CC BY
13
Описанная технология построения схем XML-документов может применяться при проектировании информационных систем на основе XML-ориентированных баз данных.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. XML Schema Part 0: Primer (http://www.w3.org/TR/xmlschema-0/)
2. XML Schema Part 1: Structures (http://www.w3.org/TR/xmlschema-l/)
3. XML Schema Part 2: Datatypes (http://www.w3.org/TR/xmlschema-2/)
УДК 517.54:517.57
M. Л. Осипцев
ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ КРУГА*
Пусть F - замыкание семейства однолистных, сохраняющих ориентацию гармонических отображений единичного круга U = {z : \z\ < l} на себя. Тогда / е F имеет представление
f=ictzk+ £скгк (1)
0
В работах [1-4] вариационным методом и методом экстремальных областей был получен ряд коэффициентных оценок для гармонических отображений круга. В данной статье, используя комбинацию обоих методов, получена оценка функционала Z,(/)=Re(c_2 +с_, ) для / eF.
Пусть О - множество неубывающих непрерывных справа функций со(/) таких, что и(t)-t является 2it-периодической. Q,, - подмножество Q ступенчатых функций с не более чем «различными значениями.
ЛЕММА 1 [3]. Для каждой / eF существует единственная со(Г)еП, и для каждой ©(i) e Q существует / е F , удовлетворяющие условию
/(е") = е'ъ(0.
В силу представления (1) можно записать
Пусть Цг) - непрерывная 2л-периодическая комплекснозначная функция. Определим линейный функционал на F в виде
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00083).
108
2п I
Наряду с (2) рассмотрим функционал на П
2л _
0(со) = Яе |е/ю(,) . о
Разлагая в ряд Фурье, запишем Сг(со) в виде
сс _
С(ю) = 2лЯе Хсквк- (3)
Легко заметить, что если /(<?") = е,ш('\ то ¿(/) = С(со). В [3] показана компактность О и С1п для каждого и.
Пусть кривая Д параметризуется с помощью функции
Вк 1к$
к*0 к
Аналогично [3] определим кривую Рд, вписанную в Д, если она параметризуется функцией У(х) следующим способом: К(л') - ,у 2п-периодическая и существуют непересекающиеся интервалы 1 к ~ (ак > ^к) такие, что
. Х(Ьк)-Х(ак), Х(ак) + —^-,6/
Рд(со) - кривая, вписанная в А, у которой прямолинейные отрезки соответствуют участкам постоянства со. Если со е то Рд(со) - ломаная.
ТЕОРЕМА 1 [1]. Пусть Ь - непрерывный линейный функционал на ^ и / максимизирует Г. Тогда сое О, соответствующая /, обладает следующими свойствами:
я) со постоянна на любом интервале, где Ом(Цг)ея(')) имеет постоянный знак;
'2 _
Ь) если и /2 - точки разрыва со(/), то = О
'1
ТЕОРЕМА 2 [3]. Пусть шей, максимизирует функционал С (со). Тогда (5) выпуклый и-угольник, не более чем с и вершинами, имеющий максимальную длину среди всех «-угольников, вписанных в Д. С7(ю) равен длине Рд(со).
Теорема 1 позволяет довольно легко получить качественные характеристики экстремального отображения, а теорема 2 - экстремальные значения.
Пусть f. е F, рассмотрим линейный функционал
X(/) = Re(c_2+e'V,).
Так как F замкнут относительно вращений, то L(f ) = Re(c_2 + | ). ЛЕММА 2. Пусть / е F максимизирует функционал L(/)=Re(C_2+C_,).
Тогда 5 е О, соответствующая /, является ступенчатой функцией на [О, 2л] с не более чем пятью различными значениями.
Доказательство. Из (3) следует, что X(f) = — (е~"+е~2"). Вы-
2к
числим
= Зот—= —(sin(—/ + co(f))cos(—). 2 л л 2 2
Условие а) теоремы 2 говорит о том, что со(г) постоянна в любой по-
3
лосе между прямыми ©(*) = — — t + кк, t = n. Следовательно, со(() может
иметь не более чем пять различных значений на отрезке [О, 2тг], что и требовалось доказать.
Из леммы 2 следует, что если Sefi соответствует экстремальному отображению функционала L(f)= Re(c_2 + с_л ), то со е Qs
ТЕОРЕМА 3. Пусть / е F доставляет максимум функционалу L(/)=Re(c_2 + ). Тогда / отображает U на пятиугольник, вписанный в
Доказательство. Из (3) X(t) = — (е~"+е~2" ). Следовательно,
2л
кривая Д параметризуется функцией
X(t) = — (ie'"+-e-2i' ) = (— (sin(i) + isin(2f»; ~(cos(0 + ^cos(2i)). 2л 2 2л 2 2л 2
Так как Б0 = 0, то Д — замкнутая кривая. Лемма 2 утверждает, что 5, максимизирующая G(co), - ступенчатая функция на [О, 2л] с не более чем пятью различными значениями. Следовательно, РА(со) - выпуклый пятиугольник, вписанный в Д.
Пусть Д проходит через вершины Рл(со) в точках tk В [3] показано, что углы между соседними сторонами /д(й) и касательной к Д в точках tk
равны между собой, то есть /д(й) может быть представлен как путь луча света, отражённого от Д. Экстремальность длины /д(5) в этом случае следует из принципа Ферма.
Для завершения доказательства осталось заметить, что и Д, и /д(ю) симметричны относительно мнимой оси (см. рисунок).
Производя необходимые вычисления, получаем, что длина /д(й)
13 13
равна —л. Из теоремы 1 следует, что max(Re(c_2 + = Теорема
доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Duren P., Schober G. A variation method for harmonic mappings onto convex region//Complex variables. Theory appl. 1987. Vol. 9. P. 153 - 168.
2. Duren P., Schober G. Linear extremal problems for harmonic mappings the disk // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 106. P. 967 - 973.
3. Wegmann R. Extremal problems for harmonic mappings the disk to convex region // J. Comput. and Appl. Vath. 1993. Vol. 46. P. 165 - 181.
4. Осипцев \i. А. Коэффициентная оценка для гармонических автоморфизмов круга // Изв. вузов. Сер. Математика. 1999. № 7. С. 42 - 45.
УДК 519.48
В. Б. Поплавский
ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ
В статье рассматривается множество квадратных матриц одного и того же размера, элементами которых служат элементы произвольной булевой алгебры 1). Вводятся понятия ориентированных объёмов, ориентированных определителей таких матриц. В целом, они отлича-
