CC BY
6
УДК 517.11+519.92+539.3
DOI: 10.30838/J.BPSACEA.2312.260319.89.410
ОЦ1НКА РЕСУРСУ КОНСТРУКЦП З ТР1ЩИНОЮ НОРМАЛЬНОГО РОЗРИВУ НА ОСНОВ1 НЕЧ1ТКОГО МОДЕЛЮВАННЯ
ВОЛЧОК Д. Л., канд. техн. наук, доц.
Кафедра будiвельноl мехашки та опору матерiалiв, Державний вищий навчальний заклад «Придшпровська державна академiя будiвництва та архггектури», вул. Чернишевського, 24-а, Дшпро,49600, Укра!на, тел. +38 (056) 756-33-51, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-7914-321X
Анотацiя. Розглядаються питання оптимального проектування конструкцii (ОПК), що працюе в умовах обмежень мщносл, стiйкостi та жорсткосл. Як додаткове обмеження розглядаеться можливiсть присутностi трiщини в розтягнутому елементi. Запропоновано алгоритм розв'язання задачi методом динамiчного програмування. Отримано чисельно-аналпичний розв'язок у виглядi рекурентних формул. Крiм детермiнованого розв'язання ОПК пропонуеться ситуацiя, коли iснуе трiщина нормального розриву. Величина розмiру трiщини задаеться нечiтким чином. Оцiнюеться вплив нечiткого завдання початково! довжини трiщини для окремого елементу конструкцii на шльшсть циклiв навантаження за умови неруйнування. Для ферми, що складаеться з чотирьох елементiв в детермiнованiй постановщ оцiнено вплив наперед задано! точносп розрахунку на збiжнiсть процесу при розв'язанш задачi ОПК методом динашчного програмування. Для випадку достатньо! наперед задано! точности для ферми виконано пошук впливу величини довжини трщини на площi поперечних перетинiв стержшв та об'ем конструкцii. Проведено числовi експерименти впливу нечiткого завдання довжини трщини при рiзних значеннях розкиду для !! модального значения на об'ем конструкций Висновок. Збiжиiсть розв'язання починаеться тодi, коли вiдносна похибка приблизно дорiвнюе 0,003. Побудоваиi залежносл об'ему стержнево! конструкцi! в1д довжини трщини показують його значне зростання тсля величини довжини трiщини 15 см у детермшованш задачi. Дослщження показуе принципову можливiсть використання теорп нечiтких множин в задачах оптимального проектування шаршрно-стержневих систем. Як приклад, у процедурi було використано число з трикутною формою функцii приналежноси. Такi етапи, як фазифiкацiя, оптимальне проектування i дефазифiкацiя, дозволяють оцшити результат нечiтко! задачi. Таким чином, у стати показано результат можливого значення об'ему для ситуацi!, коли модальне значения довжини трщини становить 25 мм, а вщхилення мае область вщ 0 до 20 %.
Ключовi слова: шартрно-стрижнева система; оптимальне проектування; duHOMiuHe програмування; нечтке моделювання; фазифжащя; дефазифжащя
ОЦЕНКА РЕСУРСА КОНСТРУКЦИИ С ТРЕЩИНОЙ НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА НА ОСНОВЕ НЕЧЁТКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ВОЛЧОК Д. Л., канд. техн. наук, доц.
Кафедра строительной механики и сопротивления материалов, Государственное высшее учебное заведение «Приднипровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, Днипро, 49600,Украина, тел+38 (056) 756-33-51, e-mail: [email protected], ORCIDID: 0000-0002-7914-321X
Аннотация. Рассматриваются вопросы оптимального проектирования конструкции (ОПК), работающей в условиях ограничений по прочности, устойчивости и жесткости. Как дополнительное ограничение рассматривается возможность присутствия трещины в растянутом элементе. Предложен алгоритм решения задачи методом динамического программирования. Получено численно-аналитическое решение в виде рекуррентных формул. Кроме детерминированного решения ОПК предлагается ситуация, когда существует трещина нормального разрыва. Величина размера трещины задается нечетким образом. Оценивается влияние нечеткого задавания начальной длины трещины для отдельного элемента конструкции на количество циклов нагружения при неразрушении. Для фермы, состоящей из четырех элементов, в детерминированной постановке оценено влияние заранее заданной точности расчета на сходимость процесса при решении задачи ОПК методом динамического программирования. Для случая достаточной заранее заданной точности для фермы выполнен поиск влияния величины длины трещины на площади поперечных сечений стержней и объем конструкции. Проведены численные эксперименты влияния нечеткого задания длины трещины при различных значениях разброса для её модального значения на объем конструкции.
Ключевые слова: шарнирно-стержневая система; оптимальное проектирование; динамическое программирование; нечеткое моделирование; фаззификация; дефаззификация
ESTIMATION OF THE RESOURCE OF A STRUCTURE WITH THE TENSILE CRACK ON THE BASIS OF FUZZY SIMULATION
VOLCHOK D.L., Cand. Sc.(Tech), Ass. Prof.
Department of structural mechanics and strength of materials, State Higher Educational Institution "Prydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture", 24-A, Chernyshevskoho St., Dnipro 49600, Ukraine, tel. +38 (056) 756-33-51, e-mail: [email protected], ORCID ID: 0000-0002-7914-321X
Abstract. Statement and solution of the problem. The problems of optimal design of structure, which is operated under the constraints of strength, stability and rigidity are considered. As an additional restriction, the possibility of the crack presence in a stretched element is considered. With a small, compared with the yield strength, destructive stress, the construction element is in critical condition. So that, the calculation of strength can be carried out according to the well-known Irwin criterion of a linear destructive mechanics. An algorithm for solving the optimal design problem using dynamic programming is proposed. A numerical-analytical solution is obtained in the form of recurrent formulas. In addition to the deterministic optimal design solution there is a situation where a tensile crack in the rod of the truss is considered. The size of the crack is not clearly defined. The influence of the fuzzy problem of the initial crack length on the number of load cycles during non-destruction for separate elements of the structure is estimated. The truss consists of four elements in a deterministic formulation. The effect of a predetermined accuracy of calculation on the convergence of the process, when the optimal design problem is solved with using dynamic programming, is estimated. For the case of sufficient predetermined accuracy for the truss, a search was made for the influence of the length of the crack on the cross-sectional area of the rods and the volume of the structure. Numerical experiments of the influence of the fuzzy problem of the crack length for different values of the modal value spread on the volume of the structure are carried out. Conclusion. Convergence of the solution starts when relative error is approximately equal 0.003. Influence of crack length on the volume of rod structure shows its growing after the value of 15 cm in deterministic problem. Investigation shows the principle possibility of the theory of fuzzy sets using in problems of optimal design of hinged-rod systems. As an example, the fuzzy numbers with triangular form of membership function were used in the procedure. The stages such as fuzzification, optimal design and defuzzification let us estimate the result of fuzzy problem. So, the result of the possible value of volume for situation, when modal value of crack length is 25 mm and deviation has different domain, is shown in the article.
Keywords: hinged-rod system; optimal design; dynamic programming; fuzzy simulation; fuzzification; defuzzification
Вступ. Сучасний р1вень розвитку мехашки руйнування, теори надшносп дае змогу оцшити працездатшсть елементсв конструкци з урахуванням невизначеносп впливу силових фактор1в, геометричних i мехашчних характеристик, процеав розвитку макротрщини та довговiчностi. В мехашщ, як правило, розглядаеться невизначенють стохастично'! природи. Але останшм часом, ^м тако'!, з'явилась можливють уведення шших видiв невизначеносп, таких як неч^кють i неточшсть [7].
Неч^кють припускае опис вихщних параметрiв за допомогою дескрипторiв виду «приблизно», «близько до», «мабуть», «в штервалЬ» та шше, а неточшсть - опис параметрiв за допомогою iнтервалiв з !х неточними межами. Для роботи з такими об'ектами в самому кшщ минулого сторiччя виник у математищ новий напрямок - теорiя неч^ких i неточних множин [6; 8] - методи «м'яких обчислень».
1. Детермшована задача оптимального проектування статично визначеноТ ферми.
Запишемо таку задачу ОПК пошуку об'ему та площ поперечних перерiзiв, у якш обмеженнями виступають умова жорсткосп, мщносп та стшкосп:
(V', A') = arg {lililí V(A) Iyj (A) < [y] < ymax; ст, (A) < R*}
A = (A Í2,..., An );
(1)
де:
V
- об'ем пружно'! системи;
A = (A A2,..., An );
- вектор, компоненти
якого еплощi перерiзiв;
y max
- максимальне значення перемщення вузла для випадку, коли перерiзи стержшв розраховуються iз умов мщносп;
R - розрахунковий отр; Ф - коефщент повздовжнього згину; n - число стержшв в фермц
j - номер вузла, перемщення вертикальие (горизонтальне) якого
обмежене величиною [y] .
Перемщення в ШСС
j
вузла
(обмеження по жорсткосп) визиачаються за формулою Мора:
Д
y=е a > d=NM
E
(2)
де
Nt , N;
зусилля в -ому стержш
вщповщио в1д дп зовшшнього иаваитажеиия P ■
i одиничного навантаження,
прикладеного в j -ому вузл!
s =
A
R* =
[Re,Nt > 0 jR0,Nt < 0
(3)
Як бачимо з (3), обмеження на мщнють працюють для розтягнутих стержшв i на ст1йк1сть для стиснутих стержшв.
2. Модель неруйнування розтягнутого елемента за наявност1 трщини.
Припущення про можливють
нормального функцюнування силово! коиструкци за иаявиостi трщини спричииило розвиток методiв розрахуику иа трщииостшюсть та живуч1сть. За невеликих, пор!вняно з границею текучостi, руйшвиих иапружеиь елемеит коиструкци перебувае в критичному сташ. I тому розрахуиок иа мщнють можиа вести за вщомим критер!ем Iрвiиа лшшио! мехашки руйиуваиия:
K < K„
(4)
K
де - коефiцiеит штеисивиосп иапружеиь
Kjc
(К1Н), а - його критичие значения -
в'язюсть руйиуваиия за плоского
деформуваиия. У крихкому сташ за
• • KIC
допомогою коефlцlеита зв'язують
руйшвне иаваитажеиия i критичиу довжииу
K = K„
тр1щиии таким сшввщношенням . Коефiцiеит К1Н подаеться виразом
K(a) = &4Py(1) ; Y(1) = 1.12 ;
? ?
1 = - < 0.7
b ,
де a - характерний розм!р (довжииа) трщини; а - параметр иаваитажеиия -значения нормального иапружеиия; Y(A) -функщя геометри тр1щиии; b - ширина полоси з поперечною трщииою за осьового розтягнення.
Полоса (рис. 1) розглядаеться як елемеит коиструкци, з крайовою поперечною трщиною нормального розриву, що розтягиута силами, яю екв!валентш иормальиим иапружеииям
s
s
в межах одного циклу. За ди змшного иаваитажеиия сталий р1ст трщини описуеться р1вияииям Периса [5]:
da )
dN = f (a,s)
dN , (5)
де N- число цикл ¡в навантаження.
N
N
Рис. 1. Полоса з крайовою поперечною тргщиною нормального розриву /Ftg. 1. Band wtth boundary transverse crack of normal rupture
Умова вщмови, що озиачае перехщ конструкцп в иепрацездатшсть, мае вигляд a | N=N* = a*, де N* - число цикшв иаваитажеиия (ресурс конструкцп), за яке трщина збшьшить свою довжииу вщ a0 = a | N = 0 до a*. Розв'язаиия диференщального р!вняння (5) з урахуваииям граничних умов дае
2
N =■
/3(2 - n) b = A(1.12yfpA&)
(jo1-7 )
a
n
Вкник Пpиднiпpoвcькoï дepжaвнoï aкaдeмiï' бyдiвництвa та apхiтeктypи, 2019, № 1 (249-250) ISSN 2312-2676
дe n, A - eмпipичнi кoeфiцieнти. KpmTC4m дoвжинa тpiщини пoдaeтьcя таким виpaзoм:
f
a* =
KTr
2
112л/
(7)
3. Визначення областi допустимих розв'язкчв у задачi ОПК.
У peзyльтaтi cинтeзy oбмeжeнь зaдaчi ОПК фepми (1) та нoвих oбмeжeнь (4), oтpимaних 1З мoдeлi нepyйнyвaння poзтягнyтoгo eлeмeнтa, визнaчимo oблacть дoпycтимих poзв'язкiв. З yмoви мiцнocтi для i-ro eлeмeнтa мaeмo:
s =
J R* ® A0 =
Ai Rг .
З yмoви нepyйнyвaння мaeмo: 1.12-
pa0 J KCC ® A* = 1.12
W,
KC
pa0
(8)
.(9)
Облacть * дoпycтимoгo poзв'язкy
W = I A, |a, i A.r = max( A,0, A,*)}
IA } . * = 1,2,...,
(10)
^шук v '' ; > > > викoнyeтьcя за дoпoмoгoю мeтoдy динaмiчнoгo
пpoгpaмyвaння пpи викoнaннi yмoви жopcткocтi [1; 3].
4. Метод динамiчного програмування.
Увeдeмo дo poзглядy ФУНКЦ1Ю Бeллмaнa
n
f (d.) = А minA У 1jaJ
ЛЛ^-Л J =, (11)
- мiнiмaльнe знaчeння oб'eмy ШСС в пpипyщeнi, щo ^o^c пoшyкy
{AioPt}; J = i, i +1,...,;
,n
пoчинaeтьcя з eлeмeнтa
i зaкiнчyeтьcя eлeмeнтoм J =n . Apгyмeнтoм ща функцп e вeличинa
J = *
d.
«pecypcy»
яка пoвязaнa з1 змiннoю
пpoeктyвaння таким cпiввiднoшeнням
d, =УУDJ1AJ;.
= 1,2,..., n 0 J di J[ y ].
1з oзнaчeння (12) випливae
(12)
D n D dt =+ У D, IA, ® dt =-L + d
. л ¿-Í J J г л г
г+l
зв1ДКИ мaeмo:
d,+1 = dг - DA~
A . (13)
За oзнaчeння (11) з ypaхyвaнням (13) пoбyдyeмo на ocнoвi пpинципy Бeллмaнa [3] тате piвняння:
f (d,) = min
A
I.A. + min У I.A.
1 1 А А А 1 1
J=i+l
f (d, ) = min [l.A■ + fM(dt+1)]
A,
?
i = n -1,n -2,...,1; dl =[y]; jn+1(dn+l) = 0 (14)
В^аз (14) e ocнoвним фyнкцioнaльним piвнянням мeтoдy динaмiчнoгo
пpoгpaмyвaння. За тepмiнoлoгieю цьoгo
d, - A. -
мeтoдy ' e зм1нна стану, ' e змiннoю
кepyвaння.
За poбoтoю (5) нaвeдeнo аналггичш-чиcлoвy пpoцeдypy динaмiчнoгo
пpoгpaмyвaння, яка пoбyдoвaнa на ocнoвi пocлiдoвних нaближeнь.
Для 1з oзнaчeнь (12) i (13) мaeмo:
= D„ I A„ ; An = Dn I dn
n n n^ n n n
j (d ) = min l A = l D I d
J n V n / . n n n n n
(15)
(16)
i = n - 1
Рoзглянeмo випaдoк, кoли Р1вняння (14) для ^oro випадку пepeпишeмo у вигляд1:
fn-l(dn-l) = m in [ln-l An-l + fn (dn )];
d = d , - D , IA ,
n n-1 n-1 n-1
(17)
Р1вняння (17) з ypaхyвaнням oзнaчeння (16) бyдe таким:
l.D.
fn-l(dn-l)=min
ln-1 An-1 +
dn-l - Dn-lI An-l
Викoнyючи дал1 aнaлoгiчнi ди для i = n - 2, n - 3,...,1
мeтoдoм мaтeмaтичнol шдукци oтpимaeмo тате piвняння:
f (di ) = min H (A, ),
дe:
j=1+1
n-1
n-1
h (A) = itAt + T +
Dl
d - S* -
D
n-1
T =е= 1,2,.n, -2
S* =
J =i •
n-1
е Dj / а^^я i = 1,2, n, - 2;
J=i
0, для i = n -1.
1з необхщних
умов
юнування
И . Ai
екстремуму визначимо шукании перер13 :
А = (Dk )/a*; i = 1,2..., n -1
(19)
AO = Dnk / dn.
ОптимальниИ розв'язок при цьому формулюеться як
t , A°, AO > A-
A Opt _ J i i
A = Ai-, AO J A
(20)
5. Числова 1люстрац1я ощнки ресурсу елемента конструкщ! з тр1щиною.
НехаИ матер1ал елемента конструкцп в приклад1 виготовлено i3 стал1 А514, мае
характеристики
KIC = 5300н • мм'
&т = 700н / мм'
Параметри циклу н
а—. = 320
навантаження нехаИ будуть а _ = 175-^
мм
мм
. За роботою [4] вiзьмемо
експериментальнi значення емшричних
1 • . A = 3 553 -10-13 n = 2.95 коефiцiентiв ^^ ^ та .
ö0
НехаИ величина довжини трщини задаеться як «приблизно» дорiвнюе 7,6 мм. Фазифiкацiя цього висловлювання здiИснюеться на основi функци належностi трикутного виду [2].
Розглянемо три випадкизавдання
0,(6.1;7.6;9Л)Д нечiткого числа: ,
^0(7;7.6;8.5)д ^0(7.4;7.6;8)д
Рис. 2.Ыформацшна гранула нечшког величины,
розподшена за трикутним законом / Fig. 2. Information granule of fuzzy value, distributed by triangular law
Використовуючи (6), (7) знаИдемо вщповщш неч^ю числа - кшьюсть ци^в навантаження:
N (95741;81889;71570)д
N (86901; 81889; 75374)д N (83493;81889;78860)д
Етап дефазифжацп нечiтких чисел [7]
дозволяе отримати прогнозоваш значення
Ndef = 80271 кшькосп циклiв вiдповiдно ,
Nde = 81513 Ndef = 81532
, та порiвняти !х iз
числом циклiв, отриманим при
детермiнованому (чiткому) значеннi
N = 81889 _ довжини трiщини . Таким чином,
розбiжнiсть iз детермшованим значенням
складае вiд 0.4 до 2 %.
6. Числова шюстращя оптимального проектування ферми.
Розглянемо чотири-елементну статично визначену ферму, схема яко! наведена на рисунку 2. Основнi геометричнi
, * l = 1000V2
характеристики ферми будуть: 1
l2 = l3 = 1000
мм,
мм,
l4 = 500л/2
мм.
Навантаження на ферму буде
P = 4
кН.
р = 4
кН. Для подальших розрахункiв
кН
E = 207
вiзьмемо модуль пружност
мм
R0 = 0.15
кН
розрахунковиИ опiр
мм
2 j = 0.6
початкову площу перерiЗiв
i = 1,2,...,n; n = 4; J = 1;
AMм 100
2
„ . [ уМм 1.6
Допустиме перем1щення
УММ = 341
максимальне перем1щення
та
Рис. 3. Схема ШСС / Fif. 3. Scheme of the ShSS
Рис. 4. Кутник i3 трщиною / Fig. 4. Corner with a crack
6.1. Детермшований випадок. Збiжнiсть процедури.
Для оцшювання достатньо! точносп розрахунюв ШСС (рис. 3) за пропонованим тдходом оптимальний проект (об'ем та площа перер1з1в) вщ задано! наперед точносп розв'язку для випадку конструкци без крайово! трщини нормального розриву наведено на рисунках 5 та 6, 1з яких видно, що процес наближення за функцюналом
Vopt . A0pt i = 174
i розв'язком ; майже
однаковий, що робить пропоновану процедуру достовiрною. Для подальших
розрахункiв вибираеться точшсть e = .
6.2. Оптимальне проектування за наявност тр1щини довжиною a0.
Нехай ферма мае крайову трщину
a
нормального розриву довжиною в
I,
J (рис. 3, 4). В умов жорсткосп, додаеться умова
розтягнутому елемент такому випадку до мiцностi та стiйкостi неруйнування конструкци. Залишаючи геометричнi, механiчнi параметри ферми та навантаження незмшними, обчислимо оптимальний об'ем конструкци залежно вщ a0 (рис. 7). Пошук виконано при
KIC = 5300Н • мм3'2
. Як бачимо, об'ем вщ
ajM 15
величини довжини трщини
починае зростати вщносно оптимального
• VMM 519805 3 проекту без трщини .
Аналiзуючи змшу оптимального значення площ перерiзiв (рис. 8) бачимо, що з деякого моменту величина оптимально! площi третього стержня починае зростати, а величини площ шших стрижшв зменшуватись вiдносно розв'язання оптимального проекту без трщини AJM 79.23 2 AJM112.05 2
AJM158
AJM194.08
. Пояснити це можна тим, що починае впливати на результат умова жорсткосп.
V * А4*
V det А det
Рис. 5. Зб1жн1сть об'ему eid заданог
точностi С / Fig. 5. Convergence of the
volume
V * А4*
V det А det
from the given accuracy £
Puc. 6. 36iwHicmb nrn^ nepepi3ie cmepwHie A de,
A2 de, A 3 fa, A 4 fat eid 3adaH0i m0HH0cmi £/ Fig. 6. Convergence of the cross-sectional areas of the rods A1 de, A2 de, A 3 det, A 4 det from the given accuracy £
2
2
Рис. 7. Вплив довжини трщини a0, (мм) на характеристику оптимального проекту V*det, (мм3) , Fig. 7. Effect of the crack length a0, (mm) on the characteristic of the optimal project V* det, (mm3)
Рис. 8. Вплив довжини трщини a0, (мм) на характеристики оптимального проекту - площг перергзгв (мм2) / Fig. 8. Effect of crack length a0, (mm) on the characteristics of the optimal project - section area (mm2)
6.3. Нечггке моделювання ШСС i3 тр1щиною.
НехаИ величина довжини краИово'Г трщини в третьому стрижш фермi подано неч^ким чином ¡з функщею належносп трикутного виду (рис. 2) i Г! мода дорiвнюе üdet = 25 мм. Розкид неч^коГ величини для чотирьох експеримеипв наведемо в таблиц 1.
Проводячи етапи фазифшаци,
оптимiзацiГ та дефазифшацп, отримаемо
величини оптимального об'ему в (табл.). Як
бачимо, з ростом невизначеносп зростае i
дефазифшована величина об'ему конструкцп
V* ^ Dv det% .
f . 1 рафа таблищ показуе вщсоток
вщхилення отриманого об'ему вщ об'ему у
випадку без трщини. Граф!чш подаиия результапв приведемо иа рисуику 9 (V*det = 537 248 мм за модального значення довжиии трщини аdet = 25 мм).
Таблиця
Вплив неч^кого завдання довжини трщини на об'ем ферми/ Influence of fuzzy length problem cracks on the volume of the farm
№ Д% a, мм b, мм Vfuz Д 3 , мм V * def „ „3 , мм
1 0 0 0 (0; 537248; 0) 537248
2 0.5 24.875 25.125 (536959; 537248; 537538) 537248
3 1 24.75 25.25 (536671; 537248; 537829) 537249
4 5 23.75 26.25 (534399; 537248; 540181) 537269
5 10 22.5 27.5 (531658; 537248; 543179) 537333
6 15 21.25 28.75 (529055; 537248; 546225) 537444
7 20 20 30 (526631; 537248; 549309) 537609
Рис. 9. Граф1чна ттерпретащя впливу нечткого завдання довжини тргщини на величину оптимального об'ему матергалу чотирьох елемент1в ферми /Ftg. 9. Graphic interpretation of the effect offuzzy problem of crack length on the value of the optimal volume of material of four elements of the farm
Висновки. Показано прииципову можливють використаиия теори неч^ких множин у задачах оптимального проектуваиия ШСС. Отримаио результати
можливого значения об'ему для випадку, довжини трщини на оптимальш значення
коли можлива присутнють трщини з площ поперечних перер1з1в ШСС та
модальним значенням довжини adet = 25 мм оптимального об'ему за умови виконання
для р1зних випадюв збшьшення неч1ткосп. обмежень на жорсткють, мщшсть, стшкють
Для детермшовано'1' постановки задач1 та неруйнування. отримано залежшсть впливу величини
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Бараненко В. А. Динамическое программирование и последовательные приближения / В. А. Бараненко // Придншровський науковий журнал. Фiзiко-математичиi науки. - № 112. - 1998. - С. 38-44.
2. Бараненко В. А. Нечггке моделювання в оптимальному проектуванш шаршрно-стержневих систем / В. А. Бараненко, Д. Л. Волчок // Ошр матерiалiв i теорiя споруд. - Вип. 100. - Кшв. - 2018. - С. 71-93.
3. Прикладные задачи динамического программирования / Р. Беллман, С. Дрейфус. Под редакцией А. А. Первозванского. - Москва : Наука, 1965. - 460 с.
4. Партон В. З. Механика разрушения. От теории к практике : монография / [ Партон В. З.]. - Москва : Наука,
1990 - 240 с.
5. Broek D. Elementary Engineering Fracture Mechanics / [D. Broek] // Alphen aan den Rijn, Sijthoff & Noordhoff,
1978. - XIII. - 437 p.
6. Kaufmann A. Introduction à la théorie des sous-ensembles flous : à l'usage des ingénieurs: (Fuzzy sets theory) /
[A. Kaufmann]. - Paris : Masson et C-ie, 1977. - 235 p.
7. Liu B. Theory and practice of Uncertain programming / B. Liu. - Berlin, Springer-Verlag, 2009. - 201 p.
8. Pawlak Z. Rough sets : Theoretical Aspects of Reasoning about Data / Z. Pawlak // Kluwer Academic Publishers. -
Dordrecht, 1991. - 224 p.
REFERENCES
1. BaranenkoV.A. Dinamicheskoe programmirovanie I posledovatelnyie priblizheniya [Dynamic programming and sequential approximations]. Pridniprovs'kij naukovij zhurnal. Fiziko-matematichni nauki [Prydniprovsky scientific journal. Physics and Mathematics]. No. 112, 1998, pp. 38-44 (in Russian).
2. Baranenko V.A. and Volchok D.L. Nechitke modelyuvannya v opty^maVnomu proektuvanni sharnirno-sterzhnevy^'x sysstem [Fuzzy simulation in optimal design of hinge-rod systems]. Opir materialiv i teoriya sporud [Strength of Materials and Theory of Structures]. Kyiv, vyp. 100, 2018, pp. 71-93 (in Ukrainian).
3. Bellman R. and Dreyfus S. Prikladnyie zadachi dinamicheskogo programmirovaniya [Applied problems of dynamic
programming]. Edited by A.A. Pervozvanskyi. Moscow : Nauka Publ., 1965, 460 p. (in Russian).
4. PartonVZ. Mehanika razrusheniya. Ot teorii k praktike [Fracture mechanics. From theory to practice.]. Moscow : Nauka Publ., 1990, 240 p. (in Russian).
5. Broek D. Elementary Engineering Fracture Mechanics. Alphen aan den Rijn, Sijthoff & Noordhoff, 1978. XIII, 437 p.
6. Kaufmann A. Introduction à la théorie des sous-ensembles flous : à l'usage des ingénieurs: (Fuzzy sets theory) Paris :
Masson et C-ie, 1977, 235 p.
7. Liu B. Theory and practice of Uncertain programming, Berlin, Springer-Verlag, 2009, 201 p.
8. Pawlak Z. Rough sets : Theoretical Aspects of Reasoning about Data. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991,
224 p.
Надшшла до редакци: 21.02.2019 р.
