (4rand) , тобто обчислити математичне спод!вання
N
(4 fuzzy-rand ^
4 ,)=T pS.
i=1
Ця величина i е шуканим оч!куваним значенням неч!тко-випадково! величини 4
2.4.2. Задача 4rand-Jkzzy ^ Jkzzy
Для розв'язання ц!е! задач! необхвдно:
fuzzy-rand
м
1. Виконати операцш дерaндомiзaцil випадково! величини, тобто Fi = У PjFj; i = 1,2,..., N.
j=1
N M
2. Сформувати нечетку величину G = У—'- .
i t? F
3. Виконати операцш дефaззiфiкaцií нечетко! величини G, в результата чого отримати шукане детермiн0ване значення випaдково-нечiткоí величини Fd*d_/и22у = Ctd-лшу.
3. Чисельна iлюстрацiя
Iлюстрaцiя уведення до розгляду невизначених величин виду fuzzy — rand i rand — fuzzy в ошгашзацшну задачу (2) було здшснено на рядi числових експеримеипв.
В якостi незмiнних початкових даних в розв'язаиш зaдaчi взято рiвними:
L = 100см , E = 816ГПа, а = 1620МПа, v = 0.3, hdet = 0.1см .
3.1. Використання fuzzy — rand величин. Нехай задаш нечiткi значения рaдiусiв i вiдшовiднi значения ймовiрностей зaдaнi табл. 1.
Таблиця 1
Почaтковi дaнi
i 1 2 3 4 5 6 7
□ □ □ □ □ □ □ □
Ri (см) 10 9 8 7 11 12 12.5
Pi 0,5 0,1 0,1 0,05 0,1 0,1 0,05
Для шерел1чених нечiтких рaдiусiв, використовуючи поияття а —рiвнiв, обчислимо за алгоритмом нечетш величини FfUzy. Дефaззiфiковaнi значення ще! сили нaведенi в табл. 2.
Таблиця 2
i 1 2 3 4 5 6 7
Fmax (кН) 1019,75 918 816,25 714,48 1121,6 1223,4 1274,3
З них сформуемо вишадкову величину
1019.8 918 816 714.5 1121 1223.4 1274
0.5 0.1 0.1 0.05 0.1 0.1 0.05
Виконуючi дaлi операцш дерaндомiзaцií з урахуваииям даних табл. 1 i 2, отримаемо завершальний
7
результат FfU^zy-rand piFi = 1017.2kH . Для виконаних 6 ексшериментiв в табл. 4 наведено виршальш
'=1
результата FfU^,y-rand при нечетко-випадкових даних, як нaведенi в тiй же таблищ.
В шриклaдi для отримаиия F^-rand використано дефaззiфiковaие значення сили FfjUzy. Для
□ □
iлюстрaцií покажемо отримаиия числа 1019.8. Нехай R = 10(9.5,10,10.5), а функщя належносп нечiткоí
□
величини R описуеться трикутним законом (3). Тут a = 9.5; m = 10; b = 10.5; А = 0.5см — розкид нечетко! величини; a = m — А; b =m + А. З цього визначення шляхом розв'язання рiвияния ju(х) = а отримуються границ множин Qt (а), Qt (aL (а), bR (а)); i = 1,2,.., N, де aL (а) = am + (1 — а) a; bR (а) = am + (1 — а) b . Нехай N = 10, тодi Аа = 0.1.
Таблиця 2
Qt (aL (a), bR (а))
а 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Ql (а) 9.5 9.55 9.6 9.65 9.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10
bR (а) 10.5 10.45 10.4 10.35 10.3 10.25 10.2 10.15 10.1 10.05 10
Застосування процедури обчислення песим1стичних Fpes та оптим1стичних F"1""1 значень сили F в кожному р1вш а за алгоритмом, який наведено в п.3.1, дае табл. 4 фазз1ф1кованих значень ще! сили.
Таблиця 3
Множина нечетких значень сили F
а 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Fpes L 870.4 884.8 899.2 913.8 928.3 942.9 957.7 972.7 987.8 1002,7 1017,8
F"ptim 1175,4 1159,3 1143,2 1127,1 1113 1095 1079,6 1064,1 1048,6 1023,2 1017,8
За формулами (5) маемо: w, = 0.05 для i=1,2,...,10; i=12,13,..., 21 ;w11 = 0.1.
Якщо шдставити отримаш значення wi, Fipes, F°ptm в формулу (6), то будемо мати F™Z = 1019.8 кН.
Таблиця 4
Вихвдт дат для шести числових експерименпв_
Експ-т i 4 3 2 1 5 6 7 F det fuzzy -rand
1 □ R, 7 8 9 10 11 12 12,5 1017,2
pt 0,05 0,1 0,1 0,5 0,1 0,1 0,05
2 □ R, 7 8,5 9 10 12 13 13,8 1063,6
pt 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1
3 □ R, 7 8 9 10 10,5 11 12,5 1058,5
p, 0,02 0,03 0,05 0,2 0,4 0,2 0,3
4 □ R, 8 9 9,8 10 10,5 11 12 1028,9
pt 0,05 0,05 0,3 0,2 0,3 0,05 0,05
5 □ R, 8 8,5 9 10 10,5 11,5 12 843,6
pt 0,1 0,3 0,2 0,3 0,05 0,04 0,01
6 □ R, 8 8,5 9 10 10,5 10,8 11,2 787,9
p, 0,05 0,15 0,3 0,15 0,2 0,15 0,05
Примита. При детермшованих даних сила Fmax = 1018 кН.
3.2 Використання rand - fuzzy величин
□
Початков1 данш R i p, для 5 експерименпв i результати розв'язання оптим1зацшно! задач1 у випадку завдання нечигсо-випадково! величини - радусу оболонки надано в таблиц1 5.
Таблиця 5
n04aTK0Bi даш i результати розв'язання оптимiзацiйноï 3aAa4i при нечiтко-випадковому завданш paAÎycy
оболонки
Експ-т i 1 2 3 4 5 6 7 F det fuzzy _rand
□ Ri 8,8 9,2 9,8 10 10,5 10,8 11,2
1 Pi 0,01 0,01 0,02 0,92 0,02 0,01 0,01 1044
F (R) 895,73 936,45 997,52 1017,88 1068,77 1093 1140
□ Ri 7 8 9 10 11 12 13
2 Pi 0,05 0,05 0,02 0,4 0,2 0,1 0,1 1145
F (R) 712,51 814,3 916,1 1017,88 1119,7 1221,5 1323,,2
□ Ri 7 8 9 10 11 12 13
3 Pi 0,05 0,05 0,2 0,5 0,1 0,05 0,05 948,2
F (R) 712,8 814,3 916,1 1017,88 1119,7 1221,5 1323,2
□ Ri 8,8 9,2 9,8 10 10,5 10,8 11,2
4 Pi 0,02 0,03 0,3 0,3 0,27 0,02 0,01 1011
F (R) 896 936,5 997,5 1018 1069 1093 1140
□ Ri 8,8 9,2 9,8 10 10,5 10,8 11,2
5 Pi 0,05 0,2 0,4 0,2 0,05 0,05 0,05 1000
F (R) 896 936,5 997,5 1018 1069 1093 1140
Сформуемо i3 F = FfUèly_rand , /=1,2,3,4,5 (табл. 5), нечетку величину F :
0.6 0.8 1 0.4 0.2
Ffuzv =-+-+-+-+-,
fuzzy 1044 1141 948 1011 1000 де ={0.6, 0.8, 1, 0.4, 0.2} задано заздалепдь як початкова умова завдання нечетко-випадкових величин. У ввдповщносп до формул (6-7) маемо:
W = 0.2; w2 = 0.26667; w3 = 0.33333; w4 = 0.13333; w5 = 0.06333.
5
Нарештi нечетко-випадкова величина буде F^j_fUzzy = ^ wiFi = 1027кН . Ця величина на 1%
i=1
бiльша розв'язку при детермшованих даних.
Висновки
1. На прикладi задачi про знаходження максимально! величини стискаючоï сили, дiючоï на вдеальну цилiндричнy оболонку, яка знаходиться в умовах трьох граничних станiв i невизначенш iнформацiï про параметри конструкци, показано можливостi синтезу теорiï нечетких множин i теорiï ймовiрностi.
2. Запропоноваш обчислювальнi пiдходи реалiзацiï оптимiзацiйноï задачi в умовах завдання рiзнорiдноï: випадково-нечiткоï i нечiтко-випадковоï iнформацiï про радiyс оболонки.
3. Виконано ряд чисельних експериментiв, результати яких показують, що збiльшення "акценту" невизначеностi в задаванш радiyсy (в бiльшy сторону вщ детермiнованого) веде до зб№шення величини стискаючо1' сили i навпаки (в меншу сторону) веде до зменшення величини сили.
4. Включения безпосередньо невизначеносп в апарат дослвдження представляе собою нову область математики, що розвиваеться. Це дозволяе:
_ проаналiзyвати вплив неповноти iнформацiï на шукаш параметри проекту, оцiнити отриманий розв'язок;
_ провести аналiз чутливосп проекту до змiни характеру невизначеносп.
Список використаноТ лггератури
1. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций / Н.В. Баничук. - М.: Наука, 1986. - 302 с.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложение. В 2-х томах / В. Феллер. - М.: Мир,1984. -Т. 1. - 528 с; Т. 2. - 738 с.
3. Кофман А. Введение в теорию нечётких множеств / А. Кофман. - М.: Радио и связь, 1992. - 432 с.
4. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике: Пер. с фр. / Д. Дюбуа, А. Прад. - М.: Радил и связь, 1990. - 288 с.
5. Pawlak Z. Rough sets / Z. Pawlak // International Journal of Information and Computer Science. - 1982. -Vol. 11. - №5. - P. 341-356.
6. Lui B. Random fuzzy variables random fuzzy programming / B. Lui // Technical report, Tsingua University, 2000.
7. Lui B. Random fuzzy dependent - chance programming and its hybrid intelligent algorithm / B. Lui // Information Science. - 2002. - Vol. 141. - № 3-4. - P. 259-271.
8. Lui B. Fuzzy random chance constrained programming / B. Lui// IEEE, Transactions on Fuzzy Systems. -2001. - Vol. 9. - №5. - P. 713-720.
9. Baranenko V. Probability approach to the structural optimization problem and dynamic programming / V. Baranenko // Proc. of the Second World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization (May 2330 1997, Zakopane, Poland). - 1997. - Vol. 1 IPPT PAN. - P. 27-29.
10. Baranenko V. Optimal design truss in conditions of fuzzy load by expected value models and dynamic programming / V. Baranenko // Theoretical Foundation of Civil Engineering. Polish-Ukrainian-Lithuanian transaction. - Warsaw, 2006. - Vol. 14. - P. 495-498.
11. Бараненко В.О. Пошук максимального значення навантаження кругово! цилiндрично! стиснуто! оболонки в умовах стшкосп та мщносп при стохастичних даних / В.О. Бараненко, Д.Л. Волчок // Отр матерiалiв та теорiя споруд. - 2015. - Вип.96. - С. 88-99.
12. Zadeh L.A. Some reflections of soft computing, granular computing and their roles in the conception design and utilization/intelligent system / L.A. Zadeh // Soft computing. - 1998. - Vol. 2. - P. 23-25.
13. Тетерс Г.А. Оптимизация оболочек из слоистых материалов / Г.А. Тетерс, Р.Б. Рикардс, В.Л. Нарусберг. - Рига: Зинакге, 1978. - 240 с.
14. Rutkowska D. Sieci neuronowe, algorytmy genetuczne i systemy rozmyte / D. Rutkowska, M. Pilinski, L. Rutkowski. - Warsaw-Logz: PWN, 1999. - 452 p.
15. Lui B. Uncertain Programming / B. Lui. - New-York: Wiley, 1999. - 201 p.
