Метод оптимального планирования на основе модели нечеткой транспортной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.876.5

В. В. СКАЛОЗУБ, О. В. ВСТРОВА (ДПТ)

МЕТОД ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНУВАННЯ

НА ОСНОВ1 МОДЕЛ1 НЕЧ1ТКШ ТРАНСПОРТНОÏ ЗАДАЧ1

Дослiджено проблеми планування з використанням моделей лiнiйного програмування, що мають He4iTKi коефiцieнти цшьово1 функцiï та 4iTKi обмеження, встановлено властивостi розв'язк1в таких задач та тдходи до ïx рiшення. Детально розглянуто транспортну задачу у нечитай постановцi та запропоновано метод ïï зведення до задачi зазначеного типу i алгоритм розв'язання.

Исследованы проблемы планирования с использованием моделей линейного программирования с нечеткими коэффициентами целевой функции и четкими ограничениями, установлены подходы к решению таких задач и свойства самих решений. Детально рассмотрена транспортная задача в нечеткой постановке, предложен метод ее сведения к задаче указанного типа и алгоритм решения.

In the article planning problems which use linear programming models with fuzzy coefficients and strict constraints are considered. Properties of solutions of such problems are defined and possible approaches to solving these problems are proposed. Also transportation problem in fuzzy formulation is considered. A method of reduction of transportation problem to models of above mentioned type is proposed together with solution algorithm.

Численш проблеми планування роботи зал> зничного транспорту можуть бути описаш моделями, подiбними до лшшного програмування (ЛП). Однак використання класичних задач ЛП на практищ обмежене додатковими вимогами щодо можливосп побудови адекватних моделей. Одна з причин труднощiв застосування класичних моделей ЛП полягае у недетермшо-ваному, стохастичному або розмитому характе-рi даних реальних ситуацш планування. У таких випадках широке застосування набули не-чпта моделi ЛП [1].

Залежно вщ форми неч^кого описання ви-хщно! iнформацii серед задач нечггкого лшш-ного програмування (НЧЛП) можна видшити такi основнi типи [1].

A. Задача iз чiткою цшьовою функцiею у ра-зi нечггких обмежень на допустимi розв'язки.

B. Задача iз цiльовою функцiею з неч^кими коефiцiентами та чiткими обмеженнями.

C. Задача з нечiткою цшьовою функщею та нечiткими обмеженнями.

Задача НЧЛП може не мати розв'язюв, якщо множина допустимих розв'язкiв порожня (обмеження задачi несумiснi). В шшому разi, оп-тимальний розв'язок задачi НЧЛП може бути детермшованим або нечiтким, тобто нечiткою шдмножиною множини допустимих планiв.

Задачi НЧЛП у загальному випадку не мають ушверсальних аналiтичних методiв знахо-дження детермiнованого оптимального розв'яз-ку або побудови функци належностi нечггкого розв'язку [1]. Розв'язання задач А i С у загаль-ному випадку зводиться до розв' язання ряду

задач ЛП. Для цього вводяться дискретш а -piBHi. Якщо план х0 е оптимальним розв'язком вихщно! задачi на множинi рiвня а, то можна вважати, що число а е ступенем належносп плану Хо нечiткiй множинi розв'язюв вихiдноi задачi. Вихвдна задача НЧЛП наведена у вигля-дi сукупносп звичайних задач ЛП, якi розв'язуються для рiзних а -рiвнiв множини допустимих розв'язюв. Перебравши рiзнi зна-чення а, отримаемо функцда належностi неч> ткого розв'язку [1].

Задача ЛП з неч^кими коефщентами цшьовоТ функцн та чiткими обмеженнями

Окремi моделi задач НЧЛП можуть бути розв'язаш аналiтично. До таких моделей нале-жить задача В - задача ЛП з неч^кими коефще-нтами цiльовоi функци (функци належносп яких е кусково-лiнiйними) та ч^кими обмеженнями. Дослiджуеться така постановка задачi В:

n

2 ^ min;

i=1

<(x, Lе X; (1)

xi ^ 0, i = 1, n,

де X с Rn - замкнений, опуклий багатогран-ник; у (1) ~ - нечггю трикутнi величини, функци належностi яких визначаються як:

м С( (х) =

х - а,

Р , - а ,

У, - х

якщо х е [а, ;в, ]; якщо х е [Р,; у, ]; (2)

У, - в

0, в шшому рaзi.

Функщя (х) на штерват [а ^; в, ] е л1во-

сторонньою функщею належносп (ЛСТ), а на

штерват [в,; У, ] - правосторонньою (ПСТ)

[1]. Для дослщження розв'язання задач1 В роз-глянемо таю задача

Ё ах-

ах ^ тт;

,=1

(х, е Х^

х, > 0,, = 1, п,

(3)

х, ^ тт;

Ё в,х, ,=1

(х, )п=1 е

х, > 0, , = 1, п,

(4)

Л. ^ т1п;

,=1

(х, )П=1 е Х_

х, > 0,, = 1, п,

(5)

де (с/- ) е[а,:Р, ] (с/)П=1: VI = Гп мс, (с,Р)= р

детерм1новании оптимальнии розв язок 1х)

(х* )п=1.

(Лп

х, - детерм1нованиИ

оптимальниИ розв'язок задач (3) { (4). Розгля-немо задачу (5) при довшьному фшсованому р е (0,1) . Зпдно з означенням функцш належносп (2), для ЛСТ функцш виконуеться:

ср - а, = -(в, - а,), ср = Рв, + (1 - Р)а,.

Задача (5) приИмае такиИ вигляд:

п п п

Ё срх=рё вixi+(1 - р )Ё аixi ^ т1п;

7 = 1 7 = 1 7 = 1

(х, )п=1 е X; (6)

х, > 0, i = 1, п.

Якщо розв'язок (х* )п=х:

Ё

,а ,х, = тт Ёа х

7=1 (х ^еХ 7=1

де а, - значення коефщ1ент1в с,, за яких ЛСТ функцп мс, (х) набувають нульового значення.

та

де р, - значення коефщ1ент1в с,, за яких ЛСТ функцп мс, (х) набувають максимального значення.

Теорема 1. Якщо задач! ЛП (3) та (4), що вщповщають задач1 (1), мають однаков1 детер-

/ *у

м1нован1 оптимальн1 розв язки \х, , тод1 для Vр е (0,1) задача

ЁР,х* = т1п ЁРл ,

,=1 (х, ^еХ 7=1

тод1 у точщ (х* )п=1 кожен з доданюв цшьово! функци задач1 (5) досягае свого мш1мального значення на Х, а отже (х*) буде оптималь-ним розв'язком задач1 (5) для Vр е (0,1). Ю-нець доведення.

Узагальнення теореми 1. Якщо задача (5) мае однаков1 детермшоваш оптимальш

розв'язки (х*)г=1 при р = рх е [0,1) та при р = р2 е(р1,1], то такиИ самиИ оптимальниИ розв'язок мае задача (5) при Vр е р2 ]. Доведення аналопчне. Теорема 2. Якщо задач! (3) 1 (4), що вщпов>

дають ЛСТ функщям мС- (х), мають оптималь-ш розв'язки (ха), 1 та (х,в), вщповщно 1

(ха), 1 х,в ), тод1 1снуе I притому тшьки одне число 0 < р < 1 таке, що оптимальними розв'язками задач1 (5) е обидва вектори (х"), 1

- значення неч1тких величин

та

мае такиИ самиИ

(хв),=1 1 будь-

якии вектор, що е 1х л1н1Иною

комб1нац1ею; тобто задача мае безл1ч розв'яз-к1в, що становлять собою ребро багатогранника

множини допустимих розв язк1в, яке з еднуе вершини ( ) та (xf ) .

Доведення. Нехай (xf ), - оптимальний

розв'язок задач1 (3), а (xf - оптимальний

розв'язок задач1 (4) i (xf ^(xf ) . Розгляне-мо рiвняння:

p ! Рла + ! ад" - р! ax =

i= 1

i=1

i =1

р! pxe + £ a,x? - pX aixf; ¿=i i=i i=i

p|!(Pi - a)-!(Pi - a-)

! a ,x?-!

i=1

,x- - ! a,xt ; i=1

р!(Р, - a,) - xf )=! a,( - xa). (8)

¿=1 i=i

Рiвняння (8) e лiнiйним, в ньому

!((i - a, )(( - xf ) 0,

pap

i=1

! ai (xf - xa)-! р, (xf - xa) i=1 i=1

1 1

!p, (xa - xf)

1+M„

■; (9)

i=1

! ai (xf - xa) i=1

M ap =

! Pi (- xf)

! ai (xf - x;a) i=1

lp,x*-ip,xf

i=1

i=1

Xсрхв . (7)

г=1 г=1

Оскiльки - трикутнi нечiткi величини ви-

гляду (2), то ср = рв. +(1 - р)а.. Таким чином, рiвняння (7) приймае вигляд:

i=1

i=1

Оскiльки

(xf )h = arg

| n Л

min ! P,^

(xIU^X i=1

/

та

(xa),:,

= а^

n

min ! aixi ( x )П=1бХ i=1

очевидно, що Мар > 0, а отже р * е (0,1). Таким чином, за теоремою 1, для Ур е [о, р* ] розв'язком задачi (5) е (хга ) , а для Ур е[р*д] -

вектор (хв). . За властивостями розв'язкiв задач ЛП точки (хга). та (). е вершинами

*

множини Х. Оскшьки при р = р оптимум у за-дачi (5) досягаеться у двох вершинах множини Х, то оптимальним розв'язком буде будь-який

розв'язок, що належить ребру

(xa))

. Ki-

i=1

оскiльки ~ - нечiткi трикутш величини вигля-

ду (2) та (xf) xf)- . Отже, рiвняння (8) мае рiвно один розв'язок:

! a- (xf - xa)

нець доведення.

Зауваження. Якщо у (10) знаменник Мар

дорiвнюе нулю, це означае, що (). е оптимальним розв'язком задачi (3). Отже, за теоремою 1, можна вважати цей розв'язок детермшованим оптимальним розв'язком задачi (5) для Ур е (0,1)

(для ЛСТ функцш рс. (х)). Якщо ж нуль з'являеться у чисельнику величини М ар, обчис-

леноi за (10), це означае, що розв'язок (хга). е

оптимальним розв'язком задачi (3). Отже, за теоремою 1 можна вважати цей розв'язок детермь нованим оптимальним розв'язком задачi (5) для Ур е (0,1) (для ЛСТ функцш (х)).

Наслщок 1. Якщо задача (4) та задача виду:

1

Ё у,х, ^ т1п;

,=1

(х, )п=1 е Х^

х, > 0,, = 1, п,

(11)

що вщповщають ПСТ функщям мС- (х), мають детермшоваш оптимальш розв'язки (х?), та

(х] ) , 1 вщповщно, 1 (х/ ), ф (хр ), , тод1 юнуе,

{ притому тшьки одне, число 0 < р < 1 таке, що оптимальними розв'язками задач1 (5) е обидва

вектори (х/), та (х? ) 1 будь-якиИ вектор, що

е 1х лшшною комбшащею. Тобто задача мае безл1ч розв'язюв, як становлять собою ребро багатогранника множини допустимих розв'яз-

юв, яке з'еднуе вершини (хга) та (хр) . При цьому число р знаходиться за формулою

рру

1

1 + М,

(12)

Рт

де

М ру =

Ё в, ( - хв) ,=1_

ЁТ, (хв - х/) ,=1

(13)

розв'язком задач1 (5) для Vр е (0,1) (для ПСТ функцш м с, (х)).

Наслiдок 2. Якщо оптимальш розв'язки (х/ )п=1 та (хв )п=1 задач (3) I (4) вщповщно таю,

що (х/ ).=1 Ф (х? )п=1, тод1 вони е сум1жними вершинами п - вим1рного багатогранника Х, та 3! р * е (0;1): при р = р* задача (5) мае множину оптимальних розв'язюв, що становить собою

ребро

(ха )»■ (х? )п=1

. Аналопчно, р1зш детер-

мшоваш оптимальш розв'язки ( х/ ), 1 та (х? ),

задач (11) { (4) вщповщно е сум1жними вершинами п - вим1рного многогранника Х та 3! р* е (0;1): при р = р* задача (5) мае множину оптимальних розв'язюв, що становлять собою

ребро

(-в ):,• ( х/ ):,

Доведення тверджень аналопчне теорем1 2.

Зауваження. Якщо у формул1 (13) у зна-меннику Мру виходить нуль, це означае, що

розв'язок (хв))=1 е оптимальним розв'язком задач! (11). Отже, за теоремою 1 можна вважати (хв ))=1 детермшованим оптимальним розв'язком задач1 (5) для Vр е (0,1) (для ПСТ функцш мс, (х)). Якщо ж нуль з'являеться у чисельнику величини Мру, обчислено1 за (13), це означае,

що розв'язок (х/ ))=1 е оптимальним розв'язком задач1 (4). Отже, за теоремою 1 можна також вважати (х/ детермшованим оптимальним

Наслiдок 3. Якщо детермшоваш оптимальш розв'язки (хга) п , (х? ) " та (х/ ), 1 задач (3),

(4) { (11) вщповщно е попарно нер1вними, то вони (у вщповщному порядку) становлять собою послщовнють сум1жних вершин многогранника допустимих розв'язюв.

Таким чином, якщо коефщ1енти цшьо-во1 функцп задач1 (1) - нечита трикутш вели-чини з функщями приналежност (2), то для розв'язання задач1 (1) можна запропонувати такиИ алгоритм. Алгоритм В.

1. Розв'язуемо задач! (3), (4) та (11). Отри-муемо детермшоваш оптимальш розв'язки

(х," ):=, (* )п=1 та (х/ ^ в,д

в1дпов1дно.

2. Якщо

(ха 1 ф(хрI та (-»(С)) ф(х?I,

то знаходимо рар та (або) рру за формулами

(9), (10) та (12), (13) вщповщно.

3. Якщо детермшоваш оптимальш розв'язки

(х/1 ), 1 =(х?), =(х/ ), , вважаемо, що задача мае детермшованиИ оптимальниИ розв'язок, ( *\п I Р\п

^х, i х/ i , 1накше можна знаИти закон

залежност оптимального розв'язку вщ значень функцш належност вхщних даних

(х*У!=1 =

(х* )Г=1 , якщо У. (р (х) еО та р с. - ЛСТ); (х. )П=1, якщо У. (р ^ (х) еО та рс, - ПСТ); [(хв )П=1,(х. >^=1], якщо У рс,.(х) = рру;

(х,а )П=1 , якщо рав > рРу

та У, (рс (х) е ¥ та рс - ЛСТ);

(х,в якщ° рав > рву

та У, (рс (х) е ¥ та рс. - ПСТ);

(х. )П=1 , якщ° рав < рву

та У, (рс (х) е Л та рс. - ЛСТ);

(х, якщо рав < рву

та У, (рс (х) е Л та рс - ПСТ);

[(х*)г11,(хР^ якщо У, рс, (х) = рав;

(х,в)п=1, якщо У, рс,,(х) е (тах{рав,рвУ},1].

Тут ° =[0, тт{рар, рРу}) ¥ =[рру, рар ] на рис. 2 Я = Я| (х

Л = [рав, рРу ].

(х,а )

Я = Я х!

х )п=

Зазначену залежнiсть проiлюстровано на рис. 1. На оа абсцис вщкладено значення функцiй приналежностi вхiдних даних, на оа ординат - оп-тимальт розв'язки вiдповiдних задач.

Я1=я((х' Ц.

Наведений метод може бути узагальнений на випадок опуклих кусково-лшшних функцiй належностi коефiцiентiв цiльовоi функци.

Будемо надалi позначати нечiткi трикутш величини (2) таким чином:

(Р,-а,, р,, у,-р,) .

(14)

Наприклад,

Рис. 1. Функщя залежносп оптимального розв'язку в1д значень функцш належносп вхвдних даних

Нечiтка функцiя цш матиме такий вигляд (рис. 2).

р(х) =

х -1, якщо х е [1,2) 13 - х

11

якщо х е [2,13] =

= (2 -1, 2, 13 - 2) = (1, 2, 11) 0, в шших випадках.

р, Д ^ ^(Х) Рис.2. Нечита функщя цш

Нечiтка модель транспортноi задачi. Розгля-немо одну з окремих моделей - транспортну задачу лшшного програмування (ТЗ). Нагадае-мо класичну постановку ТЗ [3]. Маемо п при-ймачiв певного продукту та т джерел цього продукту. Вiдомi вартостi транспортування одинищ продукцii вiд кожного джерела до кожного приймача с^, , = 1, т, ] = 1, п . Вiдомi

також об'еми продукцii а,, , = 1, т, що знахо-дяться у кожному джерел^ та об'еми продукци , ] = 1, п, як бажае прийняти кожен приймач

(сшввщшшення мiж величинaми S аг тa

i=i

n m n

S bj мoжyть 6ути piзними: якщo S аг =S bj , j=1 i=1 j=1 то ТЗ нaзивaeться тpaнспopтнoю зaдaчею зa-

mn

кpитoгo типу, якщo S аг — S bj — вiдкpитoгo

i=i j=i

типу). Пoтpiбнo craacra тaкиИ плaн пеpеве-зення пpoдyкцiï, щoб пoтpеби кoжнoгo джеpе-лa тa пpиИмaчa були зa мoжливiстю зaдoвoле-нi i пpи цьoмy зaгaльнa вapтiсть пеpевезення пpoдyкцiï бyлa мiнiмaльнoю. Рoзв'язoк буде-мo шугати y виглядi мaтpицi x = {x,j }mxn , де

Xj — кiлькiсть oдиниць пpoдyкцiï, щo пеpевo-

зиться вiд 7-ro джеpелa дo j-ro пpиИмaчa. Тoдi зaдaчy мoжнa сфopмyлювaти тaким чинсм (для вт^че^с^ poзглянемo зaдaчy в^ц^и-

m n

того типу, y якш S а,, <S bj , тoбтo сyкyпнa

i=i j=i

кiлькiсть пpoдyкцiï y джеpелaх не пеpевищye сукупних пoтpеб пpиИмaчiв).

mn

SScx ^ min;

i=1 j=1

S Xj = аг ' Vi = 1' m;

j=1

S Xj < bj , Vj = 1 n;

i =l

xv > О, V i = 1, m, V j = 1, n.

(1S)

Рoзглянемo тpaнспopтнy зaдaчy y нечiткiИ пoстaнoвцi. Якщo кoефiцieнти цiльoвoï фyнкцiï Cj, i = 1, m, j = 1, n e нечеткими величинaми, фyнкцiï нaлежнoстi яких e кyскoвo-лiнiИними, величини аг, i = 1, m тa bj, j = 1, n e детеpмiнo-

вaними, тo зaдaчa ( 1 S) звoдиться дo зaдaчi (1) i poзв'язyeться зa дoпoмoгoю aлгopитмy B. Як-щo дo тoгo ж величини ^питу тa пpoпoзицiï

аг, i = 1, m тa bj, j = 1, n e неч^кими, то зaдaчa

(1S) пеpетвopюeться нa зaдaчy типу С. Рoзгля-немo нaстyпнy пoстaнoвкy НЧТЗ.

HехaИ y зaдaчi (1S) кoефiцieнти цiльoвoï фу-нкцiï Cj, i = 1, m, j = 1, n тa величини а г, i = 1, m

тa bj, j = 1, n e неч^кими тpикyтними величи-шми, фyнкцiï нaлежнoстi яких:

,(x ) =

x - а

j

ß v - а j

Yj - x

, якщo x e

[ ;ßjj

, якщo x e[ß j ; y j j (1б)

Y j - ß j

0, в iншoмy paзi.

,(x) =

x - а

Ра а

г - а а

Y г - X

, якщo x e

якщo x e

а

Y г - ß,

0, в iншoмy paзi.

[[а ; ß,аj [а;у,аj (17)

Rb

(x) =

x - а

bb ß jb - а jb

якщo x e

v ; ß/1

Y j - x

bb

, якщo x e

у ; - ß.

0, в iншoмy paзi.

[ß jb ; y jb 1

(18)

HехaИ (xij )

m

oптимaльнии poзв язoк зaдaчi:

n

SSß jx j ^ min;

,=i j=i

S xj=ß ?, Vi=1'm;

j=i

m

S Xj <ß ;, V =1 n;

i=1

xv > 0, Vi' = 1,m, V j = 1,n.

(19)

Для дoвiльнoгo а -пеpеpiзa: а = p бyдемo шутати poзв'язoк зaдaчi (1S)—(1 S) y виглядк

(C, ) = (xj ) +(l - p )(у,, ) . (20)

v j'mxn V j /mxn v j'mxn v '

Тoдi i15)—i1S) пеpетвopюeться нa зaдaчy:

mn

SSC (xj *+(i - p) )■

^ min

,=i j=i

R

c

R

а

b

рр ,а +(1 - р)а ,а < Ёха * +(1 - р)Ё У И <

а=1 У=1

< рв" + (1 - р)у, V/ = 1,т;

Ё хи* +(1 - р)ЁУу < РР,6 +(1 - р)а ",

(21)

=1

=1

У- = 1, п;

х а + (1 - р) У у - 0, У, = 1, т, У у = 1, п.

Оскiльки х- = сот1 для У,' = 1, т, У ' = 1, п, то задача (21) зводиться до задача

ЁЁсаУ а

,=1 у=1

^ тт

рв,а+(1 - р)а а <ва+(1 - р)ё Уа <

а=1

< рв,а+(1 - р)у,а, у,=тт

т

в / + (1 - р)Ё Уа < рв,6 + (1 - р)а,6,

=1

Уу = 1, п

(1 - р)Уа --х/, У ' = 1, т, У У = 1,п

Тобто

т п

Ё Ё ~уУ а

^ тт;

,=1 а=1

(22)

ЁЁ~аУ а

^ тт;

,=1 а=1

а,

-в,а <ЁУа <Ъа -в,а, У, = 1,т;

и=1

Ь о Ь

(23)

ЁУа <а,Ь-вЬ, Уу = 1,п.

Задача (23) не залежить вщ значення а - пе-рерiза, мае чiткi обмеження та неч^ю коефще-нти цiльовоi функцii i може бути розв'язана за допомогою алгоритму В. В результатi отрима-

розв'язок (у,*! ) . Однак

У и /тхп

емо нечiткий

цей

розв' язок може не задовольняти обмеження (1 - р) у у - - х у *, У, = 1, т, У у = 1, п , на яке ми

не зважаемо у задачi (27). З цих мiркувань для розв'язання НчТЗ (15)-(18) пропонуемо такий алгоритм. Алгоритм В'

1. Знаходимо детермшований оптималь-ний розв'язок (х*) задачi (19).

А ^ У'тхп

2. Знаходимо оптимальний нечiткий розв'язок (у*) задачi (23).

тхп

3. Якщо для

у I =1 m, У у = ¡,n, УуУа*: рУУ (у) = р

виконуеться:

* * (1 - р)У а --ха ,

е [0;1], (24)

то переходимо на п.5.

4. 1накше - для кожно1' пари шдекив е (1, т) та у е (1, п), для яко1'

^ * * Зр е [0;1] (1 - р)у- <-х- ,

додаемо до задачi (23) обмеження:

У * * У — - х .

У и —

(25)

а,а -в,а <ЁУа а -в,а, У, = 1,т';

У=1

Ё У- < а,Ь -в,Ь, У - = 1, п;

¿=1

(1 - р) У а - - хи \ У¿ = 1 т, У У' = 1 п

Розглянемо задачу (22) без останнього об-меження:

Розв'язуемо задачу (23), (25). 5. Нечпкий оптимальний розв'язок (х*)

\ и/тхп

задачi (15)-(18) будуемо таким чином:

х) =(*;) +(1 -р)-С ,

V V /тхп ^ V 'тхп х / ^V 'тхп

де р - значення функцii належностi вщповщно-го розв'язку. Кiнець.

Приклад 1. Маемо 2 джерела та 3 при-ймачь Вiдомi нечiткi вартост транспорту -вання одиницi продукцii вщ кожного джерела до кожного приймача с-, , = 1,2, у = 1,3 ,

об'еми продукци а,, , = 1,2, що знаходяться у

кожному джерелi та об'еми продукци

б-, ' = 1,3, яю бажае прийняти кожен при-

ймач (неч^ю трикутнi величини позначаемо за зразком (14)):

C=

(1,4,2) (1,4,1) (2,4,1) bj/at

Г (1,4,2) (2,3,2) (1,2,1) J(1,5,2) (2,б,1) (1,5,1) (1,4,1)J (2, б, 1)

Рoзв'язoк шyкaeмo y вигщщ мaтpицi X = {x j } 2x3, де X j — кшькють oдиниць пpoдy-

кцiï, щo пеpевoзиться вiд i-ro джеpелa дo j-ro пpиИмaчa. Тoдi зaдaчy мoжнa сфopмyлювaти тaким чишм:

2 3

SSc jx j ^ min;

t=1 j=1

2 3

SSV.

^ min ;

t=i j=i

a rt a

а -

ßta <S У J <Yta -ßta, Vt = 1,2; j=i (2б)

S У] <а,b -ßtb, Vj = 1,3.

Цiльoвa фyнкцiя не oбмеженa та дoпyстимiИ мнoжинi poзв'язкiв.

4. Дoдaeмo дo зaдaчi (2б) oбмеження:

S X ,] = a,, Vi = 1,2; j=i

S x. < b}, Vj = 1,3; t=i

X.,] > О, V i = Ï2, V j = 1J

Зaстoсyeмo дo зaдaчi aлгopитм В'. 1. Знaхoдимo детеpмiнoвaниИ oптимaль-

ниИ poзв'язoк (x* )mxn зaдaчi:

2 3

де

SSßJXJ ^ min;

,=i j =i

S x,j =ßta, Vi = 1,2; j=i

Sx,j <ß]b, Vj = Ï3; t=i

x,, > 0, V t = û, V j = й

( j )

4 4 4 ßZ/ßt

Г4 3 2 ^ 5

г] /2x3

б 5 4

(x* )

Vf 2x3

Г3 2 0 >

v0 2 4,

Cj * > - X j * Vi = 1,2, V j = 1,3.

Рoзв'язyeмo задачy:

2 3

SScjy j t=i j=i

^ min;

а

-ß,a <Sy,j <Y,a-ß,a, Vi = 1,2; j=i

S у,j <а,Ь-ß, Vj = 1,3;

t=1

^j >-Xj V i = 1,2, V j = 1,3.

Застoсyeмo дo зaдaчi aлгopитм В.

1. Знaйдемo детеpмiнoвaнi oптимaльнi poзв'язки задач, oтpимaних iз дан^' зaдaчi ^и кoефiцieнтaх цiльoвoï фyнкцiï, щo вщговщають нyльoвим та oдиничним значенням в^тав^них фyнкцiИ нaлежнoстi.

ОптимальниИ poзв'язoк дaнoï зaдaчi пpи то-ефiцieнтaх: с. = а . :

( у,<а )2x3=

Г-3 1,5 0,5л

2 -2 -2

v у

ОптимальниИ poзв'язoк дaнoï зaдaчi пpи то-ефiцieнтaх: с. = ß. :

( yßß )2x3 =

-2,75 1 0,75 1,75 -2 -1,75

ОптимальниИ poзв'язoк дaнoï зaдaчi пpи то-ефiцieнтaх: с. = у. :

2. Знaхoдимo oптимaльниИ нечiткиИ

poзв язoк

fe I

задача

( y'ij )2x3 =

-3 -1 3 2 0 -4

t=i

а

б

2. Отримаш розв'язки попарно нерiвнi. От-же, знаходимо величини рар та рру за формулами (9), (10) та (12), (13) вщповщно

Мав= 2; рав = 1 =1;

ав

М в^=4

1 + М

ав

3

рру

1+М,

РУ

_9_ 13

( )2х3

якщо р е

(0,25 + 2,75р 3-р (1 -р)• 0,75 ^ (1 - р) • 1,75 2р 2,25 +1,75р

(1 Г

якщо р е1 3,1

Правостороння функщя залежносп неч^ко-го оптимального розв'язку вiд значення функцп належностi вхiдних даних:

(У*)

У /2х3

(3 р (1 - р) • 2

1+р (1 - р) • 2 4 р

якщо р е

0Д

13

3. Отже, оптимальний розв'язок дано1' задачi е неч^кою величиною i функщя залежносп оптимального розв'язку вiд значень функцш належностi вхiдних даних мае вигляд (рис. 3):

(0,25 + 2,75р 3 - р (1 - р) • 0,75^ (1 - р) • 1,75 2р 2,25 + 1,75р

Г 9 1

якщо р е| — ,1 113

Для знайдених залежностей побудуемо фу-нкщю належностi нечiткого оптимального розв'язку (рис. 4).

Рис. 3. Функщя залежносп оптимального розв'язку прикладу 1 в1д значень функцш належносп вхщних даних

5. Неч^кий оптимальний розв'язок задачi (у* )23 будуемо таким чином:

(УУ )2х3 ^ )2х3 + ( - р ^2х3 ,

де р - значення функцп належносп вщповщно-го розв'язку. Тобто лiвостороння функцiя зале-жностi нечпкого оптимального розв'язку вiд значення функцп належносп вхiдних даних:

(3р 3,5 -1,5р (1 - р) • 0,5^

(1 - р) • 2 2 р 2 + 2 р

Рис. 4. Функщя належносп нечеткого оптимального розв'язку хсц

Наприклад, для Ух1*1 :

р х '(0 =

г

3

г - 0,25

якщо г е[0,1]; , якщо г е

2,75

Висновки

Дослiджено проблеми планування з викорис-танням нечiтких аналогiв моделей задач лмйного програмування. Видiлено основнi види моделей задач НЧЛП залежно вщ властивостей цiльових функцiй i обмежень (детермiнованi або нечiткi функцii). Розроблено методи розв'язання нечiтких аналогiв транспортно1' задачi. Розглянутi приклади планування свщчать про ефективнiсть запропоно-ваних методiв та алгоритмiв.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Згуровский М. З. Интегрированные системы оптимального управления и проектирования. -К.: Вища шк.,1990. - С. 151-186.

2. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. - М.: Советское радио, 1974. - 400 с.

3. Алексеев О. Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. - М.: Наука, 1987. - 248 с.

Надшшла до редколеги 09.11.2006.