Точная оценка якобиана в линейнои аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

В линейно- и аффинно-инвариантных семействах нормированных гармонических отображений единичного круга доказывается точная двусторонняя оценка якобиана, зависящая от порядка семейства.

Термин линейной инвариантности семейств локально однолистных аналитических функций в круге был введен СЬ. Ротшегепке [1] в 1964 г., хотя само свойство линейной инвариантности использовалось и ранее. К семействам гармонических отображений это понятие наряду с понятием аффинной инвариантности применил Т. 8ЬеИ-8ша11 [3], что позволило получить для гармонических отображений аналоги некоторых результатов, известных ранее в аналитическом случае. Впоследствии подход к анализу свойств семейств гармонических отображений на основе их линейной инвариантности был развит различными авторами, среди которых Ь. ВЬаиЬгоеок [5], В. В. Старков [6], X Szyna1 [7] и др.

Рассмотрим произвольное линейно- и аффинно-инвариантное семейство С сохраняющих ориентацию локально однолистных гармонических отображений / единичного круга Д = {г : |г| < 1}, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, fz (0) = 1.

Напомним, что свойство линейной инвариантности семейства С заключается в том, что наряду с каждым отображением / € С классу С принадлежит также отображение

Серия “Математика”

Выпуск 14, 2008

УДК 517.54

С. Ю. Граф

ТОЧНАЯ ОЦЕНКА ЯКОБИАНА В ЛИНЕЙНО-И АФФИННО-ИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

© С. Ю. Граф, 2008

при любом конформном автоморфизме Ф(г) = ег^(^ — го)/(1 — гог) единичного круга, где ^о € Д, ^ € М.

Аффинная инвариантность семейства С означает, что вместе с каждым отображением / классу С принадлежат отображения вида

[/] (г) = } (2)

1 + є к(0)

при любом є Є Д.

Известно [4], что гармонические в единичном круге функции допускают представление в виде /(г) = /і(г) + д(г), где Л.(г), $(г) — голоморфные в Д функции. Этот факт позволяет записать всякую функцию из класса С в виде

f (z) = z + ^ ak zk bk zk, |z| < 1.

k=2 k=1

Порядком линейно-инвариантного семейства L называется число a = sup |a21, где супремум берется по всем функциям из L. Всюду в дальнейшем будем считать, что порядок a семейства L конечен.

Класс L представляет собой нормальное в топологии локальноравномерной сходимости в единичном круге семейство функций, т.е. из любой последовательности функций семейства L можно выделить подпоследовательность, локально-равномерно в Д сходящуюся к гармонической функции, вообще говоря, не обязательно локально однолистной. Нормальность L следует из равномерной ограниченности якобианов функций данного класса на любом компакте из Д (см. [7] или формулируемую ниже теорему 1) и принципа сгущения для аналитических функций.

Подкласс L0 класса L, выделяемый наложением дополнительного условия fz(0) = 0, является компактным в топологии локально равномерной сходимости в круге Д. Сохранение локальной однолистности для предельной функции f сходящейся последовательности fn функций класса L0 следует из отделенности от нуля якобианов функций fn на любом компакте из Д, доказанной, например, в приводимой ниже теореме 1. Семейства L0 уже не являются линейно- или аффинноинвариантными. Для f е L0 имеет место равенство bi = 0.

По аналогии назовем порядком семейства L0 число a0 = max |a21, где максимум берется по всем функциям класса L0.

Заметим, что для некоторых семейств L, L0 величины а и a0 могут совпадать, но в общем случае они различны, причем a — a0 < 1/2.

В самом деле, любую функцию класса L можно представить в виде f (z) = fj(z) + bi f](z), где f0 — некоторая функция из L0, а bi = fz(0), |bi| < 1. Отсюда следует, что a < a0 + max |b21, где максимум берется по всем функциям класса L0. Но для коэффициента b2 в L0 справедлива оценка |&21 < 1/2, являющаяся известным [2] следствием из леммы Шварца, примененной к комплексной дилатации ^(z) = g0(z)/h0(z) =2 • b2 z + ... локально однолистной функции f = hfl(z) +

Примерами семейств С и С0 являются известные классы однолистных гармонических отображений Ян, 5н соответственно, а также их подклассы Сн, Сн, образованные функциями, отображающими Д на области, близкие к выпуклым. Для классов Сн, Сн справедливы равенства а = 3, ао = 5/2. X С1ише и Т. 8ЬеП-8ша11 [2] выдвинули известную гипотезу о том, что для класса Ян также имеет место равенство а = 3. Оценка величины а в классе Ян остается одной из важнейших нерешенных задач теории гармонических отображений.

Другим, приведенным в [7], примером линейно- и аффинно-инвариантного семейства С является множество функций, порожденное с помощью преобразований Ле и Ьф при всевозможных е и Ф из функции

В данном случае а является одновременно порядком семейства С и семейства С0, включающего в себя функцию ка.

В работе [7] были получены двусторонние точные оценки якобиана

порядка а семейства С. В настоящей работе приводится независимое доказательство неравенств, уточняющих упомянутую оценку в том смысле, что в качестве константы, определяющей порядок роста якобиана, выступает уже не а, а ао — порядок семейства С0, который, как отмечалось выше, может быть на 1/2 меньше а.

Теорема 1. Пусть С — линейно- и аффинно-инвариантное семейство гармонических функций. Пусть / € С, 61 = /(0). Тогда для любого г, |г| = г, 0 < г < 1, справедливы следующие оценки якобиана 3$

g0(z) е L0.

(3)

Jf (z) = |h/(z)|2 — |g'(z)|2 произвольной функции класса L в терминах

отображения / :

(1 _ г)2а0-2 (1 I г)2а0-2

(1 — 16112) (: + г)2ао + 2 < ^ (г) < (1 — 161|2)(1— ^«„ + 2 .

Оценки точны. Равенства достигаются, например, в линейно- и аффинно-инвариантном классе Сн С Ян однолистных близких к выпуклым отображений на функциях

/ (г) = К (г)+ 61 К (г), (4)

где ______________

г — 1 г2 + 6г3 , (2г2 +1 г3

К (г) = ,2 'в +

(1 — ^)3 V (1 — г)3

— гармоническая функция Кебе, или на функциях вида (3) в семействе С, порождаемом функцией ка(г).

Таким образом, сформулированная теорема дает усиление (по сравнению с оценкой, полученной в [7]) оценки порядка роста якобиана гармонических отображений в случае, когда ао < а.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию / € С, /(г) = Ы(г) + д(г), и фиксируем произвольное значение го = ге1^, 0 < г < 1. Тогда, в силу линейной инвариантности класса С, отображение /"(г) = Ьф [/] (г), определяемое по формуле (1) при Ф(г) = (г — го)/(1 — гог), также принадлежит классу С. При этом коэффициент 61 = /(0) функции / таков, что

^ = д' о ф(0) ■ ф/(0) = #/(го) ; 1 — |^|2 = ^(го)

Ы' о Ф(0) ■ Ф'(0) Ы'(го) ’ |^'(го)|2'

Используя аффинную инвариантность семейства С, применим к функции / преобразование (2) со значением е = 61. Тогда для вновь определенной функции

¥ (г)= ЛЙ1 [/>)

имеет место равенство В = ¥^(0) = 0, что означает принадлежность отображения ¥ классу Со.

Голоморфная составляющая Н (г) функции ¥ (г) = Н (г) + б(г) имеет вид

Н(г) = Т-Щ2 ■ 771°) ■ [(Ы о Ф(г) — Ы(го)) ■ Ы'(го) —

— (д о Ф(г) — д(го)) ■ д/(го) ].

Непосредственными вычислениями устанавливается, что

Л = н "(о) = 1 „

Л2 = 2 = (1-|2о!2)Т/(г°) Х

ТТ(2о)

X (Ы''(го)(1 — |го|2)2 — 2 го Ы(го)(1 — |го|2)) ■ Ы'(го) — — (д''(го)(1 — |го|2)2 — 2год'(го)(1 — Ы2)) ■ д'(го) = (Ы''(го )Ы'(го) — д''(го)д'(го))(1 — |го|2) — 2 го 3, (го)

= —го + 1 2°! ■ д! 1п 3,(го).

Из определения величины ао как максимума | «21 по всем функциям класса Со следует, что

ы

< ао.

Последнее неравенство справедливо также и для действительной части выражения под знаком модуля, что с учетом равенств ^о = г е®" и

д 1 д • 11 д

— 1п 3, (ге®") = е-®" - — 1п 3, (ге®") — *- — 1п 3* (ге®")

д^ А у 2 дг А у 2 ге®" ду> А у

позволяет преобразовать его к виду

/ 1 _ г2 д • \

—ао < г(^—1^^т_ ■ дг1п3/(ге®^ < ао.

Отсюда получаем

4 1—0? < дТ 1п3*(ге®") < 4 ГГ?.

Интегрируя последнее двойное неравенство по отрезку [0, г] и затем потенциируя, приходим к оценкам

(1 — г)2а°-2 3* (г) (1 + г)2а°-2

(1 + г)2а°+2 < 3* (0) < (1 — г)2а°+2 ,

что с учетом равенства Jf (0) = 1 — |6х|2 совпадает с требуемым в

формулировке теоремы.

Точность доказанных оценок на функциях К (г) + 61 К (г) в классе Сн, для которого ао = 5/2 (см. [2], [4]), и на функциях вида &а(г) + 61 &а(г) устанавливается непосредственной проверкой. □

Как и в работе [7], оказывается справедливой следующая теорема, в некотором смысле обратная к теореме 1 и приводимая здесь без доказательства.

Теорема 2. Если для данного отображения / € £ приведенная в теореме 1 верхняя оценка якобиана верна при некотором ао > 0, то найдется такое е, |е| < 1, что

Приведенные неравенства точны.

В качестве следствия из теоремы 1 получим точные оценки модуля производных аналитической и антианалитической частей отображений / € £.

Теорема 3. Пусть £ — линейно- и аффинно-инвариантное семейство гармонических функций. Пусть / = Н + д €£,61 = /(0). Тогда для любого г, |г| = г, 0 < г< 1, справедливы неравенства

Оценки точны в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений, для которых а = ао + 1/2. Равенства достигаются, например, в линейно- и аффинно-инвариантном классе Сн С Ян однолистных близких к выпуклым отображений на функциях вида (4).

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию / € £, /(г) = Н(г) + д(г). Комплексная дилатация ^f (г) = д/(г)/Н/(г) отображения

е

«2

2

< ао.

Если, кроме того, / € £0, то

|«21 < ао.

(5)

|д/(г)|< (г + |б1|)

(1+г)а0-3/2 (1_г)ао+3/2 .

/ удовлетворяет неравенству |иf(г)| < 1 V г € А, что позволяет применить к ней лемму Шварца в инвариантной форме, в соответствии с которой

М(г) — М(0)

< |г|.

1 — ^ (0Ь(г)

Отсюда, с учетом того, что Иf (0) = 61, приходим к оценкам

И(г)|2 • (1- г2|б1|2) + |б1|2 — г2 <

< 2(1 — г2) • Де 61^ (г) < 2(1 — г2) • |61|И (г)|.

Решая полученное неравенство относительно |иf (г)|, имеем

|Ь.|' (1 — г2) + г • (1 — |Ь,Г2)

И(«)| < ------------1 — г= |б1|2--------•

В совокупности с приведенной в теореме 1 верхней оценкой якобиана последнее неравенство позволяет утверждать, что

|Н^>|^Г^ <<‘ +

Верхняя оценка |д/(г)| получается отсюда с учетом соотношения

д/(г) = Иf(г) • Н/(г). ______

Точность доказанных оценок на функциях К (г) + 61 К (г) в классе Сн устанавливается непосредственной проверкой. Теорема доказана. □

Заметим, что в тех аффинно- и линейно-инвариантных семействах £, для которых а = ао + 1/2, при |611 ^ 1 первое из неравенств (5) преобразуется к виду

(1 + г )а—1

1ВД| <

__ г) а+1 '

(1 - г)

что совпадает с оценкой |h/(z)|, которую T. Sheil- Small [3] получил ранее для класса Sh .

Resume

In the affine- and linear-invariant classes of locally univalent sence preserving harmonic mappings of the unit disk the sharp estimates for the Jacobian are obtained.

Список литературы

[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Functionen. I /

Ch. Pommerenke // Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.

[2] Clunie J. Harmonic univalent functions / J. Clunie, T. Sheil-Small //

Ann. Acad. Sci. Fenn., A I Math. 1984. V. 9. P. 3-25.

[3] Sheil-Small T. Constants for planar harmonic mappings / T. Sheil-Small // J. London Math. Soc. 1990. V. 42. P. 237-248.

[4] Duren P. Harmonic mappings in the plane. / P. Duren. Cambridge. 2004. 214 p.

[5] Shaubroeck L. E. Subordination of planar harmonic functions /

L. E. Shaubroeck // Complex Variables. 2000. V. 41. P. 163-178.

[6] Starkov V. V. Harmonic locally quasiconformal mappings / V. V. Starkov // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sectio A. 1995. V. XLIX, N. 14. P. 183-197.

[7] Sobczak-Knec M. Old and new order of linear invariant family of harmonic mappings and the bound for Jacobian / M. Sobczak-Knec, V. V. Starkov, J. Szynal (to appear).

Тверской государственный университет, математический факультет,

170002, Тверь, Садовый пер., 35 E-mail: Sergey.Graf@tversu.ru