CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том VII
197 6
№ 2
УДК 629.78.015.076.8
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ТОРМОЖЕНИЯ НА СВЕРХКРУГОВЫХ СКОРОСТЯХ ДВИЖЕНИЯ
В. Г. Коняев
Выводятся приближенные соотношения для оценки эффективности аэродинамического торможения осесимметричного КА при прохождении им атмосферы планеты со сверхкруговой скоростью. Точность полученных соотношений оценивается путем сравнения с численными результатами для торможения КА в атмосфере Земли.
Будем считать, что беспилотный космический аппарат (КА) имеет форму затупленного осесимметричного тела, а траектория его движения в атмосфере на сверхкруговых скоростях достаточно полога (угол 6 наклона траектории к местному горизонту мал, sin 0 — 0, cos0 ~ 1). Тогда движение центра масс КА приближенно будет описываться известной системой уравнений*:
dV
dt
°xg о
db
dt
pV2;
g(R o+ Я)
V*
dH
dt
= ve,
0)
где V — скорость; Н — высота над поверхностью планеты, р — текущая плотность атмосферы, g и go — ускорение силы тяжести на высоте Н и у поверхности планеты соответственно, R0— средней радиус планеты, ах — баллистический коэффициент КА. Поскольку вертикальная протяженность плотных слоев атмосферы планеты существенно меньше ее радиуса, можно положить, что
Пусть
/?0 - Н = R = const, g(H)~g0.
g0R
у 2
(2)
(3)
Очевидно, что при сверхкруговых скоростях движения величина о положительна и меньше единицы. Рассмотрим систему (1) в предположении, что в сверх-круговом диапазоне скоростей изменение 8 в первом приближении несущественно влияет на траектории, описываемые системой (1). Тогда, считая величину 8 постоянной и учитывая (2) и (3), сведем систему (1) к виду:
d\
db
goR
2о
V,
^- = Ае. db 8
(4)
* Л о х У. Динамика и термодинамика спуска в атмосфере планет. М., „Мир“, 1966.
Отсюда, интегрируя второе уравнение, находим . и
Я=^Я* + -4-0а- - (5>
* 25
Здесь и далее индексом обозначены величины, соответствующие точке траектории, где угол в обращается в нуль.
Из (5) видно, что условие о = const приводит к траекториям, симметричным относительно радиуса, проходящего через точку траектории, где 0 = 0. Значит и абсолютное значение угла 0 для таких траекторий при входе КА в атмосферу и выходе из нее будет одним и тем же.
Далее, полагая, что атмосфера изотермична, т. е. справедлива зависимость
Р = Ро ехр (— Р Я), (6>
первое уравнение в (4) с учетом (5) и (6) преобразуем к виду 1
1 dV - .... go R ах Р*
Пусть
V М 26
Г
V
ехр -_Р£-0* . (7>
(8>
и в момент входа К Л в атмосферу V — V,,. О =? 0Н, а в момент его вылета из нее У= V,, и. 0 =— 0„ [последнее условие — в силу симметрии .траектории (5)]. Тогда, интегрируя (7), находим , , • . . г і . г,
ёо ах Р* ф (*н). (9>
где
Ф С*и) =
j/Ajexpf.
" о ,
Xі
т
dx. (10)
Используя (5) и (8),и обозначив через ДЯ разницу между высотой условной границы атмосферы и величиной Я*, для хн можно записать
*н=У23Д Я. (11)
Если считать, что лгн>-2,5 (это всегда можно сделать, увеличивая высоту условной границы атмосферы), то значение Ф(л:н) из (10) будет менее чем на \,Ъ% отличаться от своего максимальнрго значения, равного единице. Поэтому, полагая в (9) Ф (хн) — 1, перепишем это соотношение в следующем окончательном виде:
VK = Vu ехр |/Гgo °xP*J ■ (12>
Используя (5) и (6), из этой формулы можно получить и выражение для угла входа в атмосферу-0„; . : , 1
где через Я„ обозначена высота условной границы атмосферы.
Очевидно, что наибольшую погрешность формула (12) будет давать для случая, когда значение VK близко к круговой скорости. Это следует из того, что при V\ -» goR> согласно (3), 8-»0 и в этом случае более всего нарушаются предпосылки, используемые при выводе (12). Поскольку же плотность атмосферы экспоненциально зависит от высоты Я, а изменение высоты Я, согласно (5), очень чувствительно к изменению угла 0, следует ожидать, что наибольшую погрешность при использовании (12) будет иметь величина | 0Н i из (13). ■ .■ :
Для определения абсолютной погрешности при вычислении угла входа в атмосферу по формуле (13) по сравнению с его истинным значением в случае движения в атмосфере Земли при заданных параметрах р, R, ах и т.д. численно интегрировалась система (1). Результаты этих вычислений при Я„=100 км, VK — = 8 км/с и различных о* представлены на фиг. 1 сплошными линиями. Там же штриховыми линиями нанесены соответствующие значения | 0Н |, определенные по
формуле (13). Как видно из графика, формула (13) дает хорошее приближение к точным значениям. Относительная погрешность при ее использовании не превышает 5%, причем при ДУ= К„— ^>1 км/с формула (13) несколько завышает значения | 9Н I по сравнению с истинным. Следовательно, соотношением (13) можно пользоваться при определении минимального угла входа в атмосферу, гарантирующего захват КА атмосферой планеты, а формула (12) применима для оценки эффективности аэродинамического торможения осесимметричных ¡КА ‘при сверхкруговых скоростйх движения.
Фиг. 1
, Соотношение (12) можно записать в несколько ином виде. Предположим, что максимальное значение перегрузка принимает в точке наибольшего погружения КА в атмосферу и равна
ЛшаХ = ~Р*^. (14)
Пользуясь (7), легко показать, что
V/2=К„Кк, (15)
т. е. значение скорости в точке наибольшего погружения траекторий в атмосферу есть среднее геометрическое скоростей КА при входе его в атмосферу и вылете из нее. Подставляя (14) в (12) и учитывая (15), преобразуем соотношение
(12) к виду - . -
, 1Г ,,г §оптах 1 [ 2^ Я
V 1г • “8)
Вводя величину
д7=(У„- Ук)/Ук (17)
и полагая в (3) V— У„, из (16) получим формулу
Тн,+^-,| ■ <|8>
где VI = VIIёо/г.
Полученное соотношение дает связь между величиной потери скорости ДК при аэродинамическом торможении КА на сверхкруговых скоростях с максимальной перегрузкой лтах. Можно показать, что значение ДУ из (18) определяется однозначно, так что численное его отыскание не представляет труда. Результаты таких вычислений для движения в атмосфере Земли при Ук = 8 км/с
приводятся на фиг. 2 в виде зависимости ДК = VH — Кк от /гтах, которая изображена штриховой линией. Сплошной линией здесь представлена эта же зависимость, полученная на основании численного интегрирования системы (1) с отслеживанием максимальной перегрузки ятах. Из графика видно, что при 10 км/с
и «max <20 формула (18) дает значения ДК, вполне удовлетворительно согласующиеся с точным решением.
В соотношение (18) явно не входит величина ах. Это значит, что на траекториях (5) значение ятах полностью определяется параметрами самой траектории и не зависит от ах. При изменении ах величина | 0„ | из (13) и соответственно р* из (14) изменятся таким образом, что значение лтах при тех же VH, VK,
й и Р останется неизменным. Этот вывод согласуется с подобным выводом, полученным для другого частного случая движения в атмосфере осесимметричного КА (см. сноску на стр. 177).
Рукопись поступила 19\Ш 1975 г.
