Осциллятор в центрально-симметричном поле и квантование его частоты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.14

ОСЦИЛЛЯТОР В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ И КВАНТОВАНИЕ ЕГО ЧАСТОТЫ

© 2005 г. И.К. Карпенко, А.М. Чотчаев

Found conditions of harmonic oscillator in the central symmetrical electrical field and installed slicing of its own frequency.

нении Шредингера

В нерелятивистской квантовой механике существуют, пожалуй, две наиболее простые и хорошо известные задачи [1, 2], имеющие теоретический (в том числе методический) и практический интерес. Это задачи по выяснению поведения частицы в потенциальных полях: одна из них относится к частице, помещенной в центральное поле, другая - к частице в поле упругих сил. Они не связаны между собой. Мы же намерены рассмотреть общий случай: исследовать состояние частицы, которая находится в центрально-симметричном электрическом поле и совершает устойчивые колебания вблизи положения равновесия, когда на нее действуют квазиупругие силы, т. е. будем искать состояния гармонического осциллятора в центральном поле. С подобной ситуацией мы встречаемся, например, при исследовании состояния нуклонов в ядре, находящихся в самосогласованном сферически-симметричном поле с учетом и самосогласованного кулоновского поля (оболочечная модель ядра) и в теории элементарных частиц с соответствующими взаимодействиями.

Пусть мы имеем центрально-симметричное электрическое поле, создаваемое источником, обладающим массой m1 и электрическим зарядом q1. В этом поле находится частица-осциллятор массой m2 и зарядом q2, между ними действует квазиупругая сила некоторой природы. Их энергию U взаимодействия выбираем в виде

U (Г ) = - ^ + г 2, (1)

г 2

где / - приведенная масса системы; а - собственная частота осциллятора; г - его расстояние от заряда q1 - центра поля; k0 = q1 • q2 - зарядовый параметр; знак минус перед ним в (1) указывает на электрическое притяжение частицы q2 центром q1 (разноименные по знакам заряды); в случае отталкивания нужно поменять знак на противоположный (соответствует одноименным по знакам зарядам).

Возьмем оператор Гамильтона в сферической системе координат г,в,ф:

— й2

H =--Д + U (Г),

2/

д=4 -

r 2 д r

(

д r

+-2 в r

(2)

д

в,ф :

_i__д_

sine дв

(sin Û) +

1

sin2 в дф2

здесь Д - оператор Лапласа; Дв ф - его угловая часть. Для разделения переменных в стационарном урав-

Ну(т,в,ф) = Еу(г,в,ф) (3)

учитываем, что операторы квадрата момента импульса Т2 = -Й2Д^ у с собственными значениями

2 2 ~ д Т = й I(I +1) и его проекции Тг = -¡й—, собствен-

дф

ные значения которого = й • т коммутируют с

оператором Гамильтона Н , а поэтому исходную волновую функцию ц/(г,в,ф) состояния осциллятора можно представить в виде

у(Т,е,ф) = Я(Г) • (Р,ф), ф(г) = г • Я(г), (4)

где Я(г) - радианная волновая функция; У1т (в,ф) -сферические функции Лежандра, являющиеся собственными операторов Т , Тг; I = 0,1,2,... - азимутальное квантовое число; т = 0, ± 1, ± 2,... ± I - магнитное.

Через Е обозначена энергия осциллятора.

После подстановки (2) и (4) в (3) приходим к уравнению

h 2 d 2 Ф 2 И dr 2 k,

+ U„f Ф = ЕФ ;

Uf =-

о + hL i (i +1) +

(5)

Г 2/2 2

в котором вид и поведение эффективной потенциальной энергии и ^ зависят от конкретной поставленной и рассматриваемой задачи, и оно формально совпадает с одномерным уравнением Шредингера. Очевидно, что непременно существующим положительным и отрицательным возможным потенциальным ямам и, определяемым входящими в них параметрами, соответствуют дискретные энергетические уровни Е, отсчитывемые от минимума и^ . Именно

такими связанными состояниями осциллятора мы и будем интересоваться.

Введем безразмерную независимую переменную р и удобные параметры:

р = er ; s = 2. 2И о

2Иео

= + Е;

Л = i + -1; о2

k=-

k2 = ^

eh2

Ео =

Mo 2h 2

x2 =

22 ю h

64eo2

(6)

в которых считается энергия

= + Е положитель-

ной. С их помощью уравнение (5) превращается в следующее:

2

r

e

о

2

h

д

2

e

r

о

s

о

2

д

d 2 Ф dp2

1 12

1 к 4 + — + — + -

4 p

2

22 ■X Р

p

Ф = 0.

(7)

Для перехода к отрицательной энергии е0 = -Е достаточно в (7) осуществить замену или переход

p — ip, к = -ik, x — -X ^

d2 Ф

dp2

+

1 12 1 к 4-1о

4 p

22 X2p2

(8)

Ф = 0.

Р Р

Как видим, первый член в квадратной скобке стал

равным -1 вместо + — в (7). Возможен обратный 4 4

переход от отрицательной энергии е0 = -Е в уравнении (8) к положительной е0 = +Е в (7) путем той же замены, что в (8). Поэтому будем «тащить» оба знака одновременно.

Далее воспользуемся в (7), (8) подстановками

Ф(Р) = Р(р) • евР, Р(р) = Р • Ш(р) ^

d2W dW (25 1 (( 1 ^ 1 к 1 . (9)

-— +-1 — + 4вр 1 + ШI 4в 5 + — 1+-+— 1= 0.

dр2 dр{р рр) ^Ч 2) 4 рJ

В процессе преобразований и упрощения уравнения (8) мы получили для 5 два значения: 5 = I +1 и 5 = -I. Ограничимся преимущественно 5 = I +1, чтобы функция Р (р) была конечной на всем промежутке [0, + да] для р при условии ограниченности Ш (р), но замечаем, что второе решение 5 = -1 все же имеет физический смысл при 5 = -1 = 0: уравнения (4), (9) станут описывать одномерный гармонический осциллятор, находящийся в центральном поле и не характеризующийся орбитальным моментом. Кроме того, избавляясь от последнего квадратичного члена в

уравнении (8), нами было принято в = +1 х> 0,

где знак «минус» относится к положительной энергии е0 = +Е, знак «плюс» - к отрицательной е0 = -Е, только тогда экспонента в (9) будет убывать при р — +да. Таким образом, для положительной энергии

в (9) и далее берутся в = - -1X и+ -4 для отрицательной знаки меняются на противоположный:

а 1 1

в = +— X и--.

Н 2Л 4

Ищем решение уравнения (9) в виде бесконечного

ряда

W = 2 av ■pv .

v=0

(10)

После его подстановки в (9) получаем рекуррентную формулу для нахождения искомых а, коэффициентов:

(v + 1)(v + 2s)üv+1 + küv +

4ßßv + s - 1 J± 4

v—1

= 0,

= 0.

(11)

Придадим ей иную форму:

av+1

к

4ß\v+s -11± -

2) 4 av-1

(v+1)(v+2s) (v+1)(v+2s)

= Ä, + B,,av-1 = A, +- Bv

av

av av-1

=Av +

Bv

(12)

Av-1 + Bv-1 ^ +...

av—1

Явно величины А,, Б, видны из самой записи

(12). Она представляет собой бесконечную цепную или непрерывную дробь. Сходимость или расходимость ее, а значит, и ряда (10) зависят от асимптотического отношения У+1 , когда V — да. Выяснение

этого носит принципиальный характер, потому что от него зависит, будет ли (или нет) волновая функция отвечать стандартному квантовомеханическому требованию быть по крайней мере конечной.

Уточним [3, 4], переписав дробь в виде

Б,,+2

av Bv Bv+1

av-1 - Av + - Av+1

Av- ->- v— к • B TJ; B

4ß

Следовательно,

av+1 - 4ßv

av v— TO -к

(13)

дробь

и ряд (10) являются расходящимися. Поступим по-другому. Попробуем бесконечную дробь превратить [3, 4] в конечную, тогда ряд (10) обратится в полином, а этого вполне достаточно, чтобы радиальная функция К(р) и исходная ц/(т,в,ф) были подходящими. Замечаем, что как только индекс V становится равным целому положительному числу п, входящему в соотношение

2ß(2s +1) ± -1 =-4ß(n -1) ^ ^ Bv =-4ß- v - П

(14)

(V +1)(, + 25)

так Б,=п = 0 обращается в нуль, и бесконечная дробь обрывается, знаменатель в последнем равенстве (12) при V = п нужно и достаточно приравнять нулю, что наглядно следует из

(.

V

v+1

Av

\

Av-1 + Bv-1

v-2

"•v-1

= Bv

где первая скобка не может быть нулем, следователь-

( a А

= 0.

но

Av-1 + Bv—1 '

v—1 )

Отсюда, в том числе и для (11), получается

-4ßan-2 + kan-1 = 0; n = 1,2,...; a-1 = 0; a-2 = 0;

(v + 1)(v + 2s)av+! + kav + 4ß(v - n^-; (15)

v = 0,1,2,...,n - 2,

+

+

a

a

a

+

V

V

a

v

v

v

v

да

v av

v=n

и (10) превращается в многочлен

п—1

Г =Х р У . (16)

у=0

Соотношения (15) образуют основную систему однородных алгебраических уравнений относительно ау, позволяющих определить коэффициенты в (16). Подобные системы обладают нетривиальными решениями, если соответствующие им детерминанты, составленные из параметров при ау уравнений, равны

нулю.

Первая связь в (14) позволяет найти энергию осциллятора:

Г

En = ±с h\ n + s -

2

со = an

(17)

нулю, так как иначе в (15) а-1 = 0,

= 0, и (11) те-

o k 2s

o - 4ß k

1 с h

ß = --x = --

k2 =

2'

Eo

16so

So =+E

■o

позволяет наити:

h®2 =-

2Eo

E 2 =■

2Eo

3

s + — 2

(19)

5 5

Следовательно, в состоянии п = 2 частота а2 осциллятора и его энергия Е2 принимают дискретные значения, диктуемые орбитальным числом 5 = I +1. В них входит характерная величина Е0, по смыслу совпадающая с энергией невозбужденного энергетического состояния частицы, находящейся в центральном

поле и не совершающей колебаний. Значит, (17), если трактовать классически, является следствием сложного движения осциллятора - и по кругу, и радиально. Из первых двух равенств в (18) определяется коэффициент а1, а по нему искомая функция (16)

(

W2 = ao

1 - J-

Л

2s V 3 + 2s

(2o)

Как уже отмечалось, она может быть положительной и отрицательной, является дискретной, так как в нее входят величины 5 и п , принимающие избранные значения. Для 5 = I +1 = 1,2,...,. Число п , которое можно назвать радиальным, не может быть равным

ряет смысл. При к Ф 0, согласно (15), следует, что п = 2,3,..., если же к = 0 , то п начинается с единицы.

Поскольку по (6) к пропорционально к 0,то в самом общем случае означает: к = 0 - отсутствие центра поля, к > 0 - притяжение осциллятора центром, к < 0 - отталкивание его центром. Формально и по существу формула (17) в зависимости от к и 5 может обратиться в формулу энергии для сферического (к = 0,5 = I +1) [2], трехмерного [2] и одномерного [1,2] (к = 0,5 = -1 = 0) гармонических осцилляторов. Каждый из них обладает непрерывным спектром собственных частот а колебаний, однако ситуация существенно меняется, когда учитывается центральное поле.

Пусть энергия Еп будет положительной и

к Ф 0, 5 Ф 0.

При п = 2 ^ V = 0 уравнения (15) и расшифровка параметров

а = 0 к 25

= 0;

(18)

где а0 можно найти путем нормировки. Мы увидим далее, что частота осциллятора зависит также и от п .

Рассматриваем состояние п = 3 ^ V = 0,1, из системы (15) выделяются:

25а1 + ка0 = 0 • 2(1 + 25)а2 + ках - 8Дг0 = 0 - 4Дг1 + ка 2 = 0 к 25 0

^ -§в к 2(1 + 25)

0 - 4 в к Откуда получается:

= o.

(21)

uo3h = -

2Eo

E3 = Eo

5 + 2s

. , „ (22) 1 + 45 1 + 45

Частота стала другой: она «следует» за изменениями п .

Для функции (16), в согласии с (21), вытекает:

1

W3 = ao

1 - J-

2s

1 + 4s 5 + 2s

P+-

■P

(23)

45(5 + 25)

Переходя далее к состояниям осциллятора с п = 4 (V = 0,1,2) и п = 5 (V = 0,1,2,3), находим, используя (15) и (17):

5(25 +1) + ^645(5 +1) + 25

ha4 = Eo

E 4 = hrn4

hrn5 = Eo

E5 = ha5

9s(1 + s)

s+7

(1os + 6) + 3^4s(s +1) + 2

32s 2 + 42s + 9

(24)

9

s + — 2

При заданных 5 уровни частот и энергий оказываются двойными, что не наблюдается в состояниях (19) и (22). Мы не приводим промежуточных выкладок для получения (24) и не выписываем соответствующих функций (16) ввиду громоздкости получающихся выражений. По этой же причине не останавливаемся на состояниях п = 6, 7, .... Очевидно, в целом

каждому состоянию п осциллятора принадлежат своя частота а п и энергия Еп , расщепленные на 5 и даже больше подуровней.

Отметим, что частоты а п осциллятора аналитически не меняются, когда он находится в состояниях с отрицательной энергией. Далее мы считали к > 0 , но наши рассуждения и результаты легко вытекают и для к < 0, при этом энергия может быть только положительной. Нетрудно найти все состояния осциллятора с

s

a

-2

o

отрицательной энергией, для чего достаточно учесть переход (8) в предыдущих преобразованиях и результатах. Значения к = 0, 5 = I +1 не противоречат (15) лишь для нечетных п = 1,3, ..., четные п = 2,4, ... приводят к нулевым решениям. Получается, как и следовало ожидать, решение, совпадающее количественно и качественно с известным [2] для сферического с определенным орбитальным моментом и произвольной собственной частотой. При к = 0, 5 = -1 = 0 решения (15), (16), (17) в конечном итоге ничем не отличаются от соответствующих [2, 1] для трехмерного изотропного осциллятора и одномерного, в которых тоже собственная частота может быть любой. Одномерный гармонический осциллятор, находясь (и совершая радиальные движения) в центральном поле, может тоже обладать в отличие от обычного осциллятора квантованными значениями частоты. Его поведение определяется уравнением (4) с волновой функцией Ф, и раскрывается ее роль всеми последующими выкладками, где нужно лишь принять 5 = -1 = 0. Основному состоянию п = 3 соответствуют частота Ню3 = 2Е0 и энергия Е3 = 5Е0.

Удобно и наглядно энергетические уровни (17) распределять по энергетическим лесенкам 5,р,d,..., соответствующих состояниям I = 0,1,2,... Энергетические уровни - ступеньки в лесенках - нумеруются числами п: в 5 -состоянии п = 2,3,4, ..., в р-состоянии п = 3,4,5,... и так далее. Можно сделать иначе. Назовем п +1 +1 = N = 3,4,5,... главным квантовым числом, тогда I = 0,1,2,..., N - 3, каждый уровень

расщепляется по n на N - 2 подуровня, которые «расползаются» по ступенькам N = n + s лесенок.

Разрешенные переходы между энергетическими ступеньками сопровождаются излучением или поглощением энергии осциллятором. Заметим, что число N начинается с 3, если к Ф 0, однако при к = 0 оно начинается с 2.

Следует заметить, что обычно при решении задач с помощью рядов приходится иметь дело с рекуррентными двучленными соотношениями для коэффициентов ряда; наложив некоторые ограничения на них, ряд превращается в многочлен, а сама физическая величина становится дискретной. Гораздо сложнее обстоит дело, когда получается трехчленное выражение (и задач немало). Но оказывается, что в этих случаях [4], как и в нашем (11), иногда трехчлен представляется в форме цепной дроби. Используя непротиворечивые условия, вроде нашего (14), сохраняется ограниченное число звеньев дроби (фактически обрывая ее), и далее вытекают и нужная функция в виде полинома, и квантованная физическая величина. По-видимому, и в целом такая методика является аналитическим расширением возможностей кванто-вомеханических вычислений при исследованиях.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 1963.

2. Давыдов А.С. Квантовая механика. М., 1963.

3. Бейкер Л., Грейс-Моррис П. Аппроксимация Паде: Перев. с англ. М., 1986.

4. Wilson A.H. // Proceedings Soc. London A118 (1928). P. 617 - 635.

En =®n | N - 1 I, n = N -1 -1

(25)

Карачаево- Черкесский государственный университет

29 июля 2004 г.