CC BY
89
_______УЧЕНЫЕ
Том XXVI
ЗАПИСКИ 199 5
ЦАТ И
№1-2
УДК 629.782.015.076.8:525.7
ОЦЕНКА ДАЛЬНОСТИ ПОЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПО ТРАЕКТОРИИ С ОТРАЖЕНИЯМИ И УПРАВЛЕНИЕ ДАЛЬНОСТЬЮ
А. В. Бобылев, А. И. Федоров, В. А. Ярошевский
Выведены приближенные формулы для оценки дальности полета космического летательного аппарата по траектории с отражениями, проведено сопоставление аналитических и численных результатов расчета. Предложен алгоритм траєкторного управления, позволяющий эффективно контролировать дальность полета вдоль траектории с отражениями.
Рассмотрим задачу об оценке угловой дальности полета s летательного аппарата (JIA), обладающего «большим» постоянным аэродинамическим качеством, от текущей точки, определяемой условиями V0, 0О, Но, до момента достижения заданной конечной скорости VK.
Ограничимся вначале отысканием требуемой зависимости s (F0, 0О, Н0, Ук, К) на основе исследования решений приближенного уравнения, описывающего траекторное движение ДА. на «основном» участке траектории входа в атмосферу [1]:
cP"v е^х — 1
^_л + £----------i, (1)
dx У
где У = ^г~\~Р — безразмерная плотность атмосферы;
2т \ X
х = In -¿г = In --у* — монотонно возрастающая функция скорости;
Л = *л/Ж — константа, пропорциональная эффективному аэродина-
С
мическому качеству К = — cosy; у — угол крена; V = VKp = JUg —
сх
среднее значение местной круговой скорости на траектори; V —
отношение скорости к местной круговой скорости; Л — среднее расстояние до центра Земли; g — среднее ускорение силы тяжести; су, сх, 5 и т — коэффициенты подъемной силы, сопротивления, характерная площадь и масса ЛА; X — средний логарифмический градиент плотности атмосферы.
Для типичного диапазона параметров ЛА можно принять, что
средняя высота расположения траектории входа в атмосферу Земли
составляет -60 км, при этом ^ср » 0,14 км-1, g » 9,63 м/с2, Ущ> = «
« 7,87 км/с, -/ЁХ «30.
Угол наклона траектории 0 определяется формулой
. 0 = _ж^’ (2)
угловая дальность полета 5 при 7 = 0 — формулой
’—г-]-- <3>
*0
Как известно, при малых углах входа в атмосферу 0о » 0 в случае «больших» значений аэродинамического качества (су /сх £ 1) реализуется траектория квазистационарного планирования
е2Х ~ 1 /л\
Утт*------------> (4)
Л
дальность полета по которой определяется формулой
К 1 - V2
5 = 41п-----4-, (5)
2 1 -V* '
Показано ([1, 2]), что при малом отличии величин у (хь) и у'(*о) =
¿у
= ~^(х0) от значений ут (хо) и Ут(хо) =--------приращение дальности
ах т]
полета (при УК а 0) определяется формулой
Ду'(*о) 2Ау(х0)е2х(>
е2х° -1 (е2х° - I)2
(6)
где
Ау(^о) = 3'(хо)-Упл(хо)» ду'(^о) = У'(*о) - Хш(*о),
если величина х0 > 0 не слишком мала. Формулы (5) и (6) могут быть использованы, например, в алгоритме управления полетом ЛА по траектории, мало отличающейся от траектории планирования [2].
Рис. 1. Характер изменения кривой у (х) при полете по траектории с отражениями
Рассмотрим приближенно «траекторию с отражениями» с начально _1
НЫМИ условиями х0 > 0, у (Хо) = Уил (дС!о) =
Ц
У'(*о) » У'т (*0 ) =---------------- (7)
Ц
и проследим за изменением параметров траектории на протяжении одного периода колебаний: на интервале хо + х\, где у > у^, и на интервале XI -4- Х2, где у < ут (рис. 1), причем
У (*1> = Упл (*0, У (Х2) = Упл (*2>-
Анализ показывает, что при большой «глубине» отражений, когда максимальное значение ут = у (хт), достигаемое в промежуточной между
хо и XI точке хт, удовлетворяет неравенству
У (хт) »Упл (хт) (8)
(которое справедливо при выполнении неравенства (7)), прослеживается следующая закономерность: приращение Дх (потеря скорости), достигаемое за период колебаний, накапливается в основном на участке Хо ч- хь т. е.
XI - Хо >>Х2 - XI,
а приращение дальности за период колебаний накапливается в основном на участке XI + хг, т. е.
■ -*1 х2
1 У ) У
*0
В случае выполнения неравенств (7) и (8) траекторию у (х) на участке хо -?• Хх можно приближенно описать параболой
У* Упл(*Ь) + У'(*о) (*-*о)-у(*-*Ь)2. (9)
поскольку при у »Упл согласно (1) имеем: у" « - г|.
Соответственно, производная у' (пропорциональная углу наклона траектории (2)) изменяется по закону
у' » у'(*о) - лС* - *о)- (10)
Значение у достигает максимума ут в точке
V -V ■ У'(*о) /114
хт ~ х0 + > (11)
Ц
а значение Ху определяется приближенной формулой
т .. т . 2У(Хо)
*1 * *0 +--------.
л
Выражение для дальности полета с учетом уравнения (1) можно преобразовать к следующему виду:
X* Хг X*
- 1 Г ¿¿с _ г) Г с!х 1 г у"сЬс
5 л/Ж * У 7Ж ' е2х - 1 + 7Ж 1 е2х -1
х0 х0 х0
К . 1-е 2х* 1 у'
= — 1п----------— + -
2 1 _ е~2хо е2х -1
2у'е2хбх
Щ. 3 (е2х -1)2 ‘
х0 ’ *о '
(12)
При достаточно больших хк (достаточно малых Ук) формулу (12) можно переписать в виде
ум 1 7у2** а«
2 1 - е~2х° -УЖ (е - 1) у[Ш (е2х - I)2
*0
У*
поскольку ----------> 0 при X —> со.
е2х -1
Первый член в формуле (13) определяет дальность полета по траектории планирования, второй определяет в линейном приближении поправку к дальности, обусловленную малым отличием у'(*о) от
•Упл(*о) (^)‘
Последний член в формуле (13) играет существенную роль в случае, когда у'(*о) »Хш^о)-
Для приближенной оценки этого члена примем во внимание, что подынтегральное выражение представляет собой произведение очень
2<?2*
быстро убывающей функции —х----------------=- (особенно при малых дсо) на
(е1х -1у
производную у', имеющую колебательный характер. Очевидно, что основной вклад в интеграл, определяющий последний член (13), вно-
сит первый интервал х<) ч- хт, на котором производная у' положительна. Поэтому для грубой оценки дальности с учетом (10) и (11) преобразуем выражение (13) к виду
амхы±‘~2*--...У(£о! ,
*о+
2 1-е~2х° у[Ж(е2х° -1)
У(*о)
1 гл 2[у'(х0)-т\(х-х()))е2х<1х /лл^
Ш J (,е2х-1)2 = К }
■*0
К, 1-е_2х*
-2
1-е 1 я 1
2 1П
(для вывода формулы достаточно применить интегрирование по частям).
Формулу (14) с учетом условия у' » Упд можно представить также в виде
2 -2(хо+^)’ ' '
1-е *«
где
2е2х°
У'гт=-------. АУ'=У'-У'тш>
Л
и убедиться, что она дает правильный результат не только при больших, но и при малых Ду' > 0.
Действительно, при малых Д/ можно разложить выражение (15) в ряд Тейлора по Ду' и получить
К. 1-е"2дСк Ду' _/4 ,2ч
5 » — 1п------т--------—=— --------+ 0(Лу'),
2 1-е~2х° у/Ш(е2х°-1)
что совпадает с (5) и (6).
Рассмотрим далее случай, когда у(дйо)=Ига(*ь)> У ’(хо)<0, 1у'(*ь)1 » ^ пл (*<э)- Можно усмотреть, что первый интервал Д5д + х\, на котором у (х) < уцл (х), мал и на нем накапливается большое приращение дальности
При выполнении неравенства |у' (хо) I »у'„л (*о) получим
^Упл^о).
хг * х0 +
\у'Ы
л/Ж(е2х° -1)
С учетом ранее полученной формулы (15) представим общее выражение для дальности в виде
(¡X
сЬс 1 [аЬс
ж
*0
КЛ
+ —1п-
1 - е~2х*
У
*0
2\у'(х0)1 4Ж(е2хо -1) ‘ 2
Поскольку |/ (хо) I »Упл (хо), хх * хо, можно записать это выражение по аналогии с (15) в виде
-2 х1+^'(хо)11
1-е 1 я ]
Дду'Ы ,*1п.
л[Ш(е2х0-1) 2
где
1 - е 2х*
-2 [Х0+!^'М1
1-е *1
(17)
АУ' (*о) = У' (*о) - У'тт (*0) < 0.
Нетрудно убедиться, что в линейном приближении при малых Д/ (хо) < 0 формула (17) дает результат, совпадающий с (5) и (6).
Сопоставление результатов расчета дальности полета ЛА при К = = 1,5_(г| = 45) до конечной скорости Ук = 0,2, выполненного по формулам (15) и (17), и численных результатов расчета по уравнению (1) при нескольких значениях У0 = г-х° в диапазоне от 0,976 до 0,991 приведено на рис. 2. Значения у’ (хо) пересчитаны на начальный угол наклона траектории
6п =-
У'(*о)
Ш ’
на рисунке 5 и 0О
Рис. 2. Сопоставление численных и аналитических результатов расчета дальности: выражены В градусах. Как ВИДНО,
К= 1,5, Ук = 0,2
точность формул (15) и (17) оказы-
вается достаточно высокой (в смысле сопоставления результатов с расчетами по приближенному уравнению (1)).
В общем случае оставшаяся дальность s является функцией текущей скорости (х), высоты (у) и угла наклона траектории (у'): s = s (х, у, у').
Рассмотрим вначале, как влияет малое отклонение Ду = у - ут на оставшуюся дальность.
Пусть начальная точка располагается на траектории планирования: у (х) = Упл (х). Зададим бесконечно малое приращение dx. Приращение оставшейся дальности с учетом соотношения ([1])
ds
dx
■JjRX у
(18)
составит
, dx ds ds , ds ds = —*=— = —dx + —y’ dx +-----y" dx,
ТЖу ас ду* ду* ’
откуда с учетом условия У — 0 (при у = Упл) получим
1 ds ds
Шут
• + —у'.
дх ду
В то же время
дф^Упд^У'] ■■■ ds ds_ , дх dx + (ЭуУтт’
(19)
(20)
где функция 5 [х, Упл (х), у'] определяется формулами (15) и (17) при Ду' > 0.
В итоге из соотношений (19) и (20) получим
ds
dy
К
У = Упл Ау' при Ду' > 0,
ds
dy
1
Є2Х-1 2(x+W)
e л -1
4е
2х
у = упл 4Ш (е2х -1)2 |ду'|
е2х - 1
1[х+М]
при Ду' < 0.
(21)
Можно усмотреть, что при Ду' -»• 0 результаты согласуются с формулой (6).
Если перейти от вариации безразмерной плотности у к вариации
(¡У
высоты, то с учетом соотношения ~~ =- Ху получим
ёН
ds , ds
Поэтому в линейном приближении приращение прогнозируемой дальности составляет
Лї = ^(Я-Япл) = уГОІ£іп-^, дН ду Упл
(22)
Зі
где — определяется формулами (21). ду
Можно усмотреть, что при |Ду'| -> 0, Ау -> 0 формулы (21) и (22) согласуются с последним членом в формуле (6).
Сопоставление результатов расчета по формулам (21) и (22) с результатами численных расчетов по уравнению (1) для случая К = 1,5 представлено на рис. 3—6.
Как видно, выписанные формулы «линейной» оценки дают хорошую точность при Ду (хо) < 0, а при Ду (хо) > 0 диапазон применимости формул ограничен и убывает с ростом во: так, при во = - 4° формулы
пх(хо)
справедливы до значении
~ 200 (что соответствует для зем-
'^пл (хо)
ной атмосферы значению АН= - 37 км), а при во = 4’— до значений п (х )
—~ 4 (АН=- 10 км). Если такой диапазон является недостаточ-
пхтш (*0>
ным, необходимо уточнить полученные формулы. Рассмотрим случай у (хо) (хо), тогда вначале располагается участок траектории, на
котором у" * -Т1, поэтому функцию у (х) на этом участке можно аппроксимировать параболой
У «У(хо) + У' (х0) (х - х0) - -^(х - х0)2.
(23)
Кривую у„л (х) с помощью тейлоровского ряда также представим параболой
Упл ~
е2х0-1 2е2х0 2е2х0
-------+--------(х - Х0) +--------(X - Х0Г.
(24)
Г\ ц л
Приравняв выражения (23) и (24), найдем точку пересечения парабол
„ ч 2е2х°
уЧ*о)-----------+
*1 * *о +"
л+-
4е2хо
(25)
и значение производной у'(хі) < 0;
У'(*і) *У'(*о)" Л(*і - х0).
(26)
Рис. 3. Сопоставление численных и аналитических результатов расчета дальности: о — численный расчет, —-----формула (22),
х — формула (27)
Рис. 5. То же, что и на рис. 3
Рис. 6. То же, что и на рис. 3
Дальность, накопленная на участке *о < х < х\ с учетом (23), определяется формулой
К ней добавляется дальность накапливаемая при х > х1; определяемая по формуле (17) с заменой на XI и у' (хо) на у' (хх).
Можно ожидать, что результаты вычислений по приведенным выше «нелинейным» формулам дадут несколько завышенную оценку дальности 5 = 5о1 + поскольку на первом участке при х < х\ значение у", согласно уравнению (1), в действительности превышает —-Ц, т. е. использование формулы (23) соответствует условиям полета с увеличенным значением аэродинамического качества. Эта погрешность становится наиболее заметной по мере уменьшения значения у (хо) и приближения его к значению у^ (хо), поскольку у" (х<>) ->• 0 при у (хо) -» Упл (хо). Но при у (хо) -> Упл (хо) все большую точность приобретает линейная оценка (21). Поэтому в случае у (дсь) > Упл (*о) можно использовать комбинацию линейной и нелинейной оценки: в самом простом варианте можно принять в качестве уточненной «комбинированной» оценки минимальное из двух значений. Соответствующие результаты вычислений приведены также на рис. 3—6.
Совпадение можно считать удовлетворительным, заметные отличия возникают лишь при больших 0о > 0 в случае приближения скорости
Поскольку вывод формул опирался на приближенное уравнение (1), целесообразно оценить их применимость при решении точных уравнений движения ЛА в атмосфере. В качестве примера был выбран ЛА с характеристиками:
входящий в атмосферу Земли на высоте Щ = 100 км со скоростью 7850 м/с. Использовалась стандартная модель плотности атмосферы. Вычисление оставшейся дальности начиналось с момента, когда угол наклона траектории становился близким к нулю. Интегрировались точные уравнения плоского движения ЛА (без учета вращения Земли) и приближенное уравнение (1), причем в качестве «средней» круговой скорости Укр, используемой при вычислении безразмерной скорости
V = У/Укр, было выбрано значение Укр = 7870 м/с, соответствующее характерному диапазону высот 50—80 км. Результаты расчетов отраже-
501 ^1У Ш^У2(х0) + 2х]у(х0)'
*1
1 с 1
тгг "гг I........................т—-
(27)
Г0х1.
ны в таблице. В предпоследнем столбце этой таблицы приведены значения 5 + s0CT, где socr — оставшаяся дальность, которая определяется по формулам (15), (17), (21), (22). Степень изменчивости величины s + i0cr характеризует погрешность прогноза. Как видно, «точная» конечная дальность, достигаемая при V =0,2, несколько отличается от прогнозируемого значения, хотя это различие не очень существенно.
s, град V 0, град пх î + i, град Н, км
10,9 0,9772 0,12 0,370 141,5 67,5
16,0 0,9549 1,65 0,072 139,9 78,4
21,1 0,9500 1,28 0,006 140,6 93,2
25,9 0,9482 0,81 0,001 141,1 103,2
31,0 0,9473 0,27 0,000 141,1 108,6
36,2 0,9472 - 0,26 0,000 140,8 108,7
41,0 0,9480 - 0,77 0,001 140,3 103,8
46,1 0,9494 - 1,28 0,006 139,9 93,4
51,2 0,9494 - 1,59 0,070 139,8 78,6
56,0 0,9326 - 0,46 0,364 139,7 66,9
61,1 0,9027 1,26 0,143 139,8 73,2
65,9 0,8946 0,73 0,029 140,0 83,4
71,0 0,8921 - 0,34 0,020 140,0 85,5
76,2 0,8897 - 1,26 0,079 139,9 77,0
81,0 0,8718 - 0,67 0,364 139,9 65,7
86,1 0,8351 1,03 0,201 139,9 69,5
91,2 0,8213 - 0,01 0,077 140,0 75,9
96,0 0,8110 - 1,17 0,188 139,9 69,5
101,1 0,7708 0,35 0,435 140,9 62,7
105,9 0,7376 0,30 0,176 140,0 68,8
111,0 0,7119 - 1,09 0,346 140,0 63,2
116,2 0,6526 0,59 0,383 140,0 60,8
121,0 0,6103 - 0,90 0,342 140,0 60,7
126,1 0,5340 0,32 0,470 140,1 55,9
131,2 0,4509 - 0,74 0,584 140,1 51,3
136,0 0,3322 - 0,98 0,575 140,2 46,7
139,5 0,2000 - 2,46 0,574 140,2 38,6
В том случае, когда рассматривается участок вылета ЛА из атмосферы со скоростью У0, близкой к единице, предложенные формулы нуждаются в корректировке. Такой ситуации соответствуют начальные условия х= хо « 1, у (хо) = Упл (*о), У’ (-*о) < 0 (0о > 0). Тогда дальность участка вылета из атмосферы определяется первым членом в правой части формулы (17). В то же время точная формула для дальности полета по кеплеровой траектории имеет вид [1]:
j = 2 arctg
tg0O
V2 -1 \0 1
tg2 00
(28)
где 0О и V0 =
М^о)
рость в момент вылета из атмосферы.
угол наклона траектории и безразмерная ско-
Очевидно, что в тех случаях, когда значение Vq приближается к единице, первый член в правой части формулы (17) становится неограниченно велик и может превысить л, что противоречит точной формуле (28). Поэтому в таких случаях следует скорректировать первый член в правой части формулы (17) и представить его в виде
2 arctg ^-----------. (29)
л[Ш(е2х°+1) 4 '
При этом следует позаботиться о том, чтобы выбранное среднее значение Fjq, = -jBg строго соответствовало высоте Щ, определяемой соотношением ^J^p(H0) = ywl(x0).
Аналитический прогноз оставшейся дальности полета с использованием формул вида (15), (17), (21), (22) может найти применение при формировании закона управления траекторным движением KJIA на этапе спуска в атмосферу (исключая конечный участок спуска, на котором требуется коррекция выписанных формул).
Как известно, задача об управлении траекторией KJIA путем изменения угла крена у разделяется на задачи об управлении продольной дальностью (изменение значения ^Tcosy) и боковой дальностью (изменение знака у). Ограничимся анализом наиболее сложной задачи
об управлении продольным движением в «квазиплоской» постановке, не делая различия между угловой дальностью полета (см. формулу (3)) и угловой длиной развертки траектории, по аналогии с [3].
Среди возможных алгоритмов управления траекторным движением KJIA на гиперзвуковом участке спуска практическое распространение получил алгоритм, основанный на аналитическом прогнозировании траектории в плоскости (V, пх) (см. [1], [3]), который требует решения обратной задачи динамики полета (определение сил по заданной траектории). В этом алгоритме фактически траектория полета выбирается из семейства кривых пх (V, а), где а — параметр, определяемый из условия равенства требуемой и прогнозируемой дальности полета, причем зависимость пх от а при данном V является монотонной. Однако в случае, когда потребная дальность полета очень велика, например в некоторой нештатной ситуации, возникает необходимость полета KJIA по траектории с отражениями, причем построение семейства кривых пх (V, а) с монотонной зависимостью пх от а с учетом ограничения на максимальное значение эффективного аэродинамического качества является практически неразрешимой задачей.
Поэтому представляется целесообразным перейти в этом случае к закону управления вида
-^выст — -^попад (30)
где КВЫС1 — «выставляемое» эффективное аэродинамическое качество, ^попад — «попадающее» аэродинамическое качество, обеспечивающее достижение заданной дальности из текущих начальных условий, АХ — приращение качества, определяемое дополнительными условиями.
Для определения значения А^пад можно воспользоваться формулами (21) и (22) и найти два значения и 5ср — дальности полета по траекториям с отражениями с использованием соответственно максимального Ктах и среднего аэродинамического качества КсР.
Значение Кср выбирается из условия обеспечения максимального «запаса» на управление (возможность как увеличения, так и уменьшения эффективного аэродинамического качества). Входными величинами для формул, определяющих дальность полета, являются значения 0,
— V
пх и V » . Значение впопад ПРИ заданной оставшейся даль-
7870
ности 50СТ можно определить путем грубой интерполяции:
впопад = *ср + (¿ост - 5ср>- (31)
■^тах ■’ср
Дополнительное слагаемое ДК определяется с учетом двух требований:
1. При приближении к концу траектории желательно, чтобы аэродинамическое качество стремилось к выбранному среднему значению А'ср.
2. Желательно по возможности сглаживать пики по перегрузке и равновесной температуре.
С учетом этого член А К можно сформировать следующим образом:
= (кп - 1)(-^Попад — *ср) — А0,
где кп — коэффициент перекомпенсации, который выбран равным 2 ([1, 2]); кд — коэффициент демпфирования, задаваемый эмпирически:
Д0 = 0 - ©лл,
вид — угол наклона траектории квазистационарного планирования. Формирование величины «выставляемого» эффективного качества КВЫС1 ведется с учетом ограничения А^ыСТ <
Предложенный алгоритм был опробован при численном моделировании движения КЛА с характеристиками (т/с^Я) = 1000 кг/м2, — = 1,5, причем управление начиналось после первого выравнивания в атмосфере (достижения 0 = 0), а требуемая дальность полета задавалась достаточно большой. На рис. 7, 8 приведены зависимости 0 (V), *высг (У), Н (К), 50СТ (V), пх (V) для вариантов с демпфированием (кя *■ 0) и без демпфирования (кя — 0). Как видно, введение перекомпенсации (1^ = 2) приводит к тому, что «выставляемое» качество приближается к среднему значению (^р = 1).
При малых скоростях V < 0,3 значение К№С1 становится, как правило, меньше Кср = 1. Это объясняется, по-видимому, неточным определением траектории квазистационарного планирования при малых скоростях [1]. При необходимости можно внести соответствующую поправку в вычисление А^0пад- Тем не менее и при использовании формул (21) и (22) ошибки^ в конечной дальности оказались малыми и не превосходили 0,1° при Ук = 0,2.
Рис. 7. Изменение угла наклона траектории и эффективного аэродинамического качества в процессе управления траекторией
Рис. 8. Изменение продольной перегрузки, высоты и оставшейся дальности в процессе
управления траекторией
Численное моделирование показало, что алгоритм точно отрабатывает заданную дальность и при наличии возмущений: отклонений аэродинамического качества (не измеряемых в полете) и отклонений плотности атмосферы. В случаях, когда потребная дальность чрезмерно велика и превосходит максимальную располагаемую, КЛА использует предельное значение аэродинамического качества, что свидетельствует о правильной логике управления.
Авторы благодарят В. Ф. Илларионова за полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ярошевский В. А. Вход в атмосферу космических летательных апнаратов.—М.: Наука,—1988.
2. Rosenbaum R. Longitudinal range control for a lilting vehicle entering a planetary atmosphere // ARS Paper.—1961, N 1911.
3. Harpold J. C., Graves C. A. Shuttle entry guidance // J. of Astronautical Sciences.—1979. Vol. 27, N 3.
Рукопись поступила 6/XT 1990 г.
