Траектории минимальной дальности при входе космического аппарата в атмосферу Земли со сверхкруговой скоростью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

__

№ 1

УДК 629.78.015.076.8

ТРАЕКТОРИИ МИНИМАЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ ПРИ ВХОДЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В АТМОСФЕРУ ЗЕМЛИ СО СВЕРХКРУГОВОЙ СКОРОСТЬЮ

Ю. Н. Желнин, А. А. Шилов

Рассматривается вариационная задача о минимуме дальности полета космического аппарата при входе в атмосферу Земли со сверхкруговой скоростью. Управление траекторией осуществляется путем изменения вертикальной составляющей аэродинамической подъемной силы (управление углом крена). На величину максимальной перегрузки наложено ограничение. Используется принцип максимума Л. С. Понтрягина. В результате качественного анализа уравнений движения и уравнений сопряженной системы определено оптимальное управление для различных типов траектории минимальной дальности.

Одним из требований, предъявляемых к траекториям космического аппарата при входе в атмосферу, является посадка в заданном районе на поверхности Земли. Если учесть, что семейство траекторий подлета к Земле ограничено, то представляет интерес задача определения области возможного маневра космического аппарата при условии, что координаты точки входа в атмосферу фиксированы. Траектории минимальной дальности, рассматриваемые в настоящей статье, позволяют определить нижнюю границу этой области.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для анализа структуры оптимального управления воспользуемся приближенными уравнениями движения космического аппарата в атмосфере, полученными в работе [1]:

у[ = — К+е ~ 1; у'^ух, (1)

У 2

где х = -1пУ (^У=^=^у, У1 = -у~Ш0; Ь =

{р —Ро е~хнУ, К = У /?Х/С, здесь К = Ка сое ^ — эффективное аэроди-

о

намическое качество, Ка = — — аэродинамическое качество аппа-

су

рата при балансировочном угле атаки а.

Предполагается, что угол крена к аппарата может изменяться от нуля до тт. В этом случае величина эффективного аэродинамического качества удовлетворяет условию

- Ка < К(х) < Ка, Ка = УШКа . (2)

Величины дальности полета и суммарной перегрузки определяются выражениями

*0 2

=КЖи+к1Г л *~2* • (4)

Начальные условия заданы:

у1(х*)=У)1; Л(*о) = .Уа,

а конечные условия считаются произвольными. Концом траектории считается значение хк, соответствующее некоторой достаточно малой скорости. Требуется определить К(х) с учетом ограничения (2) таким образом, чтобы величина дальности £ была минимальной и чтобы величина перегрузки Пл не превышала заданной величины М;:

То (*, у и у2) = У Л 41 +К1)у, е~2 - - < 0 . (5)

Для определения оптимального управления используем принцип максимума Л. С. Понтрягина для систем с ограничениями на фазовые координаты [2], [3]. Поскольку в выражение для перегрузки яе, представляющей ограничение на фазовые координаты, управление явным образом не входит, то в соответствии с [3] ограничение (5) необходимо дополнить <7 соотношениями, представляющими собой производные от этого ограничения (<7 — порядок производной, начиная с которой управление входит явно). В рассматриваемой задаче <7 = 2, и указанные соотношения имеют вид

?!(*, Уи У2)=^1 — 2^== 0, (6)

Ъ(х,УьУд = -К+-^-=^~4у2 = 0. (7)

У 2

Оптимальная траектория будет состоять из участков движения по ограничению (5) и участков движения вне ограничения. Оптимальное управление на участке движения вне ограничения определится из условия максимума гамильтониана системы (1)

_ е2 х — 1 1//М

Н = —Р1К + Р1— -------1- Р2У1 + р3 —— (8)

Уъ Уъ

и будет равно

К (*)«= — КаЪ^пр^х), (9)

где рл (х), ръ(х), (х) — сопряженные переменные, определяемые следующей системой дифференциальных уравнений [4]:

, , е2х-\ . УЩк . П /1т

Рх--Р2, Р2 — Р1----Рз = 0. (10)

У 2 У 2

На участке движения по ограничению управление определяется условием движения с постоянной перегрузкой:

т? /-ч УТ+Ж„ МЯге** /11Л

К*{х) =------д7—~{1-е2х)------------(11)

^ ЯЛ У 1 + К\

Отметим, что при К{х)^>^м(х) _произойдет сход с ограничения внутрь области, а при К(х)< Кы (х) — нарушение ограничения. В точке выхода на ограничение должны быть выполнены условия (6) и условия разрыва сопряженных переменных:

р- _ п+______д?о „

Р' Рх ~ 110 дух Н'1 дух ’

п+- ... д9<> д({>1

р2 -рз 14- Н+-(1

Н _Н

где „ —“ и означают положение системы до и после момента разрыва сопряженных переменных: ц0 и ^ — неизвестные

постоянные.

Учитывая (5)—(7), представим условия разрыва в следующем виде:

РГ — Р? — — !*1>

Р2-Р2 =— р0е-2х° + 21>.и (12)

Н~ — Н+ = — 2(10 е~2*ву2,

где хв — точка выхода на ограничение.

Сход с ограничения может произойти в двух случаях. В одном случае требуемое значение Кл(х) превысит ограничение (2), и тогда точка схода хс определится условием

Км(хе) --К.- (13)

В другом случае сход с ограничения произойдет, если оптимальное управление, определенное из условия максимума гамильтониана и равное

К(х) = — Ка sign Рг (х), (14)

окажется больше Кы(х)\ здесь р?(х) — сопряженная переменная при движении вдоль ограничения, определяемая в соответствии с [3] выражением

1Л1 дН" 1 ан*

Тогда система сопряженных переменных с учетом (7) имеет вид р\ы=-р%, Рг= - Iр\ы + РгУ^ , Р’ъ" = 0. (15)

- У 2

На правом конце траектории в силу произвольности координат ^(^к) и у2(хк) сопряженные переменные определены:

А (*к) =/М*к) = 0, р ,(*„) = —1. (16)

Начальные значения сопряженных переменных и произвольные постоянные 1^1 И Ц2 в общем случае неизвестны и должны быть найдены в результате решения краевой задачи. Отметим при этом, что число участков движения по ограничению заранее неизвестно. В связи с этим проводится анализ условия движения по ограничению и движения вне ограничения, в результате которого в ряде важных случаев удается найти число участков движения по ограничению.

УЧАСТОК ДВИЖЕНИЯ ПО ОГРАНИЧЕНИЮ (ИЗОПЕРЕГРУЗОЧНАЯ ТРАЕКТОРИЯ)

Рассмотрим условия движения по ограничению. Величина эффективного аэродинамического качества при движении по изопе-регрузочной траектории определяется выражением (11). Из анализа этого выражения следует, что Кы (х) имеет максимум при некотором значении х — х* и неограниченно убывает при изменении х вправо и влево от точки х, соответствующей некоторой скорости V*. Максимальные значения Ки и х* определяются выражениями

1Гшах У 1 ~Ь Ка 4 /1 -7\

Кк -----------------ТШ' ( >

<!+!>».

4 4 УУв

Из анализа результатов расчетов по этим формулам следует, что в диапазоне значений Ка, представляющих практический интерес, К™* невелико по абсолютной величине и не превышает практически возможных значений.

Поскольку величина эффективного аэродинамического качества ограничена (2), то и диапазон значений скорости, при которой возможно движение по изоперегрузочной траектории при фиксированных значениях перегрузки, ограничен. Максимальное и минимальное значения скорости в этом диапазоне определяются из решения биквадратного уравнения, которое получится, если в выражение (II) подставить Кы(х)=—Ка- Учитывая, что е~2х=\/2, запишем это уравнение:

— / Ка М: \ _ 4 д/|

_ У4 —( + I ) ^2 +----ЗЛ|-----= о. (18)

\У\+К2а ' (1 +К1)& V '

6—Ученые записки № 1

81

Из анализа решений этого уравнения следует, что диапазон значений скорости (Ктах, 1Лп1п) довольно широк (фиг. 1). При этом величина Уш!п мала, что позволяет осуществлять движение по изо-перегрузочной траектории почти до полного торможения аппарата. При увеличении аэродинамического качества аппарата диапазон (^шах, 1Лп1п) расширяется. Однако при_ неограниченном увеличении аэродинамического качества 1Лпах и 1Лп1п стремятся к некоторым

предельным значениям, определяемым уравнением (18) при Ка -> оо:

1/2(У2

откуда

■М —1) = 0,

V:

■К„->оо

1/1 + №,

Из проведенного анализа следует, что возможны три случая движения по ограничению (5) (фиг. 2).

Случай, 1

Рв<Кшах; Ка>КТ, (19)

где Ув — скорость в момент выхода на ограничение.

В этом случае движение по перегрузочной траектории происходит до скорости V = = Утт, после ЭТОГО ПрОИСходит сход с ограничения внутрь области. Промежуточных участков движения вне ограничения нет. Действительно, интеграл (3), определяющий величину дальности, только возрастет, если траектория будет иметь участки движения вне ограничения на интервале (Ув, Vщ1п)-

Случай 2 .

Фиг. 1

1/в>К

(20)

Здесь после выхода на ограничение движение по изоперегру-зочной траектории невозможно и траектория, коснувшись ограничения, сойдет с него внутрь области (5). После этого возможен вторичный выход на ограничение и движение по нему до скорости \Лшп-Случай 3

У£-Утлх, К.<КТх. (21)

_ В_этом случае движение по ограничению на всем интервале (Кв, ^ш1а) не может быть осуществлено, так как появится участок, где требуемая величина Клг (л) будет превышать располагаемое

значение Ка- Следовательно, внутри участка изоперегрузочной траектории появится участок движения вне ограничения. Оптимальная траектория в этом случае может иметь два участка движения по ограничению, если Ув< Утзх, или точку касания и два изоперегру-зочных участка, если ^шах-

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НА УЧАСТКЕ ДВИЖЕНИЯ ВНЕ ОГРАНИЧЕНИЯ

Как было показано ранее, оптимальное управление на участке движения вне ограничения определяется соотношением (9). Моменты переключения определяются нулями функции Р\(х), являющейся решением системы (10). Систему (10) с учетом (16) представим в виде ____

(22>

■У 2 У 2

Определим максимально возможное количество нулей решения этого уравнения, считая начальные условия произвольными. Сделаем предварительно одно предположение: поскольку рассматриваются траектории входа в атмосферу со скоростью, превышающей круговую, будем считать, что на участке до выхода на ограничение скорость превышает круговую. Заметим, что это предположение хорошо согласуется с результатами численных расчетов. При этом предположении всегда

*<°- Т-1<0’ (23)

У 2 "2

Покажем, что при выполнении этого условия решение уравнения (22) имеет не более двух нулей. Предполагая пока, что функция /?] многократно пересекает ось х, рассмотрим два возможных случая пересечения:

р,(лп) = 0, р\ (*„) > 0; (24)

р1{х п) = 0, />;(*п)<0. (25)

В первом случае [см. (24)], когда пересечение оси х происходит снизу вверх, другой точки где (*п *) = °> не существует. Для доказатель-

ства этого предположим противное: пусть существует точка где /?1(;е^)=0. Тогда на интервале (хп, дг^) /»1(*)>0, так как р|(л:п)>0. Из уравнения (22) с учетом (23) следует, что на интервале (*„, Функция р"х (лс)>0. Отсюда следует, что р[ (х)— неубывающая функция, т. е. р'х{х) > Р\ (^п)* Следовательно* справедливо следующее условие:

Р\ (*п }) >Р1 (*п) + р\ (*п) (4й — *п) = р[ (*п) (4!) — *П»0,

что противоречит сделанному предположению.

Во втором случае [см. (25)], когда р1 (х) пересекает ось х сверху вниз,

вторичное пересечение оси х возможно. Действительно, пусть х^—точка вто-

ричного пересечения оси х. Тогда на интервале (*п, х\) функция pt(x)<^0. Из уравнения (22) с учетом (23) следует, что рг (х) равна сумме двух слагаемых разного знака:

ё2х — \ У~Щ

- ГЗ--------------РЛх)< 0 и -2 >

Уч Уг

Следовательно, при достаточно малых по абсолютной величине значениях Рх(х) величина р\(х) положительна и в некоторой точке внутри интервала (.хп, х^>) производная р[ (х) может сменить знак, что приведет к вторичному пересечению оси х функцией Pi(x). Однако после вторичного пересечения получим случай пересечения уже рассмотренного выше типа.

В соответствии с этим заключаем, что максимальное число переключений оптимального управления на участке выхода на ограничения равно двум. Перебирая все возможные случаи пересечения, получаем, что оптимальное управление может быть пяти

различных типов: 1) Ка, 2) — Ка, Ка; 3) — К«, Ка, — Ка;

4) Ка, - Ка, 5) - Ка.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НА УЧАСТКЕ ПОСЛЕ СХОДА С ИЗОПЕРЕГРУЗОЧНОЙ ТРАЕКТОРИИ

Рассмотрим участок оптимальной траектории после схода с изо-перегрузочной траектории, который происходит при V^min- Управление на этом участке гранично, моменты переключения определяются знаком решения уравнения (22) с условиями (16) на правом конце.

Определить в этом случае количество нулей уравнения (22) довольно трудно, так как на участке движения с докруговой ско-

(Ях _ ]

ростью л>0 и коэффициент ----------2---------->0. Следовательно, решение

У 2

уравнения (22) может быть колебательным и иметь большое количество нулей, определить которое без интегрирования уравнения нельзя.

Однако из физических соображений ясно, что минимальная дальность может быть получена, если после схода с изоперегру-зочной траектории аэродинамическое качество будет отрицательным. Это можно показать, анализируя поведение решения уравнения (22), предполагая, что траектория участка движения после схода с изоперегрузочной траектории достаточно близка к изопе-регрузочной траектории. Тогда pt(x) на оптимальной траектории можно приближенно представить решением уравнения (22), взятом на изоперегрузочной траектории. Подставив вместо у\(х) его выражение для изоперегрузочной траектории, получим следующее уравнение для сопряженной переменной:

Р\ + ЯХ (е~2Х - е~4Х) Р* = Rl6~4X • (26)

TVs TVs

Условия на правом конце заданы: pi=(xK) = р[{хк) =0.

Вначале рассмотрим один частный случай, когда

(1 + К1)№ „

■ Nt ’

что соответствует, например, движению аппарата с малым аэродинамическим качеством (А'в^О.З) с перегрузкой М:=15. В этом случае уравнение (26) может быть представлено в виде

Р\ - {/' (X) + [Д*)]2} Рг ~ ^73-^ &*-**, (27)

где /(х) = 2е~2х.

Решения соответствующего однородного уравнения являются апериодическими и имеют вид (см. [5])

/>(!>(х)~ехр \/{х)йх,

1 | (28)

Нетрудно убедиться в этом случае, что общее решение уравнения (27) при нулевых условиях на правом конце является положительным и не имеет нулей внутри рассматриваемого интервала. При выполнении условия

+ (29)

Л^а

решение однородного уравнения (27) тем более будет иметь апериодический характер [6]. Следовательно, при значениях перегрузки, удовлетворяющих условию (29), рх(х) есть положительная функция. Для противоположного случая были проведены численные расчеты в диапазоне перегрузок М:=1-г-10. Выяснилось, что Рх(х) здесь также положительная функция. Следовательно, на участке после схода с изоперегрузочной траектории К(х) — — К*.

АНАЛИЗ ТИПОВ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Рассмотрим условия разрыва сопряженных переменных (12). Исключая [г0 и ц,, используя выражение для гамильтониана (8) и учитывая, что у~ (х) — у+ (х)=у~ (х), у+ (х) и = р+, получим условие разрыва сопряженных переменных:

(РГ ~ Рх) (^в у^1 ~ 4^2) + (Р* ~ ) СУ» “ 2^) = РГ-~ Рг •

Учитывая, что в момент выхода на ограничение выполнено условие (6), и используя выражение для аэродинамического качества на изоперегрузочной траектории, это условие представим в виде

(р г-Р?)КА*)=*РТК~-Р?К+ ■ (30>

Рассмотрим случай, определяемый условиями (19). Как показано ранее, оптимальная траектория при этих условиях после выхода на ш-раничение имеет изоперегрузочный участок. Следовательно, К+ — Кы{х), и условие (29) принимает вид

РГ (*) (х) _ (л:)] = 0.

Поскольку в рассматриваемом случае Кы(х)фК~{х), то получим /7-(_к) = 0. Учитывая, что максимальное количество нулей

функции Р1О*:) равно двум, из полученного результата следует, что при условии (19) оптимальное управление на участке выхода на ограничение имеет не более одного переключения. Кроме того, учитывая полученный ранее результат, что второй нуль этой функции может иметь место при пересечении оси снизу вверх, заключаем, что при подходе к ограничению функция Р\(х)<С0 и, следовательно, аэродинамическое качество в момент выхода на

ограничение положительно: К~(х) = Ка-

Рассмотрим траектории, для которых выполнены условия (20). В этом случае после первого выхода на ограничение траектория сходит с него. При этом в момент касания ограничения из (30) получим

РТ М =Р1 (х) + 0 при Кг (х) = К+(х),

РТ (-*) =

+ Кы

р+ (X) ф О

Кы-К- _ при К~(х) = —К+ (а:).

Отсюда следует, что в момент выхода на ограничение р^(х)ф0 и _Л_ может иметь любой знак. Следовательно, в рассматриваемом случае на участке выхода на ограничение оптимальное управление может иметь два переключения. _ _ _

Вторичный выход на ограничение происходит при < УШах. где скорость в момент вторичного выхода на ограничение. Пусть —точка первого выхода на ограничение (фиг. 3), х — точка, где | К# (■*) | = Ка. Рассмотрим интервал (л^1*, х) и покажем, что на этом интервале выполнено условие

У2^Х)— У2(Х)>0’ (31>

где (дс) — для изоперегрузочной траектории, _у2(дс) —для траектории с любым управлением К(х), ограниченным условием (2) и удовлетворяющим условию

К(х)-Кя(х)>0. (32)

В точке л:*,1*

У1 (4”) = Л (*в’)- ^2 К4) = Л (44). УгМ К") =^2 К4) • (33)

Предположим, что существует участок, где условие (31^ не выполнено.

Пусть х— точка, где у% (х) = у2 (х). Тогда на интервале (х(в1). х) в силу (33) выполнено условие (31). С учетом этого получим

-У*2 (х) = — Км (X) + К (х) + (е

%х

\_

Л

Отсюда следует, что — у2) — возрастающая функция, и, следовательно,

в точке к имеем У2 (х) — у2 (х) >0, что противоречит сделанному предположению. Следовательно, точки ;Гне существует и вторичный выход возможен лишь при •*>*, т. е. при выполнении условий (19).

На основании проведенного выше анализа траекторий, для которых условия (19) выполнены, заключаем, что на участке между первым и вторым выходом на ограничение оптимальное управление имеет не более одной точки переключения с отрицательного на положительное аэродинамическое качество.

Рассмотрим траектории, определяемые условиями (21). В этом случае управление на участке выхода на ограничение может быть одним из рассмотренных выше. Однако дальнейшее движение по ограничению не может быть реализовано вследствие того, что Ка < КГ- Очевидно, для того чтобы не произошло нарушения ограничения, необходим участок движения вне ограничения. Знак оптимального управления на этом участке определится решением уравнения (22). Точка схода находится, как следует из (14), из условия р^(хс) = О,

Р1? (хс) = р1(хс) = 0, р[(хс)>О (34)

[пересечение ОСИ X функцией pH (х) происходит сверху вниз (фиг. 4)].

После этого траектория вновь выходит на_ ограничение в точке, где /С> АГл’(аг), т. е. где выполнены условия (19). Как было показано ранее, в этом случае в момент выхода на изоперегрузочную траекторию при КафКы выполняется равенство

Р:(х в) = 0. (35)

Предположим, как и ранее, что траектория на этом участке близка к изоперегрузочной; тогда уравнение (22) можно приближенно заменить уравнением (26). Определим оптимальное управление для движения с перегрузкой, удовлетворяющей условию (29). В этом случае, используя свойство апериодичности решений (28) однородного уравнения (27) и условия (33) и (34), можно показать, что Р\ Iх) — отрицательная функция, не имеющая нулей внутри рассматриваемого интервала. Следовательно, на этом участке оптимальным является положительное аэродинамическое качество К(х) = Ка-Рассмотрим случай, когда Ув—Утах; при этом \1Кн(х)\ = Ка. В этом случае после выхода на ограничение движение по нему возможно, следовательно, К+{х) — Км(,х). Из условий разрыва сопряженных переменных (30) следует

р'\ С*) = 0 при К~ (х) = К а,

р\ {х) > 0 при К~{х)= — Ка.

Таким образом, в данном случае оптимальным управлением ца участке выхода управление может быть любым из пяти указанных ранее.

В заключение отметим одно свойство траектории минимальной дальности. Время движения определяется следующим образом [1]:

10

Рассмотрим выражение для конвективного тепла в критической точке [1]:

£—2,25*

1)0,5

• Лх,

где Ак — некоторый постоянный коэффициент.

Оптимальное управление, минимизирующее время полета или конвективное тепло, определится решениями соответствующих сопряженных уравнений:

е2х — 1 ех

Рг'* + р\я

2 р7-

Л е2х— 1

у!

,-2,25

к2уУ2 ’

которые обладают всеми свойствами уравнения (22).

Следовательно, траектории, на которых время полета и величина конвективного тепла в критической точке минимальны, обладают такой же структурой оптимального управления, как и на траекториях с минимальной дальностью полета.

Проведенный анализ структуры оптимального управления позволяет определить оптимальные траектории, не прибегая к интегрированию сопряженной системы. На фиг. 5 приведены результаты расчета такой траектории входа в атмосферу со скоростью У0 = 11 км!сек и максимально допустимой перегрузкой, равной 10.

* *

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Ярошевский В. А. Приближенный расчет траектории входа в атмосферу. «Космические исследования», т. II, вып. 4, 1964; т. II, вып. 5, 1964.

2. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. Физматгиз, 1961.

3. А н о р о в В. П. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида. «Автоматика и телемеханика», 1967, № 3 и 4.

4. Шилов А. А., Ж е л н и н Ю. Н. О минимуме максимальной перегрузки. «Космические исследования», т. IV, вып. 4, 1966.

5. К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Физматгиз, 1964.

6. Ельшин М. К проблеме колебаний линейного дифференциального уравнения второго порядка. ДАН СССР, т. XVIII, № 3, 1938.

Рукопись поступила 4/IV 1969 г.