Ориентированные определители произведения булевых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

равны между собой, то есть /д(й) может быть представлен как путь луча света, отражённого от Д. Экстремальность длины /д(5) в этом случае следует из принципа Ферма.

Для завершения доказательства осталось заметить, что и Д, и /д(ю) симметричны относительно мнимой оси (см. рисунок).

Производя необходимые вычисления, получаем, что длина /д(й)

13 13

равна —л. Из теоремы 1 следует, что max(Re(c_2 + = Теорема

доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Duren P., Schober G. A variation method for harmonic mappings onto convex region//Complex variables. Theory appl. 1987. Vol. 9. P. 153 - 168.

2. Duren P., Schober G. Linear extremal problems for harmonic mappings the disk // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 106. P. 967 - 973.

3. Wegmann R. Extremal problems for harmonic mappings the disk to convex region // J. Comput. and Appl. Vath. 1993. Vol. 46. P. 165 - 181.

4. Осипцев \i. А. Коэффициентная оценка для гармонических автоморфизмов круга // Изв. вузов. Сер. Математика. 1999. № 7. С. 42 - 45.

УДК 519.48

В. Б. Поплавский

ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ

В статье рассматривается множество квадратных матриц одного и того же размера, элементами которых служат элементы произвольной булевой алгебры 1). Вводятся понятия ориентированных объёмов, ориентированных определителей таких матриц. В целом, они отлича-

ются от ранее определённых в математической литературе аналогичных понятий для квадратных булевых матриц [1 -4]. Целью этой статьи является вывод формул, представляющих собой некоторые свойства введённых здесь объёмов и определителей, касающиеся лишь полутрупповой операции в множестве квадратных булевых матриц - конъюнктного произведения матриц. Полученные правила вычисления ориентированных объёмов и определителей конъюнктных произведений матриц позволяют ввести в рассмотрение идеал «вырожденных» и подполугруппу «неотрицательных» булевых матриц.

То, что элементы некоторой булевой алгебры а'1 (/,_/' = \,...,п) составляют некую матрицу А, будем записывать А = (а'/). Верхний индекс элемента матрицы обозначает номер строки, а нижний - номер столбца.

Нетрудно видеть, что такие матрицы вновь образуют булеву алгебру, операции которой определяются для матриц поэлементно, а нулём и единицей такой вторичной булевой алгебры служат матрицы, образованные из нулей 0 и единиц I.

Конъюнктное произведение матриц А и В определяется как матрица С = Ау\ В того же размера, элементы с^ которой вычисляются по фор-

п

муле = У (а,' п^). Очевидно, что дуальным образом можно определить

(=1

дизъюнктное произведение матриц С = /1ЦД, элементы которой вычис-

п

ляются как = р| (а[ . Однако, так как далее будет рассматриваться

/=1

только одно конъюнктное произведение, именно эту операцию будем иметь в виду под термином «произведение». Множество квадратных булевых матриц относительно произведения образует полугруппу с единицей £ = (5у), где 5', принимает значение /, если / = и значение 0, если

Обозначим группу всех перестановок п индексов через Р, а множе-

+ -

ство всех чётных и нечётных перестановок через Р и Р соответственно.

Определение. Объёмами чётных и нечётных циклов

квадратной булевой матрицы А-(а^) назовём элементы булевой +

алгебры V А и V А соответственно, вычисляемые по формулам

УА= и (а* пар

(а,,...,а„)сР

УА= У (арпа^п-па""). (а,.....а „)еР

Объёмы чётных и нечётных циклов квадратной матрицы А далее будем называть ориентированными объемами матрицы А. Правым ЛОегЛ или левым 1<Ое1А определителем квадратной матрицы А назовем разности ориентированных объемов

/Юе(Л = УЛ\УЛ=УЛп(УЛУ и ШеЫ = V А \ У А = V А п (V А)'

Правый и левый определители квадратной матрицы А будем называть также ориентированными определителями матрицы /(.Определителем квадратной матрицы А называется

Пе/А = V А \ АА = ЯОс/А и ШсчА.

К сожалению, рамки данной статьи не позволяют подробно рассмотреть не только свойства булевых и полугруг.повых операций множества квадратных булевых матриц, но и свойства ориентированных объёмов и определителей. Тем не менее некоторые свойства перечислим без доказательства [1].

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Ориентированные объёмы и определители не изменятся, если произведена чётная перестановка строк (столбцов). В случае нечётной перестановки строк (столбцов) матрицы ориентированные объёмы и определители меняются на противоположно ориентированные.

Как следствие получаем, что для матрицы, в которой встречаются два одинаковых столбца (строки), ориентированные объёмы совпадают, а определители - пустые (нулевые).

Приведём теперь основное утверждение этой статьи.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для любых матриц А и В выполняются равенства

У(ЛП5) = (^/(п¥£)и(УЛпУЯ)и2[/1;в], (1)

Я£>е/(ЛП В) = [(КОе(А п кОе1В) и (1.Пе1А п ¿ОсиВ)] \ I[Л;5], (2) ЮеГ{А\\ В) = [(ЮегА п /ШегЯ) и (7Ш<?Мгл 1£>е/5)] \ В], (3)

Ое1{А\\ В) = [ИеГА о йегВ)\\ Л[А; В], (4)

где Х[Л;5] = и и -

(А, ,А2,..,*„-(а¡,...,ап)еЯ -есть равные)

объединение по всем различным индексам а(,..,ал и по индексам ки..,кп, среди которых есть хотя бы одна пара равных значений.

Докажем формулу (1), из которой остальные формулы получаются непосредственно. Используя определения ориентированных объёмов и произведения, можно записать

II (УК' пб^-^иК" глЬк„°))-

1 (- " (а,...а „)еР 1

Раскрывая последнее выражение относительно объединений, получается объединение пересечений вида аnè*1 п...Па°" п0 всевозможным значениям индексов к\,к2,..,кп. Из этих пересечений выделим только те, у которых индексы k¡,k2,..,kn принимают несовпадающие между собой значения, то есть (k¡ ,к2,..,кп) е Р или (к},к2,..,кп) е Р, и объединим их. Оставшиеся пересечения дадут объединение

А},., ^„-есть равные

в котором есть хотя бы одна пара равных значений у индексов к],к2,..,кп.

Тогда в силу предложения 1 получаем выражение

± ± + + - ±

й) = (V/4 n V S) и (V/1 rW ß) и ß], в котором введено обозначение

ft*в]= U U (<' п - ^ <" п ^- n )

± (к,,...,кп-есть- равные) (а,,...,а „)е/>

На самом деле последнее выражение не зависит от чётности или нечётности перестановки индексов (а],а2,.--,(хп). Действительно, выражение (J (я^1 п...па"л) есть ориентированный объём матрицы,

± 1 "

(а,.....а „)е/>

построенной из столбцов матрицы А с номерами kt,..,kn, среди которых есть одинаковые. Это означает, что можно провести переобозначение:

что и доказывает предложение 2. Из формул (4) видно, что множество матриц, определяемое условием DetA = 0 и которое можно назвать множеством вырожденных матриц, образует идеал. Из формул (2) и (3) получаем, что множество неотрицательных матриц, определяемых условием LDetA = 0, образуют подполугруппу булевых матриц с единицей Е.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Chesley D. S., Bevis J. H. Determinants for matrices over lattices // Proc. Roy. Soc Edinburgh. 1969. A 68, №2. P. 138- 144.

2. Rudeanu S. Boolean functions and eguations. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1974. xix+442 p.

3. Rutherford D. E. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1963, Vol. 6, № 1. P. 49-53.

4. Wedderburn J. H. M. Boolean linear associative algebra // Ann. of Math. 1934. №35. P. 185-194