CC BY
47
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 6 (60)
НЕТРАДИЦ1ЙН1 ВИДИ ТРАНСПОРТУ. МАШИНИ ТА МЕХАН1ЗМИ
УДК 621.01: 621.87
В. С. ЛОВЕЙК1Н1*, Ю. О. РОМАСЕВИЧ2*
1 Каф. «Конструювання машин i обладнання», Нацюнальний ушверситет бюресурав i природокористування Украши, вул. Герогв оборони, 12в, Кшв, Укра1на, 03041, тел. +38 (097) 349 14 53, ел. пошта [email protected], ORCID 0000-0003-4259-3900
2*Каф. «Конструювання машин i обладнання», Нацюнальний ушверситет бiоресурсiв i природокористування Украши, вул. Герогв оборони, 12в, Кшв, Укра1на, 03041, тел. +38 (097) 349 14 53, ел. пошта [email protected], ORCID 0000-0001-5069-5929
ЗНИЖЕННЯ ДИНАМ1ЧНО1 НАВАНТАЖЕНОСТ1 РОБОТИ МЕХАН1ЗМ1В У ПЕРЕХ1ДНИХ РЕЖИМАХ
Мета. Для зниження динамiчних навантажень у механiзмах необхвдно певним чином виконувати вибiр режимiв 1х руху. Такий вибiр повинен здшснюватись на оптимiзацiйнiй основi. Метою роботи е дослвдження методiв синтезу режимiв руху механiзмiв та машин, яш забезпечують оптимальнi режими руху за термша-льними та iнтегральними критерiями. Методика. Для проведення дослiджень використано одномасову ди-намiчну модель мехашзму. У якостi оптимiзацiйних критерпв використано термшальний та комплексний iнтегральний критерп. Поставлена оптимiзацiйна задача розв'язана за допомогою динамiчного програму-вання та варiацiйного числення. Також було використано прямий варiацiйний метод, який дозволив знайти лише наближений розв'язок вихвдно! задачi оптимального керування. Результата. Для кожного з методiв розв'язання задачi встановлено способи забезпечення абсолютного мшмуму термiнального критерiю. Отриманi в результата рiшень характеристики показують плавнiсть змши к1нематичних функцiй при гальму-ванш механiзму та вказують на досягнення абсолютного мшмуму прийнятого у розрахунках термiнального критерш. Наукова новизна. При розв'язуванш задачi оптимального керування методом динашчного про-грамування для досягнення абсолютного мшмуму термiнального критерiю у рiвняння динамiки руху систе-ми необхщно вводити новi змiннi. В загальному випадку для досягнення мшмуму термiнального критерiю п-го порядку розв'язок оптимiзацiйноl задачi необхiдно шукати вщносно функцп (п+1)-го порядку. При розв'язанш оптимiзацiйних задач методом варiацiйного числення для того, щоб забезпечити мшмум термь нального критерiю п-го порядку, шляхом вибору вщповвдних крайових умов, необхвдно розв'язати рiвняння Ейлера-Пуассона 2(п+1)-го порядку (за умови симетричного задання крайових умов). Дане рiвняння, в свою чергу, е необхiдною умовою екстремуму функцiоналу з пiдiнтегральним виразом (п+1)-го порядку. Практична значимiсть. Мiнiмiзацiя прийнятого у розрахунках термiнального критерш дае змогу усунути удари у шнематичних зачепленнях механiзмiв, що, у свою чергу, пвдвищуе 1х довговiчнiсть. Крiм того, зниження iнтенсивностi наростання прискорення ведучо! маси системи (наприклад, ротора електродвигуна) дае змогу знизити небажаш енерговтрати приводу.
Ключовi слова: оптимальне керування; термiнальний критерiй; динашчне програмування; варiацiйне числення; крайова задача
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 6 (60)
Вступ
Постановка проблеми. Сучасш мехашзми i машини характеризуеться значною штенсив-шстю експлуатаци, що пов'язано з прагненням пiдвищити продуктивнiсть ix роботи. Водночас до меxанiзмiв висувають жорстю вимоги стосо-вно надiйностi, зручносп експлуатаци та енер-гоефективностi. Вказана сукупшсть вимог су-перечить умовi високо! продуктивностi. Ця су-перечшсть вирiшуеться на основi вибору ре-жимiв руху меxанiзмiв та машин, який пею чи iншою мiрою дозволяе задовольнити основнi вимоги до роботи меxанiзмiв.
Необxiдно вiдмiтити, що значний вплив на ефектившсть роботи машини або мехашзму мають перехщш режими. Саме пiд час перехщ-них режимiв руху меxанiзмiв у ix елементах виникають значнi динамiчнi навантаження, якi знижують довговiчнiсть меxанiзмiв. Для зни-ження динамiчниx навантажень у меxанiзмаx необxiдно певним чином вибирати режими ix руху. Вибiр режимiв руху необxiдно виконува-ти на ошташзацшнш основi. Це означае, що перехщш режими руху мають бути оптималь-ними, тобто задовольняти обраний на основi рекомендацiй та анатзу роботи меxанiзму один або декшька критерив оптимiзацii. Зазначимо, що такими критерiями е iнтегральнi та термша-льнi функцiонали. Основнi вимоги, як висува-ються до роботи меxанiзмiв, у математичному виглядi виражаються через оптимiзацiйнi критерий
У цьому дослщженш розв'язано задачу синтезу режимiв руху меxанiзму iз наперед зада-ною вимогою: на початку руху прискорення меxанiзму повинно бути нульовим. Це дае змо-гу знизити рiвень динамiчниx навантажень за рахунок зниження швидкостi вибору зазорiв та практично усунути небажаш коливнi процеси у меxанiзмаx.
Анал1з досл1джень та публтацт. Залеж-шсть мiж режимами руху машин та динамiчни-ми навантаженнями в них дослщжена у бага-тьох працях [6, 11, 13, 15, 16]. У роботах [2, 3, 5] встановлено вплив наявносп зазору у передачах на формування коливних процешв у пру-жних елементах меxанiзмiв, зокрема на ампл> туди зусиль i моментiв. Для зниження небажа-них динамiчниx навантажень необхщно вико-нувати плавний вибiр зазорiв у кiнематичниx
зачепленнях MexaHi3MiB [3, 4], який виконаний на ошташзацшнш основа KpiM того, такий тд-хд дае змогу пiдвищити енергетичнi показники роботи машин [1, 9].
Мета
Метою роботи е дослщження методiв синтезу режимiв руху механiзмiв та машин, якi за-безпечують оптимальний режим ix руху за тер-мiнальними та iнтегральними критерiями.
Методика
Динамiка значно' кiлькостi техшчних систем, наприклад, пiдйомно-транспортниx машин, може бути описана у першому наближен-ш за допомогою диференцiального рiвняння:
mx = F - W, (1)
де m - зведена до поступального руху маса системи; x - узагальнена координата системи; F - зведене рушшне зусилля приводу; W -зведена сила статичного опору руху системи. Крапка над символом означае диференщюван-ня за часом.
Для зменшення динамiчниx навантажень у початковий момент руху системи необхщно забезпечити мшмум термiнального критерiю:
Ter = (x(0))2 ^min. (2)
Крiм того, будемо вимагати, щоб режим руху системи забезпечував мшмум штегрального функцiоналу:
T
I = J(81x2 +52X2 +53X2 + 54X'2)dt ^min, (3)
0
де T - тривалють перехщного процесу; Si - ко-ефiцiенти, якi враховують вагу вщповщних до-данкiв (i= 1, 2, 3, 4) i сума яких рiвна одиницi. Перший та другий доданки у шдштегральному виразi (3) встановлюють «щну» переходу ди-намiчноi системи з початкового у кшцеве по-ложення. Тобто «штрафуються» т положення динамiчноi системи у фазовому простор^ якi характеризуються значною вщдаленютю вiд початку координат. Третiй доданок у шдштегральному виразi (3) визначае «щну» керування динамiчною системою. Для електроприводу мiнiмiзацiя ще' складово' знижуе електромагш-
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 6 (60)
тнии момент 1, як насл1док, зм1нн1 електричн1 втрати у привод1 [12], що тдвищуе енергоефек-тившсть роботи системи. ЧетвертиИ доданок у шдштегральному вираз1 (3) не допускае !! пе-ревантажень, яю можуть виникнути при спро-бах швидко! змши рушшного зусилля приводу за рахунок подач1 на електродвигун значно! напруги живлення. ОптимальниИ закон руху динам1чно! системи будемо шукати на траекто-р1ях, яю задовольняють краИовим умовам:
|*(0) = ^0, x(0) = V0;
[x(T) = x(T) = 0,
(4)
Ф = -
1 cs_
254 du
(6)
1 (—)2 = 0.
454 du
(7)
Розв'язок нелшшного диференщального р> вняння у частинних похщних (7) будемо шукати у вигляд1 квадратично! форми:
S — AyХ1 + A2 Х'2 + A3 U +
+A.4XjХ2 + A.5x^u + A~6X2U .
(8)
де s0 та v0 - початкове положення та швид-юсть руху системи вщповщно. Числов1 значен-ня параметр1в s0 та v0 визначають вид перех> дного режиму (пуск або гальмування).
Для розв'язання задач1 (1)-(4) використаемо динам1чне програмування [10]. Функцюнальне р1вняння Беллмана для критерда (3) мае такий вигляд:
min[5j Xj2 +52 х2 +53u2 +54ф2 +
dS dS dS ...
+-x2 +-u +—ф] — 0, (5)
дх dx2 du
де S - функщя Беллмана. У вираз1 (5) i в пода-льшому викладi матерiалу використанi позна-
F - W
чення: x — x1, x1 — x2, x2 — u , u —-, u — ф.
m
Мшмум право! частини рiвняння (5) будемо шукати за параметром ф, для цього продифе-ренщюемо !! за ф та прирiвняемо отримане до нуля. У результата розв'язування знайденого рiвняння будемо мати:
Вiзьмемо частиннi похiднi з виразу (8) за параметрами x1, x2 та u :
öS/ dxl — Au + 2 Aj x1 + A4 x2, (9)
öS/ dx2 — A6u + A4 x1 + 2 A2 x2, (10)
öS/ du — 2 A3u + A5 x1 + A6 x2. (11)
Пщставляючи вирази у формулу (7) та ви-конуючи спрощення отриманого, будемо мати систему рiвнянь, з яко! необхiдно знайти нев> домi коефiцiенти A3, A5 та A6. Вибiр цих кое-фiцiентiв зумовлений тим, що шукана функцiя ф, згiдно з виразами (6) та (11), залежить саме вщ них. Запишемо систему рiвнянь, яку необ-хiдно розв'язати:
л +63 -5-1 А32 — 0; 51 - 0,255-1 А — 0; А3А55-1 +52 - 0,255-1 А62 —0.
(12)
Знайшовши невiдомi коефiцiенти та вщки-нувши тi з них, якi супроводжуються втратою стiИкостi руху динамiчно!' системи, можемо вважати, що задача розв'язана, оскшьки знай-дена функцiя ф — ф(^ x2, x1), яка мiнiмiзуе критерш (3).
Однак, для практично! реатзацп отриманих результатiв необхiдно знайти функщю u, яка пропорцiИна рушшному зусиллю F . Для цього запишемо рiвняння (6) iз врахуванням (11) у такому виглядi:
Пщставимо знайдений вираз (6) у рiвняння (5) та отримаемо нелiнiИне диференщальне рiв-няння першого порядку у частинних похщних:
о 2 о /о dS. dS.
51 x1 + 52(52 x2 +--) + u(53u +--) -
dx1 dx2
u +
2 A^u + A55 x1 + A_6 x2
264
— 0.
(13)
Проштегруемо вираз (13) та отримаемо:
A5 f,, j, A6 A3
u — —
-f x1dt - A- x -A x2 + Q, (14)
254 J 254 54
де C1 - постiИна штегрування. Для знаходження C1 використаемо початкову умову u (0)= u0.
Шука та npo^ec тpaнcпopтy. Bicnm Днiпpoпeтpoвcькoгo нaцioнaльнoгo yнiвepcитeтy зaлiзничнoгo тpaнcпopтy, 2015, № 6 (60)
Таким чинoм, oтpимaeмo:
2 A3V0 + A6 x0
C1 = u0 + -
25 4
(15)
Пepexoдячи дo пpийнятиx на пoчaткy дocлi-джeння пoзнaчeнь змiнниx, мoжeмo запжати вираз (15) у тaкoмy виглядк
As
F = (—— í xdt + u0 +—(v0 - x) +
V 25 J 0 5 v 0 7
x(0) = x0; x(0) = V0; дс(0) = 0;
x ( T ) = q1; x ( T~T ^ = q2; x[ T ) = q3;
x(T) = 0; x(T) = 0; x(T) = 0,
(17)
дe q1, q2, q3 - пapaмeтpи, як нeoбxiднo визна-чити. Зaзнaчимo, щo задаючи кpaйoвi yмoви (17), ми a^iopi вимaгaeмo нyльoвe пoчaткoвe та кiнцeвe пpиcкopeння, тoбтo зaбeзпeчyeмo аботлютш мiнiмyми тepмiнaльним кpитepiям
(2) та (x(T))2. Haдaлi cфopмyeмo пiдiнтeгpaль-
ний вираз функцюналу (3) та визнaчимo irn^-рал (3). Biдмiтимo, щo визнaчeний iнтeгpaл (3) e фyнкцieю нeвiдoмиx пapaмeтpiв q1, q2 та q3, пiдбopoм якиx мoжнa дocягнyти мiнiмiзaцiï кpитepiю (3). Для ^oro нeoбxiднo poзв'язaти cиcтeмy piвнянь:
дЦdql = 0, i = 1,2,3
(18)
вiднocнo нeвiдoмиx пapaмeтpiв q1, q2 та q3. Пiдcтaнoвкa знaйдeниx пapaмeтpiв у poзв'язoк
кpaйoвoï зaдaчi (17) дae змoгy oтpимaти набли-жeний poзв'язoк виxiднoï зaдaчi (1)-(3).
Задачу (1)-(3) poзв'яжeмo тaкoж за дoпoмo-гoю вapiaцiйнoгo чиcлeння. Для цьoгo зaпишe-мo нeoбxiднy yмoвy мiнiмyмy iнтeгpaльнoгo кривда - piвняння Ейлepa-Пyaccoнa:
53IV , 52 51 0 3 " 1 - x--- x = 0.
х —- х 54
(19)
x0 - x))m + W. (16)
25 4
Зaзнaчимo, щo кpитepiй Ter (2) нaбyвae аб-coлютнoгo мiнiмyмy, який piвний нулю, за yмoви x(0) = 0. Bиxoдячи з piвняння (16), ця yмoвa викoнyeтьcя при u0 =0. Таким чинoм, задача мiнiмiзaцiï тepмiнaльнoгo (2) та штегра-львдго (3) кpитepiïв poзв'язaнa.
Зaдaчi (1)-(3) мoжнa poзв'язaти тaкoж за дoпoмoгoю пpямoгo вapiaцiйнoгo мeтoдy [7]. Для ^oro вiдшyкaeмo poзв'язoк тpитoчкoвoï кpaйoвoï зaдaчi:
IX
х = 0;
Для poзв'язaння piвняння (19) нeoбxiднo знайти rnpern xapaктepиcтичнoгo piвняння, якe e алгебра1'чним piвнянням шocтoгo cтeпeня. Знайти rnpem piвняння вищe чeтвepтoгo cre^-ня у paдикaлax нeмoжливo [14]. Для того щoб зaбeзпeчити мiнiмiзaцiю тepмiнaльнoгo крите-piю (2), мoдифiкyeмo iнтeгpaльний кpитepiй: пoклaдeмo ¿1=¿2=0. У цьoмy випадку дифepeн-цiaльнe piвняння (19) бyдe мати такий poзв'язoк:
(
x =
C
\
C2
ra v
V53 у
+C3 + C4t + C5t2 + C6t3,
(20)
дe Q,... C6 - пocтiйнi iнтeгpyвaння, якi визна-чaютьcя виxoдячи з кpaйoвиx yмoв pyxy дина-мiчнoï cиcтeми. Задаючи oднy з кpaйoвиx yмoв
x(0) = 0 , oтpимaeмo aбcoлютний мiнiмyм тep-
мшальшго кpитepiю (2). Якщo за yмoвaми за-дaчi нe вимaгaeтьcя мiнiмiзaцiя cклaдoвиx ви-coкoгo пopядкy, яю б дoзвoлили зaбeзпeчити мiнiмiзaцiю в^гов^^го тepмiнaльнoгo функ-цioнaлy, тo нeoбxiднo шукати iншi пiдxoди для виpiшeння цieï пpoблeми. Один з ниx пoлягae у визнaчeннi тaкиx знaчeнь вaгoвиx кoeфiцieнтiв у cтpyктypi iнтeгpaльнoгo кpитepiю, при якиx зaбeзпeчyютьcя аботлютш мiнiмyми тepмiнa-льниx кpитepiïв [8].
Результати
Рeзyльтaти, якi oтpимaнi при poзв'язaннi за-дaчi (1)-(3) мeтoдoм динaмiчнoгo пpoгpaмy-вання, пpoiлюcтpyeмo за дoпoмoгoю гpaфiкiв (pиc. 1). Aнaлoгiчнi графши нaвeдeмo для pe-зyльтaтiв poзв'язaння зaдaчi за дoпoмoгoю пря-мoгo вapiaцiйнoгo мeтoдy (pиc. 2) та вapiaцiй-нoгo чиcлeння (pиc. 3).
VI
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету з&шзничного транспорту, 2015, № 6 (60)
а-а
б-b
а-а
Рис. 1. Граф1ки динамши руху системи при розв'язанш задач1 методом динам1чного програмування:
а - фазовий портрет; б - прискорення
Fig. 1. Graphs of system motion in solving the problem using dynamic programming:
a - phase portrait; b - acceleration
Boi отримаш характеристики (див. рис. 1-3) вказують на плавнють змши кшематичних функцш при гальмуванш механiзму та досяг-нення абсолютного мiнiмуму термiнального критерiю (2).
б-b
Рис. 2. Графiки динамши руху системи при розв'язаннi задачi прямим варiацiйним методом: а - фазовий портрет; б - прискорення
Fig. 2. Graphs of system motion while solving the problem using the direct variational method:
a - phase portrait; b - acceleration
а-а
б-b
Рис. 3. Графiки динамши руху системи при розв'язанш задачi за допомогою варiацiйного числення:
а - фазовий портрет; б - прискорення
Fig. 3. Graphs of system motion when solving problems using variational calculation:
a - phase portrait; b - acceleration
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 6 (60)
Наукова новизна та практична значимкть
При розв'язаннi задачi (1)-(3) методом дина-мiчного програмування для досягнення абсолютного мiнiмуму термiнального критерда (2) у рiвняння динамiки руху системи була введена нова змшна - швидкiсть змiни прискорення (ривок) ф i розв'язок задачi знайдено вiдносно ще! функцл. Узагальнюючи, можна встановити правило: для досягнення мшмуму термiнального кригерiю «-го порядку
i п
Тегп = /(Т, х, х,...,х,..., х) необхiдно розв'язок оптишзацшно! задачi шукати вщносно функци
п+1 X .
При розв'язанш оптимiзацiйних задач методом варiацiйного числення для того, щоб забез-печити мiнiмум термiнального критерда «-го порядку, шляхом вибору вщповщних кра-йових умов, необхiдно розв'язати рiвняння Ей-лера-Пуассона 2(п+1)-го порядку (за умови си-метричного задання крайових умов), яке, у свою чергу, е необхiдною умовою екстрему-му функцiоналу з пiдiнтегральним виразом (п+1)-го порядку.
Використання прямого варiацiйного методу дозволяе апрiорi забезпечити абсолютний мш> мум термiнального критерiю (2).
У практичному плат мiнiмiзацiя термшаль-ного критерiю (2) дае змогу усунути удари у кшематичних зачепленнях механiзмiв, що, у свою чергу, шдвищуе 1х довговiчнiсть. Крiм того, зниження iнтенсивностi наростання прискорення ведучо! маси системи (наприклад, ротора електродвигуна) дае змогу знизити неба-жаш енерговтрати приводу.
Висновки
У робот розроблено методи досягнення аб-солютних мiнiмумiв термiнальних критерив при розв'язанш задач оптимального керування рухом динамiчних систем. Наведено приклади розв'язання задачi за допомогою методiв варiа-цiйного числення, динамiчного програмування та прямого варiацiйного методу. Розробленi у робот методи зводяться до задання вщповщ-них початкових умов руху системи. Крiм того, виконано узагальнення розроблених методiв для термiнальних критерив п-го порядку. Ви-
користання при синтез1 режим1в руху машин та механ1зм1в розроблених метод1в дае змогу усунути удари у кшематичних зачепленнях та шд-вищити довгов1чн1сть машин.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Бобровский, В. И. Оптимизация режимов торможения отцепов расчетной группы состава /
B. И. Бобровский, А. С. Дорош // Наука та прогрес трансп. Вюн. Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. - 2013. - № 1 (43). - С. 103-112. doi: 10.15802/stp2013/9582.
2. Волков, Д. П. Динамика и прочность одноковшовых экскаваторов / Д. П. Волков. - Москва : Машиностороение, 1965. - 462 с.
3. Герасимяк, Р. П. Нагрузки в кинематических передачах двухмассовой электромеханической системы в процессе торможения / Р. П. Гера-симяк, Е. В. Найденко // Электротехн. и компьютер. системы. - 2015. - № 17 (93). -
C.15-22.
4. Григоров, О. В. Совершенствование рабочих характеристик крановых механизмов : дис. ... д-ра техн. наук : 05.05.05 / Григоров Отто Владимирович ; Харьк. гос. политехн. ун-т. -Харьков, 1995. - 386 с. - Библиогр.: с. 357-377.
5. Грузоподъемные краны. Кн. 2 / М. Шеффлер, Х. Дресиг, Ф. Курт ; [пер. с нем. М. М. Рунов,
B. Н. Федосеев] ; под ред. М. П. Александрова.
- Москва : Машиностроение, 1981. - 287 с.
6. Лобов, Н. А. Динамика грузоподъемных кранов / Н. А. Лобов. - Москва : Машиностроение, 1987. - 160 с.
7. Ловейшн, В. С. Анал1з та синтез оптимального керування рухом вантажопвдйомного крана прямим вар1ацшним методом / В. С. Ловейшн, Ю. О. Ромасевич // Наук. вюн. нац. ун-ту бю-ресурав i природокористування Украни. Сер1я : «Техшка та енергетика АПК». - 2014. - Вип. 196, ч. 1. - С. 129-139.
8. Ловейшн, В. С. Оптимiзацiя режимiв руху кра-нових механiзмiв / В. С. Ловейшн, Ю. О. Ромасевич. - Кшв. - Шжин : ПП Лисенко М. М., 2011. - 307 с.
9. Ракша, С. В. Обоснование способов снижения энергопотребления подвесных канатных дорог / С. В. Ракша, А. С. Куропятник, А. А. Курка // Наука та прогрес трансп. Вюн. Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. - 2014. - № 1 (49). -
C. 125-131. doi: 10.15802/stp2014/22677.
10. Bellman, R. Dynamic programming / R. Bellman.
- Princeton : Princeton university press, 1957. -400 p.
11. Advanced theory of Mechanisms and Machines / M. Z. Kolovsky, A. N. Evgrafov, Yu. A. Se© В. С. Ловейкш, Ю. О. Ромасевич, 2015
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 6 (60)
menov, A. V. Slousch. - Berlin : Springer, 2000. - 14. 396 p. doi: 10.1007/978-3-540-46516-4.
12. Clarke, F. Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control / F. Clarke. - New 15. York : Springer, 2013. - 606 p. doi: 10.1007/9781-4471-4820-3.
13. Genta, G. Vibration Dynamics and Control / 16. G. Genta. - New York : Springer, 2009. - 806 p.
doi: 10.1007/978-0-387-79580-5.
Korn, G. A. Mathematical handbook for scientists
and engineers / G. A. Korn, T. M. Korn. - Dallas :
Dover Publications, 2000. - 1151 p.
Seeler, K. A. System dynamics: an introduction
for mechanical engineers / K. A. Seeler. - New
York : Springer, 2014. - 667 p.
Vulfson, I. Dynamics of cyclic machines / I. Vulf-
son. - New York : Springer, 2015. - 390 p. doi:
10.1007/978-3-319-12634-0.
В. С. ЛОВЕИКИН1 , Ю. А. РОМАСЕВИЧ
2*
1 Каф. «Конструирование машин и оборудования», Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины, ул. Героев обороны, 12в, Киев, Украина, 03041, тел. +38 (097) 349 14 53, эл. почта [email protected], ORCID 0000-0003-4259-3900
2*Каф. «Конструирование машин и оборудования», Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины, ул. Героев обороны, 12в, Киев, Украина, 03041, тел. +38 (097) 349 14 53, эл. почта [email protected], ORCID: 0000-0001-5069-5929
СНИЖЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЖЕННОСТИ РАБОТЫ МЕХАНИЗМОВ В ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХ
Цель. Для снижения динамических нагрузок в механизмах необходимо определенным образом выбирать режимы их движения. Такой выбор должен осуществляться на оптимизационной основе. Целью работы является исследование методов синтеза режимов движения механизмов и машин, которые обеспечивают оптимальные режимы движения по терминальным и интегральным критериям. Методика. Для проведения исследований использована одномассовая динамическая модель механизма. В качестве оптимизационных критериев использованы терминальный и комплексный интегральный критерии. Поставленная оптимизационная задача решена с помощью динамического программирования и вариационного исчисления. Также был использован прямой вариационный метод, который позволил найти только приближенное решение исходной задачи оптимального управления. Результаты. Для каждого из методов решения задачи установлены способы обеспечения абсолютного минимума терминального критерия. Полученные в результате решений характеристики показывают плавность изменения кинематических функций при торможении механизма и указывают на достижение абсолютного минимума принятого в расчетах терминального критерия. Научная новизна. При решении задачи оптимального управления методом динамического программирования для достижения абсолютного минимума терминального критерия в уравнения динамики движения системы необходимо вводить новые переменные. В общем случае для достижения минимума терминального критерия п-го порядка решение оптимизационной задачи необходимо искать относительно функции (п+1)-го порядка. При решении оптимизационных задач методом вариационного исчисления для того, чтобы обеспечить минимум терминального критерия п-го порядка путем выбора соответствующих краевых условий, необходимо решить уравнение Эйлера-Пуассона 2(п+1)-го порядка (при условии симметричного задания краевых условий). Данное уравнение, в свою очередь, является необходимым условием экстремума функционала с подинтегральным выражением (п+1)-го порядка. Практическая значимость. Минимизация принятого в расчетах терминального критерия позволяет устранить удары в кинематических зацеплениях механизмов, что, в свою очередь, повышает их долговечность. Кроме того, снижение интенсивности нарастания ускорения ведущей массы системы (например, ротора электродвигателя) позволяет снизить нежелательные энергопотери привода.
Ключевые слова: оптимальное управление; терминальный критерий; динамическое программирование; вариационное исчисление; краевая задача
V. S. LOVEIKIN1*, YU. O. ROMASEVICH2*
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BicHHK ^mnponeTpoBctKoro Ha^oH&atHoro ymBepcureTy 3&ri3HHHHoro TpaHcnopTy, 2015, № 6 (60)
1 Dep. «Machinery and Equipment Designing», National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine, Heroiv Oborony St., 12b, Kyiv, Ukraine, 03041, tel. +38 (097) 349 14 53, e-mail [email protected], ORCID 0000-0003-4259-3900
2*Dep. «Machinery and Equipment Designing», National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine, Heroiv Oborony St., 12b, Kyiv, Ukraine, 03041, tel. +38 (097) 349 14 53, e-mail [email protected], ORCID 0000-0001-5069-5929
DECREASING OF MECHANISMS DYNAMIC LOADING AT THE TRANSIENT STATE
Purpose. It is necessary to select modes of motion to reduce the dynamic loads in the mechanisms. This choice should be made on optimization basis. The purpose of research is to study methods of synthesis regimes of mechanisms and machines motion that provide optimal modes of movement for terminal and integral criteria. Methodology. For research the one-mass dynamic model of the mechanism has been used. As optimization criteria the terminal and comprehensive integral criteria were used. The stated optimization problem has been solved using dynamic programming and variational calculation. The direct variation method, which allowed finding only approximate solution of the original problem of optimal control, has been used as well. Findings. The ways of ensuring the absolute minimum of terminal criterion have been set for each method of problem solving. The stated characteristics show softness changes of kinematic functions during braking of mechanism. They point to the absolute minimum of adopted terminal criterion in the calculation. Originality. It is necessary to introduce new variables in the system equations during the solving of optimal control problems using dynamic programming to achieve an absolute minimum of terminal criteria. In general, to achieve a minimum of n-order terminal criterion an optimization problem should find relatively (n+1)-th order function. When optimization problems is solving by variational calculation in order to ensure a minimization of n-th order terminal criterion by selecting the appropriate boundary conditions, it is necessary to solve the Euler-Poisson 2(n+1)-th order equation (subject to symmetric setting boundary conditions). It is a necessary condition for an extremum of the functional with the (n+1)-th order integrant. Practical value. Minimizing of adopted terminal criterion in the calculation allows eliminate the brunt in kinematic gearing of mechanisms, which increases their operational life. In addition, the reducing of the acceleration increasing intensity of system driving mass (for example, rotor of electric motor) allows reducing undesirable energy losses in a drive.
Keywords: optimal control; terminal criterion; dynamical programming; variation calculation; boundary problem
REFERENCES
1. Bobrovskiy V.I., Dorosh A.S. Optimizatsiya rezhimov tormozheniya ottsepov raschetnoy gruppy sostava [The optimization of retarding regimes within the particular group of cuts]. Nauka ta prohres transportu. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu - Science and Transport Progress. Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport, 2013, no. 1 (43), pp. 103-112. doi: 10.15802/stp2013/9582.
2. Volkov D.P. Dinamika i prochnost odnokovshovykh ekskavatorov [Dynamics and strength of single-bucket excavators]. Moscow, Mashinostoroeniye Publ., 1965. 462 p.
3. Gerasimyak R.P., Naydenko Ye.V. Nagruzki v kinematicheskikh peredachakh dvukhmassovoy elektromek-hanicheskoy sistemy v protsesse tormozheniya [The loads in the kinematic transmission of two-mass electromechanical system in the braking process]. Elektrotekhnicheskiye i kompyuternyye sistemy - Electrotechnic and Computer Systems, 2015, no. 17 (93), pp.15-22.
4. Grigorov O.V. Sovershenstvovaniye rabochikh kharakteristik kranovykh mekhanizmov. Dokt Diss. [Improving of operational characteristics of crane mechanisms. Doct. Diss.], 1995. 386 p
5. Sheffler M., Dresig Kh., Kurt F., Runov M.M., Fedoseyev V.N., Aleksandrova M.P. Gruzopodemnyye krany [Climbing cranes]. Moscow, Mashinostoroeniye Publ., 1981. 287 p.
6. Lobov N.A. Dinamika gruzopodemnykh kranov [Dynamics of climbing cranes]. Moscow, Mashinostoroeniye Publ., 1987. 160 p.
7. Loveikin V.S., Romasevych Yu.O. Analiz ta syntez optymalnoho keruvannia rukhom vantazhopidiomnoho krana priamym variatsiinym metodom [Analysis and synthesis of optimum control of movement of the crane
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 6 (60)
using direct variational method]. Naukovyi visnyk natsionalnoho universytetu bioresursiv i pryrodokorystu-vannia Ukrainy. Seriia: «Tekhnika ta enerhetyka APK» [Scientific Bulletin of national University of life and environmental Sciences of Ukraine. Series: «Technology and energy agriculture»], 2014, vol. 196, p. 1, pp. 129-139.
8. Loveikin V.S., Romasevych Yu.O. Optymizatsiia rezhymiv rukhu kranovykh mekhanizmiv [Optimization of movement modes of crane mechanisms]. Kyiv, Nizhyn, PP Lysenko M.M. Publ., 2011. 307 p.
9. Raksha S.V., Kuropyatnik A.S., Kurka A.A. Obosnovaniye sposobov snizheniya energopotrebleniya podves-nykh kanatnykh dorog [Substantiation of ways of decrease in power consumption of ropeways]. Nauka ta prohres transportu. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu - Science and Transport Progress. Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport, 2014, no. 1 (49), pp. 125-131. doi: 10.15802/stp2014/22677.
10. Bellman R. Dynamic programming. Princeton, Princeton University Press Publ., 1957. 400 p.
11. Kolovsky M.Z., Evgrafov A.N., Semenov Yu.A., Slousch A.V. Advanced theory of Mechanisms and Machines. Berlin, Springer Publ., 2000. 396 p. doi: 10.1007/978-3-540-46516-4.
12. Clarke F. Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control. Berlin, Springer Publ., 2013. 606 p. doi: 10.1007/978-1-4471-4820-3.
13. Genta G. Vibration Dynamics and Control. New York, Springer Publ., 2009. 806 p. doi: 10.1007/978-0-38779580-5.
14. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical handbook for scientists and engineers. Dallas, Dover Publications Publ., 2000. 1151 p.
15. Seeler K.A. System dynamics: an introduction for mechanical engineers. New York, Springer Publ., 2014. 667 p.
16. Vulfson I. Dynamics of cyclic machines. New York, Springer Publ., 2015. 390 p. doi: 10.1007/978-3-31912634-0.
Стаття рекомендована до публ1кацИ' д.т.н., проф. Г. А. Голубом (Украта); д.т.н., проф.
С. В. Ракшою (Украта)
Надшшла до редколегп 14.09.2015
Прийнята до друку 10.11.2015
