Снижение с помощью малых управляющих воздействий максимальных динамических и тепловых нагрузок при пассивном движении гиперзвуковых аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IX 197 8

№ 2

УДК 629.782.015

СНИЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ МАЛЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ МАКСИМАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ И ТЕПЛОВЫХ НАГРУЗОК ПРИ ПАССИВНОМ ДВИЖЕНИИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ АППАРАТОВ

А. С. Филатьев

Предложен метод оценки эффективности снижения максимальных динамических и тепловых нагрузок, возникающих при пассивном движении ги.перзвуковых летательных аппаратов в атмосфере с докруговой скоростью, вследствие оптимального ограниченного воздействия на траекторию аэродинамическими и ракетодинамическими силами. Метод основан на использовании формулы Блисса. Показано хорошее совпадение оценок, получаемых с помощью данного метода, с точными расчетами для практического диапазона изменения управляющих параметров.

Задача о минимуме максимальных тепловых и динамических нагрузок является частным случаем общей задачи о минимуме экстремума функции фазовых переменных, решению которой посвящен ряд работ, использующих различные подходы. Так, например, в работе [2] решение исходной задачи находится с помощью аппарата принципа максимума Л. С. Понтрягина в предположении, что исследуемая функция фазовых координат имеет только один экстремум, а ее производная по времени не зависит явно от управления. В работе [3] задача о минимуме максимальной перегрузки сводится к минимизации конечного значения специальной вспомогательной функции с использованием принципа максимума Л. С. Понтрягина. Численный метод решения исходной задачи, основанный на построении минимизирующих последовательностей для вспомогательных функционалов, содержится в работе [4].

В настоящей работе предложен приближенный метод оценки эффективности снижения максимальных динамических и тепловых нагрузок с помощью малых оптимальных управляющих воздействий, основанный на использовании формулы Блисса [1] для фиксированной номинальной фазовой траектории. Метод по структуре близок

к прямым методам вариационного исчисления [5] и формально соответствует использованию первой итерации в прямых методах.

1. Влияние малых управляющих воздействий на локальный экстремум функции фазовых переменных.

Пусть состояние динамической системы описывается уравнениями

где I/7,-} — вектор правых частей (1.1),

Х={Х^, (у = 1, 2, . . ., У) — фазовый вектор, и={иА}, (&=1, 2, . . к) — вектор управления, и £ ¿7, — независимая переменная.

Функционал представим в виде

Определим влияние на функционал (1.2) изменения вектора управления

где и = fix. _

Траекторию, соответствующую системе уравнений (1.1) и и = и, будем называть опорной. Полное приращение функции g в момент времени t имеет вид:

где 8^ — вариация g при фиксированном времени Подставляя

(1.2) в (1.4), получим выражение для приращения функционала:

где £* — момент времени, соответствующий достижению максимума функции g(X) на опорной траектории:

Из соотношений (1.5), (1.6) следует, что в рамках первой вариации задача определения влияния управления на функционал (1.2) эквивалентна задаче с функционалом g, заданным в фиксированный момент времени

Для определения вариации ^(¿*) воспользуемся известной формулой Блисса [1, 6]:

(1.1)

(1.2)

причем

dg{X(U)) _0 dt

Ьи = и — и,

(1-3)

dg = *g(t) + ^-(t)dt, at

(1.4)

dO = iO(t,),

(1-5)

g V*) = g{X (?*)) = max g {X (0) = ф (Г*).

(1.6)

t є tf)

(1.7)

где ф вектор сопряженных переменных, задаваемых системой уравнений:

dt дХ У т/

dq (<*)

дХ ’

IF — F (X, и + 8и) - F(X, в),

(/^ф) — скалярное произведение векторов F и ф. Таким образом, из (1.5) —(1.7) следует, что

(1.8)

(1.9)

(1.10)

ч

На основании (1.1), (1.3), (1.10) получим условие оптимальной коррекции Змор4 номинальной программы управления и для минимизации функционала (1.2):

(фВ/7 (8ttopt)) = rnin (фЗ/7).

а+Ьа 6 U

Если вариация bF представима в виде

Ьр = — Ъи

ди

и

тогда

Пусть

¿opt

= — ЗИшах Sign

д {Ю ди

bumax = const ДЛЯ ¿*],

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

тогда, подставляя (1.12), (1.13) в (1.10), получим выражение для минимума отношения 8Ф/8и:

шіп (—-Ф = — Г

\ ®ипіах / J

д®Р)

ди

dt.

Величину

WI

ди

dt

(1.15)

(1.16)

будем называть эффективностью оптимального изменения номинальной программы управления и для снижения максимума функции g.

Если управление варьируется не вдоль всей траектории, а только на N отрезках времени: . . ., [$, ¿д], где

< ¿/ < ?*, тогда (1.16) принимает следующий

вид:

*ь-2?Г-£Чл- (117>

П=1

Оценим влияние на функционал Ф импульсного изменения управления. Под импульсным изменением управления будем подразумевать такую вариацию 8м, при которой

Нш [8и(^" — ¿")] -> 0. (1.18)

Используя (1.17) при — {[ -*■ 0, получим

Л д (ФЛ

= (8и«„*„).

Л=1

Величину

1 .а (ФЛ

(1.19)

будем называть эффективностью импульсного изменения управления и для снижения максимума функции g.

Сделаем некоторые дополнительные замечания относительно области применимости приведенных соотношений.

Первое. Поскольку рассматриваемый функционал имеет вид {1.2), то выражения (1.16), (1.17), (1.19) позволяют определять эффективность уменьшения только конкретно выбранного локального внутреннего максимума функции g, расположенного в окрестности

Второе. При импульсном изменении управления возможно появление дополнительного, соответствующего моменту приложения импульса, максимума функции g, который может превосходить по величине рассматриваемый максимум. Действительно, обозначим

/(х, «) = ^} =^(*. ковариация функции /, обусловленная изменением вектора управления Ьи в момент времени запишется следующим образом:

8/=^1^8«, дХ ди

откуда следует, что при 8и, удовлетворяющем условию

8Цй^8и+/)^51!!П/'

в момент времени Ь = ? реализуется экстремум функции.

Максимумы, возникающие в момент приложения импульса, в рамках изложенной выше методики не рассматриваются [см. (1.2)]. Однако при анализе траекторий эти максимумы должны учитываться. Максимум функции g на рассматриваемом участке траектории при импульсном изменении управления в момент времени V будет определяться как наибольшее значение из локального максимума, определяемого с помощью (1.19), и дополнительного максимума (если он существует), равного £ (Л* (/'))•

Третье. Соотношения (1-13)—(1.19) могут быть также использованы при анализе функционалов более широкого класса, чем.

(1.2). Так, если функционал определяется условиями:

Ф' = & (Хт и,) = g (X,) Н (и,);

¿я (<*) п.

си ~~

Х% = X(¿*)> и* и (^),

то, как нетрудно видеть, при

^ (х) дк

УР1.\ = 11

¿И;

»

получаем

(1.20)

Л (и) ¿и,-

</Ф'»А(«*)йФ.

(1.21)

(1.22)

2. Эффективность снижения максимальных динамических и тепловых нагрузок с помощью малых управляющих воздействий.

Воспользуемся соотношениями (1.13), (1.15) — (1.19) для оценки эффективности снижения максимального скоростного напора, перегрузки и температуры при пассивном возвращении на Землю гиперзвуковых летательных аппаратов (ГЛА) с докруговой скоростью за счет использования малых аэродинамических тормозных устройств, двигательных установок (ДУ), тормозных парашютных систем и малых изменений несущих свойств ГЛА. Траектории входа в плотные слои атмосферы ГЛА со скоростью, существенно меньшей круговой, во многих практических задачах характеризуются наличием одного ярко выраженного максимума скоростного напора и температуры. В тех случаях, когда учитываются значения функционала в нескольких экстремумах, необходимо применять специальные методы анализа (см., например, [7]).

Запишем уравнения движения центра масс аппарата в вертикальной плоскости в безразмерном виде:

йУ

сИ

М

сИ

е-рн у2 Рсоб <р

т

Я?

е—?н у р 8Ш

; Н-у-----™----------Ь

т

+ 1

1

с!Н

М

Ак.

<и

Лт.

тУ 1 Г У2К

= 1/з1п 6 еееРя-

V сое

- = * V, V сое в Я Е

:Ре,

Я

сН

■ = ^т,

(2.1)

где V — скорость полета, 6 — угол наклона траектории к горизонту, // — высота полета, Ь—дальность полета, т — масса аппарата, ¿—время полета, /? — расстояние до центра Земли, Р—тяговоору-женность, ср — угол отклонения вектора тяги относительно вектора скорости,

^ = ^10, Ру=Суа>, #=1 +Н, Ц> = -^°2ф° .

Безразмерные переменные в (2.1) связаны с размерными величинами, отмеченными индексом р, следующим образом

И = -^Г' ‘“«о/!1' ¡> = <»,«,.

где Я0 — средний радиус Земли, ^ — гравитационное ускорение на поверхности Земли, т0 — начальная масса аппарата.

Рассмотрим функционал (1.2) специального вида:

(Ф)„ = шах {(А)ре~^н Уку}, (2.2)

<е«г. *})

где (А)р — размерный коэффициент, Кн, Ку— безразмерные коэффициенты,

или в безразмерной форме

Ф= шах {е~*кнн УКу\. (2.3)

</)

Функционал (2.3) соответствует максимальному скоростному напору

(дтах) ПрИ

/С#=1, Ку = 2 (2.4а)

и максимальной равновесной температуре поверхности в критической точке (ламинарный пограничный слой) [8] при

Кн = 0,125, = 0,8125. (2.46)

Сопряженные переменные ф = {<{>у, фе, фя, Ф1, фя,}, согласно

(1.8), (2.3), определяются из следующей системы уравнений:

^ д{р. 40

dt дХ ’

'l?v(t,) = Kv VKv-xe-*K»H, фн(и = -Р/Гяе-^я VKv,

(2.5)

фе (*•) = 'Н (Q — фт (i,) = 0, где X={V, 0, Н, L, т).

Влияние изменения коэффициента подъемной силы. В силу соотношений (1.13), (2.1) оптимальное изменение коэффициента подъемной силы (при фиксированных тормозных характеристиках аппарата), минимизирующее максимальный скоростной напор qmax и температуру Гшах, задается условием

opt = 8су max sign фо. (2.6)

Если условие (2.6) выполняется, ТО эффективность снижения <7шах и ТтйХ с помощью вариации коэффициента подъемной силы на участке траектории, соответствующем интервалу времени \t, t%\, находится из соотношения:

7*

Wlcу = m J I ЬI е~*н Vdt. (2.7)

t

Влияние изменения коэффициента аэродинамического сопротивления. При малом изменении коэффициента аэродинамического сопротивления с некоторого момента времени t до момента достижения максимума q или Т (например, за счет использования тормозных щитков) в соответствии с законом

opt == шах Sign (2-8)

достигается, согласно (1.13), (2.1), наибольшая эффективность

I*

Wie* --m j I фуI е-w V2dt. (2.9)

t

Кратковременное действие тормозных устройств, имеющих большое аэродинамическое сопротивление (например, тормозных парашютов на гиперзвуковых режимах полета), можно представить в виде импульсного изменения коэффициента аэродинамического сопротивления. В ЭТОМ случае эффективность снижения Гшах и <7шах определяется соотношением (1.19):

wfx = - min JL -g- = I ifve-w V2 со |<= <n, (2.10)

где /п — °птимальный момент приложения тормозного импульса:

[<|iye-f"V2]tmtn= шах [фие-^V4], [(2.11)

сп — коэффициент аэродинамического сопротивления дополнительного тормозного устройства, тп — длительность работы тормозного устройства.

Влияние работы двигательной установки. Оптимальный закон отклонения вектора тяги относительно вектора скорости центра масс аппарата, согласно (1.11), (2.1), определяется соотношением:

cPopt = arctg ------g-0 + signer)sign(2.12)

{Предполагается, что управление вектором тяги не приводит к изменению аэродинамических характеристик ГЛА. Практически это соответствует случаям, когда либо отклонение вектора тяги не связано с изменением угла атаки, либо ДУ используется на участках траектории, где влияние аэродинамических сил пренебрежимо мало по сравнению с влиянием тяги ДУ).

Эффективность оптимального использования ДУ в момент яремени t для снижения Тщах или ^шах может быть записана в виде

(2.13)

и v хар

где Vxap — запас характеристической скорости ДУ. Согласно (1.19), <2.1), (2.5), (2.12),

dg dg dg

d VXap Cdm pdxay

(2.14)

где хду— длительность работы ДУ и, следовательно,

Wep{t) = ^^^+ ^-. (2.15)

Оптимальный момент приложения импульса ДУ ¿ду находится из условия

№$уаУ)= шах №$((). (2.16)

Эффективность ДУ малой тяговооруженности, действующей на I участках в течение суммарного времени — tl), имеет вид

где tj, Д£,-— соответственно начало и длительность у-го активного участка.

В силу задания граничных условий (2.5) сопряженные переменные фД^) характеризуют эффективность изменения функционала с помощью вариации соответствующей г-й обобщенной координаты фазового вектора. Поэтому первое слагаемое в (2.15) учитывает влияние на функционал изменения вектора скорости в текущий момент времени, а второе — влияние на функционал уменьшения массы аппарата вследствие выгорания топлива. Если вторым фактором можно пренебречь (что практически допустимо при минимизации максимальной температуры и максимального скоростного напора), то эффективность использования ДУ (2.15), также как и закон оптимального управления вектором тяги (2.12), не зависят от характеристик ДУ.

3. Оценка снижения максимальных динамических и тепловых нагрузок при конечной вариации управления.

Представим приращение функционала, обусловленное вариацией коэффициентов аэродинамических сил, в следующем виде:

где Ф = Ф/Ф, су = су/су, сх = сх/сх.

Значком по аналогии с (1.3) обозначены величины, соответствующие опорной траектории.

Используя выражения (1.14), (1.16), (2.7), (2.9), (2.10), (2.15),

(2.17), (3.1), можно записать приближенные соотношения для изменения максимальных скоростного напора и температуры при конечных возмущениях траектории движения ГЛА, обусловленных вариацией компоновки аппарата и программы управления:

(2.17)

/=1

сх= СОПв! Су = уаг;

с* = уаг, су =сопэ1

(3.1)

, „ -V , ф .

Как показывают расчеты (фиг. 1), оценки (3.2) относительного изменения максимальных значений скоростного напора и температуры при пассивном движении ГЛА с докруговой скоростью в атмосфере Земли достаточно хорошо согласуются с результатами точных расчетов в диапазоне

Дсу^1, Дот ^0,2. (3.3)

imax Д Сх b.ms'

//' ^9/,

t $ Г

Асу

—точное значение — оценка (3.2)

0,5

7,5

0,2

2,5 Асх

Ат

Р = 10, С = 0,316, 11^,= 6,8.Ю3, = О, Уг = 2,56 км/с. В. = 17°, Я(.= 100 км

Фиг. 1

Соотношения (3.2) могут быть использованы также для оценки эффективности снижения максимальной перегрузки. Согласно (1.21), (1-22), при выполнении условий

К ^ 1

wK»Tfw’ wl-y>

(3.4)

I + К*

где К—су!сх, имеет место приближенное равенство

Д ^шах Д^шах-

Если неравенства не выполняются, но управление выбирается из условия минимизации скоростного напора, то для оценки изменения максимальной перегрузки также можно воспользоваться соотношениями (3.2):

д«шах ~ у -Ш?- (1 - ДСу) - 1,

ДЛп

У г

+ к

1 + К2 =5

+ К

(3.5а)

(3.56)

Деля правую и левую части соотношений (3.5а), (3.56) соответственно на Асу и Дсх и переходя к пределу Дсу 0, Дсх ->■ 0, получим оценку эффективности снижения максимальной перегрузки с помощью управления аэродинамическими силами:

Щ\ -Iх = №1 *

WI

dcy

dtirr

ьс„

dcy

wSc.

і + к2 і

(3.6)

Ищах ■* * ~ЬК2

Для определения изменения максимальной перегрузки за счет использования ДУ при фиксированном управлении аэродинамиче-

скими силами необходимо учитывать явную зависимость /гшах от т. Обозначим

л' =

У'А+Ц

— гпах

и \

т

(3.7)

Поскольку функционал (3.7) представим в виде (1.2), то для него справедливы приведенные выше соотношения (1.5) — (1.22). В частности, согласно (1.7), (1.8), (2.5), имеем

(3.8)

где ф"*(^) = — ^шах =—<7(£*)> Ф"* — вектор сопряженных перемен-ных для функционала (3.7), ф9 — вектор сопряженных переменных для функционала (2.3), (2.4а).

Следовательно, согласно (2.12), (2.15), оптимальный закон отклонения вектора тяги, обеспечивающий минимум «шах, совпадает с (2.12), а эффективность использования ДУ для снижения Яшах и <7тах связаны следующим соотношением:

ЧРяр - -3^

или

Шпр= №яр-

1.

(3.9)

Используя равенство (3.9), аналогично (3.2) получим оценку для относительного приращения максимума перегрузки при оптимальном использовании ДУ:

Апп

Д п„

,{№$—\)А т.

(3.10)

Сравнение оценок относительного изменения максимальной перегрузки при вариации коэффициентов аэродинамического сопротивления (3.5) и импульсном использовании ДУ с соответствующими точными значениями (фиг. 2) показывает их хорошее совпадение в достаточно широком диапазоне параметров (3.3).

Ал л

-4*

1 тах Ат

/у

/

Асу' / А точное значение оценка (3,5),(3,Ю)

/, / / Асу

— А Сх Асу

о

(Г

А Сх

0,1

0,2

Ат

(Обозначение см. на фиг. 1)

Фиг. 2

Как показывают численные расчеты, оптимальный закон изменения угла отклонения вектора тяги от вектора скорости ДУ

(2.12) имеет следующую структуру (фиг. 3):

?0Р1 ~ — г-?*8і8п6. (3-11)

где ср# = сопэ^О.

Следует отметить, что наименьшая эффективность использования ДУ для снижения ^тах, птах, ТКІХ соответствует апогейному участку траектории ГЛА (6^0), а максимум №рп'т реализуется

= 6,8-Ю3, |1 = 0, с = 0,3X6 Фиг. 3

в,

град

S0

-so

btyopt " &cymax

О

--ACy/nax

Ас» из{3.12а) Ас у opt

' \ 1 1 1

—

I I \lx = &,8-103

$.у=0

Фиг. 4

f.x = 6,6-Ю3, p.y = 5,8* 10s, VL = 4,14 км/с, 9г = 5,19, N. = 111 km

Фиг. 5

в окрестности либо начальной точки движения с положительным углом наклона траектории к горизонту, либо точки, соответствующей максимуму скоростного напора и перегрузки (см. фиг. 3).

Типичный закон оптимального управления подъемной силой и аэродинамическим сопротивлением, минимизирующий qmах, полученный с помощью условий (2.6), (2.8), хорошо аппроксимируется кусочно-постоянными функциями следующего вида (фиг. 4):

opt ~ — ДСуши sign 0, (3.12а)

х opt х max. (3.126)

При больших скоростях полета в отличие от (3.126) оптимальным может оказаться управление с переключением (фиг. 5), однако эффективность снижения максимального скоростного напора с помощью аэродинамического управления на участке с &сх0pt = = — Асх.тах незначительна.

Структура оптимальной программы управления подъемной силой и вектором тяги ДУ, достаточно хорошо описываемая приближенными соотношениями (3.12а), (3.11), объясняется сильной „чувствительностью“ максимального скоростного напора (перегрузки) к углу входа ГЛА в плотные слои атмосферы. Видно, что использование управления, имеющего структуру (3.11), (3.12а), обеспечивает более пологую траекторию полета и меньшие по

Ї7 СХ> ОСй р .... т .. Мх

7*

к 2 0, * К, ' У г

Ъх=6,6-103 Цу =5,8-10 3

Фиг. 6

абсолютной величине углы наклона траектории при движении в плотных слоях атмосферы.

Как это следует из соотношений (3.6), при 0< Иг<-77вГ

х 1 + /С2

и 0 < ^ -^%а" использование закона управления (2.6), (2.8),

(3.12) будет приводить к снижению д'тах, но к увеличению максимальной перегрузки. На фиг. 6 показано изменение относительной эффективности снижения максимальной перегрузки и скоростного напора с помощью неуправляемых аэродинамических тормозных устройств в зависимости от изменения начальных условий, которые соответствуют текущим параметрам траектории выведения на орбиту высотой /Уорб=180 км по программе гравитационного разворота. Здесь х = ¿/Г, где / — время движения по траектории выведения, Г—длительность активного участка выведения. Согласно фиг. 6, применение нерегулируемых (в окрестности максимума перегрузки) тормозных устройств приводит к снижению максимальной перегрузки при сходе ГЛА с траектории выведения лишь до некоторого момента времени х*.

Таким образом, описанный выше метод оценки эффективности снижения максимальных динамических и тепловых нагрузок на ГЛА с помощью приближенно оптимального ограниченного воздействия на траекторию различными аэро- и ракетодинамическими системами позволяет довольно просто (расчеты проводятся при фиксированной фазовой траектории) получать результаты, достаточно хорошо согласующиеся с точным решением в практически важном диапазоне изменения управляющих параметров, а также определять структуру оптимального управления с целью формирования удобных для бортовой реализации программ управления.

5—Ученые записки № 2

65

1. Bliss G. A. Mathemalics for exterior ballistics. N. Y., 1944.

2. Кузнецов A. Г., Черноусько Ф. Л. Об оптимальном управлении, минимизирующем экстремум функции фазовых координат. .Кибернетика“, 1968, № 3.

3. Шилов А. А., Желнин Ю. Н. О минимуме максимальной перегрузки при торможении аппарата в атмосфере. .Космические исследования“, т. IV, вып. 4, 1966.

4. Беличенко В. В. К задаче о минимуме максимальной перегрузки. .Космические исследования“, т. X, вып. 5, 1972.

5. Энеев Т. М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления. „Космические исследования“, т. IV, вып. 5, 1966.

6. Ильин В. А., К у з м а к Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. М., .Наука“, 1976.

7. Шилов А. А. Об одном приближенном способе решения задачи минимума максимального отклонения динамической системы. .Автоматика и телемеханика“, вып. 2, 1970.

8. Кешр N. H., Riddell F. R. Heat transfer to satellite vehic-les re-entering the atmosphère. „Jet propulsion“, vol. 27, N 2, 1957.

Рукопись поступила 1811V 1977