CC BY
174
Финансовый менеджмент
Удк 336.6 (075.8)
ОТ МОДИЛЬЯНИ-МИЛЛЕРА К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СТОИМОСТИ И СТРУКТУРЫ
КАПИТАЛА КОМПАНИИ
П. Н. БРУСОВ, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики E-mail: pnb1983@yahoo.com
Т. В. ФИЛАТОВА, кандидат экономических наук, профессор кафедры финансового менеджмента
E-mail: mfilatova@fa.ru Финансовый университет при Правительстве
Российской Федерации
В статье отмечается, что одно из серьезных ограничений теории Модильяни-Миллера связано с предположением о перпетуитетности (бесконечном времени жизни) компании. Авторы снимают это ограничение и показывают, что учет конечного срока существования компании приводит к изменению как стоимости собственного капитала компании ке, так и ее средневзвешенной стоимости WA.CC, при наличии корпоративных налогов. Приведено строгое доказательство теоремы Брусова-Филатовой, что при отсутствии корпоративных налогов стоимость собственного капитала компании ке, а также ее средневзвешенная стоимость WACC не зависят от времени жизни компании.
Ключевые слова: перпетуитетные компании, компании с конечным временем жизни, средневзвешенная стоимость капитала, стоимость собственного капитала, теория Модильяни-Миллера, теорема Брусо-ва-Филатовой.
Компании с произвольным временем жизни
Решение проблемы средневзвешенной стоимости капитала для компании с конечным временем жизни было впервые получено экономистами П. Н. Брусовым и Т. В. Филатовой, Н. П. Ореховой и А. П. Брусовой [1, 2]. Рассмотрим ситуацию для
конечного промежутка времени. Найдем величину налогового щита компании за п лет (с использованием формулы для суммы п членов геометрической прогрессии):
(ру)тз = крт^ (1 +к, г = БТ [1 - (1 + к, г ],
I=1
где кс1 — стоимость заемного капитала компании;
D — величина заемных средств (капитала) компании;
T — прибыль.
Далее используем теорему Модильяни—Миллера [3, 4]. Стоимость финансово зависимой компании равняется стоимости компании той же группы риска, не использующейлеверидж, увеличенной на величину налогового щита, возникающего за счет финансового леве-риджа и равного произведению ставки корпоративного налога на прибыль Тна величину заемных средств D: V = уо + БТ.
Эта теорема сформулирована Модильяни и Миллером для перпетуитетных компаний. Она же и будет применяться с учетом методики Брусова— Филатовой для компании с конечным временем жизни:
V = V + (PV )га = V + БТ [1 - (1 + к, Г ],
г = у + (ру )га = у + т [1 - (1+кл г ]:
= Уо + ™ЛУТ
1 -(1 + К
у (1 - м>ут[1 -(1 + к, Г ]) = Уо. (1)
Общепринятыми являются следующие две формулы для стоимостей финансово независимой и финансово зависимой компаний [3, 4]:
Уо = С^/ко,
У = СЕ / WЛCC, (2)
где CF — финансовый поток за каждый период, в предположении его постоянства; к0 — стоимость собственного капитала компании при нулевом леверидже или для финансово независимой компании; ШЛСС — средневзвешенная стоимость капитала компании.
Однако эти практически всегда используемые формулы получены для перпетуитетной компании, и в случае с компанией с конечным временем жизни должны быть модифицированы таким же образом, как и величина налогового щита [1, 2]:
Уо = СЕ [1 - (1 + ко)-" ]/ко;
У = СЕ [1 - (1 + WЛCC)-n ] ЛСС. (3) Из формулы (1) получаем уравнение Брусо-ва—Филатовой для №ЛСС[1, 2]:
[1 - (1 + WЛCC)-" ] [1 - (1 + ко)-п ]
WЛCC
ко [1 - нат (1 - (1 + к, Г)]'
где wd—удельный вес заемного капитала компании (м>а=Б/ (Б+Ь);
ка — стоимость заемного капитала компании. При п=1 получаем формулу Майерса для одногодичного проекта [4]:
(1 + ко)к, н т 1 + кА
WЛCC = ко -При п=2 имеем:
[1 - (1 + WЛCC )-2 ]= [1 - (1+ко)-2 ]
WЛCC
ко [1 - (1 - (1 + кй )-2)]
(4)
. (5)
Это уравнение можно также решить относительно №ЛСС:
_2 + ШСС_
(Г+ЖЛСС)2
2 + к
(1 + ко)2
1 - wdт2к<+к2 " (1 + к, )2
2 + WЛCC = а(1 + WЛCC )2
здесь
2 + к
а = -
(1 + ко)2
, т2кл + к]
1 - нт —й-%т
Л (1 + к, )2
Таким образом: WЛCC =
1 - 2а ±4 4а +1
2а
При п = 3 и п = 4 уравнение для ШЛСС становится довольно громоздким, но его все еще можно в принципе решить аналитически, а при п > 4 оно и в принципе решается только численно.
Необходимо сделать важное методическое замечание: при учете конечного времени жизни компании все формулы без исключения должны быть получены с учетом этого факта, т. е. необходимо использовать формулы (3) вместо их перпетуитет-ных пределов (см. формулу 2).
Алгоритм нахождения WACC в случае компании с произвольным временем жизни
Рассмотрим подробнее результаты, полученные экономистами П. Н. Брусовым и Т. В. Филатовой, Н. П. Ореховой и А. П. Брусовой [1, 2].
Рассмотрим компанию, срок жизни которой составляет п лет. В этом случае уравнение для ШЛСС имеет следующий вид:
[1 - (1 + WЛCC )-
- Л(п) = о.
(6)
WЛCC
Через Л(п) обозначено следующее выражение:
Л(п) = -
[1 - (1 + ко)-" ]
г Т (7)
ко [1 - (1 - (1 + к, )-п)]
Алгоритм решения уравнения (6) будет следующим:
1) подставляя в формулу (7) значения параметров ко, , т для данного срока жизни компании п вычисляем Л (п);
2) определяем два значения №ЛСС, для которых левая часть уравнения (6) имеет противоположные знаки. Очевидно, что в качестве этих двух значений можно использовать №ЛСС1 и тССх, поскольку ШЩ > ИЛССп > ИЛ4ССх для конечных п > 2;
3) используя, например, метод деления отрезка (интервала) пополам, можно численно решить уравнение (6).
Сравнение результатов Модильяни—Миллера (перпетуитетная компания), Майерса (одногодичная компания) и Брусова—Филатовой (компания с произвольным временем жизни)
Экономист С. Майерс [5] сравнил свои результаты для одногодичной компании (см. формулу 4) с результатами Модильяни—Миллера для перпету-итетной компании:
WЛCC = ко(1 - н/). (8)
п
Таблица 1
Зависимость Ц'Л^ (для компаний с различным временем жизни) от доли заемных средств при различной стоимости собственного капитала к0, %
Значение k0 п п>а = 10 % п>а = 20 % п>а = 30 % п>а = 40 % п>а = 50 % п>а = 60 %
8 П=1 7,6 7,3 6,9 6,6 6,2 5,9
п=2 7,52 7,08 6,6 6,17 5,67 5,21
п=от 7,6 7,2 6,8 6,4 6,0 5,6
10 П=1 9,7 9,3 8,9 8,6 8,2 7,8
п=2 9,51 9,05 8,59 8,13 7,64 7,16
п=от 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0
12 П=1 11,6 11,3 4,9 4,5 4,2 9,8
п=2 11,51 11,02 4,54 4,07 9,6 9,09
п=3 11,46 4,93 4,39 9,85 9,31 8,77
п=5 11,42 4,83 4,25 9,66 9,06 8,46
п=10 11,3964 4,7863 4,1695 9,5455 8,914 8,2745
п=от 11,4 4,8 4,2 9,6 9,0 8,4
16 п=1 15,62 15,2 14,9 14,5 14,1 13,7
п=2 15,52 14,99 14,5 13,98 13,47 12,96
п=3 15,44 14,88 14,31 13,75 13,18 12,61
п=5 15,38 14,76 14,14 13,51 12,88 12,24
п=10 15,34 14,67 13,99 13,31 12,62 11,92
п=от 15,2 14,4 13,6 12,8 12,0 11,2
20 п=1 19,6 19,2 18,8 18,4 18,1 17,7
п=2 19,45 18,97 18,45 17,93 17,37 16,86
п=3 19,41 18,82 18,23 17,64 17,05 16,45
п=5 19,35 18,69 18,03 17,36 16,70 16,03
п=10 19,27 18,54 17,80 17,05 16,30 15,54
п=от 19,0 18,0 17,0 16,0 15,0 14,0
24 п=1 23,6 23,2 22,8 22,4 22,0 21,6
п=2 23,46 22,94 22,37 21,80 21,30 20,75
п=3 23,39 22,77 22,15 21,54 20,91 20,29
п=5 23,31 22,61 21,91 21,21 20,51 19,80
п=10 23,21 22,40 21,60 20,78 19,96 19,13
п=от 22,8 21,6 20,4 19,2 18,0 16,8
Примечание: полужирным шрифтом отмечены данные, полученные авторами.
25,00 24,00 23,00 22,00 21,00 20,00 19,00 18,00 17,00 16,00 15,00 14,00 13,00 12,00 11,00 10,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00
Примечание: для каждого к0 верхняя кривая соответствует п = 1, средняя — п = 2, нижняя — п = от.
Рис. 1. Зависимость WACC (для компаний с различным временем жизни) от доли заемных средств wd при различной стоимости собственного капитала к0 (на основании данных табл. 1).
Им были использованы следующие значения параметров: к0 = 8 - 24 %; ка=7 %; Т = 50 %;
^ = 0 -
и оценил разность значений
WACC, получаемых из формул (4) и (8). Далее авторами были проведены аналогичные вычисления для двух-, трех-, пятигодичной и десятилетней компаний для того же самого набора параметров и получены результаты, представленные в табл. 1.
Необходимо отметить, что для стоимости собственного капитала к0 = 8 % существует небольшая неопределенность в полученных результатах: это связано с близостью стоимости собственного капитала к к стоимости заем-
ных средств кЛ = 7 %. Для всех других значений к0 результаты очень наглядны, информативны и рассматриваются далее.
Для графической иллюстрации полученных результатов авторами используются данные для п = 1, 2, от, которые достаточно полно отражают полученные результаты (рис. 1, 2 и 3).
0
Г 7.00 6,00 5,00 4.00 3.00 2,00 1,00 0.00
10
20
30
40
50
60
Рис. 2. Средние (по значениям доли заемных средств ц>а) значения отношений 7 =< Л1 /Д2 > для к0 = 10, 12, 16, 20 и 24 % Г 7,00 -,
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
10,00
12,00
16,00
20,00
24,00
Рис. 3. Зависимость средних значения отношений Г =< А1 /А2 > от стоимости собственного капитала к(
Отличие случая Модильяни — Миллера от одногодичного проекта и одногодичного проекта от двухгодичного представлено в табл. 2
Средние значения отношений Г =< А^А2 > в зависимости от стоимости собственного капитала к0 =10, 12, 16, 20 и 24 % будут следующими: 1,22, 2,00, 3,67, 4,69 и 5,69 соответственно.
Обсуждение результатов
На основании данных, представленных в табл. 1 и на рис. 1, можно
сделать вывод, что \YACCИМееТ Максима „
•I мальные значения для одногодичной компании и убывает с ростом времени жизни компании, достигая минимума в пределе Модильяни—Миллера (перпетуитетной компании). Зависимость УУАССот доли заемных средств \\>:1 оказывается практически линейной при всех значениях стоимости собственного капитала к(} и всех продолжительностях жизни компании. Это вполне естественно для одногодичной компании, описываемой формулой Майерса (4), и для перпетуитетной компаниии, описываемой формулой Модильяни—Миллера (8), уравнения которых являются линейными, но несколько удивительно для остальных случаев (2 < п < со), когда уравнения являются явно нелинейными (например, уравнение 5) для двухгодичной компании).
Отрицательный угол наклона \YACC растет (по модулю) с ростом к0. На основании данных, представленных в табл. 2 и на рис. 2, зависимость отношения г = А1/А2
Таблица 2
К
Зависимость разностей Ар А2 и их отношения г от доли заемных средств wd при различной стоимости собственного капитала к, %
Значение к0 ^ = 10 % ^ = 20 % ^ = 30 % ^ = 40 % ^ = 50 % ^ = 60 %
10 0,20 0,30 0,4 0,60 0,7 0,8
0,19 0,25 0,31 0,47 0,56 0,64
1,05 1,2 1,29 1,28 1,25 1,25
12 0,2 0,5 0,7 0,9 1,2 1,4
0,09 0,28 0,36 0,43 0,6 0,71
2,22 1,76 1,94 2,09 2 1,97
16 0,4 0,8 1,3 1,7 2,1 2,5
0,08 0,21 0,4 0,52 0,63 0,74
5,0 3,81 3,25 3,27 3,33 3,38
20 0,6 1,2 1,8 2,4 3,1 3,7
0,15 0,23 0,35 0,47 0,73 0,84
4,0 5,22 5,14 5,11 4,25 4,4
24 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8
0,14 0,26 0,43 0,6 0,7 0,85
5,7 6,15 5,58 5,33 5,71 5,65
Примечание: А1 = Ж4СС1 — ИЛССя (первая строка в таблице); А2 = ШЛСС1 — ШЛСС2 (вторая строка в таблице); г = А1/А2 (третья строка в таблице); полужирным шрифтом отмечены данные, полученные авторами.
от доли заемных средств мл очень слабая, и сами отношения г = Д1/Д2 при фиксированных значениях стоимостей собственного капитала к0 могут рассматриваться как постоянные. Значения этих констант растут линейно с ростом стоимости собственного капитала к0: для двухгодичного проекта от 1,22 (при к0 = 10 %) до 5,69 (при к0 = 24 % (см. рис. 3).
Относительная разность значений WACC между одногодичной компанией и двухгодичной растет с уменьшением стоимости собственного капитала к0. Это означает, что ошибка при использовании формулы Майерса для двухгодичной компании также растет с уменьшением стоимости собственного капитала к0. При этом относительная разность значений WACC между одногодичной компанией и перпетуитетной растет с ростом к0.
Теорема Брусова—Филатовой (случай отсутствия корпоративных налогов)
Теория Модильяни—Миллера в случае отсутствия корпоративных налогов дает следующие результаты для зависимости WACC и стоимости собственного капитала ке от левериджа: V = V; CF/k0 = CF/LWACC.
Откуда
Далее
WACC = k
WACC = w • к + wd • к,,
e e da*
где ме — удельный вес собственного капитала компании. Откуда
, WACC - wd • кd
J-r __d d
e
w
к-
L_
i Tl
к
l
l + L
= ко + L(k0 - kd), (9)
где L — финансовый леверижд (финансовый рычаг).
Финансовый леверидж определяется по формуле
L= D/S,
где S — величина собственного (акционерного) капитала компании.
Для компаний с произвольным временем жизни теорема Модильяни—Миллера [3, 4] о равенстве стоимостей финансово независимой и леверидж-ной компаний (V0 = VL) приобретает следующий вид [1, 2]:
CF •
Vo = vl;
[l - (l + ко)- ] [l - (l + WACC )-n ] = CF • -
WACC
. (10)
С помощью этого соотношения докажем важную теорему Брусова—Филатовой. При отсутствии корпоративных налогов стоимость собственного капитала компании к, а также ее средневзвешенная стоимость WACC не зависят от времени жизни компании и равны соответственно:
ке = к0 + L (к0 - к) и WACC = к0.
Рассмотрим одногодичную и двухгодичные компании:
а) для одногодичной компании из формулы (10) имеем выражение:
[1 - (1 + к0)-1 ]_[1 - (1 + WACC )-1 ]
WACC
Откуда
l
l
l + k l + WACC
Следовательно
WACC = к0.
Формула для стоимости собственного капитала ке = к0 + L (к0 — kd) теперь получается подстановкой WACC = к0 в формулу (9);
б) для двухгодичной компании из формулы (10) имеем выражение:
[1 - (1 + ко)-2 ]_[1 - (1 + WACC )-2 ]
Откуда
WACC
2 + к 2 + WACC
(l + к0)2 (l + WACC )2 Обозначив
а =
2 + к0 (l + ко)2'
получим следующее квадратное уравнение для WACC:
а • WACC2 +(2а -1) WACC + (а - 2) _ 0. Оно имеет два решения:
WACCl2 _1-Подставляя
2а
а=
2 + ко (l + ко)2'
получим:
WACCl2 =
(ко2 - 3) ± (ко + 3)(l + ко)
2(2 + ко) '
WACCI _ к0; WACC2 _-2ко + 3 < 0.
1 0 2 к0 + 2
Второй корень выражения отрицательный, а средневзвешенная стоимость капитала может быть только положительной, поэтому остается только одно значение:
WACC1 = к0;
к
о
к
о
к
о
в) для компании с произвольным временем жизни п формула Брусова—Филатовой (10) дает выражение:
[1 - (1 + кр)-п ] = [Г-(Г + ШCCГ] (11) ко WЛCC '
При фиксированном к0 формула (11) является уравнением п-й степени относительно ЦАСС. Оно имеет п корней (в общем случае комплексных). Одним из корней, как показывает непосредственная подстановка, всегда является ЦАСС = к0. Исследование остальных корней является сложным и не входит в рассматриваемую задачу.
Итак, авторами доказано, что при отсутствии корпоративных налогов средневзвешенная стоимость капитала ШЛСС не зависит от времени жизни компании и равна ШЛСС = к0. Подставляя теперь ШЛСС = к0. в формулу (9), получим выражение для стоимости собственного капитала компании к =
е
= к0 + L (к0 — kd), которая также не зависит от времени жизни компании.
Таким образом, теорема Брусова—Филатовой полностью доказана.
Наличие корпоративных налогов
При наличии корпоративных налогов теория Модильяни—Миллера дает следующие результаты для зависимости WACC и стоимости собственного капитала ке от левериджа: 1) для ЯЛСС:
VL = ¥0 +Б; Б = wd CF/WЛCC = CF/k0 + Бг = CF/k0 + wdt CF/WЛCC;
1 - нлХ = 1
WЛCC к
Далее
Ь
Откуда
к=
WЛCC - • кл • (1 - Х)
Ь
ко (1 - ) - — кл (1 - Х)
1+Ь
= ко + Ь(ко - к, )(1 - х).
а) для одногодичной компании из формулы (10) имеем выражение:
[1 - (1 + WЛCC )-п ] [1 - (1 + ко)-п ]
WЛCC
ко [1 -(1 -(1 + к,)-п)]'
Для одногодичной компании получаем выра-
жение:
[1 - (1 + WЛCC )-1 ]= [1 - (1+ко)-1 ]
WЛCC
ко [1 - (1 - (1 + к, )-1)]'
WЛCC = ко(1 - н/) = ко I 1 -— х
^ 1 + Ь
Таким образом, ШЛСС убывает с левериджем от к0 (при отсутствии заемного финансирования (L = 0) до к0 (1 - г) (при L = да);
2) для стоимости собственного капитала ке WЛCC = ко (1 - Х) = н, • ке + • к, (1 - Х).
Далее рассмотрим, как изменятся средневзвешенная стоимость капитала 1¥ЛСС и стоимость собственного капитала ке при учете конечного времени жизни компании:
Далее получаем известную формулу Майерса (4), являющуюся частным случаем формулы Брусова-Филатовой (10):
WЛCC = к -
1 + ко 1 + к.
к,нйХ.
Отсюда
WЛCC = к
1 -
(1 + ко) • К Ь
(1 + к,) • ко 1 + Ь
Таким образом, ЦЛСС убывает с левериджем от к0 (при отсутствии заемного финансирования
(L=0) до ко
Г, (1 + ко) • к,
1-
Х
(при L = да).
(1 + кл ) • ко у На рис. 4 показана зависимость ШЛСС от ле-вериджа при отсутствии корпоративных налогов (горизонтальная прямая (г=0), а также при наличии корпоративных налогов (для одногодичной (п=1) и перпетуитетной компаний (п = да) Кривые для ШЛСС компаний с промежуточным временем жизни (1 < п < да) лежат внутри заштрихованной области.
Приравнивая правую часть выражения к общему выражению для WACC, получим:
Далее
WЛCC = не • ке + • к, (1 - Х).
1+к
ко КнЛХ = • ке + • кЛ (1 - Х).
1+к
Отсюда
к, =
ко - "Г^кЛХ - (1 - Х) 1 + ка
= (1 + Ь)к0 - Ь
1+к
-[(1 + ко)Х + (1 + к, )(1 - Х )] =
= ко + Ь(ко - кЛ )
1-
1+к
Далее
ке = ко + Ь(ко - ка )
1-
1+к
, у
Х
(12)
, у
Таким образом, можно наблюдать, что в случае с одногодичной компанией перпетуитетный предел ке = к0 + L (к0 — kd) (1 — г) заменяется на выраже-
к
й
к
а
Х
к
WA С С
t = 0(апу и)
М1" (i+v^o
*0а-')
Рис. 4. Зависимость WACC от левериджа для компаний с различным временем жизни
TS = 1
kdDt
kdDt [1 - (1 + kd )-n ]
1(1 + kd)' (1 + kd)(1 - (1 + kd)-1)
= Dt [1 - (1 + kd)- ]. (42)
В перпетуитетном пределе (п ^ от) налоговый щит TSот = = Dt, что ведет к так называемому эффекту налогового щита, связанного с появлением множителя (1 — /) в стоимости собственного капитала к = к +
е0
+ L (к{) — kd) (1 — t).
Для одногодичной компании величина налогового щита равна:
Т^ = Щ1 -(1 + = = 1)1к,/(\ + к). (43) Это приводит к появлению множителя
1-
k
1+k
Л
t
d
в стоимости собственного капитала
(
(см. формулу 12) ke = k0 + L (k0 - kd )
1-
k
1+k
Л
t
d У
Рис. 5. Зависимость стоимости собственного капитала ке от левериджа для компаний с различным временем жизни
ние (12). Отличие связано с различной величиной налогового щита для одногодичной компании и перпетуитетной.
На рис. 5 показана зависимость стоимости собственного капитала ке от левериджа при отсутствии корпоративных налогов (горизонтальная прямая ^0), а также при наличии корпоративных налогов (для одногодичной (п= 1) и перпетуитетной компаний (п = от). Зависимости стоимости собственного капитала ке компаний с промежуточным временем жизни (1 < п < от) лежат внутри заштрихованной области.
Далее проведем исследование вопроса о величине налогового щита для компаний с различным временем жизни более подробно.
Налоговый щит
Общее выражение для налогового щита имеет вид (по Брусову—Филатовой):
Налоговый щит для двухгодичной компании равен:
TS2 = Dt(1 - (1 + kd )-2) = Dtkd (2 + kd )/(1 + kd )2, (44) и если бы аналогия с одногодичной компанией сохранялась, то множитель (1 — t) в теории Модильяни—Миллера заменялся бы на множитель
1 - kd (2 + kd) t (1 + kd )2
Однако в силу нелинейной связи WACC и k0 и kd в формуле Брусова—Филатовой (6) для двухгодичной компании (и компании с более длительным сроком жизни) такой простой аналогии уже не наблюдается, и вычисления становятся более сложными.
Список литературы
1. Брусов П. Н., Филатова Т. В. Финансовый менеджмент: учеб. пособие. M.: Кнорус. 2010.
2. Филатова Т. В., Орехова Н. П., Брусова А. П. Средневзвешенная стоимость капитала в теории Модильяни—Миллера, модифицированной для конечного времени жизни компании // Вестник ФА. № 4. 2008. С. 74-77.
3. Modigliani F., Miller M. The Cost of Capital, Corporate Finance, and the Theory of Investment // American Economic Review, v. 48. Р. 261-297 (1958).
4. Modigliani F, Miller M. Corporate Income Taxes and the Cost of Capital: A Correction // American Economic Review, v. 53. Р. 147-175 (1963).
5. Myers S. Capital Structure // Journal of Economic Perspectives. 2001. Vol. 15. № 2. P. 81-102.
