Оценка форм взаимодействия между парциальными системами в механических цепях. Возможные упрощения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62.752

ОЦЕНКА ФОРМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ПАРЦИАЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ В МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. ВОЗМОЖНЫЕ УПРОЩЕНИЯ

С.В.Елисеев1, П.А.Лонцих2

1Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предлагается метод упрощения структуры механических колебательных систем с несколькими степенями свободы. Метод основан на исключении промежуточных координат из математической модели системы. Используется понятие обобщенной пружины, через которую исключается промежуточная координата. Ил. 6. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: механическая колебательная система; обобщенная пружина; исключение координат; передаточная функция механической системы.

EVALUATION OF INTERACTION FORMS BETWEEN PARTIAL SYSTEMS IN MECHANICAL CHAINS. POSSIBLE

SIMPLIFICATIONS

S.V. Eliseev, P.A. Lontsikh

Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074. Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article proposes a method to simplify the structures of vibratory systems with several degrees of freedom. The method is based on the elimination of intermediate coordinates from the mathematical model of the system. The authors use the conception of generalized spring, via which the intermediate coordinate is eliminated. 6 figures. 6 sources.

Key words: vibratory system; generalized spring; elimination of coordinates; transfer function of a mechanical system.

Введение. При решении задач, связанных с выбором параметров транспортных подвесок, защиты оборудования и аппаратуры от вибраций, ударов, в качестве расчетных схем часто используются механические колебательные системы с двумя и более степенями свободы. В частности, интерес представляют системы с тремя степенями свободы, структура которых при использовании структурных методов теории цепей проявляет свои особенности [1,2]. Несмотря на то что в практике расчетов предлагаются различные варианты преобразования систем [3], многие вопросы еще не получили развития в той форме, которая обеспечивала бы достаточную универсальность. В этом отношении определенными возможностями обладают

подходы, основанные на приемах исключения промежуточных координат.

В предлагаемой статье рассматривается ряд приемов, позволяющих оценить особенности динамических взаимодействий между парциальными системами на основе преобразования межкоординатных связей.

I. Общие положения. Постановка задачи исследования. Рассмотрим цепную механическую систему, которая состоит из трех масс (т1,т2,т3), соединенных последовательно упругими элементами (к + к4); внешние воздействия имеют форму кинематических z3) и силовых (0>1,Q2,Q3) возмущений, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема подвески в виде цепной механической системы с тремя степенями

свободы

1Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, тел.: 89025665129. Eliseev Sergey, Doctor of technical sciences, Professor, tel.: 89025665129.

2Лонцих Павел Абрамович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой управления качеством и механики, тел.: 89025165047.

Lontsikh Pavel, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Quality Management and Mechanics, tel.: 89025165047.

Система дифференциальных уравнений движения может быть построена на основе известных приемов [4] и имеет вид

т\У\ + У\ (к\ +к2)~ У2к2 =К2ъ С)

т2У2 + У2 (к2 + ) " УА ~ кзУз = (2)

ЩУз + Уз(к3 + ) ~ У 2^3 = к423 ■ (3) Из (2) найдем, что координаты связаны соотноше-

нием

у2 = кзУз + к2 Л . (4)

тр + к2 + кз

Введем обозначения:

к

а =

Ь =-

т2р2 + к2 + к3 т2р2 + к2 + к3

(5)

Система уравнений (1)+(3), с учетом того что у2 = ау3 + Ъу]_, может быть приведена к виду

у1 (т1 р2 + к1 + к2 - к2Ь) - к2ауз = к1!1, (6) Уз (тзР2 + кз + к4 - кза) - кзау1 = к4хз, (7) где р = комплексная переменная (у = >/—!) [3]. Структурная схема системы для этого случая представлена на рис. 2; при этом принято, что в = 0.

а

Л\

кга

1

тр2 + к + к - к2ъ

Ф

У1

а

к

1

тгр + к + к - ка

к

Рис.2. Структурная схема для системы, представленной на рис. 1

Отметим,что

к2а = к3Ь = -

к2 кз

-■ (8)

т2р£ + к2 + к3

Из структурной схемы (рис. 2) следует, что силовые и кинематические возмущения являются эквивалентными, поскольку связаны с одними и теми же точками приложения. Однако они могут в физическом смысле иметь другую природу. При совпадении частот двух внешних факторов возможно их объединение, что приводит к ситуациям, в которых существенное значение приобретают сдвиги по фазе между воздействиями. Последнее может приводить к новым эффектам динамических взаимодействий в системе, влиять, в частности, на изменение режимов динамического гашения колебаний [5].

II. Исключение координаты у2. В свою очередь, используя структурную схему (рис. 2), найдем, что передаточные функции парциальных систем (или блоков) могут быть преобразованы:

1

(тр + к + к2) - к2ь

т2р2 + к2 + к3

(9)

(тр2 + к + к2 )(т2р2 + к2 + к3 - к2)

1

(тр + к3 + к4) - к2а ,2

т2р2 + к2 + к3

(10)

(щр2 + к3 + к4 )(тр2 + кг + к3) - к2 Соотнося (9) и (10) с особенностями расчетной схемы на рис. 2, можно отметить, что эти выражения соответствуют передаточным функциям парциальных систем по координатам у1 и у3 (рис. 3,а,б).

к.

к

\

\

ту

01

/

У1

аз т ' кЛ

\

/ I

Уз

т,

т,

к

Рис. 3. Расчетные схемы парциальных блоков подсистемы как расчетной схемы на рис. 1

В соответствии с расчетными схемами (рис.3) передаточные функции по у1 и у3 имеют вид соответственно:

щ р)=У-= в1

т2 р

' к2 + кз

(11)

(т1 р2 + к1 + к2)(т2р2 + к2 + к3) - к2

Щ( р) = ^ =

вз

т2 р

к^ + к3

(12)

(тзр2 + кз + к4)(т2р2 + к2 + кз) - кз2

что подтверждает тождество (9),(10) и (11), (12).

Проведем преобразования в парциальных блоках структурной схемы на рис. 2 и запишем, что

(т2 р + к2 + кз)

(т2р2 + к2 + кз)(т1 р2 + к1 + к2) - к2

(13)

тр

т2 р2 к2

к2 кз

т2 р2 + к2 + кз т2 р2 + к2 + кз

2

к

г

к Ъ

г

3

1

( т2Р

-к3)

(m2p2 + k2 + k3)(m3p2 + k3 + k4) -k32

(14)

m3 Р

m2 Р 2k3 +k +k

k2 k3 +k +k

«2Р + к2 + кз щр + к2 + кз С учетом (8) и (13), (14), а также правил структурных преобразований [2], можно исходную расчетную схему системы на рис. 1 представить в упрощенном виде как систему с двумя степенями свободы (рис. 4), но в этом случае исключается координата у2.

Отметим, что предлагаемое упрощение как некоторый метод, основанный на исключении координаты (в данном случае у2), позволяет представить исходную расчетную схему с нетрадиционных позиций. Последнее связано с введением в рассмотрение обобщенных пружин [6], которые (рис. 4) работают в параллельном соединении с упругими элементами к1 и к4 . Введем обозначения для приведенных жесткостей обобщенных пружин соответственно:

дополнительные пружины (обобщенные в данном случае) соответственно к[ и к'4. Определение этих жесткостей связано с учетом динамических взаимодействий, вызванных наличием механической цепи (к2,т2,т3) между элементами с массами т1 и т3 (рис. 5); она состоит из трех последовательно соединенных элементов.

Отметим, что при т2 = 0 связь между элементами т1 и т3 (рис.5) превращается в пружину с приведенной жесткостью

k23

k2 k3

, , (18) к*2 + кз

что следует из выражения (17) при т2 = 0. При этом к[ и к4 принимают значения, равные нулю, а система превращается в обычную цепную механическую систему с двумя степенями свободы. Если в такой системе ввести, например, параллельно некоторый упругий элемент между основанием и массой т1(обо-значим его через к"), то этот элемент образует с к1

m2 P'K

mp' + k + к

к,

Я.

mlp

Ш

Уз

k2m2 Р1

кк m3p2 m2 pp + k3 + k4

щрг + к +к

к,

о о

\ \

Рис. 4. Расчетная схема исходной системы в упрощенном виде

К —

k2 m2 Р

k4 — ■

m2p + k2 + k3 k3 m2 Р2

(15)

(16)

т2р + к2 + к3

Что касается перекрестных связей между парциальными подсистемами, то они формируются через обобщенную пружину, жесткость которой можно определить

параллельное соединение, то есть, по-существу, формируется новая пружина с жесткостью к1 + к' , но к" не попадает в схему силового взаимодействия между т' и т3. Аналогично, если параллельно к4 ввести (рассматривается упрощенная модель системы при т2 = 0) упругий элемент к'4 между массой т3 и основанием, то получим такой же эффект, как и в отношении т.

k' —-

k2 k3

,2

+ kо + k~l

(17)

m2 Р + k2 + k3 Обобщенная пружина отличается, если иметь в виду обычные представления, тем, что ее жесткость зависит от частоты. При этом обобщенная пружина на определенных частотах может увеличиваться до больших значений (запираться) при резонансных соотношениях или уменьшаться до нуля (при отсутствии сил сопротивления). Во всех остальных отношениях обобщенная пружина ведет себя (имеются в виду преобразования), как обычная пружина.

III. Динамические свойства системы. Рассмотрим некоторые динамические особенности в упрощенной системе (рис.4).

1. В первую очередь, это связано с тем, что в парциальную систему (в структурную схему) вводятся

к

\m? - направление к контакту с m

m0

У

-Г

к

1 к контакту с m.

Рис. 5. Расчетная схема для определения параметров обобщенной пружины в соединении элементов

m и m3

1

z

z

В обоих случаях дополнительные упругие элементы (или связи) войдут в структуру передаточных функций парциальных систем по координатам у1 и уз соответственно. Однако эти элементы не входят в передаточную функцию перекрестной связи. Такая особенность сохраняется и для более сложных систем.

В физическом смысле введение к1 или к4 изменяет характер динамических взаимодействий массои-нерционных элементов с неподвижным основанием системы (корпус машины или фундамент).

2. Во-вторых, хотя координата у2 и исключается из процесса построения структурной схемы, влияние массоинерционного элемента т2 учитывается по двум каналам: через связь между элементами т1 и тз (межкоординатные связи к 2а и кзЬ - рис. 2), а также через обобщенные упругие элементы с приведенными жесткостями, определяемыми выражениями (15), (16). В рассматриваемом случае внешние воздействия в1 и вз , так же как и смещение основания г1 и гз, являются входными сигналами по отношению к элементам с массами т1 и тз . Вместе с тем, по координате У2 движение не исключается, что обеспечивает динамические связи т1 и тз.

IV. О связи структурных интерпретаций. Рассмотрим возможности построения передаточных функций обобщенных пружин (в данном случае жест-костей) из структурных элементов системы (рис.1). Для определения параметров обобщенных пружин в соответствии с выражениями (15), (16) воспользуемся расчетной схемой на рис. 6.

т.(2)

б )_ У:

к

У1

Если в системе реализуется один из вариантов силового или кинематического внешнего воздействия, то элемент массой т2 начинает колебаться, поскольку точки (1) и (2), принадлежащие элементам т1 и ? т2 приходят в движение. При этом у1 и уз по отношению к механической системе из к2,кз,т2 (рис. 6,а) являются кинематическими возмущениями (и они могут рассматриваться по отдельности). Для того чтобы найти динамическую силу, которая действует на элемент т1, можно построить структурную схему, как показано на рис. 6,б, откуда передаточная функция от у1 по Е1 (- динамическая функция) определится достаточно просто, если в структурной схеме (рис. 6,б,в) выделить дополнительное звено с передаточной функцией Ж(р) = 1, на выходе которого в точке

(1) проявляется динамическая реакция ^. Именно эта сила отождествляется в физическом смысле с действием обобщенной пружины с жесткостью (15):

% (р) = $ = 4 У1

т2р к2

тр2 + к2 + к3

Аналогичным образом можно получить

ттгг / ч ^з т2р2кз

Щ( р) = -2 , з , ■

уз тр + к2 + к3

(19)

(20)

Таким образом, механическая система с тремя степенями свободы может быть упрощена до системы с двумя степенями свободы методом исключения промежуточной координаты (в данном случае у2 ). Полученные выражения общего вида для определения параметров системы допускают переход к обычным системам с двумя степенями свободы при вы-

К

1

к2 + кз 4— 1 —6- тгрг

-1

к2 + к3

Уз

тК

тгр

1

Рис. 6. Расчетная и структурная схемы для определения параметров обобщенных пружин

2

3

1

1

полнении условия т2 = 0. Возможности преобразований основаны на введении и использовании понятия обобщенная пружина. По отношению к типовым элементарным звеньям в виде обычных звеньев (пружины, массоинерционные и др.) обобщенная пружина является блоком соединенных между собой типовых элементарных звеньев системы; вместо пружин могут быть использованы и другие элементы из расширенного набора элементов виброзащитных систем. Все необходимые преобразования для упрощения исходной расчетной схемы осуществляются на основе известных в теории колебаний приемов выделения парциальных систем и правил компоновки из них структурных моделей [2].

Заключение. Отметим, что в определении параметров динамического взаимодействия со стороны промежуточной структуры по координате у2 возникает несимметрия в значениях параметров обобщенных

пружин (см. выражения (15), (16)), что определяется не только особенностями структуры самой системы, но и, как показывает технология получения выражений (19) и (20), формированием различных динамических реакций в точках контакта промежуточной системы, то есть в точках (1) и (2).

Важным обстоятельством для обоснования метода упрощения является то, что возникающие несимметричные динамические реакции, связанные с появлениями действия соответствующих обобщенных пружин, «разносятся» по массам щ и т3. Они входят в структуру парциальных систем т1 и т3 на тех же основаниях, что и пружины с упругостями к' и к4 . Учет упомянутых особенностей очень важен, поскольку на его основе становится возможным решение задачи или развязка непланарных связей.

Библиографический список

1. Подураев Ю.В. Анализ и проектирование мехатронных систем на основе критерия функциональной структурной интеграции // Мехатроника, автоматизация и управление. №4. С. 6-12.

2. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / С.В. Елисеев [и др.]. Иркутск: ИрГУПС, 2009. 128 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №738-В 2009.

3. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск: Наука, 2011. 394 с.

4. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики в 2-х т. Т.2: Динамика. М.: Наука, 1986. 638 с.

5. Елисеев С.В., Лонцих П.А. Влияние управляющей силы в структуре внешних возмущений // Вестник ИрГТУ. 2011. Вып. 4(51). С. 26-33.

6. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю. Обобщенная пружина в задачах динамики машин и оборудования // Сборник Полтавского национального технического университета. Полтава: ПолтНГУ, 2009. Вып. №3 (25). С. 79-89.

УДК 621.86/87

ПОСТРОЕНИЕ И ОБУЧЕНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЕРЦЕПТРОНОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ МАШИН

А.В.Якимов1, С.П.Озорнин2

Забайкальский государственный университет, 672039, г. Чита, ул. Александро-Заводская, 30.

При проведении контроля технического состояния металлических конструкций грузоподъемных машин по существующим методикам учитывается лишь небольшой объем эксплуатационной информации, доступной в настоящее время благодаря современному оборудованию кранов. Обработка большего количества информации затруднительна ввиду высоких вычислительных затрат. В качестве решения проблемы авторами предложено использовать нейронные сети, основная функция которых заключается в преобразовании исходной эксплуатационной информации в данные о действующих в металлоконструкции напряжениях с последующим расчетом усталостного повреждения. Основное внимание уделено проблемам построения и обучения многослойных перцеп-тронов - разновидности нейронных сетей. Результаты исследования показали высокую эффективность работы перцептронов при выполнении назначенной им функции преобразования. Достоверность расчетных напряжений находится в прямой зависимости от качества проведения предварительных конечно-элементного анализа или тензометрии. Ил. 2. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: перцептрон; нейрон; слой; обучение; напряжение; кран; металлоконструкция; эксплуатация; С++; Flood2; вектор.

1Якимов Артем Викторович, аспирант, тел.: 79144812885, e-mail: artuomsci@gmail.com Yakimov Artyom, Postgraduate, tel.: +79144812885, e-mail: artuomsci@gmail.com

2Озорнин Сергей Петрович, профессор, доктор технических наук, директор научно -образовательного центра проблем транспорта и сервиса машин, тел.: 73022417316, e-mail: chitgu_atf@mail.ru

Ozornin Sergey, Professor, Doctor of technical sciences, Director of Research and Educational Center for the problems of transport and machinery service, tel.: 73022417316, e-mail: chitgu_atf@mail.ru