Приближенный аналитический синтез оптимального управления гиперзвуковыми летательными аппаратами при движении в атмосфере с докруговой скоростью. Ч. II Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А I И

Т о м XI 1 9 8 0 М2

УДК 629.782.015

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВЫМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ ПРИ ДВИЖЕНИИ В АТМОСФЕРЕ С ДОКРУГОВОЙ СКОРОСТЬЮ. Ч. II

А. С. Филатьев

Рассмотрена задача минимизации максимальных динамических и тепловых нагрузок на гиперзвуковой летательный аппарат при пассивном движении в атмосфере с докруговой скоростью. В первой части работы [1] получено приближенное аналитическое решение сопряженной системы уравнений. Во второй части на основе этого решения и с использованием результатов работы [2] проведен приближенный синтез оптимального управления и даны аналитические оценки его эффективности в зависимости от текущих значений компонентов фазового вектора и начальных условий.

3. Исследование приближенно оптимального закона управления ГЛА с аэродинамическим качеством. На основании решения сопряженной системы уравнений (2.16), (2.34) — (2.37), (2.38) и результатов работы [2] исследуем структуру оптимального управления ГЛА при движении с докруговой скоростью.

Согласно 12] оптимальные изменения коэффициентов аэродинамической подъемной силы и сопротивления, минимизирующие максимальный скоростной напор или температуру, задаются соотношениями (1.6), (1.7).

Используя (2.34), (2.38) и (2.2), (1.14), (2.16), получаем:

для верхнего участка

Sign Фе_ = sign 6", (3.1)

для нижнего участка

sign = — 1 = sign 6+. (3.2)

Таким образом, подставляя (3.1), (3.2) в (1.7), находим закон оптимального управления в виде функции от текущего угла наклона траектории (рис. 1, а)\

5СУор4 = -8СУтах8^п6- (3.3)

что хорошо согласуется с результатами точных расчетов [2].

be,opt-6Су max

8^ 9 0£

4V

0 BL в

V0^ir

Рис. 1

6)

Исследуем возможность переключений в оптимальной программе малого изменения коэффициента аэродинамического сопротивления (1.6).

Согласно (2.16)

^>0, (3.4)

поэтому

8С+ =8 С, . (3.5)

opt max 4

Следовательно, переключения в программе (1.6) могут существовать только при движении на верхнем участке (см. рис. 1, б), если на некотором интервале времени реализуется условие

(3.6)

Заметим, что в силу (2.35) и (2.38) —монотонно возрастающая функция скорости полета V, т. е.

•pv(V1)<^(V2)y если Vt< V2. (3.7)

Следовательно, в оптимальной программе управления (1.6) на кеплеровом (верхнем) участке траектории может быть не более двух переключений, которые соответствуют равноудаленным от апоцентра точкам траектории, что согласуется с результатами

работы [21, полученными путем численного исследования по точ-

ным уравнениям движения.

Согласно (2.21), (3.7)

Vo<f7(6), (3.8)

где фт; о |е_о,

поэтому необходимое условие (если 6/0, то и достаточное) существования участка траектории, на котором

о Сх =—ЪСх , (3.9)

opt *max’ ' '

можно записать в виде

Vo«>- (3.10)

Подставляя в (3.10) выражение (2.35), получим условие существования переключений в программе управления (1.6):

BVl < 1,

где V0=V\t=0.

(3.11)

Поскольку значение постоянной В определяется однозначно но начальным условиям посредством соотношений (2.19), (2.38) и интегралов кеплерова движения, можно построить области начальных значений фазовых переменных, которые удовлетворяют неравенству (3.11).

Очевидно, что рассмотрение множества начальных условий {1//, 01УН1) можно заменить рассмотрением множества значений параметров траектории в условном апогее {У0, //0}, так как началь-

Рис. 2

ный верхний участок движения но предположению хорошо описывается законами Кеплера и параметры (1^0, И0) однозначно определяются по известным значениим Vг, Нь 0І в начальної! точке. Заметим, что реальная траектории проходит через точку { К0, М0} только при б,. 0. Если ^.<0, то апогей реально не дос-

тигается, а соответствует условному продолжению кеплерова участка траектории в область Таким образом, значения пара-

метров 1/0, Н0 можно рассматривать в качестве фиктивных начальных условий. Такой методический прием позволяет сократить число параметров, определяющих начальные условия траектории, до двух и, тем самым, сделать результаты исследования более наглядными.

Обозначим через у = ъ(Н0) скорость полета в условном апогее, при которой 'ЬУо = 0. На рис. 2 для различных значений аэроди-намичесского качества К представлены зависимости V = справа от которых выполняется неравенство (3.11) (см. рис. 1, 6). Нижние индексы <7, //, Т при V на рис. 2 соответствуют типу рассматриваемого функционала (максимальным скоростному напору <7тах, перегрузке птах, температуре Гтах).

Оптимальный закон отклонения вектора тяги относительно вектора скорости аппарата согласно [2] определяется соотношением (1.8). На нижнем участке траектории согласно (2.16), (3.2), (3.4), (1.8)

±( J sin 6+ \

к 1 sin 6f j

Как видно из (3.12), при изменении 6+ от 6* до 0/ оптимальный угол отклонения вектора монотонно возрастает от некоторого значения ®+,,6(я/2» -) До <Pc.pt/ = (Рис- 3).

Рис. 3

Исследуем качественно зависимость <popt = <Fopt(®) на верхнем участке. Из (2.34), (2.35), (1.8) следует, что <popt - нечетная функция 6. Структура оптимального управления существенно зависит от характера изменения Выше было показано, что —поло-

i •£» с

жительная функция за исключением, быть может, некоторой окрестности точки 6 = 0. Поэтому рассмотрим два случая: во всем диапазоне изменения 6~.

Согласно (2.34), (1.8)

lim <p0Pt = —

0-*±О

и структура оптимального управления углом отклонения вектора тяги имеет вид, как на рис. 3, а.

2) не является знакоопределенной функцией 6(^(6*, 6.), т. е.

существует такое значение Gn(|0*O fJn>0)» что ф“(+0п) = О*

Отметим три характерные точки в зависимости <popt(0)- В соответствии с (2.34), (1.8) lim <?opt = + , и если 6П ф 0, то ?opt|0=o = O-

0-*±&п

Таким образом, во втором случае (Ф~^0), характерном для достаточно больших скоростей полета V0^>v (см. рис. 2), оптимальная программа изменения угла отклонения вектора тяги <popt = cpopt(Q) имеет структуру, показанную на рис. 3, б.

Рассмотренные случаи полностью исчерпывают все возможные варианты поведения функции <!>“ = (в). Поэтому оптимальная

программа управления вектором тяги для ГЛА с аэродинамическим качеством может иметь структуру либо как на рис. 3, а, либо (для больших начальных скоростей полета) как на рис. 3, б.

Рис. 4

Полученное приближенное решение сопряженной системы уравнений позволяет также оценить относительную эффективность оптимального использования аэродинамических тормозных устройств И7г^ (1.9), дополнительной подъемной силы (1.10) и двигательной установки иУ% (1.11).

Согласно (2.16), (2.35), (1.9) эффективность использования аэродинамических тормозных устройств, как и следовало ожидать, возрастает с увеличением скоростного напора. Качественная зависимость иУ'г (0) приведена на рис. 4, а. Как показано выше, для достаточно больших фиктивных начальных скоростей полета \ 0^>г’ (см. рис. 2) в окрестности апогея может существовать область, в которой увеличение аэродинамического сопротивления аппарата приводит к росту функционала (1.2), т. е. XVг. ^ < 0 (см. рис. 4, а).

В то же время максимум эффективности использования дополнительной подъемной силы достигается во внутренней точке нижнего участка траектории (см. рис. 4, б). Действительно, согласно (1.10) (2.34), (2.38) (1.16), имеют место равенства

у 0=0

11 (3.13)

•%! — = о=*иг?-; =о.

1 |о=Г/ ,0|Ь=^ у<1=ь I

Но в силу (1.10) >0, причем па верхнем участке \Vr~~ —

монотонно возрастающая функция |0|. Следовательно, максимум Щ достигается в момент времени / : (^., //). Объясняется это

тем, что вариация коэффициента подъемной силы оказывает влия-

ние па параметры траектории V и Ну входящие в функционал (1.2), только через вторую производную [см. уравнения (2.1)—(2.4)].

Исследуем характер изменения вдоль траектории относительной эффективности ДУ иУ р. Из четности функций фг,(0), 1/(0),

Фт(®) следует согласно (1.11), что функция \ХУр(В) четная:

Щ(0)=^(-в).

На основании (1.11), (2.21), (2.22), (2.38) найдем производную

—г-1—.— ■ (ЗЛ4)

1/ ,.2 ___-Ь

» ' у2~

в2

где г

а

о аг в

6* -в г 0 вг В[ В

Уа-Уг

Рис. 5

Так как г — монотонная функция Я, то на верхнем участке траектории она может обращаться в ноль не более чем в двух точках, равноудаленных от апогея: 6 = 0г. Следовательно, зави-

симость №р~ (0) может иметь не более трех экстремумов (третий — при 0=0), причем два крайних экстремума при 0 = + б2 (если они существуют) — минимумы, а при 0 = 0 — локальный максимум. Если 2>0, то \№р~ имеет только один экстремум — минимум в апогее (6 = 0) (рис. 5). Покажем, что может иметь три экстремума

лишь при достаточно больших начальных скоростях полета. Необходимым условием существования этих экстремумов является выполнение неравенства (3.10). Это означает, что при У0^у, т. е. слева от границ 1/0 = г/(Я0), указанных на рис. 2, на верхнем участке траектории эффективность ДУ \№р~ монотонно возрастает по мере удаления от апогея (см. рис. 5, а). Действительно, согласно (2.35), (2.38), (3.14) в области, где условие (3.10) не выпол-

1 — К*/? о

няется, 2 >----72----^>0' т* е* г ни в одной точке траектории не

^0*0

обращается в ноль.

Если неравенство (3.10) имеет место (У0^>^), то

где 1/кр = 1/У #о — круговая скорость для высоты, соответствующей высоте условного апогея траектории ГЛА.

Согласно (3.15) при У0=УК? величина г\в=о < 0. Следовательно, в силу непрерывности зависимости г\в~о = г(У0)\ь=о всегда существует такая область У0 > Уг, где у<СУ2< Укр1 в которой 2|8=о<СО

и, значит, в апогее таких траекторий достигается локальный максимум эффективности ДУ (рис. 5, б).

Оценим „снизу44 диапазон скоростей полета 1/0, в котором на верхнем участке траектории эффективность \№р~ имеет три экстремума (рис. 5, б). Предположим, что = Н0 — #* <С1, /? — 1; тогда с учетом неравенства [для Земли р ^ 900, см. (2.39)]

и на основании соотношений (2.35), (2.38), (3.14) приближенно получаем необходимое условие существования участка траектории с 2<0

(3.15)

откуда приходим к неравенству

Кл = 1/‘>7йГ(1‘-24Н)

(3.16)

Согласно полученной оценке (3.16) локальный максимум эффективности может достигаться в апогее траектории лишь при

околокруговых скоростях. При скоростях полета, заметно меньших круговой, когда неравенство (3.16) не выполняется, на верхнем участке траектории эффективность ДУ \№р~ монотонно возрастает при удалении от апогея (см. рис. 5, а).

Исследуем поведение функции на нижнем участке.

В силу (1.11), (2.6)- (2.9), (2.16)

СІІ

1

К*

біп 0 \2

1 - —

V 5ІП 0

БІП 0^ — 8ІП

КїІП2 0/

7

К

/11 1 /і 5ІП 6 у /С2 ( 8ІП 6/

СОБ б

+

(3.17)

На нижнем участке 0^6* и VV^ V^ поэтому согласно (2.19), (3.17), если

1<8®.1<(* + а^)(1 + -р?=тёу) И У’>С' (ЗЛ8)

с1)У?>+

то —^—<0, и, следовательно, максимальная эффективность ДУ

достигается при б ==-- 0* (см. рис. 6, а).

Если неравенства (3.18) не выполняются, что имеет место, например, при относительно малых начальных скоростях полета, то (*) может иметь как краевые, так и внутренние локальные максимумы (см. рис. 6, б, в).

Таким образом, из анализа изменения эффективности МРр вдоль всей траектории следует, что для всего рассматриваемого диапазона начальных скоростей полета за исключением, быть может, околокруговых скоростей [см. (3.16)] оптимальный момент использования ДУ принадлежит нижнему участку траектории, причем для достаточно больших по сравнению со скоростью истечения газов из сопла ДУ с начальных скоростей полета [см. (3.18)] он соответствует моменту входа ГЛА в плотные слои атмосферы (// = Я*).

4. Исследование приближенно оптимального закона управления аппаратами баллистического типа. При исследовании траекторий возвращения с докруговой скоростью аппаратов баллистического типа, для которых

Л'-О, (4.1)

так же как и выше, будем рассматривать два участка. Движение на верхнем участке описывается уравнениями (2.21) — (2.24), на

нижнем — уравнениями (2.1) — (2.4), где положим иу = 0. Для аппа-

ратов с малым аэродинамическим качеством (\ьуф 0) исследование траекторий и оптимальных законов управления может быть проведено с помощью методики [2], где в качестве номинальной используется баллистическая траектория. Таким образом, на нижнем участке номинальная траектория описывается уравнениями [3]

р1/2; 4°- = 0; -#=1/5ш0. (4.2)

сі\7_

и

= їх

<И ~ ’ си

В (4.2) предполагается, что в правых частях уравнений движения можно пренебречь изменением угла наклона траектории на участке движения в плотных слоях атмосферы, т. е. 0+ = О;5;, где Ь* — угол наклона траектории в момент входа в атмосферы, определяемый, как и раньше, условием

Н* =-5- 1п ([а* VI).

плотные слои (2.31)

(4.3)

Указанное допущение корректно в силу малой продолжительности движения баллистического аппарата на нижнем участке. Будем считать, что склейка двух участков траектории на границе

(4.3) производится без разрыва фазовых переменных (2.30).

Очевидно, что сопряженная система уравнений на верхнем участке имеет те же интегралы (2.34) — (2.37). Интегралы уравнений движения и сопряженной системы на нижнем участке имеют вид:

фазовая система 1/+ = Угехр

[3]

X

~2

Р

сопряженная система

Ку

= Ф

V

Р/

фб+ = л

Р/

2[хх

біп 0;}: ;

Ф^н с*є 6* I 1

р/

(4.4)

(4.5)

Склейка решений сопряженных систем уравнений (4.5) и (2.34)— (2.37) на границе (2.30), (4.3) производится согласно [4] и приводит к разрыву сопряженных переменных при И — /У* [см. (2.32;]. На основании (2.32), (4.5) определим значения констант V, Л, В, С

в (2.34)

(2.32), (2.37):

Ф 2/Сн Л2 К2 (1 +

* *

, _1 Л*_ .

со Р/

фКп С1ё2 0,

1 -

Р*

Р/

Р/

>0,

(і -1/;/?*)

в =

V (1 + ш)

1 +УіЯ;

О)

с=

ФАГ»

1 + “ \ где величины

СО

1 -

Р/

1 +

с^2 0:

р» ' Р/

(1 -

>о,

> ФК'н ,

(4.6)

0)

и у. определяются соотношениями (2.39).

Параметры траектории полета в момент входа в плотные слои атмосферы I/*, О*, Ц... в (4.4) — (4.6) определяются из начальных условий по законам Кеплера и признаку конца верхнего участка

(4.3).

Подставляя (4.5), (4.6) в условие оптимальности управления коэффициентом аэродинамической подъемной силы, получим тот же результат, что и в случае ГЛА с большим аэродинамическим качеством (3.3):

ЙСУор, = —аСУтах51&П 0.

Так как сопряженная переменная ’Ь~ является монотонно возрастающей функцией скорости V , то для существования переключения в законе оптимального управления (1.6) необходимо выполнение условия (3.10), (3.11). Подставляя выражение для коэффициента В (4.6) в (3.11) и учитывая, что

р* ?/ ^ 1, Н-7)

получим условие существования переключения в (1.6) в следующем виде:

1 у2 #;(: ш + Л ^2 0;1; _ А. (1 + со) < о . (4.8)

* 7- 1/о

Заметим, что если функционалом является максимальный скоростной напор или перегрузка, то согласно (1.3), (2.39) х=1 и предположение (4.7) несущественно для вывода соотношения (4.8).

В соответствии с интегралами кеплерова движения

« о 2ДИ V2 Я2

К - = + —- , Я* = /?о - АН, О* - —- 1 . (4.9)

Ко К* \'п «о

поэтому из (4.8) при <•> ч 1, \Н 1 находим

У2ЦМ

(1 У2Г?,.)+$Ш

* ' '7. ^

2(1 —

-1 + 0 (АЯ, ш)

<0. (4.10)

Так как в рассматриваемом диапазоне докруговых скоростей полета 1 — I ;Д\,':•(). го на основании (4.10) получим достаточное условие выполнения неравенства (3.10):

1

/г,

В зависимости от того, является ли функционалом максимальный скоростной напор (перегрузка) или максимальная температура, достаточное условие существования переключений в оптимальной программе изменения коэффициента аэродинамического сопротивления (1.6) согласно (1.3), (1.4), (4.11) принимает вид:

ДЛЯ Ф -—- <7тах (Ф ^тах)-

I 0 > г}а ^ 0,707 -

I А\

для Ф= Гтах:

____

I /То 62

V0>vт^0i93

(4.12)

Полученные аналитические оценки (4.10) — (4.12) хорошо согласуются с результатами точных расчетов траекторий спуска баллистического аппарата в атмосфере Земли (см. рис. 8).

Оптимальная программа управления вектором тяги на верхнем участке имеет ту же структуру, что и для аппаратов с большим аэродинамическим качеством (см. рис. 3). На нижнем участке, используя (1.8), (4.5), имеем

Из (4.13) следует, что 9+р1 монотонно возрастает по времени от некоторого значения 7Г) до = Таким образом,

структура оптимальной программы управления углом отклонения вектора тяги ср0^ вдоль всей баллистической траектории та же, что и для ГЛА с аэродинамическим качеством (см. рис. 3).

Изменение относительной эффективности ДУ иУр вдоль траектории также имеет характер, аналогичный рассмотренному выше случаю ГЛА с аэродинамическим качеством, поскольку интегралы сопряженной системы на верхнем участке имеют вид (2.34) — (2.37) независимо от аэродинамического качества аппарата, а на нижнем участке производная (3.17) по виду совпадает с соответствующей производной при /С = 0:

Поскольку х< 1 и второе слагаемое в (4.14) всегда меньше нуля, то для достаточно больших скоростей полета

5. Влияние начальных условий на функционал. В соответствии с [2] сопряженные переменные, удовлетворяющие граничным условиям (1.13), имеют простой физический смысл — они являются

(4.13)

У,>С

(4.15)

производная ^-<10 [ср. с (3.18)], и, следовательно, максималь-

ная эффективность ДУ шах [И^р] достигается в момент входа

щь V)

аппарата в плотные слои атмосферы (Н = Н*).

Согласно (4.4)

поэтому условие (4.15), при выполнении которого максимум Х/р достигается при //=//*, заведомо выполняется, если

У0>с-е2.

функциями влияния изменения соответствующей текущей фазовой переменной на функционал (1.2), т. е.

^ ~ дЬ 9 — дИ '

дФ ____ дФ

(5.1)

На основе (5.1) и приближенного аналитического решения сопряженной системы уравнений (2.16), (2.34) — (2.37), (2.38) можно оценить влияние начальных условий на функцпонал. Так же, как и выше, будем предполагать, что на начальном участке траектории влияние аэродинамических сил мало (верхний участок) и, следовательно, функционал однозначно определяется двумя параметрами— скоростью и высотой полета в условном апогее 1/0, Н0, которые легко определяются но начальным условиям Уь Н1 с помощью законов Кеплера [5]. Поэтому влияние начальных условий на функционал будет характеризоваться значениями сопряженных переменных (5.1) в условном апогее траектории фи0=фг,|е=0, %0=фн1е = о* Как было показано выше, знак о зависит от скорости полета У0:

где V = ъ(Н0) — скорость в условном апогее траектории, при которой ф*о = 0 (см. рис. 2).

Рассмотрим траектории ГЛА с аэродинамическим качеством. Из (5.1), (5.2) следует, что функционал немонотонно изменяется при варьировании фиктивной начальной скорости полета У0 и достигает

скорости полета в условном апогее У0 приводит к уменьшению функционала, т. е. к снижению максимальных тепловых или динамических нагрузок.

На рис. 7, а, б приведены зависимости максимальной перегрузки птах и максимальной температуры Ттах от фиктивных начальных условий У0, Н0, полученные путем интегрирования точных уравнений движения (1.1) гипотетического ГЛА [3], имеющего баллистический коэффициент |Х^==6000 и единичные радиус кривизны и степень черноты поверхности в критической точке.

Сравнение значений начальной скорости полета (в условном апогее) V(//о), при которой достигаются наибольшие значения птах

(ИЛИ <7тах) и Ттах, ПОЛучеННЫХ На ОСНОВе ИСПОЛЬЗОВаНИЯ Приближен-

ных аналитических решений (2.35), (2.38), с результатами численного интегрирования точных уравнений движения указывает на их хорошее согласование даже при умеренных перегрузках /гтах^5 (см. рис. 7). Увеличение высоты полета Н0 при фиксированной скорости У0 приводит к монотонному возрастанию функционала при любой начальной скорости 1/0 за исключением небольшого диапазона околокруговых скоростей. Действительно, область фиктивных начальных условий У0, И0, в которой

+ 1, если У0<iv, 0, если У0 = V,

| — 1, если У0 > V,

(5.2)

дФ/дН0<09

(5.3)

Рис. 7 —-х—согласно(2.35),(2.33), (5 1)

—о— точное

в соответствии с физическим смыслом сопряженных переменных

(5.1) определяется условием %о<0. Но в силу (2.36), (2.38) с учетом

ТОГО, ЧТО СО « 1,

и *

Поэтому необходимое условие существования области (5.3) при Н < 1 имеет вид:

Ув>_^-(1-ДЯ). (5.4)

V Яо

5—„Ученые записки“ № 2

65

—х— согласно (2.-35), (2.38), (5.1)

—о— точное

Рис. 8

В)

Переход от ГЛА с большим аэродинамическим качеством к баллистическим аппаратам, как отмечалось выше, не приводит к каким-либо принципиальным изменениям в выражениях для сопряженных переменных, а следовательно, и в структуре оптимального закона управления и его эффективности. Поэтому в соответствии с (5.1) и поведение функционала при вариации начальных условий качественно не зависит от аэродинамических характеристик ГЛА.

Рассмотрим зависимость Ф = Ф (У0) \ н0=пх при К= 0. Согласно (4.11), (4.12), (5.1), (5.2) наибольшее значение функционала (<7тах, ягаах, Ттах) при прочих равных условиях достигается при начальной скорости, соответствующей

что хорошо согласуется с результатами точных расчетов, приведенных на рис. 8. В области снижение максимальных тепло-

вых и динамических нагрузок достигается увеличением скорости полета У0.

Рассмотрим зависимость Ф = Ф (Н0) |у0=нх. В соответствии с (2.36),

(4.6), (4.7), (4.9), (5.1) при К= 0

X

х (1 - VI /?о - (1 + О (Ш, Ш))} . (5.5)

Если 0) < 1 и //С 1, то, оставляя в (5.5) члены нулевого и первого порядка малости по со, Н и А/У, получим

( ин \

-|^ = Фн0---------ч 2АЯ) ■ (5.6)

дНо *н° к* К*(1 + 4 1 к

А 1

дФ

дНо

фнО =

4ДЯ

----------9+0 (АН)

Согласно (5.6) функционал монотонно возрастает с увеличением начальной высоты полета для любых начальных скоростей полета, за исключением малого диапазона околокруговых скоростей

1/„>-р^_(1-Д Я), (5.7)

что совпадает с оценкой (5.4), полученной для ГЛА с аэродинамическим качеством.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филатьев А. С. Приближенный аналитический синтез оптимального управления гиперзвуковыми летательными аппаратами при движении в атмосфере с докруговой скоростью. Ч. I. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 11, № 1, 1980.

2. Филатьев А. С. Снижение с помощью малых управляющих воздействий максимальных динамических и тепловых нагрузок при пассивном движении гиперзвуковых аппаратов. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 9, № 2, 1978.

3. Миеле А. Механика полета, т. 1, М., .Наука”, 1965.

4. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М., ,Мир“, 1972.

5. Аппазов Р. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управляемых ракет дальнего действия. М., „Наука*, 1966.

Рукопись поступила 181X11 1978 г.