Гармонический осциллятор в поле квазиупругих сил двух источников Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.14

ГАРМОНИЧЕСКИИ ОСЦИЛЛЯТОР В ПОЛЕ КВАЗИУПРУГИХ СИЛ ДВУХ ИСТОЧНИКОВ

© 2006 г. И.К. Карпенко

The wave functions and oscillator's energy are found, the dissussion for possible atomic systems are carried.

Идеализированные модели [1, 2] линейного и сферического осцилляторов находят широкое использование при исследовании материальных систем, состоящих из частиц (набора осцилляторов), совершающих вблизи своих положений равновесия устойчивые перемещения под действием поля сил, результирующий источник которого, обусловленный всеми частицами, кроме выбранной, для каждой частицы свой, и он принимается совпадающим с ее равновесным положением [2]. Нашей целью было отслеживание состояния гармонического осциллятора, находящегося в поле квазиупругих сил притяжения и отталкивания двух неподвижных, физически эквивалентных источников - центров. Подобную ситуацию, близкую к реальной, если и не совпадающей с ней, мы имеем, когда изучаются частоты и структура спектров многоатомных молекул и кристаллов. В них поблизости выделенного атома-осциллятора скорее всего обнаружатся в качестве наиболее «влиятельных соседей» два других каких-либо атома или вообще некоторые физически обособленные центры, однако не всегда они могут быть строго неподвижными (массивными), но и в этом случае результаты исследования представляют интерес. Они по крайней мере соответствуют некоторому шагу в приближенном рассмотрении проблемы произвольных и не фиксированных источников поля и осциллятора, и значит, задача имеет смысл (как и задачи в целом): возможно, окажется полезной в молекулярном спектральном анализе по колебательным спектрам.

Итак, пусть имеется два точечных центра на расстоянии Я друг от друга и оказывающие силовое полевое воздействие на точечный осциллятор. Заранее мы не можем указать, в каких наиболее вероятно пространственных точках может находиться осциллятор, а в каких нет, за исключением, что такими точками не могут быть бесконечно удаленные от источников, поскольку нас интересует непременно связанная система

осциллятор - центры как единое целое. Учитывая это качественное уточнение, перейдем к решению задачи, пользуясь системой (рис. 1) координат сплюснутого эллипсоида вращения

[3].

Рис. 1. Система координат сплюснутого эллипсоида вращения

При вращении софокусных эллипсов % = const и гипербол п = const вокруг оси z получаются взаимно ортогональные семейства сплюснутых эллипсидов и однополостных гиперболоидов вращения, образующих две системы координатных поверхностей, третья система - полуплоскости, проходящие через ось вращения z и образующие с осью х угол р = const, ось у перпендикулярна к плоскости xoz. Посредством 1 и 2 обозначены положения фокусов F(1), F(2) -они совмещены с источником поля, поэтому расстояния R между ними задано.

Связь между декартовыми координатами x, y, z и эллипсоидальными: x = p cosp, y = p sinp,

R IL Ж 2\ (1)

R P

z =—£ -q, 2

P =

Ж2).

2

Угловая переменная р принимает значения 0 <р<2п , тогда, чтобы все точки пространства определялись однозначно, нужно учесть ограничения для других координат: 0 <%< + ж, -1 <п < 1.

Используя (1) и рис.1, находим расстояния г и Г2 от фокусов до произвольной точки М, в которой может находиться и осциллятор:

2 Я2

Г1 = Т

COS(

2 R 12 =— 2 4

> V + 2-2V(i+#2)(1 -V2)

#2 - ц2 + 2-2-J(l+#2) -ц2) cos(

(2)

(3)

ее расстояние до начала координат равно

Г2 = X2 + у2 + 72 = ^(( V +1).

Согласно (1), уравнению % = 0 соответствует в плоскости хоу вырожденный эллипсоид - круг диаметром Я с центром в точке О, второе уравнение п =0 задает вырожденный гиперболоид -плоскость хоу с вырезанным кругом диаметром Я, при этом для всех точек над кругом п> 0, под кругом п < 0 , за пределами круга: %> 0- над плоскостью хоу и %< 0- под плоскостью. Всё это должно учитываться при выборе точек непосредственно самих декартовых координатных осей и раскрывает геометрический смысл возможных двух знаков у п и %. Так что при у = 0 на

отрезке Я везде % = 0, г + Г2 = Я, правее второго фокуса п = 0, г - Г2 = Я, и соответственно:

1,2 = R fl ±V 1 -П2

1,2 = RR ± i

(4)

где первое выражение справедливо для правых ветвей гипербол, для левых нужно изменить знаки на противоположные. На основании (4) вытекает, что в направлении оси х координата п изменяется, принимая

значения ц = 0 при ri = R,

Я

П=± 1 при Г1 = — ;

П = 0 при г = Я и нулевой остается далее на всем промежутке Г2 < г < ж. Вторая координата % во всех точках Я равна нулю % = 0, затем, начиная с положения второго центра Г2, растет до бесконечности при бесконечном расстоянии г^ в направлении оси х.

Для оператора Лапласа следует [3] соотношение

Д=-

R

(цц)

- 1

1 + ^ /

))

+—— (i- ц2)—+

д ц

д ц

f

1

1

^ д 2

(5)

му себе будет совершать перемещения «туда - сюда» с некоторой частотой именно благодаря квазиупругим силам.

Удобно модель осциллятора представить в виде материальной точки с двумя одинаковыми пружинками, прикрепленными к ней и свободными концами к источникам силового поля, сосредоточенным в левом 1 и правом 2 фокусах.

Положим, что осциллятор лишь с одной левой пружинкой находится на оси в точке

х =--Я ^ г = 0, и пружинка не деформирована, -

энергия и сила, приложенная к осциллятору, равны нулю. Они перестанут быть нулевыми во всех точках

1 2

0 < г < Я между центрами: = - кг, и = — к Г( ,

где к - силовая постоянная, знак минус учитывает, что сила упругости направлена противоположно смещению:

Я Я Я2

п = — ^ г! =--к, и =-к;

1 2 1 2 1 8

Я2

г1 = Я ^ = -кЯ, и1 = — к .

При учете и второй пружинки равнодействующая сил, приложенная к осциллятору в его продольных перемещениях вдоль х, равна / = - к ( + Г2), для энергии взаимодействия осциллятора с полем будет

и (у = 0, 7 = 0)=) к г2 + 2 кг2 и Г1 ± Г2 = Я ; верхние знаки относятся к нахождению осциллятора между фокусами, нижние - за правым фокусом. Равенство Г[ = Г2 (верхний знак) соответствует положению равновесия / = 0, совпадающему с началом координат х = 0, у = 0, 7 = 0, в котором энергия осциллятора наименьшая и равна

и(х = 0, у = 0, 7 = 0) = и0 = 1 кЯ2. (6)

Будем движения осциллятора вдоль г и Г2 называть продольными и в целом, когда он не обязательно находится на оси х, именно (видно на рис. 1) Г ± Г2 Ф Я , и его энергию при этом определим как:

и = -2к (г2 + г22)=1 к Я2 %2 -п2 + 2), к = /а2, (7)

где применены формулы (2) и обозначено: а - собственная частота колебаний осциллятора; / - его масса; сюда входит и энергия покоя (6). Заметим, что выражение (7) для энергии приближенное, справедливое для малых расстояний, оно верно в той степени, в какой можно заменить реальную кривую потенциальной энергии параболической. Перейдем к решению стационарного уравнения Шредингера

,1 -п 1+%

Квазиупругие силы, действующие со стороны центров на осциллятор, стремятся удерживать его вблизи положения равновесия, в котором равнодействующая сила обращается в нуль, потенциальная энергия минимальна. Выведенный осциллятор из подобного равновесного состояния, а затем предоставленный само-

) ) h2

H ф= E ф, H =--Д + U .

2 л

(8)

здесь Н - оператор Гамильтона; Д - оператор Лапласа (5); ф (%,п,р( - волновая функция, далее введем:

k1 _ 2k, U _ U1 + U0, U1 _ 1 k1 R2 (¿2 -п2 +1

U0 _ 1 к 'я2, E _ E1 +U0, 0 8 0

)

(9)

где, как и в (8), Е - сохраняющаяся энергия осциллятора. Подставив (5), (7), (9) в (8), получаем:

_ Я 2 ( + п2) + %

^ 5 2 ^

1-п2 1+#2

д р

2 juE'

^' R^ ( -п2 + l)

8 h

2

р)_ 0

(10)

д

, UElR2 ¿2 _

2

uk1R4 ¿2 uk1R4 ¿4 _ A 2

16 h 2 ' 16 h Другое содержит только переменную п :

т2 uE' R2 2

+ -—^п

W (¿) = 0. (12)

П -П2)f 2

ап ап 1_п2

uk' R4 2 uk' R4 4 „

V + — п4 + A

2 h

2

16 h

2

16h

>(п) _ 0. (13)

В оба уравнения вошла постоянная разделения переменных А, которая нуждается в определении - конкретизации.

Остановимся вначале на решениях уравнения (12). Введем параметры:

ß_

juE1R 2 8 h 2

2 u k/ R4

а _—-—

64 h2

(14)

и перейдем к новой функции ¥ (%) посредством замены

, .т

Ш(%)=( + %2) • ¥(%)• Л=±а. (15)

Мы ограничимся Л = - а, чтобы при подходящей функции ¥ (%), именно не обращающейся в беско-

нечность при любых конечных %, искомая функция (15) была конечной, когда % ^ ж и даже, если % = ж . Применение (15) в (12) приводит к следующему уравнению:

¿2)

d 2 F

(1 + п—-+

4Л£ (¿2 +1) + 2 (m + (16)

d ¿

а %2

+ %2 (4 Лт + 4 в+ 6 Л)+(2 Л+ т(т +1)-А)]¥ = 0.

Будем искать его решение в виде бесконечного степенного ряда

ои

F(¿)_ Е «v ¿v_

v_ 0 v_1

|«0 + «2 £ + ... I«1# + «3 ¿3 +... .

(17)

Учтем, что оператор = -1Н- проекции ор-

др

битального момента импульса коммутирует с оператором Гамильтона Н . Воспользуемся проекцией Ьг и функцией фт (рр) - собственными величинами Ьг:

Ьг = т Н, т = 0, ± 1, ±2,..., фт(р) = -1= 1'тр ,

ф(%, П р)=фт (р) •¥ (%,п) ;

у(%,п) = Ш (%) •»(*?). (11)

Здесь т - магнитное квантовое число; для разделения переменных % и п используются две функции Ш (%) и и (п). Подстановка (11) в (10) и преобразования дают два независимых уравнения. Одно из них содержит % :

а%(( + %2 )т%+—2

а 'а % 1+%2 2 н

Чтобы он удовлетворял (16), должна быть справедливой трехчленная рекуррентная связь для искомых его коэффициентов

(у + 2) (у + 3) ау+2 + (18)

+ [4 Л (у- 2) + (4 тЛ + 6Л + 4 в)] ау-2 + +[у (у + 1 + 4Л+2т) + (2Л + т(т +1) - А)] ау = 0 . Очевидно, она на самом деле определяет два ряда, заранее уже указанных в (17): один начинается с ^0 и содержит лишь четные степени %, его коэффициенты представляются через ^0; другой содержит только нечетные степени % , и его коэффициенты выражаются через . Можно сказать, что ^0 и являются двумя постоянными интегрирования. Давая значения у = 0,1,2,..., и учитывая а-1 = 0, а-2 = 0, мы получим два набора коэффициентов - один для четного ряда, другой - для нечетного. Но прежде обратим внимание, что (18) представимо бесконечной цепной дробью

Д,

= Av + Bv = Av +

(19)

Av_2 + Bv_2

лу_4 «v_2

где правая часть, как видно, может быть продолжена до бесконечности, в ней:

= у(у + 1 + 4Л + 2т) + 2Л + т (т +1)-А (+ 2)(+ 3) '

Av=_-

_ 4Л (v _2 + 4 тЛ + 6Л + 4 ß)

Bv _--

(20)

(+ 2)(^+ 3) •

Для выяснения вопроса о сходимости дроби (19) и ряда (17) находим асимптотические выражения:

Av--—>~ v —^ x 1, Bv

«v Bv

« v — x v— 2 _ Av

_ _ 4Л

v^x v :

_ 4Л

v

(21)

Мы обязаны, согласно обсуждению (15), выбрать Л = - а , но это влечет за собой расходимость дроби (19) и ряда (17) при % ^ ж, а тем более, если % = ж. Действительно для предельного отношения коэффи-

4а %2

циентов ряда экспоненциальной функции е а% , идущего по четным степеням % , получается такое же

выражение, как для (21) при Л _ _а, но e

4а£1

стре-

1

1

+

2

h

«

«

V

мится к бесконечности, когда V . В рядах с нечетными степенями V можно вынести V за скобку, а затем повторить предыдущие качественные рассуждения для четного ряда в скобке - результатирующий вывод получается прежним. Оставим в дроби конечное число ее звеньев, потребовав: 4 ш! + 6! + 4 в =-4ЛМ ^

Bv=-4л ^V+V

(22)

где N - целые положительные числа или нуль. Как только при V = 0,1,2,... произойдет совпадение с V = N + 2, так непрерывная дробь (19) оборвется, а ряд (17) превратится в полином. В этом случае избавляемся от знаменателя в (19) и естественное условие ( \

= 0 при подстановке в

у= N + 2

Av-2 + Bv- 2

V-4

V-2

него (20) дает

[N (N +1 + 4 Л + 2 m) + 21 +

+m (m +1) - A] ün -8Aün-2 = 0,

N = 2 n

N = 2 n +1

n = 0,1,2,

X = - a, ü-1 = 0, ü-2 = 0

-2

(23)

Придадим окончательную форму для коэффициентов (18), учитывая (22): (V + 2) ( + 3) ау+2 + + 1 + 4 ! + 2т) + + 2! + ш (ш +1)-А] ау + 4! ( - N - 2)-2 = 0;

10,2,4,..., N - 2 ! = -а, а-1 = 0, а-2 = 0, v= \ (24)

2 [1,3,5,...,N -2

Индекс V принимает четные и нечетные значения в соответствии с двумя рядами (17), которые в конечном итоге обратились в два многочлена:

к I V |а0 + а2 V +... + aN V

Р= X V = \ 3 м (25)

V=0 [а! # + аз# +...+ aN V .

V = 1

Условимся и далее: если N четные, то индекс V пробегает четные значения, для нечетных N он равен последовательности целых нечетных чисел, искомые коэффициенты аг в (25) определяются однородными

алгебраическими уравнениями (23), (24). Для их нахождения предварительно при каждом выбранном N приравнивается нулю определитель из величин, стоящих при аг, - необходимое и достаточное условие нетривиальных решений системы (23), (24). Все определители содержат только один параметр А -постоянную разделения, подчиняющуюся, таким образом, алгебраическим уравнениям определенной степени, поэтому она будет разной для различных состояний осциллятора. После ее нахождения и подстановки в (23), (24) определяются сами аг для (25).

В частности, для первых четных N = 0 и нечетных N = 1 членов на основании (23) имеем:

N = 0, А = А0 = -2а + ш(ш + 1), К() = а0;

N = 1, A = A1 = - 6a +(m +1) (m + 2),

а V,

где а0 и а1 могут быть любыми, мы их примем а0 = 1, а1 = 1. При других N учитывается и система (24), но получаются более сложные выражения. Заменим ! = - а в первой формуле (22), возьмем

расшифровки (14), (9) и найдем тем самым энергию осциллятора:

EN = h ю 42

ию 4l п2 3 1Г

^ R2 + m + — + N

8 h

2

к = ^а2, ш = 0,1,2,..., (27)

где, как увидим далее, число ш может быть только положительным и нулем. Энергия (27) дискретная, потому что числа N и ш принимают нулевые и целые положительные значения, и она существенно (квадратично) зависит от расстояния Я между центрами. Очевидно, первый член в ней есть энергия покоя (6). С увеличением Я энергия возрастает, и она убывает при уменьшении Я , в пределе Я = 0, первый член в (27) обращается в нуль, и мы приходим к энергии сферического осциллятора [1]:

En = h ю1 •[ m + -2 + N

(28)

находящегося в поле одного источника и совершающего колебания с собственной частотой а1 = а 42. Это понятно на основании модели осциллятора с двумя пружинками с одинаковыми силовыми постоянными к . В самом деле, при Я = 0 пружинки параллельны между собой и их эквивалентная силовая постоянная равна сумме к1 = 2 к ^ а1 = а 42. Правда, в модели сферического осциллятора вместо ш = 0,1,2,..., присутствует орбитальное число

I = 0,1,2,..., а N только четные, тогда как у нас число N может быть четным и нечетным в зависимости от того, в каком состоянии находится осциллятор - каким функциям он вынужден «подчиняться».

Перейдем к решению уравнения (13) для переменной п. С этой целью осуществим замену, подобную (15) для V,

и(п) = ( -П2) • I(п)• , Л = ±а . (29)

Допускаются здесь и далее лишь положительные целые и нулевые числа ш , так как в противоположном случае отрицательных ш решение (29) может обращаться при п = ± 1 в бесконечность, что недопустимо, ибо имеют смысл только конечные и однозначные функции. О выборе знака для Л пока ничего определенного сказать нельзя - при любом из них экспонента в (29) конечна для всех -1 < п < 1. Уравнение (13) с помощью (29) дает последующий поиск решения для I (п) в форме бесконечного ряда

си

f (п)= Е V

п =

Jb0 + Ь2П + ... К V + Ьз п3 +...

(30)

и обычная процедура преобразований дает для коэффициентов Ьу связь:

( + 1)( + 2^+2 -

-[4 Л(-2)-(4в- 4Лт - 6 Л)] Ь„-2 + (31) + V (-V - 1+ 4 Л - 2т) + (2 Л + А - т (т + 1))] Ьу = 0 .

Ее можно переписать в виде бесконечной непрерывной дроби, как (19) для (18). При Л= - а ряд (30) расходится, а превращение дроби в ограниченную, содержащую конечное число звеньев, повторяя (22), приводит к отрицательной энергии осциллятора, но это физически лишено смысла. Остается выбрать Л = + а = - X. Очевидно, что при этом и непрерывная дробь, и ряд (30) будут сходящимися. Поэтому целесообразно (31) переписать по-другому, исключив с помощью (22) энергию: ( + 1)( + 2)ЬУ+ 2 - 4 Л(- N - 2)Ьу-2 +

+ )у(-У- 1 + 4 Л - 2 т) + (2Л + А - т (т + 1))] = 0, Л=+а = - X, Ь-1 = 0,

b-2 = 0, V =

(32)

[0,2,4,..., да [1,3,5,...,да .

Перебирая члены последовательностей для V, найдутся все коэффициенты Ьу рядов (30). Коэффициенты четного ряда представляются через Ь0 , а нечетного - через Ь^ Ь0, Ь1 - произвольные, примем их равными Ь0 =1, Ь1 = 1. Постоянная разделения А , входящая в (32), уже определена системой (23), (24).

Таким образом, используя промежуточные выкладки, находим волновую функцию, описывающую состояние осциллятора:

ф ( П ф) = BmN ' Фт (ф) ■¥ ( П) , (33)

где в правую часть входят Вт N - постоянная нормировка и функции

Фт (ф)=~^ ¿тф, п) = Ш (¡■о(п), (34)

(35)

/2п

во второй из них

Г(?)=( + #2)2 . . F(#);

му функция п) = Ш (§ = 0) ■ и (п) там определяется только переменной п, входящей в и (п) а Ш (§ = 0) обращается в постоянную. На оси х с выре-

Я

занным отрезком R при x >

2

наоборот,

£ Ф 0, п = 0, и функция ц (, п) = Ш (¡) ■ и (п = 0) задаётся переменной £, так как и (п= 0) становится константой. При всех нечетных N осциллятор не может находиться на оси х, потому что в этом случае между источниками поля на Я переменная £ = 0, в

других точках оси п = 0, значит, везде ц (¡,п) = 0, поскольку полиномы и ряды будут нулевыми.

В самом низком состоянии осциллятора с N = 0

функция Я (§ = 0) = ^0 = 1 между источниками на Я , а /(п = 0) = Ь0 = 1 - справа за Я оси х. Следовательно, вероятности р(£ = 0,п) = р(п) найти осциллятор при его продольных перемещениях на отрезке Я и р (¡, п = 0) = р (¡) на остальной части оси Я

х > — можно рассматривать, оценивать и анализировать независимо:

р(п)=1 -п^е 2<

р(£)=(1 + £2Уе~а . (37)

В них опущен одинаковый сомножитель, тем не менее характерные качественные и важные количественные выводы о локализации осциллятора следуют и на основании простых частных выражений (37). Это наглядно следует из иллюстративных рис. 2 - 5.

и (п)= ( -п2) ■ еап2 ■ /(п).

Здесь соответственно содержатся полиномы Я (¡) и ряды / (п):

N +да

я(¡)= 2 ^Г, /(п)= 2ЬУп . (36)

V=0 v=0

V = 1 V=1

Ввиду некоторой громоздкости (33) - (36) затруднены детальное обсуждение волновой функции (33) и нахождение вероятности (точнее ее плотности), которую следует ожидать при попытке обнаружения осциллятора в какой-либо точке пространства

р (,п, ф) = фф = -2— |и(п)2 ■ (¡)2, однако все же

Рис. 2

сделаем несколько уточнений и некоторые выводы по ним. На оси Я между центрами £ = 0, п Ф 0 , поэто-

т / \ R I т

_ 1_ Т— ^X(max)_ — J—

Рис. 3

В невозмущенном состоянии N = 0, т = 0 осциллятор вероятнее всего оказывается в середине между центрами: п = 1, * = 0 (рис. 2).

Рис. 4

Рис. 5

2а

¿2 = max

т 2а

_ 1 ^ * (max) _ ■

2 у 2а

При т < 2а осциллятор находится на промежутке 0 < п < 1 (рис. 4), если же т > 2а, он уходит за центры на промежуток 0 < % < ж (рис. 5). При заданном а максимумы могут смещаться влево или вправо вдоль промежутков и даже «перебираться» из одного в другой в зависимости от состояния осциллятора по числу т . Практически же равенство т = 2 а скорее теоретическое (рис. 3), оно критическое для осциллятора: он может уйти влево или вправо, смотря по тому, каково т , к равенству т = 2 а можно иногда только приблизиться, так как 2а в реальных ситуациях строго целым числом быть не может. Действительно, одной из основных величин, входящей в волновую функцию и во многом ее определяющей, является безразмерный собирательный параметр а. Для характерных расстояний Я , например, между ядрами атомов молекул, частот а ядер и массы ц протона осциллятора а и 1, так что в случае более массивных ядер-осцилляторов величина а порядка массового числа ядра. Осциллятор может «уйти

я [т

~2\1а

возбуждении т > > 2 а , но затем все-таки вернется к ним, так как кривая вероятности далее резко убывает. Более того, обычно реализуются и рассматриваются чаще «спокойные» состояния с т = 0,1, 2, тогда возможны т > > 2 а , и осциллятор остается на Я , приближалась даже к середине между источниками поля.

Замечаем еще, что вероятность оказаться осциллятору на оси г = 1 Я%п, для которой п = ±1,

равна нулю при т ф 0 , ибо во всех точках этой оси и (ц= ± 1) = 0, он локализуется где-то вне оси г , на которой Ьг = т Н . Но в случае т = 0 и любых N его вероятность попасть на ось г и перемещаться вдоль нее отлична от нуля, и он не «расстается» с центрами.

Обобщая, мы приходим к выводу, что идеализированная модель гармонического осциллятора в поле двух источников квазиупругих сил оказывается предпочтительной — результаты и выводы в ней ближе к действительным процессам, возникающим и протекающим в реальных системах.

Далеко» X (max )_'

от центров при сильном

п

и

На остальных рисунках главные максимумы распределения относительных вероятностей обнаружения осциллятора приходятся на точки

Литература

1. Давыдов А. С. Квантовая механика. М., 1963

2. ГерцбергГ. Колебательные и вращательные спек- 3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., тры многоатомных молекул: Пер. с англ. М., 1949. 1977.

Карачаево- Черкесский государственный университет_16 мая 2006 г.