Оптимизация дальности полета аппарата в атмосфере с учетом ограничения на полную перегрузку Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ І970

№ 2

УДК 629.78.015.076.8

ОПТИМИЗАЦИЯ ДАЛЬНОСТИ ПОЛЕТА АППАРАТА В АТМОСФЕРЕ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПОЛНУЮ ПЕРЕГРУЗКУ

В. В. Дикусар, А. А. Шилов

Рассмотрена задача об определении маневренных возможностей космического аппарата, обладающего подъемной силой, при снижении в атмосфере с учетом ограничения на фазовые координаты. Задача решена с использованием классического принципа максимума Л. С. Пон-трягина. Приводятся численные примеры.

Большой практический интерес представляет применение методов оптимизации траекторий при наличии ограничений на функции фазовых координат. Теоретическим вопросам этих задач посвящены работы [1]—[5]. В работах [1], [2], [4], [5] принцип максимума доказан для случая, когда на рассматриваемой оптимальной траектории всюду сохраняется локальная эффективность управления. Такой случай называется регулярным [3].

Основная трудность применения принципа максимума связана с необходимостью решения краевой задачи, которая усложняется при учете ограничений. В настоящей работе рассматриваются методические особенности решения поставленной задачи, которые позволяют преодолеть указанную трудность.

1. ПОСТАНОВКА И АНАЛИЗ ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу о выборе управления углом атаки аппарата, тормозящегося в атмосфере, при полете на минимальную и максимальную дальность с учетом ограничения на величину полной перегрузки, решения которой позволяют определять маневренные возможности аппарата (фиг. 1).

Выражение для полной перегрузки имеет следующий вид:

(1.1)

РУ2 - г , 2!

где <7 = —^-----скоростной напор [кгс/м2];

Р — плотность атмосферы [кгс-секг/м%

V — скорость [м/сек]-,

сх — коэффициент сопротивления;

су — коэффициент подъемной силы;

5 — характерная площадь аппарата [м2\\

(3 — вес аппарата [кгс].

Из (1.1) видно, что Пъ явно зависит от управляющей функции су, и рассматриваемое ограничение принадлежит к классу Ф„ {х, и)<0 (см. работу [4]).

Предположим, что аэродинамические силы, действующие на

аппарат, характеризуются по-

Г/7/7///////7

Граница /7/77M0Cftej7M

ъс2у,

лярои вида

сх = с х о

где сх0— коэффициент сопротивления при нулевом угле атаки; х— параметр поляры. Использование указанной зависимости позволяет достаточно просто выяснить физический смысл оптимального решения.

На величину су (т. е. на величину угла атаки) наложены ограничения:

Су min ^ Су Су max?

Для выявления более широкого класса, решений и роли наложенных на величину су ограничений параметры пОляры и значения су min шах будем выбирать так, чтобы

• cy(Kmax)= было внут-

Здесь К — аэродинамическое качество;

•' Су - . ; _ ‘ ■ ■ -

К — ——* Уравнения плоского движения аппарата в атмосфере

Фиг. 1.

ри отрезка \су xaxriCy max]

имеют вид

V = ~cxq — — S sin 0;

b = cyq

т V

I/

+ 1 R+'h H= V sin 0; R V cos 6

= R + h

JL

v

R2

cosO;

(1.2)

где g = g0 — ускорение силы тяжести [м/сек*];': .

—радиус планету |.и]; ............

к — высота аппарата., [уи]; ^

g0 — ускорение силы тяжести на .поверхности планеты \м/сек2]; . ,

0 — местный угол наклона траектории [рад]\ Ь — дальность полета \км]\ время [сек]', т — масса аппарата [кгс-сек'11м].

Точка обозначает дифференцирование по I.

Будем счйтать атмосферу изотермической: р = р0£-рл, где р0— плотность атмосферы на поверхности планеты [кгс-сек2]м4]; $— показатель экспоненты в формуле для плотности [1/л*].

Пусть спускаемый аппарат приходит из начального состояния в конечное оптимальным образом в смысле максимума или минимума дальности. Предположим, что на оптимальной траектории при = N (./V—ограничение на суммарную перегрузку) выполнено

У

для решения поставленной задачи можно применить математический аппарат, развитый в работах [1] — [5].

Обозначая сопряженные к 6, к, V и Ь переменные вариационной задачи для системы (1.2) через ри р2, р%, р4, запишем выражение гамильтониана расширенной системы

ограничений не накладывается, то Н = 0 на всем интервале движения.

В соответствии с [1] и [4] система сопряженных с (1.2) уравнений должна иметь вид

условие регулярности ф 0 (см. работу [3]). В этом случае

Так как система (1.2) автономна и на время спуска никаких

(1.3)

Тогда

Рх = Р 1

+Ръ £ сое о + рА ;

/?1/зіп6

Рг = Р і

Р з

(1.4)

л—;

где МО — множитель Лагранжа, причем Ц£)(яе— /V) = 0,

go

X{t)- V су(1+2*сх)

cl

Для системы (1.2) заданы начальные условия К^о)^ У(0), 0(^о)= = б(°), Ь((0) = 0, ^о = 0. Л(£0) = А(0). Требуется на определенной фиксированной высоте Л(1), достаточно малой, чтобы полет на дальность можно было считать законченным, обеспечение максимума или минимума дальности полета. Поскольку 0 и V в конце полета не фиксированы, то в конечной точке

р1^рР = 0. (1.5)

Условия (1.5) являются граничными для системы (1.4). Из условия р4 = 0 и р(4 * = — 1 следует, что р4=— 1 на всей траектории. Таким образом, поставленная задача сводится к двухточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если задать рТ и рг\ то из условия Н = 0 можно определить р{2, И ЧИСЛО контролируемых В конце траектории функций р{1У И Рз] совпадает с числом параметров, задаваемых в начальной точке. При этом программа управления определяется из условий

Нс -» тт при А(1) -» тах или НСу -* тах при И1) -» тт. (1.6)

С С

У У

Постоянство перегрузки обеспечивается изменением абсолютной величины су(£) в соответствии с условием связи «я = /У,а знак функции су(() определяется знаком рх согласно (1.6). Если в процессе движения по ограничению «а = Л/- в какой-то точке су = 0 и ц ф0, то на такой траектории в последующий момент возможно нарушение заданного ограничения. Это связано с тем, что локальное влияние управления на величину перегрузки уже исчерпано ^ — 0^|- При ре-

шении краевой задачи итеративными методами указанный факт важен прежде всего потому, что на некоторых пробных траекториях может происходить нарушение ограничения. Одновременно с этим возникают вычислительные трудности в построении итерационных методов расчета, поскольку из (1.4) следует, что )-(()-> оо при

\Су I -»0.

Для того чтобы итерационный процесс не имел указанной особенности, а траектории расширенной системы уравнений с нарушением ограничения непрерывно переходили в траектории без нарушения ограничения, искусственно ограничим уменьшение величины \су\ снизу величиной 8. Тогда при достижении значения

значение 1(1) будет ограничено сверху величиной О (

Пос дсу

летворить краевым условиям (1.5). Это дает возможность проводить регулярный итерационный процесс решения краевой задачи, не превышая разрядную сетку ЭЦВМ.

Поскольку по предположению на искомой оптимальной траектории •ф 0, то при достаточно малом е и | Сурх(?) | гаш > г можно удов-

Рассмотрим методические особенности решения задачи с учетом ограничения При движении в открытой области res<yv

согласно [1] —[4] Х(£) = 0; при этом значение Пг соответствует значению Су, определенному согласно принципу максимума (минимума):

Су == Су min> Су тах или Су, где Су == р ^7" *

В некоторый момент функция Пъ станет больше N, и этим „пересечением" определится выход на ограничение. При движении по ограничению cy = cy (tin = Л). Для того чтобы определить момент схода с ограничения, одновременно с cy(N) вычисляем cy(pt) без учета ограничения по текущим значениям импульсов рг [см. (1.4)] из условия (1.6). Тогда момент схода определяется их пересечением: cy{pi) — cy(N).

Рассмотрим участок траектории, примыкающий к конечной точке, определенной граничными условиями (1.5). Пусть на таком участке траектории при Z,*1) -* шах выполнено условие Пъ<СЫ, тогда можно определить характер оптимального управления в окрест-

# Я а

ности конца траектории. Для этого рассмотрим су = .При

рг V

h-^hm функции р^ и р? убывают до нуля. Согласно правилу

. Pil)

Лопиталя limсу = -—(-тт-.-. Из условия Н=0 и системы (1.4) по-

2х рз 1Д1* лучаем следующие соотношения:

=________________^______; (1.7)

Рх (/? + /г<1>) sinew v '

1, ^TCOS 0(1) (1) g-sin 0<г> 1Ч

Р з — — Pi —yljyi-Р 3 —Р(Т)- • U-8)

При достаточно малом hw обычно sin0(1)<O, поскольку аппарат теряет высоту; тогда р[г) > 0. Отсюда следует, что А <С 0 ПРИ

t = t1-Д(Д>0).

Величина Рз(^), как и Pz{ti), равна нулю. Тогда из условий

Pitt 1 — Д)<0 и О>0>---------следуетр3(/1—Д)<0, т. е.Су(£-^,)-> + оо

7Г *

И Су opt (tj = су max, а при — тс<0<-----------------2* следует cy(t—^)-»—оо и

Су opt (^i) = Су min в соответствии с (1.6). В случае полета на максимум дальности Z.(^)>0 и cos0>O, поэтому при решении задачи на Z,(1>^mах последний случай отпадает. Однако в задаче на L(1) -» min

/ 7t ТС \

оба случая I----и —7Г<^®<С~_2"1 возможны.

В начальной стадии движения при наличии связи сх и су априори неясно, что лучше в смысле максимизации дальности планирования — су = с“ах или су = Су (/Стах)- При увеличении Су увеличивается сх, и дальность при каких-то начальных 0<и^ может уменьшиться вследствие преждевременной потери

скорости. Выбор управления более ясен в конце траектории, когда влияние текущего значения скорости мало (импульс ps — это коэффициент влияния вариации скорости на дальность) и дальность может быть увеличена за счет увеличения положительной подъемной силы, т. е. Су — су тах* Для последнего участка траектории -> min при sin6<0 и cos 0 > 0; согласно Нmax следует Су opt ~ Су tniп И Су opt “ Су max при Sin 0 0 И COS 0 0.

В случае траектории минимальной дальности управление су(()<^ 0 при 1С . ■ . я

— способствует уменьшению дальности полета. Но если — -у ,

то полет совершается в направлении, противоположном начальному, и для минимизации дальности £ ((г) надо увеличивать длительность последнего участка траектории. Это происходит при су = сут-т, что соответствует тому, что подъемная сила направлена против веса.

Проделанный анализ позволяет решать двухточечную краевую задачу с учетом ограничения если на оптимальной траек-

,.Л „ „ дп* А „ ,

тории Случаи = 0 рассмотрен в отдельной работе.

2. МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИИ

Для практического определения оптимальных траекторий при наличии ограничения на величину полной перегрузки необходимо численно решать систему уравнений (1.2), (1.4) при граничных условиях (1.5). Краевая задача о выборе начальных импульсов р\0) для выполнения условий (1.5) решалась методом Ньютона. Было обнаружено, ЧТО чувствительность решения К изменениям /7;0) очень велика, а поверхности р^з (р^з) имеют- весьма сложную структуру. Для поиска первого приближения была предложена методика, основанная на том, что с помощью принцийа максимума рассматриваемый функционал Ьт можно выразить как функцию параметров „(°) „(0)

Р\ , Ръ ■

На оптимальной траектории выполняются условия = 0

и £(1) = тах (тт /<(1)) при соответствующих р^з, а при других значениях р‘% И (£(1) >£ш]п).

(Р- ь

В поставленной задаче лишь -^2 содержит явно управление

су, т. е. поверхность /,(1)(/?10)з) должна быть гладкой или, по крайней мере, иметь более простую структуру, чем Рь’з (/?!%). При поиске методом градиента последовательности (М^зЬ обеспечивающей /,(1) -* тах (1(1) -» ш!п) автоматически будут уменьшаться значения р\,з, и когда вследствие пологости поверхности /.(1)(Р1?з) сходимость метода градиента в области экстремума ухудшится, можно уточнить значения /?!% методом Ньютона. Такой подход может быть применен и при большем числе искомых параметров.

При ограничении этот способ эффективно использо-

вался и обеспечивал быструю сходимость итерационных процессов. С использованием градиентного метода поиска начальных условий з и квадратичной экстраполяции по известным решениям /?1% (/V,) при г = 1, 2, 3, где А/; — задаваемые значения перегрузки, выполнялся поиск решения />{%(А/4), уточнявшегося затем по методу Ньютона.

Практически при численной реализации задачи на ЭЦВМ вместо перемен- V — к

ных системы (1.2) использовались безразмерные переменные V = у-—= > ^ = ,

Г= X '

Для примера приведем оптимальные траектории снижения аппарата в атмосфере с использованием аэродинамического качества. При расчетах принималось:

—= 70 Ktc-ceK^jM^-, сх = 0,55 + 5с2;

су шах = су min ~

(т. е. /Стах —0,302 при Су — 0,331); К(0) = 7900 м/сек-, h^ = 0,00314 R для Z.<!> max; h ^ = 10“9у? дЛя -> min; р0 = 0,125 кгс-секР/м1; р = 0,000137 1/м;

А<0) = 0,0156 R;

R = 6371 • 103 м> g0 = 9,80665 м\сек\

Для регуляризации задачи при поиске регулярных оптимальных программ, близких к нерегулярным, принималось е = 0,01.

При расчете нули функций plt ns - N, h h (1), cy maXi min - с* определялись с точностью до 10—7-ь и значения /4^3 уточнялись

10-8

при решении краевой задачи до

10~4 -4- 10-5.

На фиг. 2 и 3 приводятся результаты расчета оптимальных траекторий И1) -»• шах без ограничения на перегрузку. Обратим внимание на излом кривой шахга-(9), имеющий место при значении угла 6(0), при котором высбты первого и второго максимума

OJ

/J

10

совпадают. Из фиг. 3 видно, что зависимость су (0 колеблется около значения су — 0,3, что соответствует су — су (Д’тах). Отметим, что колебания еу(£) способствуют затуханию колебаний /г(/)и пъ{£).

6—Ученые записки № 2

81

Полученные решения были использованы для решения задачи с учетом ограничения пл На фиг. 4 приведены результаты расчетов. Оказалось, что при уменьшении N программа су(^ изменялась так, что в какой-то степени компенсировала потери дальности от действия ограничения. Когда возможности компенсации были исчерпаны, нача-

■ ют

20

15

Фиг. 5

Для тех же- параметров аппарата были определены решения £(1) —-тт при различных скоростях входа У(0) и б ' . Полученные данные были использованы при определении решений с учетом ограничения на перегрузку. На фиг. 5 приводится оптимальная траектория —>-тт, для которой = 19,35 при У(С)~7900 м/сек и в<°> ——з°д Видно, что возможности уменьшения перегрузки локальным изменением управления почти исчерпаны; существует предельное значение перегрузки Иг, при котором оптимальная траектория еще остается регулярной для задачи на Ь(1)—►гшп. При оптимальная траек-

тория будет нерегулярной и это обстоятельство необходимо учитывать при численном решении поставленной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-зе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Физматгиз, 1961.

2. Дубовицкий А. Я-, Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. «Журнал вычислительной математики и математич. физики», 1965, № 3.

3. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенства. «Журнал вычислительной математики и математич. физики», 1968, № 4.

4. А но ров В. П. Принцип максимума при наличии конечных связей и учет ограничений на координаты. «Автоматика и телемеханика», 1967, № 3 и 4.

5. Смольяков Э. Р. Оптимизация коридора входа в атмосферу. «Космические исследования», т. VI» вып. 1, 1968.

Рукопись поступила 28)IV 1969 г,