CC BY
13
УДК 539.3
DOI: 10.30838/J.BPSACEA.2312.170118.44.39
ПРОЕКТУВАННЯ ЦИЛ1НДРИЧНИХ ПРУЖИН М1НШАЛЬНО1 МАСИ ЗА ОБМЕЖЕННЯ НА ВЛАСНУ ЧАСТОТУ ПОЗДОВЖН1Х КОЛИВАНЬ В УМОВАХ ПОВНО1 I НЕЧ1ТКО1 1НФОРМАЦП
БАРАНЕНКО В. О.1, д-р техн. наук, проф., ВОЛЧОК Д. Л.2, канд. техн. наук, доц., ГРИГОРОВИЧ М. С.3, студ.
'Кафедра будшельно! механжи та опору матерiалiв, Державний вищий навчальний заклад «Придтпровська державна академш будiвництва та архтгектури», вул. Чернишевського, 24-а, Дшпро, 49600, Укра'на, тел. +38 (056) 756-34-22, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-4658-1205
2Кафедра будгвельно! механжи та опору матерiалiв, Державний вищий навчальний заклад «Придтпровська державна академш будiвництва та архтгектури», вул. Чернишевського, 24-а, Дшпро, 49600, Укра!на, тел. +38 (056) 756-33-51, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-7914-321X
3Кафедра будгвельно! механжи та опору матерiалiв, Державний вищий навчальний заклад «Придтпровська державна академш будавництва та архггектури», вул. Чернишевського, 24-а, Днгпро, 49600, Укра!на, тел. +38 (056) 756-34-22 e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-5539-7493
Анотащя. Постановка проблеми. У багатьох виробах машинобудiвноl, залiзничноl, будiвельноl Тыдустри розповсюджеш так1 елементи як пружини. Вони призначенi для накопичення або поглинання мехашчно!' енергп. Цим елементам рiзноманiтних конструкцш i приладiв придшялась i придiляeться достатньо велика увага. 1снуе велика кшьшсть публiкацiй в цш сферi, де розглядаються питания розрахуншв та виготовлення. В той же час невелика шлькють наукових праць присвячена питанням оптимального проектування, в яких оптимiзацiя характеристик пружин за рГзними критерiями здшснюеться за допомогою методiв нелiнiйного програмування.
Ця стаття присвячена питанням оптимального проектування цилшдрично!' пружини розтягання за критерieм ваги при обмеженнi на власну частоту поздовжшх коливань. Формулюються прямГ i дво1'сп задачi оптимiзацil, реалiзацiя яких здшснюеться методом множнишв Лагранжа i необхiдних умов iснування екстремуму. Мета cmammi - розглянути оптимiзацiйнi динамiчнi задачi проектування гвинтових цилшдричних пружин в умовах повно!' i неповно!' шформацп щодо вихщних даних. Провести аналiз впливу шлькосл активних зво!'й пружини на оптимальнi параметри проектування, а також вплив нечикосп завдання ваги i величини власно!' частоти поздовжшх коливань. Висновок. У результата розв'язання прямо!' та дво1'сто1 от^^за^йно! динашчно!' задачi для гвинтово!' цилГндрично!' пружини отримано, що залежшсть оптимально!' ваги вгд задано!' частоти власних поздовжшх коливань i числа активних зво!'в е нелiнiйною функщею. Залежнiсть оптимально!' частоти власних коливань i дiаметра дроту вщ задано!' ваги також нелшшна. Отримано оцшки впливу нечiткого завдання вихщних даних на результат проекту - дiаметр дроту матерiалу, з якого виготовлено пружину.
Ключов1 слова: цилтдрична пружина; оптимальне проектування; нечтю множини
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ НА СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ И НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ
БАРАНЕНКО В. А.1, д-р техн. наук, проф., ВОЛЧОК Д. Л.2, канд. техн. наук., доц., ГРИГОРОВИЧ Н. С.3, студ.
*Кафедра строительной механики и сопротивления материалов, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, Днипро, 49600, Украина, тел. +38 (056) 756-34-22, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-4658-1205
2Кафедра строительной механики и сопротивления материалов, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, Днипро, 49600, Украина, тел +38 (056) 756-33-51, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-7914-321X 3Кафедра строительной механики и сопротивления материалов, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, Днипро, 49600, Украина, тел. +38 (056) 756-34-22, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-5539-7493
Аннотация. Постановка проблемы. Во многих изделиях машиностроительной, железнодорожной, строительной индустрии распространены такие упругие элементы как пружины. Они предназначены для накопления или поглощения механической энергии. Этим элементам различных конструкций и приборов
уделялось и уделяется достаточно большое внимание. Существует большое количество публикаций в этой сфере, где рассматриваются вопросы расчетов и изготовления. В то же время небольшое количество научных работ посвящено вопросам оптимального проектирования, в которых оптимизация характеристик пружин по различным критериям осуществляется с помощью методов нелинейного программирования.
Данная работа посвящена вопросам оптимального проектирования цилиндрической пружины растяжения по критерию веса при ограничении на собственную частоту продольных колебаний. Формулируются прямые и двойственные задачи оптимизации, реализация которых осуществляется методом множителей Лагранжа и необходимых условий существования экстремума. Цель статьи - рассмотреть оптимизационные динамические задачи проектирования винтовых цилиндрических пружин в условиях полной и неполной информации о выходных данных. Провести анализ влияния количества активных витков пружины на оптимальные параметры проектирования, а также влияния нечеткости задания веса и величины собственной частоты продольных колебаний. Вывод. В результате решения прямой и двойственной оптимизационной динамической задачи для винтовой цилиндрической пружины получено, что зависимость оптимального веса от заданной частоты собственных продольных колебаний и числа активных витков является нелинейной функцией. Зависимость оптимальной частоты собственных колебаний и диаметра проволоки от заданного веса также является нелинейной. Получены оценки влияния нечеткого задания исходных данных на результат проекта - диаметр проволоки материала, из которого изготовлена пружина.
Ключевые слова: цилиндрическая пружина; оптимальное проектирование; нечеткие множества
DESIGNING CYLINDRICAL SPRINGS OF MINIMUM WEIGHT WITH RESTRICTION ON THE OWN FREQUENCY OF LONGITUDINAL OSCILLATIONS UNDER CONDITION OF FULL AND FUZZY INFORMATION
BARANENKO V. O.1, Dr. Sc(Tech), Prof, VOLCHOK D. L.2, Cand. Sc(Tech), Assoc. Prof, HRYHOROVYCH M. S.3, student
'Department of structural mechanics and strength of materials, State Higher Educational Establishment «Piydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-a, Chernyshevskogo str., Dnipro 49600, Ukraine, phone +38 (056) 756-34-22, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-4658-1205
2Department of structural mechanics and strength of materials, State Higher Educational Establishment «Prydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-a, Chernyshevskogo str., Dnipro 49600, Ukraine, phone +38 (056) 756-33-51, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-7914-321X
3Department of structural mechanics and strength of materials, State Higher Educational Establishment «Prydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-a, Chernyshevskogo str., Dnipro 49600, Ukraine, phone +38 (056) 756-34-22, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-5539-7493
Annotation. Formulation of the problem. Elastic elements such as springs are common in many products of the machine-building, railway, construction industry. They are designed to accumulate or absorb mechanical energy. These elements of various designs and devices have been and are being given enough attention. There is a large number of publications in this field, where questions of calculation and manufacturing are considered. At the same time, a small number of scientific papers are devoted to optimal design, in which the optimization of the characteristics of springs by various criteria is carried out using nonlinear programming methods.
This paper is devoted to the problems of optimal design of a cylindrical tension spring by the weight criterion, while its own frequency of longitudinal oscillations is limited. Direct and dual optimization problems are formulated. Realization is provided with the method of Lagrange multipliers and necessary conditions for the existence of an extremum. Purpose of the article. To consider optimization dynamic problems of design of helical cylindrical springs in conditions of complete and incomplete information about the output data. To analyze the influence of the number of active spring turns on the optimal design parameters, as well as the influence of the fuzzy information about weight setting and the value of the natural frequency of the longitudinal oscillations. Conclusion. As a result of solving the direct and dual optimizing dynamic problem for a helical spring it is found that the dependence of the optimal weight from the natural frequency of the intrinsic longitudinal oscillations and the number of active turns is a nonlinear function. The dependence of the optimum frequency of natural oscillations and the diameter of the wire from the given weight is also nonlinear. The estimation of the influence of the fuzzy initial data on the result of the project (the diameter of the wire of the spring) is obtained. The transformation of fuzzy numbers into deterministic ones is performed by the center method (defuzzification operation). Accounting of fuzzy information leads to increasing in the weight parameter and in the wire diameter parameter.
Keywords: cylindrical spring; optimal design; fuzzy sets
Вступ. У багатьох виробах мaшинобудiвноi, зaлiзничноi, будiвелыноi шдустрп розповсюдженi такi пружнi елементи як пружини. Вони призначеш для накопичення або поглинання мехашчно!' енергп. Цим елементам рiзноманiтних конструкцiй i приладiв придiлялась i придiляeться достатньо велика увага. На початку ХХ сторiччя були створеш в рядi краш асощацп дослiдникiв пружин. 1снуе велика юлыюсты публiкaцiй в усiй сферi [1; 4; 8], де розглядаютыся питання розрaхункiв та виготовлення. В той же час невелика кiлыкiсты наукових працы присвячена питанням оптимального проектування. Можна навести пращ [2; 3; 6; 7], в яких оптимiзaцiя характеристик пружин за рiзними критерiями здшснюетыся за допомогою методiв нелiнiйного
програмування.
Стаття присвячена питанням оптимального проектування цилшдрично!' пружини розтягання за критерieм ваги при обмеженш на власну частоту поздовжшх коливаны. Сформульовано як прям^ так i двоют зaдaчi оптимiзaцii, 1Х реaлiзaцiя здiйснюeтыся методом множниюв Лагранжа i необхiдних умов юнування екстремуму. Отримано числовi резулытати, яю подаютыся в грaфiчному виглядi. Показано вплив на резулытати оптималыного проектування юлыкосп робочих (активних) зво!'в пружини. Придшяетыся увага на розрахунок оптималыних характеристик пружини в умовах, коли обмеження маюты параметри, що описaнi нечiтко. До них застосовустыся пiдхiд з боку нечiткого моделювання. Теорiя нечiтких множин [5] дае можливiсты оцiнювaти резулытати розрахунку за наявносп розмитих даних.
1. Об'ект оптим1зацн
Цилiндричнa гвинтова пружина являе собою криволшшний стержены, вiсы якого розташовуетыся на поверхнi цилiндрa по гвинтовш лши. Основнi характеристики таких мехашчних елементiв - середнiй дiaметр D, дiaметри d дроту, з якого виготовляетыся пружина, довжина l осi робочо'1 частки та юлыюсты N активних зво'1'в. В техшчних розрахунках кривизна
гвинта пружини характеризуетыся вiдношенням C = D / d, яке називаюты iндексом пружини. Ид час конструювання пружини, яка працюе на стиск-розтягнення, розраховуюты 11 напружено-деформований стан за найбшышим дотичним напруженням у перерiзaх зво!'в. У випадку проектування пружин кручення розрахунки напружены виконуютыся за нaйбiлышими нормалыними напруженнями в перерiзaх зво!'в.
У динaмiчних застосуваннях, щоб уникати явища резонансу, треба увести до розгляду таку умову: - частота власних коливаны стискання пружини с муситы
бути
не менше
величини
®Q.
В
математичному вигляд1 така умова мае вираз [7]:
с =
d Gg 2kD2NV 2p 0
(1)
Тут уведено таю позначення: G -модуль зсуву, g - прискорення вшьного падшня, p - щшьшсть матер1алу дроту.
Задача проектування полягае в пошуку таких характеристик проекту як d* i значення критерш мiнiмум ваги, тобто W* = min W за задано'! частоти с0 (пряма
задача), i навпаки - знайти таю значення d *, за яких власна частота поздовжшх коливань була б найбшьшою за умови, що вага пружини задаеться, тобто W = WQ.
2. Основна частина
2.1. Задача 1 (пряма задача)
Задача проектування цилшдрично!' пружини мшмально!' ваги з урахуванням умов, щоб частота с власних коливань ii була рiвною величин с0, описуеться такою моделлю:
(W*,d*) = arg( min W(d)C(d) = cQ j. (2)
\d-<d<d+ 1 J
У спiввiдношення (1) уведено таю означення W (d) = ad2;
a = Q.25( N + Q)n2 Dp;
c(d) = yd; у =
1
2nD2 N)j
Gg •
2p'
(3)
d > Q, (4)
де Q - число неактивних звш; N -кшьюсть активних зво!в пружини.
Обмежень можуть бути габарити пружини:
d + D < D, (5)
де D - д1аметр пружини, G - модуль зсуву, р - густина, g - прискорення
вшьного падшня. Значення а0, D
задаються.
В задач1 (1) змшними проектування е величина d, а d* - е оптимальна товщина дроту, яка тде на !! виготовлення, i вщповщно вага пружини W*. Фактором проектування може бути фшсована величина N .
2.2. Задача 2 (двоТста задача) Сутшсть дво!сто! задачi полягае в тому,
щоб за заданою вагою W0, дiаметром D i
числом зво!в N знайти таке d*, яке доставить максимум величини власних коливань. Математичний запис ще! задачi буде таким:
(а\ d*) = arg {max a(d) |W(d) = W0}. (6)
d
Розв'язки d* у дво!стш i прямiй задачi збiгаються, якщо взяти а0 = а* iз задачi (6)
або W0 = W * iз задачi (2).
2.3. Застосування математичного анал1зу до розв'язання задач
Уведемо для задачi 1 таку функцiю: L = W + Л(Ф0 -а) = ad2 + Л(Ф0 - yd), (7) де Аф 0 - множник Лагранжа. 1з необхщно! умови екстремуму L маемо:
дЬ_
dd
= 2ad - Ay = 0
dL л
—— = -yd + а0 =0
oA
(8)
Розв'язання системи (8) дае
2 -; W* = a(d*)
-.* а^ 2a00 ттл* / ,j*\2
d = —; A = +- '
y
y
(9)
Зауваження.
iL
Od2
= 2 x > 0.
що
Друга
вiдповiдае
похiдна операцп
мiнiмуму в оптимiзацiйнiй задачi (достатня умова юнування екстремуму)
2.4. Розв'язання двотстот задач1
Для (6) запишемо функцiю Лагранжа:
L = yd - A(ad2 - W0); Аф 0. (10)
За необхiдними умовами екстремуму, маемо:
OL dd
OL
OA
= y-2Aad = 0 = ad2 + W0 = 0.
(11)
У результат розв'язання системи (11) отримаемо:
d * =
А = ■
У
2ad
а* = yd *.
A > 0; a > 0
(12)
Зауваження. Достатня умова юнування максимуму для ще! задачi виконуеться, тобто:
iL
dd2
= -2Aa < 0 .
2.5. Числова 1люстрац1я оптимального
проектування пружини
детермшованих даних
Для таких початкових
G =8-104
г
р = 0.0078-
2
мм г
D = 100 мм;
за
даних:
Q = 2,
мм
g = 9806-- . Для прямо! i
мм сек
дво'!сто! задачi за формулами (8), (9), (11) виконано розрахунок оптимальних d*, (мм); W *, (г) та а*, (Гц). Геометрична штерпретащя результа^в обчислень наведена на рисунках 1-4 за N = 17 .
На рисунках 3 i 4 показано залежшсть оптимальних значень а* i d* вщ заданого значення ваги пружини W0 як результат
розв'язання дво!сто! задачi (6) за N = 17. Таким чином, при розв'язанш прямо! i дво!сто! величини оптимальних проектив
W*, о*, d* збшьшуються вщповщно до
збшьшення величин о>0 i W0.
2000
1500 1000 500 0
N = 17
0 3.75 7.5 11.25 15
Рис. 1. Залежнгсть мтмально1 ваги пружини
*
W eid величини частоти власних коливань о
(пряма задача)
d ,мм 8Г
N = 17
3.75 7.5 11.25 15
Рис. 2. Графж залежностi параметра оптимального
*
проекту - значення дiаметра дроту d вiд частоти власних коливань 00 (пряма задача)
со, Гц 12г
10
il ч-
О 300 600 900
W0fS
Рис. 3. Графж залежностi о — W0 (двоюта задача)
d ,мм
N = 17
О 300 600 900
Рис. 4. Графж залежностi d — W0 (дво1ста задача)
lg W* 4
ац, = 10 = 15
-^ = 5
- '-Ч, = 1
10 15
N
20
Рис. 5. Графж залежностi оптимально'1 ваги вiд числа робочих зво!в пружини (пряма задача)
Рис. 6. Залежтсть параметра проекту - а вiд числа звоИв пружини i частоти С0 (пряма задача)
а, Гц 80 Г
60
40
20
N=5
> N = 10 \
/ N = 15 Д-
/^ "-С — —
500 1000
1500
Рис. 7. Залежнкть максимального значення
*
частоти власних коливань пружини С вiд заданоИ
ваги Ж для рiзного числа звоИв N пружини (двоИста задача)
<1 ,мм 12г
/ N=5 /
-N = 10
\г/ = 15
500
1000 1500
Рис. 8. Залежтсть параметра проекту -оптимального значення дiаметра звоИв пружини вiд
заданоИ ваги Ж для рiзного числа звоИв N пружини (двоИста задача)
На приклад1 розв'язання прямо! (2) та дво!сто! (6) задач розглянуто питання впливу числа активних зво!в пружини на величини Ж *, С, а * (рис. 5-8). 1з розрахунюв видно (рис. 5-6), що вага Ж* 1 д1аметр дроту ё* збшьшуються вщ збшьшення числа N 1 величини с0 (пряма задача). Для дво!сто! - збшьшення частоти С 1 д1аметра дроту ё * вщ збшьшення ваги Ж0 (рис. 7-8).
У випадку прямо! задач1 збшьшення числа зво!в 1 значень власних частот пружини викликае значне збшьшення ваги 1 д1аметра.
*
1з цих рисунк1в видно, що частота с 1
ё* збшьшуються вщ збшьшення числа N \ Ж0.
2.6. Неч1тке завдання величини с0
Розглянемо наступну шформацшну ситуащю вщносно завдання частоти власних коливань пружини:
а) нехай величина с0 набирае значення
"близьке до числа тС";
б) нехай величина с0 набирае значення "трохи бшьше шж тС, або дор1внюе...";
в) нехай величина с0 набирае значення "трохи бшьше шж тС".
Для опису неч1тко! величини с0 використаемо функщю належносп трикутного виду иО (х) з нос1ем С0(а,тС,Ь)д . Через О позначено неч1тку множину величини с0 :
Мо (х) =
х - а т - а Ь - х
,0 < х < т
т < х < Ь
Ь - т' 1, х = т;0 < м< 1.
(13)
Нехай, для визначеносп, для першо! шформацшно! ситуацп тС = 5; а = 4.5; Ь = 5.5, число зво!в дор1внюе 10, а число дискрет1в штервалу [0,1] дор1внюе М. У
числових розрахунках приймалось М = 10. Дотримуючись означення (13), побудуемо неч1тку множину О значень частот (етап неч1ткого моделювання - фазиф1кащя):
10 и 2М и
о=ъ М+1 и •
=11 Ьг
1=0 а1 1=
в якому и = 1Ди; М = 2М - г; Ди =
(14)
м;
а = тсМ + а(1 - и); Ьг = тсМ +Ь(1 - и)=
тобто: Q =
0 0.1 4.5 4.55
0.2 0.3
0.4
4.60
4.65 4.70 0.9
- +
0.5 _0.6_ _0:L 0.8 _
4.80 4.85 4.9 4.95
1
4.75 0.9
- +
0.8
0.7
- +-+ -
0.6 0.5
5.05 5.10 5.15 0.3 0.2
5.20 5.25
5.35 5.40
0.1
+-+ -
0
5.00
0.4
--+
5.30 (15)
5.45 5.50 Для eлeмeнтiв ai, bi
oбчиcлюютьcя знaчeння W* фopмyлoю (9), oтpимaeмo тaкi мужики
мужики (15) i d* 3a
W *
тa
d*
(eтaп
fuzzy fuzzy
мoдeлювaння - poзpaхyнoк (aнaлiз)):
нeчiткoгo
W'
fuzzy
0.4 40.05 0.9
44.43 0.6
0 0.1 0.2 0.3 36.71 37.54 38.36 39.20
0.5 0.6 0.7 0.8
40.91 41.77 42.65 43.53
1 0.9 0.8 0.7 45.33 46.24 47.15 48.09
0.5 0.4 0.3 0.2
- +
- + +-
49.03 49.97 50.93 51.89 52.87
0.1
0
d * "
fuzzy
0.4 1.317 0.9
1.387 0.6
1.457
0
53.85 54.84 0.1 0.2
1.261 1.275
0.5 0.6
1.331 1.345
1 0.9
1.401 1.415
0.5 0.4
1.475 1.485 0.1 0
0.3 1.303 0.8
1.373 0.7
1.443 _ 0.2
1.499 1.513
1.289 0.7
1.359 0.8
1.429 0.3
■ +
■ +
■ +
d
1.527 1.541 Пepeтвopeння ^ч^ких чител r r fuzzy та дeтepмiнoвaнi викoнyeтьcя зa
W *
fuzzy
мeтoдoм ^mpy дeфaзифiкaцiï):
[5]
(oпepaцiя
ZaW
w * =•
21
= 46.34,
d * =■
Za
i=1
Z AWt
i=1_
21
Z A
i=1
= 1.42
Пopiвняння oтpимaних peзyльтaтiв 1З poзв'язкaми W*det = 45.33 i d*det = 1.40 зa дeтepмiнoвaнoгo знaчeння с0 = 5 дae тaкi пoхибки:
W * — W'
SW
det
W*
100% = 2.24%
det
|d def d det
d*
100% = 1.43%,
det
тобто ypaхyвaння нeчiткocтi cпpичинюe збiльшeння нa 2.24% пapaмeтpa W*det i нa
1.43% пapaмeтpa d *det.
Висновки. В peзyльтaтi poзв'язaння пpямoï тa двoïcтoï oптимiзaцiйнoï динaмiчнoï зaдaчi для гвинтoвoï цилiндpичнoï ^ужини oтpимaнo, щo зaлeжнicть oптимaльнoï вaги в1д зaдaнoï чacтoти влacних пoздoвжнiх кoливaнь i чиcлa aктивних звoïв e нeлiнiйнoю.
Зaлeжнicть oптимaльнoï чacтoти влacних кoливaнь i дiaмeтpa дpoтy в1д зaдaнoï вaги e нeлiнiйнoю. Отpимaнo oцiнки впливу нeчiткoгo зaвдaння вих1дних дaних W0, с0 нa peзyльтaти пpoeктy. 3i збiльшeнням влacнoï чacтoти кoливaнь с0 (пpямa зaдaчa)
peaкцiя oптимaльнoгo знaчeння вaги W * пpyжини нa збiльшeння кiлькocтi звoïв cтae б1льш чyтливoю (вaгa знaчнo зpocтae).
СПИСОК BMOPTCTAHOÏ Л1ТЕРАТУРИ
1. Анypьeв В. И. Спpaвoчник кoнcтpyктopa-мaшинocтpoитeля : в 3 т. Т. 3 / В. И. Анypьeв. - 8-e изд., пepepaб. и дoп. - Moc^a : Мaшинocтpoeниe, 2001. - 864 c.
2. Бараненко В. А Оптимальное проектирование цилиндрических пружин в условиях нечёткой информации / В. А. Бараненко, М. В. Иванец, С. Н. Чаплыгина // Вюник Запор1зького нацюнального ушверситету. Ф1зико-математичш науки : зб. наук. ст. - Запор1жжя, 2015. - № 3. -С.23-27.
3. Маркина М. В. Нахождение паретовского множества многоэкстремальных задач / М. В. Маркина // Прикладные проблемы прочности и пластичности : всесоюз. межвуз. сб. / Горьков. гос. ун-т. -Горький, 1982. - С. 137-143. - (Исследование и оптимизация конструкций).
4. Пономарев С. Д. Расчет упругих элементов машин и приборов / С. Д. Пономарев, Л. Е. Андреева. - Москва : Машиностроение, 1980. - 326 с.
5. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечёткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский ; пер. с польск. И. Д. Рудинского. - Москва : Горячая линия-Телеком, 2008. - 383 с.
6. Belegundu Ashok D. A study of mathematical programming methods for structural optimization. Part II: Numerical Results / Ashok D. Belegundu, Jasbir S. Arora // International journal for numerical methods in engineering. - 1995. - Vol. 21, iss. 9. - P. 1601-1623.
7. Haug Edward J. Applied Optimal Design: Mechanical and Structural Systems / Edward J. Haug, Jasbir. S. Arora - New York : Wiley-Interscience, 1979. - 520 p.
8. Shigley J. E. Mechanical engineering design / J. E. Shigley - 3rd Ed. - New York : McGraw-Hill, 1977. -695 p.
REFERENCES
1. Anur'ev V.I. Spravochnik konstruktora-mashinostroitelya: v 3 tomax [Reference book of the machine-builder designer: in 3 volumes]. Ed 8, Moskva: Mashinostroenie, 2001, no. 3, 864 p. (in Russian)
2. Baranenko V.A., Ivanec M.V. and Chaplygina S.N. Optimal'noe proektirovanie cilindricheskix pruzhin v usloviyax nechetkoj informacii [Optimal design of cylindrical springs under conditions of fuzzy information] Zbirnyk naukovykh prats fizyko-matematychni nauky №3 [Collection of scientific Physics and Mathematics works no. 3]. Zaporizhzhya, 2015, pp. 23 - 27 (in Russian)
3. Markina M.V. Naxozhdenie paretovskogo mnozhestva mnogoekstremal'nyx zadach [Finding a Paretov set of multi-extremum problems] Prikladnye problemy prochnosti i plastichnosti: vsesojuz. mezhvuz. sb. [Applied problems of durability and plasticity: All-Union Interuniversity Collection]. Issledovanie i optimizaciya konstrukcij [Investigation and optimization of structures]. Gor'kij, 1982, pp. 137 - 143 (in Russian)
4. Ponomarev S.D. and Andreeva L.E. Raschet uprugix elementov mashin i priborov [Calculation of elastic elements of machines and instruments]. Moskva: Mir, 1980, 326 p. (in Russian)
5. Rutkovskaya D., Pilinskij M. and Rutkovskij L. Nejronnye seti, geneticheskie algoritmy i nechetkie sistemy [Neural networks, genetic algorithms and fuzzy systems]. Moskva: Goryachaya liniya-Telekom. 2008, 383 p. (in Russian)
6. Belegundu Ashok D. and Jasbir S. Arora A study of mathematical programming methods for structural optimization. Part II: Numerical Results. International journal for numerical methods in engineering. 1995, vol. 21, iss. 9, pp. 1601-1623.
7. Haug Edward J. and Jasbir. S. Arora Applied Optimal Design: Mechanical and Structural Systems. New York: Wiley-Interscience, 1979, 520 p.
8. Shigley J. E. Mechanical engineering design. 3rd Ed. New York: McGraw-Hill, 1977, 695 p.
Рецензент: Сгоров С. А., д-р техн. наук, проф.
Надшшла до редколеги: 20.12.2017 р.
